第二章 轴对称图形（知识归纳+题型突破）-苏科版八年级《数学》上学期单元精讲速记巧练（解析版）

第第页第二章轴对称图形（知识归纳+题型突破）1、从生活中提炼轴对称模型，归纳轴对称的概念。2、通过图形变换理解轴对称图形的性质，在生活中运用轴对称解决问题。【知识点1】轴对称的概念把一个图形沿着某一条直线翻折，如果它能够与另一个图形重合，那么称这两个图形___关于这条直线对称___，也称这两个图形___成轴对称___，这条直线叫做___对称轴___，两个图形中的对应点叫做___对称点___．【知识点2】轴对称图形的概念把一个图形沿着某一条直线折叠，如果直线两旁的部分能够___互相重合___，那么称这个图形是___轴对称图形___，这条直线就是___对称轴___．【知识点3】轴对称与轴对称图形的区别与联系名称两个图形成轴对称轴对称图形图形区别图形个数针对两个图形而言，是两个图形的一种特殊位置关系针对一个图形而言，是某个图形的一种特殊几何性质对称轴只有一条对称轴可以有一条或多条、甚至无数条对称轴对称点在两个图形上在同一个图形上验证沿某条直线折叠后，两个图形能够重合沿某条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合联系（1）沿对称轴折叠后能够重合；（2）如果把成轴对称的两个图形看成一个整体，那么这个整体就是一个轴对称图形（1）沿对称轴折叠后，对称轴两旁的部分能够互相重合；（2）如果把一个轴对称图形位于对称轴两旁的部分看成两个图形，那么这两部分图形就成轴对称【知识点4】线段的轴对称性线段___是___轴对称图形，线段的___垂直平分线___是它的对称轴．【知识点5】垂直平分线的性质线段垂直平分线上的点___到线段两端的距离相等___．几何语言：∵MN是线段AB的垂直平分线（或MN⊥AB于点D，且AD=BD），∴CA=CB．【知识点6】垂直平分线的判定定理到线段两端距离相等的点在线段的___垂直平分线___上．几何语言：∵CA=CB，∴点C在线段AB的垂直平分线上．【知识点7】角的轴对称性角___是___轴对称图形，___角平分线所在的直线___是它的对称轴．【知识点8】角平分线的性质角平分线上的点___到角两边的距离相等___．几何语言：∵PF平分∠APB（或∠APF=∠BPF），EC⊥PA于C，ED⊥PB于D，∴EC=ED．【知识点9】角平分线的判定定理角的内部到___角两边距离___相等的点在角的平分线上．几何语言：∵EC⊥PA于C，ED⊥PB于D，EC=ED，∴点E在∠APB的平分线上．【知识点10】等腰三角形的轴对称性等腰三角形___是___轴对称图形，对称轴是___顶角平分线所在直线___．【知识点11】等边对等角等边对等角：等腰三角形的两底角相等．几何语言：在△ABC中∵AB=AC∴∠B=∠C（等边对等角）【知识点12】三线合一三线合一：等腰三角形___底边上的高线___、___底边上的中线___、___顶角平分线___重合．几何语言：在△ABC中∵AB=AC，∠BAD=∠CAD∴AD⊥BC，BD=CD【知识点13】等腰三角形的判定等角对等边：有两个角___相等___的三角形是等腰三角形．几何语言：在△ABC中∵∠B=∠C∴AB=AC（等角对等边）题型一轴对称图形的识别【例1】作出下列各图形的一条对称轴

【答案】见解析【分析】依据轴对称图形的概念，即在平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线就是其对称轴，据此即可解答．【详解】解：根据分析画各图的对称轴如下：

．【例2】如果正三角形有条对称轴，那么．【答案】3【分析】根据轴对称的定义进行判断即可．【详解】解：正三角形有3条对称轴，即．故答案为：3．巩固训练：1．图中的图形为轴对称图形，该图形的对称轴的条数为（

）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】C【分析】根据轴对称图形的概念求解．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称．【详解】解：由图可知，该图形有6条对称轴；故选：C2．对称轴最多的图形是（

）A．圆 B．长方形 C．正方形 D．等边三角形【答案】A【分析】依据轴对称图形的意义，即在同一个平面内，一个图形沿某条直线对折，对折后的两部分都能完全重合，则这个图形就是轴对称图形，这条直线就是其对称轴，据此解答即可．【详解】解：圆有无数条对称轴，长方形有2条对称轴，正方形有4条对称轴，等边三角形有3条对称轴；故选：A．3．某校学生为校运动会设计会标，在以下四个标志中，不是轴对称图形的是（

）A．

B．

C．

D．【答案】C【分析】根据轴对称图形的概念逐项判断即可解答．【详解】解：A、是轴对称图形，故本选项不符合题意；B、是轴对称图形，故本选项不符合题意；C、不是轴对称图形，故本选项符合题意；D、是轴对称图形，故本选项不符合题意．故选：C．题型二镜面对称问题【例3】如图，从镜子中看到一钟表的时针和分针，此时的实际时刻是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】镜子中的时间和实际时间关于钟表上过6和12的直线对称，作出相应图形，即可得到准确时间．【详解】解：由图中可以看出，此时的时间为．故选：B．【例4】小明从镜子里看到镜子对面电子钟的像如图所示，实际时间是()A． B． C． D．【答案】B【分析】利用镜面对称的性质求解．镜面对称的性质：在平面镜中的像与现实中的事物恰好顺序颠倒，且关于镜面对称．【详解】解：根据镜面对称的性质，题中所显示的时刻与成轴对称，所以此时实际时刻为，故选：B．【例5】如图是从镜子里看到的号码，则实际号码应是．【答案】3265【分析】根据镜面对称的性质，在平面镜中的像与现实中的事物恰好顺序颠倒，且关于镜面对称；据此分析并作答．【详解】解：根据镜面对称的性质，关于镜面对称，又在平面镜中的像与现实中的事物恰好顺序颠倒，则这个号码是3265，故答案为：3265．巩固训练：4．小明在镜中看到身后墙上的时钟，实际时间最接近8时的是下图中的（

）A．B．C．D．【答案】C【分析】根据镜面对称的性质求解．【详解】解：8点的时钟，在镜子里看起来应该是4点，所以最接近8点的时间在镜子里看起来就更接近4点，所以应该是图C所示，最接近8点时间．故选C．5．如图，从汽车的后视镜中看见某车牌号的5位号码的车牌号为．【答案】BA629【分析】根据镜面对称的性质求解，在平面镜中的像与现实中的事物恰好左右或上下顺序颠倒，且关于镜面对称．【详解】解：∵是从汽车的后视镜中看见某车牌的5位号码，∴原号码与看见的号码是轴对称图形，∴车牌号为BA629，故答案为：BA629．6．小明照镜子时，发现衣服上的英文单词在镜子呈现为“”，则这串英文字母是．【答案】APPLE【分析】根据镜面对称的性质，在平面镜中的像与现实中的事物恰好左右颠倒，且关于镜面对称，分析并作答．【详解】解：根据镜面对称的性质，分析可得题中所给的图片与APPLE成轴对称．故答案为：APPLE．题型三轴对称的性质【例6】如图，与关于直线对称，交于点，下列结论①；②；③中，正确的有（

）

A．3个 B．2个 C．1个 D．0个【答案】A【分析】根据轴对称的性质解答．【详解】解：∵与关于直线MN对称，交于点O，∴，，，综上，三个选项都正确，故选：A．【例7】如图，已知点A、B是直线同侧两点，点、A关于直线对称．连接交直线于点P，连接．若，则的长为（）

A． B． C． D．无法确定【答案】C【分析】根据轴对称的性质得到，由即可得到答案．【详解】解：∵点、A关于直线对称，连接交直线于点P，连接．∴，∴，即的长为．故选：C【例8】如图，在内，点、分别是点关于、的对称点．如果的周长为12，则的长为（

）A．6 B．12 C．15 D．18【答案】B【分析】先根据轴对称的性质得到，再根据三角形周长公式得到，则．【详解】解：∵点、分别是点关于、的对称点，∴，∵的周长为12，∴，∴，故选B．巩固训练：7．如图所示，点P为内一点，分别作出P点关于的对称点，连接交于M，交于N，，则的周长为．【答案】15【分析】根据轴对称的性质得到，据此利用三角形周长公式求解即．【详解】解：∵P点关于的对称点，∴．∴的周长为．故答案为：15．8．如图，和关于直线对称，已知，，．求的度数及、的长度．

【答案】，、【分析】根据轴对称的性质，对应边相等，对应角相等即可得出答案．【详解】解：和关于直线对称，，，，又，，．，，，题型四折叠问题【例9】将长方形纸片按如图方式折叠，为折痕，则的度数为．

【答案】【分析】根据折叠的性质得到，，然后根据平角为求解即可．【详解】∵将长方形纸片按如图方式折叠，为折痕，∴，，∴．故答案为：．【例10】如图，将长方形沿线段折叠到的位置，若，则∠DFC′的度数为（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据折叠的性质可得，从而得到，即可求解．【详解】解：由翻折知，∴，∴．故选：C．【例11】如图，将沿直线折叠后，使得点与点重合，若，的长为12，则的周长为（

）

A．17 B．10 C．12 D．22【答案】A【分析】由折叠的性质可得，再根据三角形周长公式即可求解．【详解】解：∵将沿直线折叠，使得点与点重合，∴，∵，的长为12，∴的周长，故选：A．巩固训练：9．如图，将折叠，使点C与点B重合，折痕l与边交于点D，连接，则是的（）A．角平分线 B．高线 C．中线 D．无法确定【答案】C【分析】根据折叠的性质可得：D为中点，于是可得是的中线.【详解】解：∵将折叠，使点C与点B重合，∴D为中点，∴是的中线；故选：C.10．如图，将长方形纸片沿直线折叠，点的对应点为点，与交于点．若，则的度数是．

【答案】24°/24度【详解】解：∵将长方形纸片沿直线折叠，∴，∴，∴；故答案为：24°．11．把一张宽度相等的纸条按如图所示的方式折叠，则的度数等于．

【答案】/度【详解】解：如图，

由翻折不变性可知：，∵宽度相等的纸条边缘平行，∴，，，，故答案为：．题型五垂直平分线的性质【例12】甲、乙、丙三家分别位于的三个顶点处，现要建造一个核酸检测点，使得三家到核酸检测点的距离相等，则核酸检测点应建造在（）A．三边垂直平分线的交点 B．三条角平分线的交点C．三条高的交点 D．三条中线的交点【答案】A【分析】根据线段垂直平分线的性质即可解答．【详解】解：∵线段的垂直平分线的点到线段的两个端点的距离相等，∴这三家到核酸检测点距离相等，核酸检测点的建造位置是在三边的垂直平分线上，故选A．【例13】如图，在中，，，，，EF垂直平分BC，点P为直线EF上的任意一点，则周长的最小值是（

）A．7 B．6 C．12 D．8【答案】A【详解】解：∵EF垂直平分BC，∴B、C关于EF对称，设AC交EF于D，∴当P和D重合时，即A、P、C三点共线时，AP+BP的值最小，∵EF垂直平分BC，∴AD=CD，∴AD+BD=AD+CD=AC=4，∴△ABP周长的最小值是AB+AC=3+4=7，故A正确．故选：A．【例14】如图，在△ABC中，AB＝7，BC＝5，AC的垂直平分线分别交AB，AC于点D，E，点F是DE上任意一点，△BCF的周长的最小值是（）A．2 B．12 C．5 D．7【答案】B【分析】由于，关于直线为对称，所以和重合时，最小，最小值等于，即可求得的周长的最小值．【详解】解：是线段的垂直平分线，，关于直线为对称，和重合时，最小，即的周长的最小值，是线段的垂直平分线，，的最小值，的最小周长，故选：B．【例15】已知中，，、的垂直平分线分别交于、，与分别交于点、．求：(1)的度数．(2)求的周长．【答案】(1)(2)26【分析】（1）根据线段的垂直平分线的性质得到，，得出等腰三角形即可；（2）根据线段的垂直平分线的性质得到，，这样就将的周长转化为线段的长．【详解】（1）、的垂直平分线分别交于、、，，（2）、的周长的周长巩固训练：12．如图，，，表示三个居民小区，为丰富居民们的文化生活，现准备建一个文化广场，使它到三个小区的距离相等，则文化广场应建在（

）A．，两边高线的交点处 B．，两边中线的交点处C．，两边垂直平分线的交点处 D．，两内角平分线的交点处【答案】C【分析】根据垂直平分线的性质可知，到，，表示三个居民小区距离相等的点，是，两边垂直平分线的交点，由此即可求解．【详解】解：如图所示，分别作，两边垂直平分线，交于点，连接，，，∵，是，两边垂直平分线，∴，∴点是到三个小区的距离相等的点，即点是，两边垂直平分线的交点，故选：．13．如图，在中，，分别垂直平分边和边，交边于，两点，与相交于点．(1)若，则的周长为______；(2)若，求的度数．【答案】(1)；(2)．【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质得到，，再根据三角形的周长公式计算即可；（2）根据三角形内角和定理求出，根据对顶角相等求出，根据等腰三角形的性质即可得到答案.【详解】（1）∵，分别垂直平分边和边，∴，，∴的周长，∴的周长，故答案为：；（2）∵，∴，∴，∴，∵，，∴，，∴．14．如图，在中是的垂直平分线，，的周长为，求的周长．

【答案】的周长为．【分析】根据垂直平分线的性质可得，，即可得出，则的周长，即可求解．【详解】解：∵DE是AC的垂直平分线，∴，．∵的周长，∴，∴的周长．即的周长为．15．如图，在中，，，的垂直平分线交于点，交边于点，则的周长为．【答案】【分析】根据垂直平分线的性质，可得，根据三角形的周长即可求解．【详解】解：∵的垂直平分线交于点，∴，∵的周长为，∴，故答案为：．题型六角平分线的性质【例16】如图，平分于点D，点E为射线上一动点，若，则的最小值为．【答案】6【分析】过O点作于H点，如图，先根据角平分线的性质得到，然后根据垂线段最短解决问题．【详解】解：过O点作于H点，如图，平分，，∵点E为射线上一动点，∴的最小值为的长，即的最小值为6．故答案为：6．【例17】如图，于E，于F，平分，若，探索与的数量关系，并证明之．【答案】，见解析【分析】先根据角平分线的性质得出，再证明，得出，根据线段的和差即可得出答案．【详解】证明：∵于E，于F，平分，∴，在和中，，∴，∴，∵，，∴，∴．【例18】如图，在中，，平分，平分，过点O作的平行线与，分别相交于点M，N．若，．

(1)求的度数；(2)求的周长．【答案】(1)(2)12【分析】（1）根据三角形内角和以及角平分线的定义即可求出的度数；（2）根据角平分线的性质和平行线的性质可得和为等腰三角形，从而得到等量关系式求出答案．【详解】（1）解：，，平分，平分，，；（2）解：平分，，，，，，同理可得，，，，，的周长．【例19】如图，是中的平分线，，交于点，，交于点．若，，，则的长是（）A．4 B．3 C．6 D．5【答案】B【分析】由角平分线的性质可得，由及三角形的面积公式进行计算即可得到答案．【详解】解：是中的平分线，，交于点，，交于点，，，，解得：，故选：B．【例20】三角形内到三边的距离相等的点是（

）A．三条中线的交点 B．三条高的交点C．三条角平分线的交点 D．以上均不对【答案】C【分析】要找到三角形三边距离相等的点，应该根据角平分线的性质，三角形内到三边的距离相等的点是三角形三个内角平分线的交点．【详解】解：三角形内到三边的距离相等的点是三角形三个内角平分线的交点．故选：C．巩固训练：16．如图，四边形中，，点E为的中点，且平分．(1)求证：平分；(2)求证：．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）过点E作于F，根据角平分线的性质得出，再根据，得出，进而根据角平分线的判定定理可得出结论；（2）根据角平分线的性质得出，，再证明，，根据全等三角形的性质得出，，进而得出结论．【详解】（1）证明：如图，过点E作于F，

∵，平分，∴，∵E是的中点，∴，∴，又∵，，∴是的平分线．（2）∵平分，平分，，，∴，，∴，，∴，，∴．17．如图，在中，D，E分别为，边上一点，连接，，，过点E向作垂线，交的延长线于点F．已知平分．平分，．

(1)求证：平分；(2)若，，，求．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）过E点分别作于M，于N，根据角平分线的性质得出，进而得出，根据角平分线的判定即可得出结论；（2）先求出，进而得出，根据，，，，得出，求出，，即可得出答案．【详解】（1）证明：过E点分别作于M，于N，

∵平分，，∴，∵平分，∴，∴，∴平分；（2）解：∵，∴，∵，，∴，∴，∵，，，，∴，∵，∴，，∴．18．黄河社区是由三条路围成的小型社区，现在越来越多的人们选择购买电动汽车，为了让生活设施跟上时代的发展，黄河社区准备在社区内修建一个电动车充电点．现社区人员计划将充电点建设在到三条路的距离相等的位置，则充电点应该建在三角形（）A．三个角的平分线的交点处 B．三条中线的交点处C．三条高线的交点处 D．三条边的垂直平分线的交点处【答案】A【分析】根据角平分线的性质定理的逆定理，即可解答．【详解】解：现社区人员计划将充电点建设在到三条路的距离相等的位置，则充电点应该建在三角形三个角的平分线的交点处，故选：A．19．如图，O是内一点，且O到三边的距离相等（即），若，则（）

A．110° B．120° C．130° D．140°【答案】C【分析】根据题意可得，点O是三角形三条角平分线的交点，再由的度数可得的度数，再根据三角形的内角和等于即可求出的度数．【详解】解：∵到三边、、的距离，∴点O是三角形三条角平分线的交点，∵，∴，∴，在中，．故选：C．20．如所示图形中，若，能判断点在的平分线上的是（）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据到角两边的距离相等的点在角平分线上进行判断即可．【详解】解：∵到角两边的距离相等的点在角平分线上，∴符合题意的是D，故选：D．题型七作图【例21】如图，已知甲工厂靠近公路a，乙工厂靠近公路b，为了发展经济，甲、乙两工厂准备合建一个仓库，经协商，仓库必须满足以下两个要求：①到两工厂的距离相等；②在内，且到两条公路的距离相等．你能帮忙确定仓库的位置吗？（保留作图痕迹，不写作法）【答案】见解析【分析】连接，作线段的垂直平分线，作角的平分线，则与的交点F就是仓库的位置．【详解】解：如图，点F为仓库的位置．【例22】如图，两公路与相交于点O，两公路内侧有两工厂C和D，现要修建一货站使货站P到两条公路OA、OB的距离相等，且到两工厂C、D的距离相等，用尺规作出货站P的位置．（要求：不写作法，保留作图痕迹）【答案】见解析【分析】只要作出的角平分线和线段的垂直平分线，两线的交点即为所求．【详解】解：如图所示：点P即为所求．【例23】用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹．如图，某小区绿化带内部有两个喷水臂、，现欲在内部建一个水泵，使得水泵到，的距离相等，且到两个喷水管、的距离也相等，请你在图中标出水泵的位置．

【答案】作图见解析【分析】作平分，作垂直平分线段交于点即可．【详解】解：如图，作平分，作垂直平分线段交于点，∵平分，点在射线上，∴点到，的距离相等，∵垂直平分线段，点在直线上，∴点到、的距离相等，∴到，的距离相等，且到点、的距离也相等，则点即为所作．

巩固训练：21．如图，电信部门要在S区修建一座电视信号发射塔．按照设计要求，发射塔到两个城镇A，B距离必须相等，到两条高速公路m和n的距离也必须相等．发射塔应修建在什么位置？在图上标出它的位置．（保留作图痕迹）【答案】见解析【分析】根据题意，P点既在线段的垂直平分线上，又在两条公路所夹角的平分线上．故两线交点即为发射塔P的位置．【详解】解：作出线段的垂直平分线，与的平分线交于P点，则如图，P点为所求．．22．如图，校园有两条路、，在交叉口附近有两块宣传牌、，学校准备在这里安装一盏路灯，要求灯柱的位置离两块宣传牌一样远，并且到两条路的距离也一样远，请你用尺规作出灯柱的位置点．（请保留作图痕迹）【答案】见解析【分析】分别作线段的垂直平分线和的角平分线，它们的交点即为点．【详解】解；如图，点为所作．23．如图，某地有两所大学和两条相交叉的公路，（点M，N表示大学，AO，BO表示公路），现计划在∠AOB内部修建一座物资仓库，希望仓库到两所大学的距离相等，到两条公路的距离也相等，你能确定仓库P应该建在什么位置吗？在所给的图形中画出你的设计方案．【答案】能，作图见解析【分析】根据题意，作的角平分线，连接，作的垂直平分线，和RQ相交于点S，根据角平分线和垂直平分线的性质分析，即可得到答案．【详解】根据题意，作的角平分线，连接，作的垂直平分线，和RQ相交于点S，如下图：∵是的角平分线∴上的点，到两条公路的距离也相等；∵是的垂直平分线∴上的点，到两所大学的距离相等∵和RQ相交于点S，∴仓库P应该建在点S的位置．题型八等腰三角形三线合一【例24】如图，、分别是的中线和角平分线，若，，则的度数为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先利用等腰三角形三线合一性质，得到，再利用直角三角形的性质，得到，结合是的角平分线，计算即可．【详解】∵是的中线，，∴，∵，∴，∵是的角平分线，，故选：B．【例25】如图，在中，，，于点E，若，的周长为10，则的长为（）A． B．3 C． D．4【答案】B【分析】根据已知可得，从而可得，然后利用等腰三角形三线合一性质计算解答．【详解】解：，且的周长为10，，，，，，，，，．故选B．巩固训练：24．等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是（

）A．过顶点的直线 B．腰上的中线所在的直线C．腰上的高线所在的直线 D．顶角的平分线所在的直线【答案】D【分析】根据等腰三角形的三线合一的性质，可得出答案．【详解】解：等腰三角形的对称轴是顶角的角平分线所在直线，底边高所在的直线，底边中线所在直线，A、过顶点的直线，错误．B、腰上的中线所在的直线，错误．C、腰上的高线所在的直线，错误．D、顶角的平分线所在的直线，正确．故选：D．25．如图，在中，，点为的中点，边的垂直平分线交，，于点，，，连接、．

(1)求证：为等腰三角形；(2)若，求的度数．【答案】(1)见解析．(2)【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质，先求得，根据等腰三角形三线合一的性质，可求得．（2）根据等腰三角形三线合一的性质，可求得，根据三角形内角和定理可求得的度数，结合即可求得答案．【详解】（1）∵为线段的垂直平分线，∴．∵，点为的中点，∴为线段的垂直平分线．∴．∴．∴为等腰三角形．（2）∵，点为的中点，∴为的平分线．∴．∴．∴．∵为等腰三角形，∴．∴．题型九等腰三角形度数【例26】已知是等腰三角形．若，则的顶角度数是．【答案】或【分析】分是顶角和底角两种情况讨论，即可解答．【详解】解：当是顶角时，的顶角度数是；当是底角时，则的顶角度数为；综上所述，的顶角度数是或．故答案为：或．巩固训练：26．在中，，是边上的高，，则的度数为．【答案】或【分析】①如图，当顶角为锐角三角形时：，②如图，当顶角为钝角三角形时：，再结合等腰三角形的性质可得答案．【详解】解：①如图，当顶角为锐角三角形时：，

∵，∴；②如图，当顶角为钝角三角形时：∵，，∴，

∵，∴．故答案为：或．题型十等腰三角形外角问题【例27】如图，在第1个中，；在边上任取一点D，延长到A2，使，得到第2个；在边上任取一点E，延长到A3，使，得到第3个；……按此做法继续下去，则第n个三角形中以为顶点的内角度数是（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】先根据等腰三角形的性质求出的度数，再根据三角形外角的性质及等腰三角形的性质分别求出，及的度数，找出规律即可得出第个三角形中以为顶点的底角度数．【详解】解：在中，，，，，是△的外角，；同理可得，，第个三角形中以为顶点的底角度数是．故选：C．巩固训练：27．如图，，点在射线上，点在射线上，，均为等边三角形．若，则的边长为（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】根据等边三角形的性质得出，，，利用同样的方法，，，由此规律可得．【详解】为等边三角形，同理：由此类推可得的边长．故选B．28．如图，已知是等边三角形，点B，C，D，F在同一条直线上，，，求的度数．

【答案】【分析】根据等边三角形的性质，等边对等角性质，三角形外角性质计算即可．【详解】解：∵是等边三角形，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴．题型十一等腰三角形个数和格点问题【例28】在如图所示的网格中，在格点上找一点P，使为等腰三角形，则点P有（）A．6个 B．7个 C．8个 D．9个【答案】C【分析】分三种情况讨论：以为腰，点为顶角顶点；以为腰，点为顶角顶点；以为底．【详解】解：如图：如图，以为腰，点为顶角顶点的等腰三角形有5个；以为腰，点为顶角顶点的等腰三角形有3个；不存在以为底的等腰，所以合计8个．故选：C．【例29】如图中的大长方形都是由边长为1的小正方形组成，其中每个正方形的顶点称之为格点，若、、三点均在格点上，且为等腰三角形，则满足条件的点的个数有（

）

A．4个 B．5个 C．6个 D．7个【答案】C【分析】分为顶角和为顶角判定即可．【详解】当为顶角时，符合的点有一个；当为顶角时，符合的点有五个；一共有6个．

故选C．【例30】如图，在中，，，是的角平分线，则图中的等腰三角形共有(

)A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【分析】由是的角平分线，可得，又可求，所以是等腰三角形；又，故，所以是等腰三角形；由，得，可求，故，所以是等腰三角形．【详解】解：是的角平分线，，，是等腰三角形①．，，是等腰三角形②．，，，，是等腰三角形③．故图中的等腰三角形有个．故选：C．巩固训练：29．如图，线段、互相垂直平分，则图中共有等腰三角形（

）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【答案】C【分析】根据垂直平分线的性质得出，继而根据等腰三