2025八年级上册数数学(RJ)15.2.3 整数指数幂2

2025八年级上册数数学(RJ)15.2.3整数指数幂215.2.3整数指数幂教学目标1．知道负整数指数幂=（a≠0，n是正整数）.2．掌握整数指数幂的运算性质.3．会用科学记数法表示小于1的数.重点难点1．重点：掌握整数指数幂的运算性质.2．难点：会用科学记数法表示小于1的数.3．认知难点与突破方法复习已学过的正整数指数幂的运算性质：（1）同底数的幂的乘法：(m，n是正整数)；（2）幂的乘方：(m，n是正整数)；（3）积的乘方：(n是正整数)；（4）同底数的幂的除法：(a≠0，m，n是正整数，m＞n)；（5）商的乘方：(n是正整数)；0指数幂，即当a≠0时，.在学习有理数时，曾经介绍过1纳米=10-9米，即1纳米=米.此处出现了负指数幂，也出现了它的另外一种形式是正指数的倒数形式，但是这只是一种简单的介绍知识，而没有讲负指数幂的运算法则.学生在已经回忆起以上知识的基础上，一方面由分式的除法约分可知，当a≠0时，===；另一方面，若把正整数指数幂的运算性质(a≠0，m，n是正整数，m＞n)中的m＞n这个条件去掉，那么==.于是得到=（a≠0），就规定负整数指数幂的运算性质：当n是正整数时，=（a≠0），也就是把的适用范围扩大了，这个运算性质适用于m、n可以是全体整数.教学过程一、例、习题的意图分析1．[思考]提出问题，引出本节课的主要内容负整数指数幂的运算性质.2．[思考]是为了引出同底数的幂的乘法：，这条性质适用于m，n是任意整数的结论，说明正整数指数幂的运算性质具有延续性.其它的正整数指数幂的运算性质，在整数范围里也都适用.3．教科书例9计算是应用推广后的整数指数幂的运算性质，教师不要因为这部分知识已经讲过，就认为学生已经掌握，要注意学生计算时的问题，及时矫正，以达到学生掌握整数指数幂的运算的教学目的.4．教科书中间一段是介绍会用科学记数法表示小于1的数.用科学记数法表示小于1的数，运用了负整数指数幂的知识.用科学记数法不仅可以表示小于1的正数，也可以表示一个负数.5．[思考]提出问题，让学生思考用负整数指数幂来表示小于1的数，从而归纳出：对于一个小于1的数，如果小数点后至第一个非0数字前有几个0，用科学记数法表示这个数时，10的指数就是负几.6．教科书例10是一个介绍纳米的应用题，使学生做过这道题后对纳米有一个新的认识.更主要的是应用科学记数法表示小于1的数.二、课堂引入1．回忆正整数指数幂的运算性质：（1）同底数的幂的乘法：(m，n是正整数)；（2）幂的乘方：(m，n是正整数)；（3）积的乘方：(n是正整数)；（4）同底数的幂的除法：(a≠0，m，n是正整数，m＞n)；（5）商的乘方：(n是正整数)；2．回忆0指数幂的规定，即当a≠0时，.3．你还记得1纳米=10-9米，即1纳米=米吗？4．计算当a≠0时，===，再假设正整数指数幂的运算性质(a≠0，m，n是正整数，m＞n)中的m＞n这个条件去掉，那么==.于是得到=（a≠0），就规定负整数指数幂的运算性质：当n是正整数时，=（a≠0）.三、例题讲解（教科书）例9计算[分析]是应用推广后的整数指数幂的运算性质进行计算，与用正整数指数幂的运算性质进行计算一样，但计算结果有负指数幂时，要写成分式形式.（教科书）例10[分析]是一个介绍纳米的应用题，是应用科学记数法表示小于1的数.四、随堂练习1.填空（1）-22=（2）(-2)2=（3）(-2)0=（4）20=(5）2-3=(6）(-2)-3=2.计算：(1)(x3y-2)2（2）x2y-2·(x-2y)3(3)(3x2y-2)2÷(x-2y)3五、课后练习1.用科学记数法表示下列各数：0.00004，-0.034，0.00000045，0.0030092.计算：(1)(3×10-8)×(4×103)(2)(2×10-3)2÷(10-3)3六、答案：四、1.（1）-4（2）4（3）1（4）1（5）（6）2.（1）（2）（3）五、1.（1）4×10-5（2）3.4×10-2（3）4.5×10-7（4）3.009×10-32.（1）1.2×10-5（2）4×10315．3分式方程第1课时分式方程及其解法1．了解分式方程的概念．(重点)2．掌握可化为一元一次方程的分式方程的解法，知道转化的思想方法在解分式方程中的应用．(重点)3．了解增根的概念，会检验一个数是不是分式方程的增根，会根据增根求方程中字母的值．(难点)一、情境导入1．什么是方程？2．什么是一元一次方程？3．解一元一次方程的一般步骤是什么？我们今天将学习另外一种方程——分式方程．二、合作探究探究点一：分式方程的概念下列关于x的方程中，是分式方程的是()A.eq\f(3＋x,2)＝eq\f(2＋x,5)B.eq\f(2x－1,7)＝eq\f(x,2)C.eq\f(x,π)＋1＝eq\f(2－x,3)D.eq\f(1,2＋x)＝1－eq\f(2,x)解析：A中方程分母不含未知数，故不是分式方程；B中方程分母不含未知数，故不是分式方程；C中方程分母不含表示未知数的字母，π是常数；D中方程分母含未知数x，故是分式方程．故选D.方法总结：判断一个方程是否为分式方程，主要是看分母中是否含有未知数(注意：仅仅是字母不行，必须是表示未知数的字母)．探究点二：分式方程的解法【类型一】解分式方程解方程：(1)eq\f(5,x)＝eq\f(7,x－2)；(2)eq\f(1,x－2)＝eq\f(1－x,2－x)－3.解析：分式方程两边同乘以最简公分母，把分式方程转化为整式方程求解，注意验根．解：(1)方程两边同乘x(x－2)，得5(x－2)＝7x，5x－10＝7x，2x＝－10，解得x＝－5，检验：把x＝－5代入最简公分母，得x(x－2)≠0，∴x＝－5是原方程的解；(2)方程两边同乘最简公分母(x－2)，得1＝x－1－3(x－2)，解得x＝2，检验：把x＝2代入最简公分母，得x－2＝0，∴原方程无解．方法总结：解分式方程的步骤：①去分母；②解整式方程；③检验；④写出方程的解．注意检验有两种方法，一是代入原方程，二是代入去分母时乘的最简公分母，一般是代入公分母检验．【类型二】由分式方程的解确定字母的取值范围关于x的方程eq\f(2x＋a,x－1)＝1的解是正数，则a的取值范围是____________．解析：去分母得2x＋a＝x－1，解得x＝－a－1，∵关于x的方程eq\f(2x＋a,x－1)＝1的解是正数，∴x＞0且x≠1，∴－a－1＞0且－a－1≠1，解得a＜－1且a≠－2，∴a的取值范围是a＜－1且a≠－2.方法总结：求出方程的解(用未知字母表示)，然后根据解的正负性，列关于未知字母的不等式求解，特别注意分母不能为0.探究点三：分式方程的增根【类型一】求分式方程的增根若方程eq\f(3,x－2)＝eq\f(a,x)＋eq\f(4,x（x－2）)有增根，则增根可能为()A．0B．2C．0或2D．1解析：∵最简公分母是x(x－2)，方程有增根，则x(x－2)＝0，∴x＝0或x＝2.去分母得3x＝a(x－2)＋4，当x＝0时，2a＝4，a＝2；当x＝2时，6＝4不成立，∴增根只能为x＝0，故选A.方法总结：增根是使分式方程的分母为0的根．所以判断增根只需让分式方程的最简公分母为0；注意应舍去不合题意的解．【类型二】分式方程有增根，求字母的值如果关于x的分式方程eq\f(2,x－3)＝1－eq\f(m,x－3)有增根，则m的值为()A．－3B．－2C．－1D．3解析：方程两边同乘以x－3，得2＝x－3－m①.∵原方程有增根，∴x－3＝0，即x＝3.把x＝3代入①，得m＝－2.故选B.方法总结：增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．【类型三】分式方程无解，求字母的值若关于x的分式方程eq\f(2,x－2)＋eq\f(mx,x2－4)＝eq\f(3,x＋2)无解，求m的值．解析：先把分式方程化为整式方程，再分两种情况讨论求解：一元一次方程无解与分式方程有增根．解：方程两边都乘以(x＋2)(x－2)得2(x＋2)＋mx＝3(x－2)，即(m－1)x＝－10.①当m－1＝0时，此方程无解，此时m＝1；②方程有增根，则x＝2或x＝－2，当x＝2时，代入(m－1)x＝－10得(m－1)×2＝－10，m＝－4；当x＝－2时，代入(m－1)x＝－10得(m－1)×(－2)＝－10，解得m＝6，∴m的值是1，－4或6.方法总结：分式方程无解与分式方程有增根所表达的意义是不一样的．分式方程有增根仅仅针对使最简公分母为0的数，分式方程无解不但包括使最简公分母为0的数，而且还包括分式方程化为整式方程后，使整式方程无解的数．三、板书设计分式方程及其解法1．分式方程的概念；2．分式方程的解法；3．产生增根的条件．这节课主要是通过对比有分数系数的整式方程的解法来学习分式方程的解法，从而归纳出分式方程的基本解题步骤．在教学过程中要着重讲解分式方程为什么要检验，要让学生理解增根的由来，从而牢记分式方程在解题后要进行检验，避免解题出错．在完成解题步骤归纳之后，通过例题与练习让学生在出错中找到正确的解法，让学生自己归纳理解解题时容易出错的地方，防止犯错．15.3分式方程第1课时分式方程及其解法一、教学目标1．使学生理解分式方程的意义．2．使学生掌握可化为一元一次方程的分式方程的一般解法．3．了解解分式方程解的检验方法．从而渗透数学的转化思想．二、教学重点和难点1．教学重点：可化为一元一次方程的分式方程的解法．2．教学难点：检验分式方程解的原因三、教学过程(一)复习及引入新课提问：什么叫方程？什么叫方程的解？(二)新课板书：分式方程的定义．分母里含有未知数的方程叫分式方程．以前学过的方程都是整式方程．练习：判断下列各式哪个是分式方程．解：两边同乘以最简公分母2(x+5)得2(x+1)=5+x2x+2=5+xx=3．检验：把x=3代入原方程左边=右边∴x=3是原方程的解．例2：一艘轮船在静水中的最大航速为20千米/时，它沿江以最大航速顺流航行100千米所用的时间，与以最大航速逆流航行60千米所用时间相等，江水的流速为多少？分析：设江水的流速为v千米/时，可列方程＝解方程得：v＝5检验：v＝5为方程的解。所以水流