人教版九年级数学上册全册教案4

人教版九年级数学上册全册教案4

直线和圆的位置关系（2）

教学目标

（一）教学知识点

1.能判定一条直线是否为圆的切线.

2.会过圆上一点画圆的切线.

3.会作三角形的内切圆.

（-）能力训练要求

1.通过判定二条直线是否为圆的切线，训练学生的推理判断能力.

2.会过圆上一点画圆的切线，训练学生的作图能力.

（三）情感与价值观要求

经历观察、实验、猜想、证明等数学活动过程，发展合情推理能力和初步演绎推理能力，能有条理

地、清晰地阐述自己的观点.

经历探究圆与直线的位置关系的过程，掌握图形的基础知识和基本技能，并能解决简单的问题.

教学重点

探索圆的切线的判定方法，并能运用.

作三角形内切圆的方法.

教学难点

探索圆的切线的判定方法.

教学方法

师生共同探索法.

教具准备

投影片三张

第一张：(记作§3.5.2A)

第二张：(记作§3.5.2B)

第三张：(记作§3.5.2C)

教学过程

I.创设问题情境，引入新课

［师］上节课我们学习了直线和圆的位置关系，圆的切线的性质，懂得了直线和圆有三种位置关系：

相离、相切、相交.判断直线和圆属于哪一种位置关系，可以从公共点的个数和圆心到直线的距离与半径

作比较两种方法进行判断，还掌握了圆的切线的性质、圆的切线垂直于过切点的直径.

由上可知，判断直线和圆相切的方法有两种，是否仅此两种呢？本节课我们就继续探索切线的判定

条件.

II.新课讲解

1.探索切线的判定条件

投影片(§3.5.2A)

如下图，是。。的直径，直线I经过点月，1与AB的夹角Na,当1绕点月旋转时，

(1)随着Na的变化，点。到2的距离d如何变化？直线工与。。的位置关系如何变化？

(2)当Na等于多少度时，点。到1的距离d等于半径r?此时，直线工与。。有怎样的位置关系？

为什么？

［师］大家可以先画一个圆，并画出直径AB,拿直尺当直线，让直尺绕着点A移动.观察Na发生变

化时，点0到3的距离d如何变化，然后互相交流意见.

［生］(1)如上图，直线z与AB的夹角为a,点。到1的距离为di，di<r,这时直线4与。。的

位置关系是相交；当把直线乙沿顺时针方向旋转到］位置时，Na由锐角变为直角，点。到］的距离为d,

d=r,这时直线2与的位置关系是相切；当把直线1再继续旋转到％位置时，Na由直角变为钝角，

点。到1的距离为d2，d2<r,这时直线1与的位置关系是相离.

［师］回答得非常精彩.通过旋转可知，随着Na由小变大，点。到2的距离d也由小变大，当Na

=90。时，d达到最大.此时d=r；之后当Na继续增大时，d逐渐变小.第(2)题就解决了.

［生］(2)当Na=90°时，点。到2的距离d等于半径.此时，直线2与。。的位置关系是相切，因

为从上一节课可知，当圆心。到直线2的距离d=r时，直线与G»O相切.

［师］从上面的分析中可知，当直线1与直径之间满足什么关系时，直线1就是。。的切线？请大家

互相交流.

［生］直线］垂直于直径AB,并经过直径的一端A点.

［师］很好.这就得出了判定圆的切线的又一种方法：经过直径的一端，并且垂直于这条直径的直线

是圆的切线.

2.做一做

已知。。上有一点A,过A作出。。的切线.

分析：根据刚讨论过的圆的切线的第三个判定条件可知：经过直径的一端，并且垂直于直径的直线

是圆的切线，而现在已知圆心。和圆上一点A,那么过A点的直径就可以作出来，再作直径的垂线即可，

请大家自己动手.

［生］如下图.

(1)连接0A.

(2)过点月作0A的垂线3工即为所求的切线.

3.如何作三角形的内切圆.

投影片(§3.5.2B)

如下图，从一块三角形材料中，能否剪下一个圆使其与各边都相切.

分析：假设符号条件的圆已作出，则它的圆心到三角形三边的距离相等.因此，圆心在这个三角形

三个角的平分线上，半径为圆心到三边的距离.

解：(1)作NB、NC的平分线BE和CF,交点为7(如下图).

(2)过Z作工。_L8C,垂足为。.

(3)以I为圆心，以7。为半径作。厂

。工就是所求的圆.

［师］由例题可知，BE和CF只有一个交点7,并且工到△月三边的距离相等，为什么？

［生］:］在NB的角平分线BE上，ID=IM,又〈Z在NC的平分线CF上，/.ID=IN,：.ID=

IM=IN.这是根据角平分线的性质定理得出的.

［师］因此和三角形三边都相切的圆可以作出一个，因为三角形三个内角的平分线交于一点，这点为

圆心，这点到三角形三边的距离相等，这个距离为半径，圆心和半径都确定的圆只有一个.并且只能作出

一个，这个圆叫做三角形的内切圆(inscribedcircleoftriangle),内切圆的圆心是三角形三条

角平分线的交点，叫做三角形的内心(incenter).

4.例题讲解

投影片(§3.5C)

如下图，月B是。。的直径，ZABT=45°,AT=AB.

求证：AT是。。的切线.

分析：AT经过直径的一端，因此只要证AT垂直于AB即可，而由己知条件可知AT=AB,所以NABT

=/ATB,又由/ABT=45°,所以NATB=45°.

由三角形内角和可证NTKB=90°,gpATLAB.

请大家自己写步骤.

［生］证明：'：AB=ATfZABT=45°.

：.ZATB=ZABT=45O.

:・/TAB=180°—/月BT—/ATB=90°.

：.AT.LAB,即AT是。。的切线.

III.课堂练习

随堂练习

IV.课时小结

本节课学习了以下内容：

1.探索切线的判定条件.

2.会经过圆上一点作圆的切线.

3.会作三角形的内切圆.

4.了解三角形的内切圆，三角形的内心概念.

V.课后作业

习题3.8

VI.活动与探究

已知月B是。。的直径，BC是。。的切线，切点为B,0C平行于弦月0.

求证：DC是。。的切线.

分析：要证DC是。。的切线，需证0C垂直于过切点的直径或半径，因此要作辅助线半径。0,利用

平行关系推出N3=N4,又因为。。=0B,0c为公共边，因此△C。。乌△CB。，所以/ODC=/OBC=90°.

证明：连结0D

V0A=OD,AZ1=Z2,

'：AD//0Cf，N1=N3,N2=N4.

，N3=N4.

VOD=OB,OC=OC,

/.△ODC^AOBC.

：.ZODC=ZOBC.

「BC是。。的切线，

.*.ZOBC=90°.

.*.ZODC=90°.

DC是。。的切线.

板书设计

§3.5.2直线和圆的位置关系（二）

一、1.探索切线的判定条件

2.做一做

3.如何作三角形的内切圆

4.例题讲解

二、课堂练习

三、课时小结

四、课后作业

圆和圆的位置关系

教学目标

（一）教学知识点

1.了解圆与圆之间的几种位置关系.

2.了解两圆外切、内切与两圆圆心距d、半径R和r的数量关系的联系.

（二）能力训练要求

1.经历探索两个圆之间位置关系的过程，训练学生的探索能力.

2.通过平移实验直观地探索圆和圆的位置关系，发展学生的识图能力和动手操作能力.

（三）情感与价值观要求

1.通过探索圆和圆的位置关系，体验数学活动充满着探索与创造，感受数学的严谨性以及数学结论

的确定性.

2.经历探究图形的位置关系，丰富对现实空间及图形的认识，发展形象思维.

教学重点

探索圆与圆之间的几种位置关系，了解两圆外切、内切与两圆圆心距d、半径R和r的数量关系的

联系.

教学难点

探索两个圆之间的位置关系，以及外切、内切时两圆圆心距d、半径R和r的数量关系的过程.

教学方法

教师讲解与学生合作交流探索法

教具准备

投影片三张

第一张：（记作§3.6A）

第二张：（记作§3.6B）

第三张：（记作§3.6C）

教学过程

I.创设问题情境，引入新课

［师］我们已经研究过点和圆的位置关系，分别为点在圆内、点在圆上、点在圆外三种；还探究了直

线和圆的位置关系，分别为相离、相切、相交.它们的位置关系都有三种.今天我们要学习的内容是圆和

圆的位置关系，那么结果是不是也是三种呢？没有调查就没有发言权.下面我们就来进行有关探讨.

II.新课讲解

一、想一想

［师］大家思考一下，在现实生活中你见过两个圆的哪些位置关系呢？

［生］如自行车的两个车轮间的位置关系；车轮轮胎的两个边界圆间的位置关系；用一只手拿住大小

两个圆环时两个圆环间的位置关系等.

［师］很好，现实生活中我们见过的有关两个圆的位置很多.下面我们就来讨论这些位置关系分别是

什么.

二、探索圆和圆的位置关系

在一张透明纸上作一个O。.再在另一张透明纸上作一个与。Q半径不等的0Q.把两张透明纸叠在

一起，固定。0,平移。Q，与。。2有几种位置关系？

［师］请大家先自己动手操作，总结出不同的位置关系，然后互相交流.

［生］我总结出共有五种位置关系，如下图：

［师］大家的归纳、总结能力很强，能说出五种位置关系中各自有什么特点吗？从公共点的个数和一

个圆上的点在另一个圆的内部还是外部来考虑.

［生］如图：(1)外离：两个圆没有公共点，并且每一个圆上的点都在另一个圆的外部；

(2)外切：两个圆有唯一公共点，除公共点外一个圆上的点都在另一个圆的外部；

(3)相交：两个圆有两个公共点，一个圆上的点有的在另一个圆的外部，有的在另一个圆的内部；

(4)内切：两个圆有一个公共点，除公共点外，0Q上的点在＜9。1的内部；

(5)内含：两个圆没有公共点，O0上的点都在O0的内部.

［师］总结得很出色，如果只从公共点的个数来考虑，上面的五种位置关系中有相同类型吗？

［生］外离和内含都没有公共点；外切和内切都有一个公共点；相交有两个公共点.

［师］因此只从公共点的个数来考虑，可分为相离、相切、相交三种.

经过大家的讨论我们可知:

投影片（§3.6A）

（1）如果从公共点的个数，和一个圆上的点在另一个圆的外部还是内部来考虑，两个圆的位置关系有

五种：外离、外切、相交、内切、内含.

（2）如果只从公共点的个数来考虑分三种：相离、相切、相交，并且相离，相切

三、例题讲解

投影片（§3.6B）

两个同样大小的肥皂泡黏在一起，其剖面如图所示（点。，。'是圆心），分隔两个肥皂泡的肥皂膜

PQ成一条直线，TP、NP分别为两圆的切线，求NTPN的大小.

分析：因为两个圆大小相同，所以半径。P=。'P=00',又TP、NP分别为两圆的切线，所以PT

LOP,PN-LorP,即NOPT=N。'PN=90。，所以NTPN等于360。减去NOPT+N。'PN+NOP。'即

可.

解：VOP=OO'=PO',

：./\POr。是一个等边三角形.

：.ZOPOr=60°.

又,；TP与NP分别为两圆的切线，

：・/TPO=/NPO'=90°.

.♦.NTPN=360°-2X90°-60°=120°.

四、想一想

如图（1）,与。Q外切，这个图是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？切点与对称轴

有什么位置关系？如果。Q与。Q内切呢？（如图（2））

［师］我们知道圆是轴对称图形，对称轴是任一直径所在的直线，两个圆是否也组成一个轴对称图形

呢？这就要看切点T是否在连接两个圆心的直线上，下面我们用反证法来证明.反证法的步骤有三步：第

一步是假设结论不成立；第二步是根据假设推出和已知条件或定理相矛盾的结论；第三步是证明假设错误,

则原来的结论成立.

证明：假设切点T不在OiQ上.

因为圆是轴对称图形，所以T关于。1。2的对称点W也是两圆的公共点，这与已知条件。。1和。。2

相切矛盾，因此假设不成立.

则T在。1。2上.

由此可知图（1）是轴对称图形,对称轴是两圆的连心线，切点与对称轴的位置关系是切点在对称轴上.

在图（2）中应有同样的结论.

通过上面的讨论，我们可以得出结论：两圆相内切或外切时，两圆的连心线一定经过切点，图（1）

和图（2）都是轴对称图形，对称轴是它们的连心线.

五、议一议

投影片（§3.6C）

设两圆的半径分别为H和r.

（1）当两圆外切时，两圆圆心之间的距离（简称圆心距）d与H和r具有怎样的关系？反之当d与H

和r满足这一关系时，这两个圆一定外切吗？

（2）当两圆内切时（R>r）,圆心距d与K和r具有怎样的关系？反之，当d与H和r满足这一关系

时，这两个圆一定内切吗？

［师］如图，请大家互相交流.

［生］在图（1）中，两圆相外切，切点是月.因为切点以在连心线00上，所以。1。2=。1月+。24=长

+r,即d=K+r；反之，当d=H+r时，说明圆心距等于两圆半径之和，0、A、。2在一条直线上，所

以。。1与。Q只有一个交点4即。Q.与。Q外切.

在图（2）中，。％与。Q相内切，切点是⑶因为切点B在连心线。10上，所以。1。2=。*一。22,

即d=R—r；反之，当4=区一_^时，圆心距等于两半径之差，即。1。2=。山一。28，说明。1、。2、B在一

条直线上，B既在。5上，又在。Q上，所以。。1与。。2内切.

［师］由此可知，当两圆相外切时，有d=R+r,反过来，当~=氏+_?7时，两圆相外切，即两圆相外

切d=R~\-r.

当两圆相内切时，有d=_R—r,反过来，当&=尺一r时，两圆相内切，即两圆相内切a=R-r.

III.课堂练习

随堂练习

IV.课时小结

本节课学习了如下内容：

1.探索圆和圆的五种位置关系；

2.讨论在两圆外切或内切情况下，图形的轴对称性及对称轴，以及切点和对称轴的位置关系；

3.探讨在两圆外切或内切时，圆心距d与H和r之间的关系.

V.课后作业

习题3.9

VI.活动与探究

已知图中各圆两两相切，。。的半径为2H,。0、。。2的半径为R，求。。3的半径.

分析：根据两圆相外切连心线的长为两半径之和，如果设。Q的半径为二，则。1。3=。2。3=尺+乙

连接。。3就有。。3，。1。2，所以。。2。3构成了直角三角形，利用勾股定理可求得。。3的半径工

解：连接。2。3、。。3，

.•・/。2。。3=90°,OO3=2R—rf

。2。3=氏+八。。2=*,

/.(R+r)2=(2R~r)2+^2.

：.r=R.

板书设计

§3.6圆和圆的位置关系

一、1.想一想2.探索圆和圆的位置关系

3.例题讲解4.想一想5.议一议

二、课堂练习

三、课时小结

四、课后作业

弧长及扇形的面积

教学目标

（一）教学知识点

1.经历探索弧长计算公式及扇形面积计算公式的过程；

2.了解弧长计算公式及扇形面积计算公式，并会应用公式解决问题.

（二）能力训练要求

1.经历探索弧长计算公式及扇形面积计算公式的过程，培养学生的探索能力.

2.了解弧长及扇形面积公式后，能用公式解决问题，训练学生的数学运用能力.

（三）情感与价值观要求

1.经历探索弧长及扇形面积计算公式，让学生体验教学活动充满着探索与创造，感受数学的严谨性

以及数学结论的确定性.

2.通过用弧长及扇形面积公式解决实际问题，让学生体验数学与人类生活的密切联系，激发学生学

习数学的兴趣，提高他们的学习积极性，同时提高大家的运用能力.

教学重点

1.经历探索弧长及扇形面积计算公式的过程.

2.了解弧长及扇形面积计算公式.

3.会用公式解决问题.

教学难点

1.探索弧长及扇形面积计算公式.

2.用公式解决实际问题.

教学方法

学生互相交流探索法

教具准备

2.投影片四张

第一张：（记作§3.7A）

第二张：（记作§3.7B）

第三张：（记作§3.7C）

第四张：（记作§3.7D）

教学过程

I.创设问题情境，引入新课

［师］在小学我们已经学习过有关圆的周长和面积公式，弧是圆周的一部分，扇形是圆的二部分，那

么弧长与扇形面积应怎样计算？它们与圆的周长、圆的面积之间有怎样的关系呢？本节课我们将进行探索.

II.新课讲解

一、复习

1.圆的周长如何计算？

2.圆的面积如何计算？

3.圆的圆心角是多少度？

［生］若圆的半径为r,则周长】=2nr,面积5=171,圆的圆心角是360。.

二、探索弧长的计算公式

投影片（§3.7A）

如图，某传送带的一个转动轮的半径为10cm.

(1)转动轮转一周，传送带上的物品以被传送多少厘米？

(2)转动轮转1。，传送带上的物品A被传送多少厘米？

(3)转动轮转口。，传送带上的物品月被传送多少厘米？

［师］分析：转动轮转一周，传送带上的物品应被传送一个圆的周长；因为圆的周长对应360。的圆心

角，所以转动轮转1°,传送带上的物品月被传送圆周长的；转动轮转力。,传送带上的物品以被传送转1。

时传送距离的八倍.

［生］解：(1)转动轮转一周，传送带上的物品A被传送2i7xl0=20ircm；

(2)转动轮转1。，传送带上的物品A被传送cm；

(3)转动轮转力。，传送带上的物品月被传送nx=cm.

［师］根据上面的计算，你能猜想出在半径为R的圆中，口。的圆心角所对的弧长的计算公式吗？请大

家互相交流.

［生］根据刚才的讨论可知，360°的圆心角对应圆周长那么1。的圆心角对应的弧长为，打。的

圆心角对应的弧长应为1。的圆心角对应的弧长的八倍，即LX.

［师］表述得非常棒.

在半径为R的圆中，的圆心角所对的弧长(arclength)的计算公式为：

1=.

下面我们看弧长公式的运用.

三、例题讲解

投影片(§3.7B)

制作弯形管道时，需要先按中心线计算、'展直长度〃再下料，试计算下图中管道的展直长度，即的长

(结果精确到0.1mm).

分析：要求管道的展直长度，即求的长，根根弧长公式工=可求得的长，其中。为圆心角，R为半

径.

解：R=40mm,n=110.

的长=nR=X40IT«76.8mm.

因此，管道的展直长度约为76.8mm.

四、想一想

投影片(§3.7C)

在一块空旷的草地上有一根柱子，柱子上拴着一条长3m的绳子，绳子的另一端拴着一只狗.

(1)这只狗的最大活动区域有多大？

(2)如果这只狗只能绕柱子转过口。角，那么它的最大活动区域有多大？

［师］请大家互相交流.

［生］(1)如图(1),这只狗的最大活动区域是圆的面积，即

(2)如图(2),狗的活动区域是扇形，扇形是圆的一部分，360°的圆心角对应的圆面积，1°的圆心

角对应圆面积的,即x9n=,八。的圆心角对应的圆面积为nx=.

［师］请大家根据刚才的例题归纳总结扇形的面积公式.

［生］如果圆的半径为H,则圆的面积为口箫，J的圆心角对应的扇形面积为，口。的圆心角对应的扇

形面积为因此扇形面积的计算公式为S扇形n评,其中H为扇形的半径，力为圆心角.

五、弧长与扇形面积的关系

［师］我们探讨了弧长和扇形面积的公式，在半径为H的圆中，八°的圆心角所对的弧长的计算公式为

1=nR,八。的圆心角的扇形面积公式为S扇形=时2,在这两个公式中，弧长和扇形面积都和圆心角m半

径R有关系，因此2和S之间也有一定的关系，你能猜得出吗？请大家互相交流.

［生］nRfS扇形=HR?,

••HR2=R,nR.••S扇形=1R.

六、扇形面积的应用

投影片（§3.7D）

扇形的半径为12cm,N808=120°,求的长（结果精确到0.1cm）和扇形的面积（结果精

确到0.1cm2）

分析：要求弧长和扇形面积，根据公式需要知道半径R和圆心角力即可，本题中这些条件已经告诉

了，因此这个问题就解决了.

解：的长=iix12y25.1cm.

S扇形=ITX122;«150.7cm2.

因此，的长约为25.1cm,扇形月OB的面积约为150.7cm2.

III.课堂练习

随堂练习

IV.课时小结

本节课学习了如下内容：

1.探索弧长的计算公式工=nR并运用公式进行计算;

2.探索扇形的面积公式S=17出，并运用公式进行计算;

3.探索弧长工及扇形的面积S之间的关系，并能已知一方求另一方.

V.课后作业

习题3.10

VI.活动与探究

如图，两个同心圆被两条半径截得的的长为6口cm,的长为1Oncm,又AC=12cm,求阴影部分

的面积.

分析：要求阴影部分的面积，需求扇形C。。的面积与扇形月0B的面积之差.根据扇形面积S=1R

工已知，则需要求两个半径0C与。月，因为0C=。月+AC,月C已知，所以只要能求出。月即可.

解：设。月=H,0C=R+12,ZO=n°f根据已知条件有：

得.

・、3(H+12)=5H,・・・K=18.

OC=18+12=30.

••S=S扇形COD-S扇形AOB=x10irx30—x6nx18—96ncm2.

所以阴影部分的面积为96ncm2.

板书设计

§3.7弧长及扇形的面积

一、1.复习圆的周长和面积计算公式；

2.探索弧长的计算公式;

3.例题讲解;

4.想一想；

5.弧长及扇形面积的关系;

6.扇形面积的应用.

二、课堂练习

三、课时小结

四、课后作业

圆锥的侧面积

教学目标

（一）教学知识点

1.经历探索圆锥侧面积计算公式的过程.

2.了解圆锥的侧面积计算公式，并会应用公式解决问题.

（二）能力训练要求

1.经历探索圆锥侧面积计算公式的过程，发展学生的实践探索能力.

2.了解圆锥的侧面积计算公式后，能用公式进行计算，训练学生的数学应用能力.

（三）情感与价值观要求

1.让学生先观察实物，再想象结果，最后经过实践得出结论，通过这一系列活动，培养学生的观察、

想象、实践能力，同时训练他们的语言表达能力，使他们获得学习数学的经验，感受成功的体验.

2.通过运用公式解决实际问题，让学生懂得数学与人类生活的密切联系，激发他们学习数学的兴趣,

克服困难的决心，更好地服务于实际.

教学重点

1.经历探索圆锥侧面积计算公式的过程.

2.了解圆锥的侧面积计算公式，并会应用公式解决问题.

教学难点

经历探索圆锥侧面积计算公式.

教学方法

观察—想象—实践—总结法

教具准备

一个圆锥模型（纸做）

投影片两张

第一张：（记作§3.8A）

第二张：（记作§3.8B）

教学过程

I.创设问题情境，引入新课

［师］大家见过圆锥吗？你能举出实例吗？

［主］见过，如漏斗、蒙古包.

［师］你们知道圆锥的表面是由哪些面构成的吗？请大家互相交流.

［生］圆锥的表面是由一个圆面和一个曲面围成的.

［师］圆锥的曲面展开图是什么形状呢？应怎样计算它的面积呢？本节课我们将解决这些问题.

III.新课讲解

T.、探索圆锥的侧面展开图的形状

［师］（向学生展示圆锥模型）请大家先观察模型，再展开想象，讨论圆锥的侧面展开图是什么形状.

［生］圆锥的侧面展开图是扇形.

［师］能说说理由吗？

［生甲］因为数学知识是一环扣一环的，后面的知识是在前面知识的基础上学习的.上节课的内容是

弧长及扇形面积，本节课的内容是圆锥的侧面积，而弧长不是面积，所以我猜想圆锥的侧面展开图应该是

扇形.

［师］这位同学用的虽然是猜想，但也是有一定的道理的，并不是凭空瞎想，还有其他理由吗？

［生乙］我是自己实践得出结论的，我拿一个扇形的纸片卷起来，就得到了一个圆锥模型.

［师］很好，究竟大家的猜想是否正确呢？下面我就给大家做个演示（把圆锥沿一母线剪开），请大家

观察侧面展开图是什么形状的？

［生］是扇形.

［师］大家的猜想非常正确，既然已经知道侧面展开图是扇形，那么根据上节课的扇形面积公式就能

计算出圆锥的侧面积，由于我们不能把所有圆锥都剖开，在展开图中的扇形的半径和圆心角与不展开图形

中的哪些因素有关呢？这将是我们进一步研究的对象.

二、探索圆锥的侧面积公式

［师］圆锥的侧面展开图是一个扇形，如图，设圆锥的母线（generatingline）长为2,底面圆的

半径为r,那么这个圆锥的侧面展开图中扇形的半径即为母线长1,扇形的弧长即为底面圆的周长2nr,

根据扇形面积公式可知5=-2nr-l=nrl.因此圆锥的侧面积为SM=nr_Z.

圆锥的侧面积与底面积之和称为圆锥的全面积（surfacearea）,全面积为S至=nr?+nrl.

三、利用圆锥的侧面积公式进行计算.

投影片（§3.8A）

圣诞节将近，某家商店正在制作圣诞节的圆锥形纸帽.已知纸帽的底面周长为58cm,高为20cm,

要制作20顶这样的纸帽至少要用多少平方厘米的纸？（结果精确到0.1cm）2

分析：根据题意，要求纸帽的面积，即求圆锥的侧面积.现在已知底面圆的周长，从中可求出底面

圆的半径，从而可求出扇形的弧长.在高匕、底面圆的半径r、母线1组成的直角三角形中，根据勾股定

理求出母线1,代入SH=nrl中即可.

解：设纸帽的底面半径为rcm,母线长为1cm,则r=

1=士22.03cm,

2

S圆锥侧=X58X22.03=638.87cm.

638.87x20=12777.4cm2.

所以，至少需要12777.4cm2的纸.

投影片（§3.8B）

如图，已知的斜边AB=13cm,一条直角边AC=5cm,以直线月B为轴旋转一周得一个几

何体.求这个几何体的表面积.

分析：首先应了解这个几何体的形状是上下两个圆锥，共用一个底面，表面积即为两个圆锥的侧面

积之和.根据S侧=HR?或5侧=口直可知，用第二个公式比较好求，但是得求出底面圆的半径，因为的

垂直于底面圆，在中，由。C、AB=BC.AC可求出r,问题就解决了.

解：在Rt:△月BC中，AB=13cm,AC=5cm,

：.BC=12cm.

OC-AB=BC

r=OC=.

.•・5表=77_^（8。+4。）=!7、x（12+5）

=ncm2.

III.课堂练习

随堂练习

IV.课时小结

本节课学习了如下内容：

探索圆锥的侧面展开图的形状，以及面积公式，并能用公式进行计算.

V.课后作业

习题3.11

VI.活动与探究

探索圆柱的侧面展开图

在生活中，我们常常遇到圆柱形的物体，如油桶、铅笔、圆形柱子等，在小学我们已知圆柱是由两

个圆的底面和一个侧面围成的，底面是两个等圆，侧面是一个曲面，两个底面之间的距离是圆柱的高.

圆柱也可以看作是由一个矩形旋转得到的，旋转轴叫做圆柱的轴，圆柱侧面上平行于轴的线段都叫

做圆柱的母线.容易看出，圆柱的轴通过上、下底面的圆心，圆柱的母线长都相等，并等于圆柱的高，圆

柱的两个底面是平行的.

如图，把圆柱的侧面沿它的一条母线剪开，展在T个平面上，侧面的展开图是矩形，这个矩形的一

边长等于圆柱的高，即圆柱的母线长，另一边长是底面圆的周长，所以圆柱的侧面积等于底面圆的周长乘

以圆柱的高.

［例1］如图（1）,把一个圆柱形木块沿它的轴剖开，得矩形ABC。.已知AD=18cm,AB=30cm,求

这个圆柱形木块的表面积（精确到1cm2）.

解：如图（2）,A。是圆柱底面的直径，AB是圆柱的母线，设圆柱的表面积为S,则5=25国+$加

：.S=2n（）2+2nxx30=162n+540n«2204cm2.

所以这个圆柱形木块的表面积约为2204cm2.

板书设计

§3.8圆锥的侧面积

1.探索圆锥的侧面展开图的形状；

2.探索圆锥的侧面积公式；

3.利用圆锥的侧面积公式进行计算.

二、课堂练习

三、课时小结

四、课后作业

回顾与思考

教学目标

（一）教学知识点

1.掌握本章的知识结构图.

2.探索圆及其相关结论.

3.掌握并理解垂径定理.

4.认识圆心角、弧、弦之间相等关系的定理.

5.掌握圆心角和圆周角的关系定理.

（二）能力训练要求

1.通过探索圆及其相关结论的过程，发展学生的数学思考能力.

2.用折叠、旋转的方法探索圆的对称性，以及圆心角、弧、弦之间关系的定理，发展学生的动手操

作能力.

3.用推理证明的方法研究圆周角和圆心角的关系，发展学生的推理能力.

4.让学生自己总结交流所学内容，发展学生的语言表达能力和合作交流能力.

（三）情感与价值观要求

通过学生自己归纳总结本章内容，使他们在动手操作方面，探索研究方面，语言表达方面，分类讨

论、归纳等方面都有所发展.

教学重点

掌握圆的定义，圆的对称性，垂径定理，圆心角、弧、弦之间的关系，圆心角和圆周角的关系.对

这些内容不仅仅是知道结论，要注重它们的推导过程和运用.

教学难点

上面这些内容的推导及应用.

教学方法

教师引导学生自己归纳总结法.

教具准备

投影片三张：

第一张：（记作A）

第二张：（记作。

第三张：（记作C）

教学过程

I.回顾本章内容

［师］本章的内容已全部学完，大家能总结一下我们都学过哪些内容吗？

［生］首先，我们学习了圆的定义；知道圆既是轴对称图形，又是中心对称图形，并且有旋转不变性

的特点；利用轴对称变换的方法探索出垂径定理及逆定理；用旋转变换的方法探索圆心角、弧、弦之间相

等关系的定理；用推理证明的方法研究了圆心角和圆周角的关系；又研究了确定圆的条件；点和圆、直线

和圆、圆和圆的位置关系；圆的切线的性质和判断；探究了圆弧长和扇形面积公式，圆锥的侧面积.

［师］很好，大家对所学知识掌握得不错.本章的内容可归纳为三大部分，第一部分由圆引出了圆的

概念、对称性，圆周角与圆心角的关系，弧长、扇形面积，圆锥的侧面积，在对称性方面又学习了垂径定

理，圆心角、孤、弦之间的关系定理；第二部分讨论直线与圆的位置关系，其中包括切线的性质与判定，

切线的作图；第三部分是圆和圆的位置关系.这三部分构成了全章内容，结构如下：（投影片A）

II.具体内容巩固

［师］上面我们大致梳理了一下本章内容，现在我们具体地进行回顾.

一、圆的有关概念及性质

［生］圆是平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形.定点为圆心，定长为半径.

圆既是轴对称图形，又是中心对称图形，对称轴是任意一条过圆心的直线，对称中心是圆心，圆还

具有旋转不变性.

［师］圆的这些性质在日常生活中有哪些应用呢？你能举出例子吗？

［生］车轮做成圆形的就是利用了圆的旋转不变性.车轮在平坦的地面上行驶时，它与地面线相切，

当它向前滚动时，轮子的中心与地面的距离总是不变的，这个距离就是半径.把车厢装在过轮子中心的车

轴上，则车辆在平坦的公路上行驶时，人坐在车厢里会感觉非常平稳.如果车轮不是圆形，坐在车上的人

会觉得非常颠.

二、垂径定理及其逆定理

［生］垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧.

逆定理：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧.

［师］这两个定理大家一定要弄清楚、不能混淆，所以我们应先对他们进行区分.每个定理都是一个

命题，每个命题都有条件和结论.在垂径定理中，条件是：一条直径垂直于一条弦，结论是：这条直径平

分这条弦，且平分弦所对的弧（有两对弧相等）.在逆定理中，条件是：一条直径平分一条弦（不是直径），

结论是：这条直径垂直于这条弦，并且平分弦所对的弧（也有两对弧相等）.从上面的分析可知，垂径定理

中的条件是逆定理中的结论，垂径定理中的一个结论是逆定理中的条件，在具体的运用中，是根据已知条

件提供的信息来决定用垂径定理还是其逆定理，若已知直径垂直于弦，则用垂径定理；若已知直径平分弦,

则用逆定理.下面我们就用一些具体例子来区别它们.

（投影片B）

1.如图（1），在。。中，AB.以。为互相垂直的两条相等的弦，。。_1月3OE_LAC,D、E为垂足，

则四边形AOOE是正方形吗？请说明理由.

2.如图（2）,在。。中，半径为50mm,有长50mm的弦AB,C为AB的中点，则。C垂直于月B吗？

。。的长度是多少？

［师］在上面的两个题中，大家能分析一下应该用垂径定理呢，还是用逆定理呢？

［生］在第1题中，OD、0E都是过圆心的，又。O_LAB、OE±ACf所以已知条件是直径垂直于弦，

应用垂径定理；在第2题中，C是弦AB的中点，因此已知条件是平分弦（不是直径）的直径，应用逆定理.

［师］很好，在家能用这两个定理完成这两个题吗？

［生］1.解：vOD-LAB,OE±AC,AB±AC,

・•・四边形AOOE是矩形.

'：AC=AB,：.AE=AD.

・•・四边形ADOE是正方形.

2.解：TC为月B的中点，

OC±AB,

在月C中，AC=AB=25mm,OA=50mm.

・•・由勾股定理得。。=(mm).

三、圆心角、弧、弦之间关系定理

［师］大家先回忆一下本部分内容.

［生］在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等.

在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们

所对应的其余各组量都分别相等.

［师］下面我们进行有关练习

(投影片C)

1.如图在。。中，弦AB所对的劣弧为圆的，圆的半径为2cm,求AB的长.

［生］解：由题意可知的度数为120。，

：.ZAOB=120°.

作0cLLAB,垂足为c,贝ij

NAOC=60°,AC=BC.

在RSABC中，

月C=。月sin60°=2xsin60°=2x.

：.AB=2AC=2(cm).

四、圆心角与圆周角的关系

［生］一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.

在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等.

直径所对的圆周角是直角，90。的圆周角所对的弦是直径.

五、弧长，扇形面积，圆锥的侧面积和全面积

［师］我们经过探索，归纳出弧长、扇形面积、圆锥的侧面积公式，大家不仅要牢记公式，而且要把

它的由来表述清楚，由于时间关系，我们在这里不推导公式的由来，只是让学生掌握公式并能运用.

［生］弧长公式工=,17是圆心角，R为半径.

扇形面积公式S=或S=2为圆心角，R为扇形的半径，1为扇形弧长.

圆锥的侧面积S侧=nrL其中1为圆锥的母线长，r为底面圆的半径.

S全=5侧+$底=nrl+nF.

III.课时小结

本节课我们复习巩固了圆的概念及对称性；垂径定理及其逆定理；圆心角、弧、弦、弦心距之间的

关系；圆心角和圆周角的关系；弧长、扇形面积、圆锥的侧面积和全面积.

IV.课后作业

复习题A组

V.活动与深究

弓形面积

如图，把扇形。刖汨的面积以及△。月B的面积计算出来，就可以得到弓形加汨的面积.如图（1）中,

弓形劭汨的面积小于半圆的面积，这时S弓形=S扇形-S△血；图（2）中，弓形加汨的面积大于半圆的面积,

这时S弓形=S扇形+SA。砧；图（3）中，弓形加汨的面积等于半圆的面积，这时S弓形=SEI.

例题：水平放着的圆柱形排水管的截面半径是0.6m,其中水面高是0.3m,求截面上有水的弓形的

面积（精确到O.Olm?）.

解：如图，在。。中，连接。月、OB,作弦月B的垂直平分线，垂足为O,交于点C.

•.•。月=0.6,0c=0.3,

AOD=0.6—0.3=0.3,NAOO=60°,AD=0.3.

•S弓形ACB-S扇形OACB-SZXOAB，

22

二•S扇形OACB=>0.6—0.12rr（m）f

=2

SAOABAB•OD=X0.6X0.3=0.09（m）

=2

S弓形ACB0-12n~0.09.22（m）.

板书设计

回顾与思考

一、1.圆的有关概念及性质；2.垂径定理及其逆定理；

3.圆心角、弧、弦之间关系定理；4.圆心角与圆周角的关系；

5.弧长、扇形面积、圆锥的侧面积和全面积.二、课时小结

三、课后作业

回顾与思考（2）

教学目标

（一）教学知识点

1.了解点与圆，直线与圆以及圆和圆的位置关系.

2.了解切线的概念，切线的性质及判定.

3.会过圆上一点画圆的切线.

（二）能力训练要求

1.通过平移、旋转等方式，认识直线与圆、圆与圆的位置关系，使学生明确图形在运动变化中的特

点和规律，进一步发展学生的推理能力.

2.通过探索弧长、扇形的面积、圆锥的侧面积和全面积的计算公式，发展学生的探索能力.

3.通过画圆的切线，训练学生的作图能力.

4.通过全章内容的归纳总结，训练学生各方面的能力.

（三）情感与价值观要求

1.通过探索有关公式，让学生懂得数学活动充满探索与创造，感受数学的严谨性以及数学结论的确

定性.

2.经历观察、猜想、证明等数学活动过程，发展合情推理能力和初步的演绎推理能力，能有条理地、

清晰地阐述自己的观点.

教学重点

1.探索并了解点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系.

2.探索切线的性质；能判断一条直线是否为圆的切线；会过圆上一点画圆的切线.

教学难点

探索各种位置关系及切线的性质.

教学方法

学生自己交流总结法.

教具准备

投影片五张：

第一张：（记作A）

第二张：（记作B）

第三张：（记作C）

第四张：（记作。）

第五张：（记作E）

教学过程

I.回顾本章内容

［师］上节课我们对本章的所有知识进行了回顾，并讨论了这些知识间的关系，绘制了本章知识结构

图，还对一部分内容进行了回顾，本节课继续进行有关知识的巩固.

II.具体内容巩固

一、确定圆的条件

［师］作圆的问题实质上就是圆心和半径的问题，确定了圆心和半径，圆就随之确定.我们在探索这

一问题时，与作直线类比，研究了经过一个点、两个点、三个点可以作几个圆，圆心的分布和半径的大小

有什么特点.下面请大家自己总结.

［生］经过一个点可以作无数个圆.因为以这个点以外的任意一点为圆心，以这两点所连的线段为半

径就可以作一个圆.由于圆心是任意的，因此这样的圆有无数个.

经过两点也可以作无数个圆.

设这两点为月、B,经过小B两点的圆，其圆心到A、B两点的距离一定相等，所以圆心应在线段

的垂直平分线上，在月B的垂直平分线上任意取一点为圆心，这一点到月或B的距离为半径都可以作一

个经过月、8两点的圆.因此这样的圆也有无数个.

经过在同一直线上的三点不能作圆.

经过不在同一直线上的三点只能作一个圆.要作一个圆经过月、B、C三点，就要确定一个点作为圆

心，使它到三点A、B、C的距离相等，到月、B两点距离相等的点在线段月B的垂直平分线上，到氏C两

点距离相等的点应在线段B、C的垂直平分线上，那么同时满足到月、B、C三点距离相等的点应既在AB

的垂直平分线上，又在的垂直平分线上，既两条直线的交点，因为交点只有一个，即确定了圆心.这

个交点到月点的距离为半径，所以这样的圆只能作出一个.

［师］经过不在同一条直线上的四个点月、B、C、。能确定一个圆吗？

［生］不一定，过不在同一条直线上的三点，我们可以确定一个圆，如果另外一个点到圆心的距离等

于半径，则说明四个点在同一个圆上，如果另外一个点到圆心的距离不等于半径，说明四个点不在同一个

圆上.

例题讲解（投影片A）

矩形的四个顶点在以对角线的交点为圆心的同一个圆上吗？为什么？

［师］请大家互相交流.

［生］解：如图，矩形ABCO的对角线月C和B0相交于点。.

•・•四边形月BC0为矩形，

.\OA=OC=OB=OD.

・•・△、B、C、。四点到定点。的距离都等于矩形对角线的一半.

B、C、。四点在以。为圆心，0A为半径的圆上.

二、三种位置关系

［师］我们在本章学习了三种位置关系，即点和圆的位置关系；直线和圆的位置关系；圆和圆的位置

关系.下面我们逐一来回顾.

L点和圆的位置关系

［生］点和圆的位置关系有三种，即点在圆外；点在圆上；点在圆内.判断一个点是在圆的什么部位,

就是看这一点与圆心的距离和半径的大小关系，如果这个距离大于半径，说明这个点在圆外；如果这个距

离等于半径，说明这个点在圆上；如果这个距离小于半径，说明这个点在圆内.

［师］总结得不错，下面看具体的例子.

（投影片B）

1.。。的半径r=5cm,圆心。到直线工的距离d=0O=3m.在直线I上有P、Q、R三点,且有

PD=4cm,QD>4cm,RDV4cm,P、Q、H三点对于。。的位置各是怎样的？

2.菱形各边的中点在同一个圆上吗？

分析：要判断某些点是否在圆上，只要看这些点到圆心的距离是否等于半径.

［生］1.解：如图（1）,在中，

V0D=3fPO=4,

0P==5=r.

所以点P在圆上.

同理可知。R=<5,0Q=>5.

所以点K在圆内，点Q在圆外.

2.如图（2）,菱形ABC0中，对角线AC和相交于点O,E、F、G、H分别是各边的中点.因为

菱形的对角线互相垂直，所以△月OB、△BOC、△CO。、△OOA都是直角三角形，又由于E、F、G、H分别

是各直角三角形斜边上的中点，所以OE、OF,OG、OH分别是各直角三角形斜边上的中线，因此有0E=AB,

0F=BC,0G=CD,0H=AD,ffifAB=BC=CD=DA.所以OE=OF=OG=OH.即各中点E、F、G、H至5J

对角线的交点。的距离相等，所以菱形各边的中点在同一个圆上.

2.直线和圆的位置关系

［生］直线和圆的位置关系也有三种，即相离、相切、相交，当直线和圆有两个公共点时，此时直线

与圆相交；当直线和圆有且只有一个公共点时，此时直线和圆相切；当直线和圆没有公共点时，此时直线

和圆相离.

［师］总结得不错，判断一条直线和圆的位置关系有哪些方法呢？

［生］有两种方法，一种就是从公共点的个数来判断，上面已知讨论过了，另一种是比较圆心到直线

的距离d与半径的大小.

当dVr时，直线和圆相交；

当d=r时，直线和圆相切；

当时，直线和圆相离.

［师］很好，下面我们做一个练习.

（投影片C）

如图，点A的坐标是（一4,3）,以点A为圆心，4为半径作圆，则。A与x轴、y轴、原点有怎样

的位置关系？

分析：因为x轴、y轴是直线，所以要判断OA与x轴、y轴的位置关系，即是判断直线与圆的位置

关系，根据条件需用圆心A到直线的距离d与半径r比较.。是点，OA与原点即是求点和圆的位置关系，

通过求0