2022高考数学一轮复习-推理与证明、线性规划习题含答案

二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题

授课提示：对应学生用书第333页

[A组基础保分练]

1.（2021•临汾模拟）不等式y（x+y—2）NO在平面直角坐标系中表示的区域（用阴影部分

ABCD

仪20,.[yWO,.

解析：由y（x+y—2）20,得彳，、或《।,所以不等式（x+y—2）20在

[x+y—2N0[x+y—2W0,

平面直角坐标系中表示的区域是C项.

答案：C

[2x+3y—3W0,

2.设x,y满足约束条件3y+320,则z=5+y的最大值是（）

A.-15B.-9

C.1D.9

解析：作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，•；z=5+y,%+z,作出

直线）二一5，平移该直线，当直线过A（0,1）时，Z取得最大值，Zmax=1.

答案：C

|x+y2l,

3.（2021.西安模拟）不等式组-1的解集记为若任意（羽y）金。，则（）

在一2yW4

A.x+2y2—2B.x+2y22

C.x—2y2一2D.x—2y22

解析：作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示.设z=x+2y,作出直线/（）:x+2y

=0,易知z的最小值为0,无最大值,所以根据题意知，任意（x,y）ED,x+2y20恒成立，

故x+2y2—2恒成立.

1

\

答案：A

x21,

4.（2021•青岛模拟）若点（x,kx—2）满足＜x一/0,则A的取值范围为（）

5+户4,

A.（-8,-1]U[2,+8）B.[2,5]

C.（一8,-7JU[2,+8）D.[-7,2]

x=\,x=l,

解析：作出可行域如图中阴影部分所示.联立解得彳所以点尸的坐标为（1,

[x+y=4,b=3,

fx—y=0,x=2,

3）.联立｛,''解得＜'所以点N的坐标为（2,2）.因为直线y=2恒过点（0,

U+y=4,3=2,

2—（—2）3—（—2）

—2）,所以ki=2（）=2,k[=]（）=5,观蔡图像可知，当直线y=kx-2在直

线》=始一2和直线），=3：—2之间（包括与两条直线重合）时，才会满足题意，因此可得2WAW5.

_J____

答案：B

5.（2021•重庆一中月考）设点P（x,y）是图中阴影部分表示的平行四边形区域（含边界）

内一点，则z=x—2y的最小值为（）

\\

A.-6B.-4

C.—2D.—1

解析：如图，作出直线x=2y,并平移，易知平移后的直线经过点（2,4）时，z=x-2y取得

最小值，将（2,4）代入z=x—2y得z=-6.

2

y

答案：A

x—y+lWO,

6.变量x,y满足约束条件则（x-2）2十V的最小值为（)

x>-1,

A.B.y[5

9

C.5D.5

解析：不等式组

x—y+1WO,

<yWl,表示的平面区域如图中的阴影部分所示.

.x>—1,

设P（x,y）是该区域内的任意一点，则（x—2）?+y2的几何意义是点p（戈，），）与点M（2,

0）距离的平方.由图可知，当点尸的坐标为（0,1）时，|PM最小，所以IPM2严方=小,

所以|PM|225,即（了-2）2+/^5.

答案：D

7.设x,y满足约束条件卜+1NO,则目标函数2=言的取值范围是.

了一yW1,

解析：画出约束条件所表示的平面区域，如图阴影部分所示.将目标函数Z=M看成是区域

2

内的点（x,y）与定点D（2,0）连线的斜率.由图可知，斜率最大为kBD=y斜率最小为

2v「221

kAD=—3,所以目标函数z=：与的取值范围为一]，3,

3

22~

答案:亨3

x，0,

则的取值范围是

8.已知x,y满足条件仃x：:：3

[3x+4yW12,

x+2y+3y+i）'+l丰-

解析：画出不等式组表示的可行域，如图中阴影部分所示,=1+2X干表示

x+lx+l'

可行域中的点（x,>>）与点尸（-1,-1）连线的斜率.由图可知，当x=O,），=3时，广?：3

取得最大值，且产2,31因为点尸（一］,-0在直线y=x上，所以当点（x,>'）

=9

\x十1/max

在线段AO上时，取得最小值,且所以的取值范围是［3,

9］.

答案：［3,9］

x+yNl,

9.若x,y满足约束条件,x—y/—1，

、2x—yW2.

（1）求目标函数z=%—y+口的最值；

（2）若目标函数z=ox+2y仅在点（1,0）处取得最小值，求a的取值范围.

解析：（1）作出可行域如图阴影部分所示，可求得A（3,4）,B（0,1）,C（1,0）.

平移初始直线5-），=（）,当其过A（3,4）时，z取最小值-2,过C（1,0）时，z取最大值

1.

4

...Z的最大值为1,最小值为一2.

(2)z=ax+2y仅在点C(1,0)处取得最小值，由图像可知一1<一?<2,解得一4<a<2.

故所求〃的取值范围是(一4,2).

[B组能力提升练]

3x—y—320,

L(2021♦漳州模拟)若实数居y满足约束条件,一则i+y()

2y+2W0,

A.有最小值无最大值

B.有最大值无最小值

C.既有最小值也有最大值

D.既无最小值也无最大值

3x—y—320,y-3=0,

解析：如图中阴影部分所示即为实数x,y满足'的可行域，由\得

“[x-2y+2^Q[x-2y+2=0

89

由图易得当」=予y=?时,

17

x+y有最小值与，没有最大值.

答案：A

x+y-320,

2.若平面区域｛2r-y—3W0,夹在两条斜率为1的平行直线之间，则这两条平行直线间的距

3—2》+320

离的最小值是()

5

A妪

A・5B.邓

r31/2

.2D.小

解析：作出平面区域如图所示:

，当直线y=x+Z＞分别经过A,8时，平行线间的距离最小.

x+y-3=0,

联立方程组，

2x-y-3=0,

解得4(2,1),

%+厂3=0,

联立方程组•

x-2y+3=0f

解得8(1,2).

两条平行线分别为y=x—1,y=x+1,即x-y-1=0,x-y+1=0,

平行线间的距离为d」一苗，=△

答案：D

卜20,

3.不等式组卜+yW3,表示的平面区域为0,直线y=fcc-1与区域。有公共点，则实数左

ly^x+]

的取值范围为()

A.(0,3]B.[-h1]

C.(一8,3]D.[3,+8)

解析：直线丁=无一1过定点M(0,—1),由图可知，当直线y="—1经过直线y=x+l与

2—(―1)

直线x+y=3的交点C(1,2)时，女最小，此时址'M=—1行—=3,因此攵23,即上£[3,

+°°).

答案：D

6

x^a,

）y^x,Q<1）,且z=2x+y的最大值是最小值的4倍，则a的值是（）

1

A-

4

解析：在直角坐标系中作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分（包括边界）所示，当

目标函数z=2x+y经过可行域中的点B（I,1）时有最大值3,当目标函数z=2x+y经过可

行域中的点A（a,a~）时有最小值3a,由3=4X3a,得

答案：B

3x+2y—6W0,

5.已知实数冗，y满足上一3厂2W0,则z=|x—y+l|的取值范围是.

4%—y+3'O,

解析：作出可行域如图中阴影部分所示，作出直线x-y+l=O,因为z=|x-y+l|=/

义"京~"表示点（“'>）到直线x-y+l=O的距离的也倍，所以结合图像易知0WzW3.

答案：[0,3J

四+|旧2,

6.（2021•南昌高三调研）若关于x,y的不等式组，、表示的平面区域是一个三

[y+2W左（x+1）

角形，则”的取值范围是.

解析：不等式|川+匹|<2表示的平面区域为如图所示的正方形ABC。及其内部.

7

直线），+2=kG+1）过定点P（-1,-2）,斜率为Z,

要使平面区域表示一个三角形，

则kpD<k&kpA或k<kpc.

答案：（-8,-2）u（o,|

7.某共享汽车品牌在某市投放1500辆宝马轿车，为人们的出行提供了一种新的交通方式.该

市的市民小王喜欢自驾游，他在该市通过网络组织了一场“周日租车游”活动，招募了30名

自驾游爱好者租车旅游，他们计划租用A，8两种型号的宝马轿车，已知A,8两种型号的宝

马轿车每辆的载客量都是5人，每天的租金分别为600元/辆和I000元/辆，根据要求租车总

数不超过12辆且不少于6辆，且A,3两种型号的轿车至少各租用1辆，求租车所需的租金

最少为多少元.

解析：设分别租用A,B两种型号的轿车x辆，y辆，所需的总租金为z元，则z=600x+1000y,

"5x+5y230,

6Wx+yW12,

其中x,y满足不等式组《

x+yW12,

作出不等式组<所表示的可行域如图中阴影部分所示，目标函数可化为y=-1r+

737x+y=6,

丁丽，由图可知当直线丁=一全+高丽过点。时，目标函数z取得最小值.由

得C（5,1）.所以总租金z的最小值为600X5+1000X1=4000（元）.

8

[C组创新应用练]

1,

1.设p：实数犬，y满足（X—1）2+（y—1）?02,q：实数x,y满足,1一羽则〃是q的

1,

(）

A.必要不充分条件

B.充分不必要条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

解析：画出可行域，易知命题乡中不等式组表示的平面区域在命题〃中不等式表示的圆面内,

故是必要不充分条件.

答案：A

'x+yW4,

2.记不等式组«3x—2y26,表示的平面区域为。，点尸的坐标为（x,y）,则下面四个命题,

pi：任意PWQ,y<0,p?：任意PRQ,5—y，2,所任意P£Q,—必：存在Pe。，

%一产去其中是真命题的是（）

A.0,P2B.pi，P3

C.P2,P4D.P3,P4

解析：作出平面区域0,如图中阴影部分所示，

其中A（4,0）,由图可知，（—8,0].作出直线y=5,并平移，易知当平移后的直线

经过点A时，%—y取得最小值2,则y22,从而〃],〃2是真命题.

答案：A

9

推理与证明

[A组基础保分练]

1.设x,y,z>0,则三个数?+]r+v,f+v()

人Z人)Z)7

A.都大于2B.至少有一个大于2

C.至少有一个不小于2D.至少有一个不大于2

解析：因为"；+：+计升十e+9+©+9+C+")》2+2+2=6,所以升1升;

中至少有一个不小于2.

答案：C

2.如图，第1个图形由正三角形扩展而成，共12个顶点.第〃个图形由正(n+2)边形扩

展而成，“GN+,则第〃个图形的顶点个数是()

(1)(2)(3)(4)

A.(2n+l)(2/7+2)B.3(2〃+2)

C.2〃(5n+l)D.(〃+2)(”+3)

解析：由题图我们可以得到，当n=l时，顶点个数为12=3X4,〃=2时，顶点个数为20=4X5,

〃=3时，顶点个数为30=5X6,〃=4时，顶点个数为42=6X7,…，由此我们可以推断：

第"个图形共有(”+2)-(〃+3)个顶点.

答案：D

3.(2020•高考全国卷II)如图，将钢琴上的12个键依次记为0,。2,…,02.设1Wi<j<kW12.若

%—j=3且尸i=4,则称即为，.为原位大三和弦；若一尸4且/—i=3,则称卬，勾，ak

为原位小三和弦.用这12个键可以构成的原位大三和弦与原位小三和弦的个数之和为()

A.5

C.10D.15

解析：满足条件Lj=3且尸i=4的G,J,k)有(1,5,8),(2,6,9),

(3,7,10),(4,8,11),(5,9,12),共5个：满足条件lWiVJ〈AW12,k—j=4且j—i

=3的(i,j,k')有(1,4,8),(2,5,9),(3,6,10),(4,7,11),(5,8,12),共5

个.所以一共有10个.

答案：C

4.用数学归纳法证明：“(”+1).(〃+2)•(〃+〃)=2«-1-3・…•(2n-l)”,从ak到

k+\n左端需增乘的代数式为()

A.2k+\B.2(2Z+1)

2Z+12%+3

C---

Z+1D-I+T

解析：依题意当〃=左时，左边=(A+1)晨+2)晨+3),,,(%+/),当〃=k+l时，左边=

(k+1+1)(k+1+2)(G+1+3)-(hH+k)(k+1+k+l),从'“到Z+1”左端需增乘

⑵+1)(2k+2)

的代数式为

k+1=2(2k+l).

10

答案：B

5.（2021•孝义期末测试）我们知道：在平面内，点（如y0）到直线Ax+8y+C=0的距离公

|Aro+Bvo+C|

式d=,通过类比的方法，可求得：在空间中，点（2,4,1）到直线x+2y+2z

+3=0的距离为（）

A.3B.5

J7D.3邓

解析：类比平面内点到直线的距离公式，可得空间中点（X0,州，Z0）到直线Ar+8y+Cz+。

+、上，\Ax+By+Cz+D\*I2+2X4+2X1+3|

=°的距离公式为d=0^A2+0B2+C02,则所求距离d=一而转在一=5

答案：B

6.已知a,h,cGR,若衿1且与+彩一2,则下列结论成立的是（）

A.a,b,c同号

B.b,c同号，〃与它们异号

C.a,c同号，〃与它们异号

D.b,c同号，a与b,c的符号关系不确定

解析：由h/c>1知h,加c号，

若3）且呆0,不等式§+,一2显然成立，

hcbc

^-<0-BL-<0,则一下>0,-->0,

（4+（-24㈢,（用吟即如*-2,

这与2b+e52-2矛盾h，故今c。且5>°，即出儿c同号.

答案：A

7.用反证法证明“若f-1=0,则x=-l或x=l”时，应假设.

解析：“*=-1或x=l”的否定是“x#—1且x#l”.

；将1,2,3,4…这样的正整数按如图所示的方式排成三角形数组，则第10行左数第10个

数为.

解析：由三角形数组可推断出，第〃行共有2〃一1个数，且最后一个数为〃2,所以第10行共

19个数，最后一个数为100,左数第10个数是91.

答案：91

9.已知x,y,z是互不相等的正数，且x+y+z=l,求证:

证明：因为x,y,z是互不相等的正数，且x+y+z=l,

所以《一1=1—xy+z〉2*\/^

xxx

11

1,1-zx+y2rJxy

-1=----=---">

又羽y,z为正数，由①义②X③,

彳—

10.(2021,常德模拟)设。>0,f(x)=m，令m=1,cin+]=f(〃〃)，N+.

(1)写出〃2,的，〃4的值,并猜想数列｛〃〃｝的通项公式；

(2)用数学归纳法证明你的结论.

解析：(1)=.*.a2=/(41)=f(1)=]+〃,

门)"缶a

a3=f(a2)=]1=帝；

a-r~x-

猜想an=~(---；、("eN+).

(.«—1)+a

(2)证明：①易知，〃=1时，猜想正确.

②假设〃=k16N+)时猜想正确，

即ak=~77_,则当〃=Z:+1时，

(,K-I)十a

(I)+a

ak+\=f(ap-

晨-1)+«+l-[(jt+l)-1]+优

“丁(LI)+a

这说明，n=k+\时猜想正确.

[B组能力提升练]

I.正弦函数是奇函数，/(x)=sin(x2+l)是正弦函数，因此/(x)=sin(x2+1)是奇函

数，以上推理()

A.结论正确B.大前提不正确

C.小前提不正确D.全不正确

解析：因为/(x)=sin(1+1)不是正弦函数，所以小前提不正确.

答案：C

2.分析法又称执果索因法，若用分析法证明“设a»>c,且a+%+c=0,求证：业二7〈小

a”索的因应是()

A.a-b>QB.ci-c>0

C.Qa—b)(。-c)>0D.(a—b)(〃一c)<0

角星析：yjb2—ac<y[3a<=^b2—ac<3a2

=(ci+c)2—ac<3a1

=/+2ac+c2—«<?­3〃2<0

0-2片++/<0=2。2—-/>0

<=>(a—c)(2。+。)>0<=>(〃-c)(a—b)>0.

答案:C

12

3.下面图形由小正方形组成，请观察图①至图④的规律，并依此规律，写出第"个图形中小

正方形的个数是

A.n(〃+1)

解析：由题图知第1个图形的小正方形个数为1,第2个图形的小正方形个数为1+2,第3

个图形的小正方形个数为1+2+3,第4个图形的小正方形个数为1+2+3+4,…，则第〃

个图形的小正方形个数为1+2+3H---―.

答案：C

4.如图所示，面积为S的平面凸四边形的第i条边的边长记为0(，=1,2,3,4),此四边形

内任一点P到第i条边的距离记为历(i=l,2,3,4),若牛=竽=号=詈=4，则IX小+2X〃2

+3X〃3+4X/u=与.类比以上性质，体积为K的三棱锥的第，个面的面积记为S,(i=l,2,

4),此三棱锥内任一点。到第i个面的距离记为H,(i=l,2,3,4),若好:=上#=

3,

k,则Hi+2H2+3%+4〃4值为()

解析：V+|S2//2+|53//3+|S4//4=|(kHi+2kH2+?>kHy+4kH4)

3V

：.H\+2H2+3H3+4M=R.

答案：B

5.(2021•兰州市高考实战模拟)观察下列式子：1,1+2+1,1+2+3+2+1,1+2+3+4

+3+2+1,…，由以上可推测出一个一般性结论：对于“GN+,1+2+…+〃+…+2+1=

解析：因为1=12,1+2+1=22,1+2+3+2+1=32,1+2+3+4+3+2+1=42,…，所以

归纳可得1+2H---H7H----F2+1—n2.

答口7案1^■•»/»

6.在平面内，三角形的面积为S,周长为C,则它的内切圆的半径在空间中，三棱锥

的体积为V,表面积为S,利用类比推理的方法，可得三棱锥的内切球(球面与三棱锥的各个

13

面均相切）的半径R=.

3V

解析：若三棱锥表面积为S,体积为匕则其内切球半径R=W.理由如下:

设三棱锥的四个面的面积分别为Si,s2,s3,s4,

由于内切球的球心到各面的距离等于内切球的半径，

所以

3V

所以内切球的半径R=W.

3V

答案：y

7.我们将具有下列性质的所有函数组成集合M：函数y=/（x）GG。），对任意x,y,守w。

均满足.栏目23丁（幻十/o）卜当且仅当时等号成立.

（1）若定义在（0,+8）上的函数y（x）试比较/（3）+/（5）与，'（4）的大小；

（2）设函数g（x）=—f,求证：g（x）GM.

解析：（1）对于《（