2021-2022学年江苏省无锡市惠山区锡山某中学某中学九年级（上）期中数学试卷（附详解）

2021-2022学年江苏省无锡市惠山区锡山高级中学实验学

校九年级（上）期中数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）

s讥45。的值为（

B.V3

2.已知一组数据：4,1,2,3,4,这组数据的中位数和众数分别是（）

A.4,4B.3.5,4C.3,4D.2,4

3.已知。。的半径为3,OP=5,则点P与。。的位置关系是（）

A.点P在。。内B.点P在。。上C.点P在。。外D.不能确定

4.在RtZiABC中，ZC=90°,BC=1,AC=如,那么4B的度数是（）

A.15°B.45°C.30°D.60°

5.如图，4B为。。直径，点。是4B上方圆上一点，若D

^AOC=110°,则4D度数是（）/

B.35°、

C.40°

D.45°

6.在下列命题中，正确的是（）

A.长度相等的弧是等弧

B.直径所对的圆周角是直角

C.三点确定一个圆

D.三角形的外心到三角形各边的距离相等

7.如图，河堤横断面迎水坡48的坡度是1：2,坡面4B=6百，

则堤高的高度是（）

A.3

B.6V5

C.6

D.3V5

8.如图，在。。中，半径r=5,弦AB=8,P是弦4B上的动点（不

含端点4B）,若线段0P长为正整数，则点P的个数有（）

A.3个

B.4个

C.5个

D.6个

9.如图，矩形4BCD中，AB=12,BC=18.将矩形沿EF折

叠，使点4落在CD边中点M处，点B落在N处.连接EM,

以矩形对称中心0为圆心的圆与EM相切于点P,则圆的半

径为（）

A.2.7

B.5.4

C.4.5

D.3.6

10.如图，△4BC中，AB=AC=2V5，4BAC=a0,

tan乙4BC=q,G为BC中点，。为平面内一个动点，且

OG=在.将线段BD绕点。逆时针旋转a。，得到CB',则

5

四边形84CB'面积的最大值为（）

A.24

B.25

C.12

D.13

二、填空题（本大题共8小题，共30.0分）

11.已知a是锐角，tana—V3=0>则a=

12.已知扇形的圆心角为60。，半径为3,则该扇形的弧长为,面积为.

13.一组数据0,1,3,2,4的平均数是,这组数据的方差是.

14.圆锥的母线长为2cm,底面圆的半径长为1cm,则该圆锥的侧面积为cm2.

15.在正五边形的外接圆中，任一边所对的圆周角的度数为

16.如图，扇形4。8的圆心角为直角，边长为1的正方形。CDE的顶

点C,E,D分别在04OB,愈上，过点4作AFLED,交EC的

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延长线于点F,则图中阴影部分的面积等于

17.如图，在AABC中，乙4cB=90。，点D在4B的延长线上，连接CD,

若AB=2BD,tanZFCD=则裂的值为_______

3BC

18.如图，在平面直角坐标系中，点4(-6,8),5(-6,0),

以A为圆心，4为半径作04点P为。4上一动点,

M为0P的中点，连接BM,设BM的最大值为瓶，最

小值为n,则m-n的值为.

三、解答题(本大题共10小题，共90.0分)

19.计算：

1

(Dl-'l一(-2)3+sin30°

(2)G)-2_兀。_tan45°.

20.如图，在△ABC中，BC=2V3+2，=30。，4c=45。,

求△ABC的面积.

A

21.如图所示，力B是。。的一条弦，OD1AB,垂足为E,交。。

于点C、D,连结AD.

(1)若乙4。。=54°,求NB4D的度数；

(2)若AB=2痘,ED=1,求。4的长.

22.已知：如图，在△ABC中，44为钝角.

求作：0P,使圆心P在AABC的边AC上，且OP与4B、BC所在的直线都相切.

(要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)

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23.在学校举办的“读书月”活动中，小红调查了班级里所有同学本学期购买课外书的

花费情况，并将结果绘制成如图所示的统计图，请根据相关信息，解答下列问题:

(1)求小红调查的班级的同学人数为；这次调查获取的样本数据的中位数为

，众数为；

(2)若该校共有学生2000人，根据“调查”数据，估计本学期购买课外书花费50元

的学生有多少人.

24.如图，在RtAABC中，乙4cB=90。，点E是BC的中点，以AC为直径的O0与48边

交于点D,连接DE.

(1)判断直线DE与O。的位置关系，并说明理由;

(2)若CD=3,DE=|,求O0的直径.

25.南海是我国的南大门，如图所示，某天我国一艘海监执法船在南海海域正在进行常

态化巡航，在4处测得北偏东30。方向上，距离为20海里的8处有一艘不明身份的船

只正在向正东方向航行，便迅速沿北偏东75。的方向以20海里/小时的速度前去拦

截.问：经过多少小时，海监执法船恰好在C处成功拦截.

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B

26.如图，在RtAHBC中，4ACB=90°,AC=6cm,BC=8cm,

动点P从点B出发，沿折线B-4-C路线，以5cm/s的速度

匀速运动到点C停止，动点Q从点C出发，沿折线C-BTA

路线，以4cm/s的速度匀速运动到点4停止.点P,点Q同时

出发，运动时间为t秒，以PQ为直径作O0.

(1)当点P在边4B上运动，点Q在边CB上运动时，O。与BC相

切，求t的值;

(2)当。。与4B相切时，求t的值.

27.如图，直角坐标系中，以M(6,0)为圆心的。M交x轴负半轴于点4,交x轴正半轴于

点B,交y轴于点C、D.

(1)若C点坐标为(0,8),求点4坐标.

(2)在(1)的条件下，在。M上，是否存在点P,使ZCPM=45。，若存在，

求出满足条件的点P.

(3)过C作。M的切线CE,过4作AN1CE于F,交。M于N,当。M的半径大小发

生变化时.4N的长度是否变化？若变化，求变化范围，若不变，证明并求值.

28.对于。。与0c上一点4若平面内的点P满足：射线4P与。C交于点Q,且PA=

2QA,则称点P为点4关于0c的“倍距点”.已知平面直角坐标系xOy中，点4的坐

(1)如图1,点。为坐标原点，。。的半径是3,点P是点4关于。。的“倍距点”.

①若点P在x轴正半轴上，则点P的坐标是；

②若点P在第一象限，且NP40=30。，求点P的坐标；

(2)设点M(m,0),以点M为圆心，长为半径作G)M,一次函数y=^x+2通的

图象分别与x轴、y轴交于£＞、E,若一次函数y=+2值的图象上存在唯一一点

P,使点P是点A关于0M的“倍距点”，请你直接写出小的值.

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答案和解析

1.【答案】A

【解析】解:sin45°=—，

2

故选：A.

根据特殊角的三角函数值即可得出答案.

本题考查了特殊角的三角函数值，掌握s比45。=立是解题的关键.

2

2.【答案】C

【解析】解：这组数据按照从小到大的顺序排列为：1,2,3,4,4,

则中位数为3,

众数为4.

故选：C.

根据中位数和众数的概念求解.

本题考查了众数和中位数的知识，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；将一组数

据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的

数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是

这组数据的中位数.

3.【答案】C

【解析】解：0P=5、r=3,

OP>r,

则点P在。。外，

故选：C.

根据题意得。。的半径为3,则点P到圆心。的距离大于圆的半径，则根据点与圆的位置

关系可判断点P在O。外.

本题考查了点与圆的位置关系：设。。的半径为r,点P到圆心的距离OP=d,则有点P

在圆外=d>r；点P在圆上=d=r；点P在圆内=d<r.

4.【答案】D

【解析】解：在RMABC中，“=90。，

tanB=—=—=V3>

BC1

NB=60°,

故选：D.

根据直角三角形的边角关系，求出tanB的值，再根据特殊锐角的三角函数值得出答案.

考查直角三角形的边角关系，特殊锐角的三角函数值，掌握特殊锐角的三角函数值是正

确解答的前提.

5.【答案】B

【解析】解：♦；々BOC=180°—乙4OC,AAOC=110°,

•••乙BOC=7°,

4D=二4BOC=35°,

2

故选：B.

求出NBOC=70。，再利用圆周角定理，求解即可.

本题考查圆周角定理，解题的关键是掌握圆周角定理解决问题.

6.【答案】B

【解析】解：力、在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧，长度相等的弧不一定

能够重合，故本选项错误；

8、直径所对的圆周角是直角，故本选项正确；

C、不在同一直线上的三点确定一个圆，故本选项错误；

。、三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等，故本选项错误；

故选：B.

根据圆的有关性质对每一项进行判断即可得出答案.

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本题考查了命题与定理，关键是熟练掌握有关性质和定理，能对命题的真假进行判断.

7.【答案】C

【解析】解：设堤高的高度BC=x,

•••迎水坡4B的坡度是1：2,

•••AC=2BC=2x,

在RMABC中,BC2+AC2=AB2,BPx2+(2x)2=(6V5)2,

解得：x=6,即堤高的高度为6,

故选：C.

设堤高的高度BC=x,根据坡度的概念用x表示出BC,根据勾股定理计算即可.

本题考查的是解直角三角形的应用一坡度坡角问题，掌握坡度的概念是解题的关键.

8.【答案】A

【解析】解：当P为4B的中点时,

AP=BP=4,

由垂径定理得：0Pl48,此时0P最短，/

在RL40P中，0A=5,AP=4,[Oj

由勾股定理得：0P=\!0A2—AP2=V52-42=3,—p—

即0P的最小值为3,

当P与4或B重合时，0P最长，此时0P=5,

3<0P<5,

若线段0P的长度为正整数，

1•-0P=3或0P=4.

根据对称性可知，满足条件的点P的个数有3个，

故选：A.

当P为4B的中点时0P最短，则。P1AB,由勾股定理求出。P的长；当P与4或8重合时，

0P最长，得出0P的范围，再由。P为整数，得到。P所有可能的长即可.

此题考查了垂径定理、勾股定理等知识，熟练掌握垂径定理和勾股定理，求出3<0P<5

是解题的关键.

9.【答案】B

【解析】解：连接OM、OP、0E,作于H,

•••点。是矩形对称中心，

■•■AH=HD=-AD=9,OM=-CD=6,

22

•.•以。为圆心的圆与EM相切，

OP1.EM,

由折叠的性质可知，EA=EM,

在RtZkMDE中，EM2=DE2+DM2,即EM?=(18—EM)2+62,

解得，EM=10,

•••DE—8,

：.HE=HD-DE=9-8=1,

设MP=x,贝ijEP=10-x,

OP2=OE2-EP2=OM2-MP2,即62+l2-(10-x)2=92-x2,

解得，％=£，

OP=yJOM2-MP2=J92—(g)2=5.4.

故选：B.

连接OM、OP、OE,作。，14。于“，根据矩形的性质得到AH=HO=9,OM=6,

根据切线的性质得到OP1EM,根据勾股定理求出EM,再根据勾股定理列出方程，解

方程得到答案.

本题考查的是切线的性质、折叠的性质、矩形的性质、勾股定理的应用，掌握圆的切线

垂直于经过切点的半径是解题的关键.

10.【答案】A

第12页，共27页

【解析】解：连接ZD,AG,过点G作GHJ.4B于点H,如图:

•••AB=AC=2V5.BG=GC,

•••AG1BC,

vtan乙4BC

BG2

・•.AG=2,BG=4,

vsinZ-ABG=sinZ.GBHf

.GH_AG

,,————f

BGAB

GH2

•1•7=忝，

GH=

5

vAB=AC,DB=DBf,乙BAC=LBDB',

：・(ABC=LDBB',黑=黑，

BCBBi

・•・Z,ABD=乙CBBl

ABD〜△CBB',

.S-ABD_律)2_(2强)2__L

*'S^cBBf_f_I8J_16'

vDG=——»

5

•••点G的运动轨迹是以G为圆心，匹为半径的圆，

S

当点D在HG的延长线上时，AABD的面积最大，最大值为：x26x("+?)=5，

BCB'的面积的最大值为16,

二四边形BACB'的面积的最大值是3X8X2+16=24,

故选：A.

连接4。，AG,过点G作GH1于点H.解直角三角形求出G”,证明△48。〜△CBB',

推出产=（*）2=（乎）2=根据DG=①，，得DG=①，推出点G的运动轨迹是

S&CBB，BC，v871655

以G为圆心，匹为半径的圆，当点。在HG的延长线上时;△ABD的面积最大，最大值为

5

275x（竿+?）=5,由此可得结论.

本题属于四边形综合题，考查了等腰三角形的性质，解直角三角形，相似三角形的判定

和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中

考压轴题.

11.【答案】60

【解析】解：•.・tcma—V3=0»

・•・tana=遮，

・・,a是锐角，

:.a=60°,

故答案为：60.

求出tcma的值，根据特殊角的三角函数值即可得出答案.

本题考查了特殊角的三角函数值，掌握位几60。=b是解题的关键.

12.【答案】7Ty

【解析】解：该扇形的弧长=鬻=兀，

loU

该扇形的面积=史叱=如，

3602

故答案为：TC,去

分别利用弧长公式，扇形面积公式求解即可.

本题考查扇形的弧长，面积等知识，解题的关键是记住扇形的弧长，=黑，扇形的面积

loU

_nnr2

-360,

13.【答案】22

第14页，共27页

【解析】解：数据0,1,3,2,4的平均数是X产=2,

所以这组数据的方差为2X[(0-2产+(1-2产+(2-2产+(3-2)2+(4-2)2]=2,

故答案为：2、2.

根据算术平均数及方差的定义求解即可.

本题主要考查方差，解题的关键是掌握方差和算术平均数的定义.

14.【答案】2n

【解析】解：•.•圆锥的底面半径为1cm,

二圆锥的底面周长为：2nr=2ncm,

•••圆锥的侧面展开扇形的弧长等于圆锥的周长，

二圆锥的侧面积为：|/r=1x2x2n-=27r(cm?),

故答案为：27r.

根据圆锥的底面半径求得圆锥的底面周长，在根据圆锥的侧面展开扇形的弧长等于圆锥

的周长求得圆锥的侧面积即可.

本题考查了圆锥的计算，解题的关键是正确地进行圆锥与扇形的转化.

15.【答案】36。或144°

【解析】解：连接。4、OB、BD、AD,在翁上取点尸，连接力F、

BF,如图所示：

•••五边形4BCDE是正五边形，

AB=BC=CD=DE=AE,乙AOB=掾=72°,

SB=2。8=36。,

Z.AFB=180°-/.ADB=144°,

即在正五边形的外接圆中，任一边所对的圆周角的度数为36。或144。；

故答案为：36。或144。.

画出图形，连接。4、OB、BD、AD,在卷上取点F,连接4尸、BF,由正五边形的性质

得出4B=BC=CD=DE=4E,乙4OB=72。，由圆周角定理得出乙4DB=之乙4。8=

36°,由圆内接四边形的性质得出乙4FB=180。一乙4。8=144。，即可得出结论.

本题考查了正多边形和圆、圆周角定理、圆内接四边形的性质；熟练掌握正五边形的性

质和圆周角定理是解题的关键.

16.【答案】V2-1

【解析】解：连接。。,

「正方形的边长为1,即。C=CD=L

0D=VOC2+CD2=V2,

AC=OA-OC=y/2-l,

vDE=DC,BE=AC,BD=AD

•.•S%=长方形ACDF的面积=4c-c。=V2-1.,

故答案为：V2-1

根据题意可得出两个矩形全等，则阴影部分的面积等于矩形4CDF的面积.

本题考查了扇形面积的计算，正方形的性质以及勾股定理，是基础知识比较简单.

17.【答案】2

【解析】解：过点。作DM1BC,交CB的延长线于点M,

•••乙4cB=4DMB=90°,乙ABC=4DBM,

・•・△ABC^LDBM,

.BD_BM_DM

,・AB~BC~~ACy

,:AB=2BD,

.BD_BM_DM_1

•0•1—,

ABBCAC2

在Rt△COM中，

由于tanzJVfCD=-=—,设OM=2k,则CM=3k,

3CM

T7BM_1_DM

・BC~2~AC9

ABC=2k,AC=4k,

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AC4k仁

・•・一=丁=2,

BC2k

故答案为：2.

通过作垂线，构造直角三角形，利用相似三角形的性质可求出等=累=器=3再根

据tanNBCD=|,设参数表示AC、BC即可求出答案.

本题考查解直角三角形，相似三角形的性质和判定，掌握直角三角形的边角关系以及相

似三角形的判定和性质是正确解答的前提，作垂线构造直角三角形是常用的方法.

18.【答案】4

【解析】解：在x轴上取一点E(-12,0),连接PE.

•••OB-BE=6,AE—V62+82=10，

vOM=PM,OB=BE,

BM=-PE,

2

•・•点P在上运动，

P,A,B共线时，可以取得最大值或最小值，最大值=EP'=10+4=14,最小值EP"=

10-4=6,

Am=7,n=3,

Am—n=4,

故答案为：4.

在x轴上取一点E(-12,0),连接PE.由OM=PM,OB=BE,推出BM=：PE,因为点P

在。A上运动，所以P,A,B共线时，可以取得最大值或最小值，最大值=EP'=10+4=

14,最小值EP"=10—4=6,由此即可解决问题.

本题考查点与圆的位置关系，三角形中位线定理，坐标与图形的性质等知识，解题的关

键是学会用转化的思想思考问题，属于中考填空题作为的压轴题.

19.【答案】解：(1)原式=4+8+3=9；

(2)原式=4-1-1=2.

【解析】(1)根据绝对值的定义，有理数乘方，特殊角的三角函数值计算各项，再相加

减可求解；

(2)根据负整数指数幕，零指数幕的性质，特殊角的三角函数值求解各项的值，再相加

减可求解.

本题主要考查实数的运算，掌握整数指数基，零指数基的性质是解题的关键.

20.【答案】解：作4OJ.BC与。，如图，>4

设4D=%,

在Rt△ABD中,乙B=30°,灯/:

BD=y/SAD=V5%，

在RtZkADC中，Z-C=45°,

・•・CD=AD=x,

而BD+CD=BC,

AV3x+x=2V3+2,解得％=2,

即=2,

ABC的面积=|x2x(2V3+2)=2y/3+2.

【解析】作4。_LBC与。，如图，设=在心△ABD中利用含30度的直角三角形三

边的关系得到BD=V3AD=V3x，在Rt△4OC中根据等腰直角三角形的性质得CO=

AD=x,则百x+x=2遮+2,解得x=2,然后根据三角形面积公式求解即可.

本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角

三角形.

21.【答案】解：⑴•••0DJLA8,

:.AD=BD>

•••乙DOB=AAOD=54°,

•••/.BAD=20。=27°；

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(2)设半径是r,

,:ODLAB,

•••AE=EB=-AB=V5,

2

在直角AAOE中，OE2+AE2=OA2,

则(r-1产+(通产=r2.

解得r=3,

:.OA—3.

【解析】(1)根据垂径定理得到弧AD=弧3。,然后根据相等的弧所对的圆心角相等求解;

(2)在直角△40E中利用勾股定理即可列方程求得半径，则CD即可求得.

本题考查了垂径定理，在圆中半径、弦长和弦心距的计算一般就是转化为直角三角形的

计算.

22.【答案】解：如图，OP即为所求.

【解析】作N4BC的角平分线BP,过点P作PD1BC于D,以P为圆心，P0为半径作G)P

即为.

本题考查作图-复杂作图，切线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，

属于中考常考题型.

23.【答案】30人50元30元

【解析】解：(1)小红调查的班级的同学人数为6+12+10+8+4=40(A),

第20个和第21个数据都是50,故这次调查获取的样本数据的中位数为50元，

30出现次数最多，故众数为30元.

故答案为：30人，50兀，30兀；

(2)2000x^=500(A).

故估计本学期计划购买课外书花费50元的学生有500人.

(1)根据统计图可求小红调查的班级的同学人数；将一组数据按照从小到大(或从大到小

)的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；

如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数；众数就

是出现次数最多的数，据此即可求解；

(2)利用2000乘以本学期计划购买课外书花费50元的学生所占的比例即可求解.

本题考查的是条形统计图的运用，读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题

的关键.条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据.

24.【答案】(1)证明：连接。。，如图，

:.DE=CE=BE，

・•・乙EDC=乙ECD,

又・・•OD=OC,

:.Z.ODC=Z-OCD,

而4。CD+Z.DCE=乙ACB=90°,

・・.NEDC+4ODC=90。，即4£7)。=90°,

・・.OE1。0,

•••DE与。。相切；

(2)由(1)得，Z.CDB=90%

­••CE=EB,

DE=-BC,

2

:.BC=5,

・•・BD=VBC2-CD2=V52-32=4，

v乙BCA=乙BDC=90°,(B=LB,

第20页，共27页

・•・△BCABDC,

AC_BC

t~~«

CDBD

・•・一AC=5

34

•*»A“C=—15,

4

••.o。直径的长为f.

4

【解析】（1）连接00,如图，根据直角三角形斜边上的中线性质，由480c=90。，E为

BC的中点得到。E=CE=BE,则利用等腰三角形的性质得4EOC=NEC。，乙0DC=

乙0CD,由于N0CD+乙DCE=4ACB=90°,所以NEDC+“DC=90°,即4£7）。=90°,

于是根据切线的判定定理即可得到DE与。。相切；

（2）根据勾股定理和相似三角形的性质即可得到结论.

本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.要

证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即

可.也考查了直角三角形斜边上的中线性质和相似三角形的判定与性质.

25.【答案】解：如图，过点C作CD1AB

交线段4B延长线于点D,

•••乙BAC=75°-30°=45°,

.•.△4CD是等腰直角三角形，

:.AD=CD,

:.AC=7AD2+CD2=V2CD.

vBC//AE,

・•・乙DBC=乙BAE=90°-30°=60°,

・•・乙BCD=30°,

・•・BC=2BD,AD=CD=A/FC2-BD2=V(2^D)2-BD2=WBD,

•・•AD—BD=AB,

6BD-BD=20海里，

解得：BD=10(V3+1)海里，

CD=遮BD=(30+10w)海里，

•••AC=V2CD=(30V2+10俑(海里),

•••（30>/2+10V6）+20=（|&+[遍）（小时），

答：经过（|6+：历）小时，海监执法船恰好在C处成功拦截.

【解析】过点C作CO14B交线段4B延长线于点D,证44CD是等腰直角三角形，得4。=

CD,由勾股定理得47=鱼CD,AD=CD=y[3BD,然后由力。一BD=4B求出BD,

进而求解.

此题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，正确作出辅助线构造直角三角形是解题

的关键.

26.【答案】解：（1）如图1,。。与BC相切，则PQ1BC,

4PQB=90°,

・・・乙ACB=90°,AC=6,BC=8,

AAB=V62+82=10，

v乙PQB=乙ACB,

・•・PQ//BC,

・・△

•BPQ~&BAC,图1

PB_BQ

**AB~BC1

•・,点P在边4B上运动，点Q在边CB上运动，

・•.PB=53CQ=4t,

.匹_8-4t

••10・8，

解得t=l，B

・•.c的值为1.A

(2)如图2,点P在4B上，点Q在BC上，。。与48相切,则PQ-LJ

AB,

・•・乙QPB=Z.ACB=90°,

•・•乙B=(B,

图2

・••△BQPs>BAC,

.QB_BP

ABBC

.8-4t_St

**10-~89

解得t=If;

第22页，共27页

如图3,点P与点C重合，点Q在48上，。0与4B相切，则CQ1AB,

由5t=10+6得1=当，

•••乙CQB=Z.ACB=90°,乙B=KB,

•••△BCQfBAC,

:.及=呢,

BCAB

•••点Q在AB上，

BQ—4t—8,图3

:.-4—--8=一8,

810

解得t=£,

18、16

T>T,

.・”=当符合题意，

综上所述，t的值为箓瞿.

【解析】(1)根据勾股定理求出AB的长为10cm,当。。与BC相切，则PQ_L8C,可证

明^BPQfBAC,根据相似三角形的对应边成比例列方程求出t的值即可；

(2)分两种情况，一是点P在4B上，点Q在BC上，。。与4B相切，则PQ1AB,可先证

明△BQPsaBAC,再求出t的值；二是点P先到终点C,然后。。与48相切，此时点Q在

48上，求出t的值即可.

此题考查圆的切线的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识，解题的关键是

用含t的代数式表示线段的长.

・•・OM=6,OC—8,

故CM=70c2+0M2=我2+62=10,即OM的半径为10；

・・.MA=10,

:.4。=4,

即得做一4,0)；

(2)假设存在这样的点P(x,y),结合题意，

可得△CMP为等腰直角三角形，且CM=PM=10,

故CP=10A/2；

(x-6)2+(y_0)2=102

结合题意有

x2+(y-8)2=(10V2)2

解之得:

l(yx=6或=-26;

即存在两个这样的点P；

Pi(14,6),P2(-2,-6)；

(3)AN的长不变为12.

证明：如图2,连接CM,作MHJLAN于H,

则A”=HN,

"EC切OM,

Z.ECM=90°,

•••四边形HMCF是矩形，

•••乙CMH=90°,

在△AM"和△MCO中，

ZCMO=/.MAH

/.COM=/.ADM=90°,

.CM=AM

；.△4MH三△MC0(/L4S),

AH=MO=6,

即4V=HN+AH=6+6=12.

【解析】(1)连接CM,根据点M和点C的坐标可得出OM的半径，即M4的长，利用M的

坐标即可得出4的坐标；

(2)假设存在这样的点P,根据题意，可知△CMP为等腰直角三角形，且CM=MP=10.

第24页，共27页

根据圆的方程和两点的距离公式列出方程组，解之即可得出点P的坐标；

(3)作MH1AN于H,则4H=NH,易证△AMH^^MCOQ44S),故AH=MO.从而可证4H

为一定值.

本题是圆的综合题，主要考查的是垂径定理的应用和切线与圆之间的性质关系，勾股定

理，全等三角形的判定与性质，切线的性质，等腰直角三角形的性质，方程组的解法,

综合性强，能够熟练掌握垂径定理的应用和切线与圆之间的性质关系是解题的关键.

28.【答案】(9,0)

【解析】解：(1)①P在x轴正半轴时，如图1,设点

Q为。。与x轴正半轴的交点，

♦.•点。为坐标原点，。。的半径是3,点P是点4关于

。。的“倍距点”，

­.AQ=6,PA=2QA=12,

•・•点P离开原点。的距离=AP-OA=12-3=9,

•・•点P的坐标是(9,0),

故答案为：(9,0)；

②若贝40=30。时，如图2,作QMJLx轴于M,「21》轴于',连接OQ,

•••/.QMA=乙PNA=90°,

v乙PAO=Z.PAO,

・•.△APN,

.AM_QM_AQ

**AN~PN~APf

•・,点。为坐标原点，。。的半径是3,点P是点A关于

。0的