八年级上第12章《分式和分式方程》全章教学案（含答案）

第十二章分式和分式方程

本/章/整/体/说/课

*教学目标

♦知识写技能*

L了解分式的概念，掌握分式的基本性质,并能用其进行约分和通分.

2.理解和掌握分式加、减、乘、除的运算法则，会进行简单的分式的加、减、乘、除的运算.

3.了解分式方程的概念，会解一些简单的可化为一元一次方程的分式方程,懂得解分式方程可能产生增

根，理解检验的必要性，并会进行检验.

4.通过与分数的类比,学习分式的性质及其运算;能建立分式方程模型解决有关的实际问题.

・过程筋空

1.在判断分式的过程中，让学生会区分整式和分式.

2.在了解分式的基本性质的基础上，掌握分式的约分和通分法则.

3.能按照分式的四则运算法则进行分式的加、减、乘、除及混合运算，掌握计算的方法和技巧，会解分式

方程并进行检验.

，情感雒身.嬴

1.在认识分式的过程中，让学生体验知识之间的必然联系，体会类比思想的运用，激发学生爱数学、学数

学的兴趣.

2.培养学生养成认真仔细计算的良好习惯，认识数学是解决实际问题和进行交流的重要工具.

3.结合分析和解决实际问题，讨论可以化为一元一次方程的分式方程，掌握这种方程的解法，体会解方程

中的化归思想.

V教材分析

本章主要内容是通过现实情境建立分式的概念，探索分式的基本性质,进行分式的加、减、乘、除运算,

建立分式方程并解分式方程.

分式的运算实质是转化为整式的运算来进行的，分式的通分与约分一般需要分解因式，因此，分式的运算

是整式的运算及多项式因式分解的综合运用和进一步发展,也是学习分式方程、函数等内容的重要基础.

本章内容呈现方式及特点：

(1)突出了模型的建立过程.教材通过用代数式表示现实问题中的数量关系，并对代数式进行分类、比较,

建立起分式的概念;在与已学过的方程进行比较的过程中，抓住了知识的“生长点”，建立了分式方程的概念.本

章突出了模型思想和建立模型的过程，降低了概念过分形式化的要求.

⑵突出了“类比’过程，类比是合情推理的重要方式之一，是“发现”和“创新”的重要手段，也是解决问题的常

用方法.本章比学生充分经历了与分数类比、提出猜想、获得分式的基本性质和运算法则的过程.

⑶突出了“转化”过程，转化是解决问题常用的思想方法，教材在异分母分式的加减运算和解分式方程中

都突出了转化的过程，进一步使学生感悟数学思想，积累解决问题的经验.

7教学重难点

【重点】

1.能用分式的基本性质进行约分和通分，会进行分式的混合运算.

2.能解可化为一元一次方程的分式方程.

3.能用分式方程解决一般的实际问题.

【难点】

1.对分式概念及其基本性质的理解.

2.能进行分式的约分、通分，体会方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型.

G教学建议

1.让学生充分经历概念的形成过程，学生获得知识必须建立在数学思考的基础上，因此，对于分式、分式

方程和分式方程的增根等概念，要创设情境，向学生提供充足的素材，促进数学思考的发展.教学中，还可以补

充一些更具有现实性和挑战性的问题.

2.分式的通分、约分和运算的教学，实际上是分式基本性质、运算法则的运用，应通过适当的运算让学生

进一步理解运算的意义，掌握算法，在理解算理的基础上选择适当的算法，不要追求训练的数量和技巧,不要增

加繁难的计算题.

3.解分式方程时，要理解去分母的目的和由此产生增根的原因，从而体会去分母的意义和对根进行检验

的必要性.能解可化为一元一次方程的分式方程即可,不必增加难度和进行大量的训练.

总之,本章的知识是传统的代数基本知识，但在知识的呈现方式上作了较大的改进，在教学要求上也有所

不同.在教学过程中，不要认为知识太简单而不留给学生探索与思考的时间和空间，“一讲到底”.对每一个新

知识的教学，要有与学生一起思考的活动,要有与学生一起探索的过程，要有与学生一起分享成功的喜悦.本

教材内容严格按照课程标准的要求，切实改变繁难偏旧的状况，教学时要把握教材的要求，不要随意增加例题

和习题的难度，不要随意拔高要求，以免增加学生不必要的负担.

G课时划分

12.1分式2课时

12.2分式的乘除2课时

12.3分式的加减2课时

12.4分式方程1课时

12.5分式方程的应用2课时

回顾与思考1课时

课/时/教/学/详/案

12.1分式

、$教学目标

啷识写技能E

1.了解分式的概念，明确分式中分母不能为0是分式成立的条件.

2.了解分式的基本性质，掌握分式的约分法则.

嚏程写用k

经历与分数类比学习分式的过程，学会与他人合作，并获得代数学习的一些常用方法:类比转化、合情推

理、抽象概括等.

,情感态度与希剑

1.认识和体会特殊与一般的辩证关系，提高数学运用能力.

2.通过类比分数、分数的基本性质及分数的约分,推测出分式、分式的基本性质及分式的约分，在学生已

有数学经验的基础上，提高学生学数学的乐趣.

(0教学重难点

【重点】分式的意义、分式的基本性质、最简分式和约分.

【难点】分式的特点及要求;分子、分母是多项式的分式约分.

第H1课时

区L整体设计

,$教学目标

电知识写技能目

1.使学生了解分式的概念，明确整式和分式的区别，能用分式表示现实情境中的数量关系.

2.明确分式中分母不能为0是分式成立的条件.

3.使学生能求出分式有意义的条件.

4.使学生初步掌握分式的基本性质,并能用它进行分式的约分.

瞋程'朝考

启发学生学会观察、分析、寻找解题的途径，提高分析问题、解决问题的能力.

■情感态度身一菽|

1.通过丰富的数学活动，获得成功的经验，体验数学活动充满着探索和创新，体会分式的模型思想.

2.通过分数与分式的比较，培养学生良好的类比习惯和思想方法，并培养学生严谨的科学态度.

教学重难点

【重点】

1.分式的概念,分式有意义的条件.

2.分式的基本性质.

【难点】分式有意义的条件，分式的值为0的条件及分式的基本性质.

♦教学准备

【教师准备】相关课件.

【学生准备】复习小学学过的分数和初中学习过的整式.

区L教学过程

JT新课导入

导入一：

某种商品，原来每盒售价为p元，现在每盒的售价降低了2元.用500元钱购买这种商品，现在比原来可多

买多少盒？

怎样用代数式表示现在比原来可多买多少盒？盒.

［设计意图］通过教材章前图，引导学生列出分式，感知分式的特点,为学习本课时做认知准备.

导入二：

如果在一条公路上,同向行驶且前后相邻的两辆车的车头与车头之间的平均距离为4米/辆），车辆的平

均速度为r（m/s）,那么（辆秒）叫做这条公路的同向行驶的车流量.

问题:如果知道中两个字母所代表的数量，你能求出此时的车流量吗？

［设计意图］通过教材中习题的车流量的情境，帮助学生感受用“分式”表示生活中数量关系的方便性和

准确性.

导入三：

面对日益严重的土地沙化问题,某县决定分期分批固沙造林，一期工程计划在一定期限内固沙造林2400

公顷，实际每月固沙造林的面积比原计划多30公顷，结果提前4个月完成原计划任务.原计划每月固沙造林多

少公顷？如果设原计划每月固沙造林x公顷，那么原计划完成一期工程需要个月，实际完成一期工程

用了个月.

让学生讨论并填空：

生:原计划完成一期工程需要个月，实际完成一期工程用了个月.

［设计意图］通过土地沙化问题，进一步丰富问题的实际背景,激发学生的求知欲望，让学生探索问题中

的数量关系，并且体会保护人类生存环境的重要性.

区新知构建

活动一:做一做—感知分式

［过渡语］（针对导入一）刚才我们列出的式子是不是整式呢?接下来我们就一起探究这个问题.

（一）出示教材第2页做一做

1.一项工程，甲施工队5天可以完成.甲施工队每天完成的工程量是多少?3天完成的工程量又是多少？

如果乙施工队a天可以完成这项工程，那么乙施工队每天完成的工程量是多少？伙仪a）天完成的工程量又是

多少？

2.已知甲、乙两地之间的路程为mkm.如果A车的速度为nkm/h,B车比A车每小时多行20km,那么从

甲地到乙地,A车和B车所用的时间各为多少？

（二）尝试对所列代数式分类

师:同学们能列出这两个问题中的相关代数式吗？

生:（列代数式、老师随时板书）

>>>»»•

师:刚才同学们列出的代数式有什么共同特点？你能把它们分成两类吗？

预设：

生1:都是分数.

生2:按照分母是否含有字母分两类.

生3:按照分子是否含有字母分两类.

［设计意图］通过分类活动，记学生积极参与到课堂思考活动当中，在分类中发现分母含有字母这个重要

特征，为总结和理解分式的概念奠定基础.

活动二:大家谈谈——总结分式定义

［过渡语］大家按照分母是否含有字母把这些式子分成两类,我们给这些分母中含有字母的式子下个定

义吧！

思路一

问题：

1.以上代数式中哪些是整式？哪些不是整式？

2.不是整式的代数式有哪些共同特征？

教师向学生指出，类比和归纳是探索新概念的重要方法.

在学生观察、归纳的基础上，教师板书分式定义:一般地，把形如的代数式叫做分式，其中,4”都是整式，且

3含有字母.A叫做分式的分子用叫做分式的分母.

类比分数剖析分式概念：

形式:与分数一样，分式也是由分子、分母和分数线组成.

内容:分数的分子、分母都是整数，分式的分子、分母都是整式.

要求:分式的分母中必须含字母;分子中可以含字母，也可以不含字母.

思路二

师:下面请同学们看一下这四个式子，看它们有什么相同点和不同点？

»>>,

学生根据自己的观察，说出:,是分数，是整式.

师:而另两个式子,看它们有什么特点？请同学们自己总结一下.

学生思考后说:分母中有字母.

引导学生归纳:一般地，把形如的代数式叫做分式，其中,,4,8都是整式，且含有字母.A叫做分式的分子,8

叫做分式的分母.

活动三:例题讲解——深化对分式的认识

❾1指出下列各式中，哪些是整式，哪些是分式.

&5尤,,,,

思考：

1.含有分母的式子就是分式吗？（不是，分式的分母中必须含有字母）

2.分式和整式有什么关系？（分式可以看成两个整式相除的商，除式中要含有字母）

学生分析居出结论.

解:,5片都是整式;

因为,，的分母中都含有字母,所以它们都是分式.

［设计意图］通过观察、归纳、总结出整式与分式的异同，类比分数，合理联想,获得分式概念，通过问题

分析加深学生对分式概念的理解,从而揭示分式概念的本质.

活动四:大家谈谈——分式的字母可以任意取值吗

在什么情况下，下列各分式无意义？

»>,

问题：

1.分数在什么情况下无意义？

2.分式中分母的字母可以任意取值吗？

3.在什么情况下上面的三个分式无意义？

［处理方式］学生交流、老师总结强调.

⑴分式有意义，需要分母不为0,需要解一个带“声’的不等式;反之，当分式无意义时，则分母为0.

（2）分式的值为0,既要分子等于0,也要分母不为0.可以用方程和不等式组成条件组表示上述条件.

［设计意图］由学生自己发现问题、解决问题并找出关键所在，既能激发学生的求知欲望，又能有效深化

知识.同时通过形象比喻“分数线是路面，分母是陷阱”使学生品味数学的趣味性.

烟且(补充例题)当X取什么值时，下列分式有意义？

(1)；(2)；(3).

〔解析)只有当分母不为零时，分式才有意义.

解：(1)要使有意义,必须使4x+l#0,即日.所以当杼时，有意义.

⑵要使有意义，必须使1W0,即彳*±1,所以当杼士1时，有意义.

(3)要使有意义,必须使x+3片0且A2X0,即x#3且xW2.所以当杼3且杼2时，有意义.

强调:在解答分式有意义、无意义、值为零的题型时，一定要紧扣分式的概念.如分式有意义时，必须满足

回0;无意义时，必须满足庐0;值为零时，必须满足力=0且今0.其中值为零已经隐含了分式有意义，只是值为

零而已，注意区别.

［知识拓展］对于分式的定义和成立的条件要注意以下几点：

1.分式的形式与分数类似，但它们是有区别的，分数是整式，不是分式,分式是两个整式相除的商式，其根

本区别如下表:

分式分数整式

分母中含分子、分母中都

区别分母中不含有字母

有字母不含有字母

2.分式与分数是相互联系的，由于分式中的字母可以表示不同的数，所以分式比分数更具有一般性;分数

是分式中字母取特殊值后的特殊情况.

3.注意分母含n的代数式容易判断错误,如:不是分式，因为“不是字母，而是常数.

4.注意分式的值为0时，容易忽略分母不为0的条件.

活动五:分式的基本性质

［过渡语］刚才我们研究了分式有意义的条件，小学我们学过分数.请同学们思考:你觉得,和三个数相

等吗？

下面我们来看看分式是否具有类似的性质？

1.请看下面的问题:

填空：

学生独立思考，根据分数的基本性质，的分子、分母同乘2,可得，的分子、分母同除以电得.

思考:分式的分子和分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值会怎样？

归纳:分式的分子和分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变.

用式子表示为:,（"是不等于0的整式）.

【注意】因为。不能作除数，所以分式的分子、分母同乘（或除以）的这个整式不能等于0.

2.“做一做”.

分式与相等吗？还有与它们相等的分式吗？如果有，请你写出两个这样的分式.

引导学生得到:把的分子、分母同除以（a。）得到;把的分子、分母同除以。得到，所以两个分式相等.

学生举出具有同样特点的两个分式.

［知识拓展］理解分式的基本性质应注意以下几点：

分式的基本性质与分数的基本性质类似，要特别注意“不等于0”“同乘（或除以）”这些关键词.“同乘（或除

以）”说明分子与分母都乘或都除以，并且分子与分母乘或除以的整式是相同的;“不等于0”是对分子与分母乘

或除以的整式的限制条件.若原分式的分子（或分母）是多项式，运用分式的基本性质时，要先把分式的分子（或

分母）用括号括上，再乘（或除以）非零整式.

叵课堂小结

知识总结

知识方

关键总结注意事项

法要点

分式的一般地，把形如的代

分母含n的代数式容易判断错误.

概念数式叫做分式，其中

4,6是整式，且8中含

有字母“4叫做分式的

分子,6叫做分式的分

母.

(1)分式有意义:分母

分式有意

不为0;

义或无意

(2)分式无意义:分母

义或分式判断分式的值为0时，容易忽略分母不为0的条件.

为0;

值为0的

(3)分式值为0:分子

条件

为0且分母不为0.

分式的分子与分母

分式的

同乘(或除以)一个不

基本

等于0的整式，分式

性质

的值不变.

规律方法总结

1.判断分式的依据是看分母中是否含有字母，分母中含有字母的代数式是分式.

2.⑴分式的基本性质的作用:分式进行变形的依据.

(2)在运用分式基本性质时，必须注意乘或除以的是同一个整式,且不为0.

(3)分式基本性质的研究方法:从分数一分式;从特殊一一般.

网检测反馈

1.如果分式有意义，那么X的取值范围是()

A.任意数B.A=1

C.杼1D.A=0

解析:分式有意义，分母xlWO,据此可以求得x的取值范围是xWl.故选C.

2.若将分式缶力均为正数)中的字母况8的值分别扩大为原来的2倍，则分式的值()

A.扩大为原来的2倍

B.缩小为原来的

C.不改变

D.缩小为原来的

解析:分式中的字母分别扩大为原来的2倍，分式的分子扩大为原来的2倍，分式的分母扩大为原来的4

倍，所以分式的值缩小为原来的.故选B.

3.下列代数式是分式的有.(填序号)

,”、,abac,.

解析:判断一个代数式是不是分式，看分母中是否含有字母，若分母含有字母，则是分式;若分母不含有字

母，则不是分式中分母都含有字母，是分式,abac和是整式，不是分式，因为n不是字母，而是常数.故填

②③④⑤.

4.已知分式，当x=时,分式无意义.

解析:根据分式无意义，分母等于0列式计算即可得解.根据题意，得x+3=O,解得尸3.故填3.

5.判断下列从左到右的变形是否正确.

(1).()

(2).()

(3).()

(4).(

解析:此类题主要考查分式的基本性质.对于，条件中隐含aXO,分子、分母同时乘a,可得成立，因此⑴正

确;分子、分母加上c,只有当c=O时一定成立，其余条件下不一定成立,因此⑵错误;当时，不成立,因此⑶

错误;在中，隐含cWO,分子、分母同时除以c,式子成立，因此(4)正确.

答案:⑴口(2)X⑶X(4)口

6.已知分式，当A=3时，该分式没有意义;当x=4时,该分式的值为0,求(m力的值.

解析:分式没有意义时,分母为0；分式的值为0时,分子为0,分母不为0.

解:根据分式没有意义的条件，有产"尸0,则当产3时，〃尸3,再根据分式的值为0的条件，可求得n的值

为4,所以(加"产=(34泮=1.

7.不改变分式的值，把式子的分子与分母的系数化为整数.

解析:利用分式的基本性质，分子与分母同时乘6即可.

解:.(答案不唯一)

J5板书设计

第1课时

活动一：做一做——感知分式

活动二:大家谈谈一总结分式定义

分式定义

活动三:例题讲解——深化对分式的认识

例1

活动四:大家谈谈一分式的字母可以任意取值吗？

例2

活动五:分式的基本性质

,("是不等于0的整式)

屋布置作业

一、教材作业

【必做题】

L教材第3页练习第1题.

2.教材第4页习题第1,2题.

【选做题】

教材第4页习题第3题.

二、课后作业

【基础巩固】

1.代数式的家中来了几位客人:,,,,,+乂其中属于分式家族成员的有（）

个个个个

2.当分式没有意义时”的值是（）

D.2

3.下列关于分式的判断，正确的是（）

A.当产2时，的值为零

B.当xW3时,有意义

C.无论x为何值，不可能得整数值

D.无论x为何值，的值总为正数

【能力提升】

4.若是一个整数，则x的最大的整数值为（）

5.当尸3时，分式的值是.

6.当炉时，分式的值为零.

7.某工厂计划a天生产60件产品，则平均每天生产该产品件.

8.观察下列式子:4=4,5=5,6=6,设〃表示正整数（〃24）,用含〃的等式表示这个规律是.

9.下列各式中，哪些是整式？哪些不是整式？两者有什么区别？

a,2A+y„„3a,5.

【拓展探究】

10.在学习中小明和小丽都遇到了“当x取何值时，有意义”？小明的做法是:先化简，要使有意义，必须此看0,即*

W2;小丽的做法是:要使有意义，必须了4片0,即VW4,所以如果你与小明和小丽在同一个学习小

组,请你发表一下自己的意见.

【答案与解析】

1.C（解析:分式与整式的区别主要在于分母中是否含有未知数这3个式子分母中含有字母，因此是分式.其

他式子分母中均不含有字母，是整式,而不是分式.故选C.）

2.A（解析:分式无意义的条件:分母为零.）

3.D（解析:根据分式的值为0的条件，以及分式有意义的条件即可求解.当户2时,无意义，故A错误;当杼0时,

有意义，故B错误;当尸2时居整数值，故C错误;分母A1大于0,分子大于0,故无论x为何值，的值总为正数,

故D正确.）

4.A（解析:如果是一个整数，那么总是5的约数，则A3=+1或±5.即产4或2或8或2,所以x的最大整数值

是8.）

5.1（解析:将尸3代入分式，即可求得分式的值.）

6.3（解析:由（M）（肥）=0,万3研2W0,解得w=3.故填3.）

7.（解析:工作效率「工作总量+工作时间,把相关数值代入即可.）

8.中穴解析:观察等式可得等号左边的第一个因数与第二个因数的分子、等号右边的被减数、等号右边减数

的分子相同;等号左右两边的分母均为前面所得的数加1.）

9.解:整式:a,2内％,3a,5；不是整式:，.它们的区别在于分母中是否含有字母，若含有字母，则不是整式，若不含有

字母，则是整式.

10.解:要使有意义，必须父4/0,即所以小片2,及片2.故小丽的做法正确，小明的做法使原来的分式中字

母x的取值范围扩大了，从而出错.

区L教学反思

♦成功之处

从相等分数的变形依据，分数的基本性质作为复习引入,类比到相等分式的变形依据，归纳概括出分式的

基本性质.对分数的基本性质和分式的基本性质做了对比研究，实现了从“数倒“式”的提升.

Q,不足之处

i.在教学过程中，对于学生的指导还有些不够到位的地方，如:对分式有意义、无意义和值为零类解答题

的解答过程示范不够到位.

2.让部分因式分解不熟练的学生没有积极投入到分式基本性质的学习中来.

♦再教设计

1.注意加深整式和分式的区别，加强解答题目过程的示范，进一步关注数学与生活的紧密联系.

2.在例题选配上，还需要进一步突破应用分式的基本性质对分式进行变形这一难点，增设判断从左到右

的变形是否正确这一类例题.

旧教材习题解答

练习（教材第3页）

1.解:⑴杼1.（2）杼.

2.解:（1）正确.（2）不正确.（3）正确.（4）正确.

习题（教材第4页）

1.解:当v=20m/s,小10米/辆时尸2（辆那）.

2.解:要使分式有意义，则必有户1#0,所以所以当在1时,分式有意义.要使分式的值为0,则必有所以

产0,所以当户0时，分式的值为0.

3.解:（1）是分子、分母同时乘V得到的.（2）是分子、分母同时除以x得到的.（3）是分子、分母同时乘5

得到的.（4）是分子、分母同时除以必得到的.

4.解:答案不唯一.如，等.

O备课资源

一教学建议

重难点突破建议

分式是在学生学过分数、整式的基础上对代数式的进一步研究.分式与分数类似，但又有所不同,分数是

分式的具体化，分式是分数的一般形式,这种一般与特殊以及“数式相通”的类比思想学生还是比较欠缺的.但

是八年级的学生具有一定独立思考、概括归纳的能力，也有很强的合作意识.本课时的重点为分式的概念，难

点为理解并掌握分式有意义和值为零的条件.为了能突破这一重、难点，为后续的学习奠定坚实的基础，所以

本节的设计中，突出了学生观察、猜想、分析、思考、归纳等过程，让学生真正地参与到学习中去，提高他们

的学习兴趣.

（第经典例题

例1

（解析）分子*+4〉0,分子与分母异号时，分式的值为负数，即成＜0,底2.学生小组合作，并交流解析过程.

故填＜2.

［设计意图］尽管有一定的难度，但学生通过小组合作交流，没有畏惧感，发挥了学生解决问题的主动性，

使每个学生在探究中有所收获.

眼回下列各式中,哪些是整式？哪些是分式？

,,,,,P+y,

(解析)区分整式与分式的标准就是看分母，分母中不含字母的是整式，分母中含有字母的是分式.

解:整式有:,,1+工分式有:

［解题策略］注意辨析一些特殊的代数式，如中”是常数，故是整式;容易看出是分式,是整式，类比“一个

整数减去一个分数结果是分数”得出是分式.

砸！X取什么值时,分式有意义？

解:xWl且B2时,分式有意义.

［解题策略］要使分式有意义，应使分式的分母不为零，对(x+l)(x+2)W0来说，欲使其成立，必须xWl,同时

xW2,即x=^\且

［方法提示］只要分式中的分母不等于0,分式就有意义.

第②课时

区L整体设寸

u教学目标

.知识写技能谪

1.类比分数的约分，理解分式约分的意义.

2.会用分式的基本性质进行约分，掌握分式约分的方法与步骤.

«过程写方一

通过类比分数的约分，探索分式的约分法则,学会运用类比转化的思想研究数学问题.

雨勰鹘侪嬴

1.通过研究解决问题的过程，培养学生合作交流的意识与探究精神.

2.通过对分式约分的探究，让学生充分参与到数学学习的过程中来，使他们体验到成功的乐趣.

0教学重难点

【重点】运用分式的基本性质正确地进行分式的约分.

【难点】约分时，最简公因式的确定.

"教学准备

【教师准备】课件111.

【学生准备】复习分数的约分和分式的基本性质.

旧教学过程

E新课导入

导入一：

【课件”怎样把分数,约分？你做这些题目的依据是什么？与相等吗？为什么？

学生将，约分后，仿照分数约分的方法,根据分式的基本性质，约去分式的分子与分母的公因式2加,得到.

【教师点拨】分式化为，这样的分式变形过程就是分式的约分.

导入二：

【课件2]下面的等式中右式是怎样从左式得到的？这种变换的理论根据是什么？

(1)；(2).

解:(1)式中的左边，分式的分子与分母都除以2才尻得到右式，这里aWO,bXO.(2)式中的左边，分式的分

子与分母都除以(x+y),得到右式，这里(x+0片0.这种变换的根据是分式的基本性质:分式的分子与分母都乘

(或除以)同一个不等于零的整式，分式的值不变.

【课件3]化简:(1),(2),并说出这是什么运算？运算的依据是什么？

解:(1).(2).这种运算是分数的约分，运算的依据是分数的基本性质.

师:什么是分数的约分？约分的方法是什么？约分的目的是什么？

生:把一个分数化为与它相等，但是分子、分母都比较小的分数，这种运算叫做分数的约分.对于一个分数

进行约分的方法是:把分子、分母都除以它们的公约数(1除外).约分的目的是把一个分数化为最简分数.

师:分式的约分和分数的约分类似，下面讨论分式的约分.

导入三：

同学们，想一想，对分数怎样化简？

【课件4］思考:下列分式是怎样从左边变形到右边的？

⑴(月0);(2);

(3).

反过来，把一个分式的分子、分母都除以公因式之后，就完成了约分.下面我们先来看看分式的约分.(板

书课题)

［设计意图］按由特殊到一般的思路让学生回忆有关内容，为学习新知识做好铺垫.在这个活动中，首先

激活学生原有的知识，体现了学习是在原有知识的基础上自我生成的过程.

传’新知构建

活动一:分式的约分和最简分式

［过渡语］怎样进行分式的约分?分式的约分的依据是什么？

思路一

1.分式的约分

分式能不能化简？如果能，那么化简的依据是什么？化简的结果又是什么？

教师指导学生将分式的分子和分母先因式分解,然后再约分.

展示【课件51

分解因式分子和分母都除以6”

「~।r-1

聂萨F=甯w=子化简后

［bd+cdd(b+c)d分式

确定分子和分母的公因式约去公因式

教师根据学生化简的过程进行讲解.

归纳：

⑴分式约分的依据是根据分式的基本性质.

(2)约分:依据分式的基本性质，把分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分.

思考:若分子、分母都是单项式时，如何找公因式？当分子、分母都是多项式时，又如何找公因式？

生讨论回答后总结：

约分的步骤:①先找分子与分母中的公因式.②分子与分母同时除以公因式.

公因式的确定方法:①当分子与分母都是单项式时，所分康出的公因式的系数应是分子系数与分母系数

的最大公约数，字母因式是分子、分母相同字母的最低次幕的乘积.②当分子与分母都是多项式时，应先分别

进行因式分解，再找出它们的公因式.

进一步理解以上几句话

【课件6】找出下列分式中分子与分母的公因式(口答)：

(1)；(2)；(3)；

(4)；(5).

2.最简分式

学生思考并交流:如果几个分式约分后，分别得到了,,，这几个分式有什么特点？还能继续约分吗？

生交流讨论后回答:不能再约分了.

师总结:这几个分式的分子与分母，除1以外没有其他的公因式，不能继续约分了，这样的分式叫最简分式.

即分子和分母(除1以外)没有公因式的分式叫做最简分式.

【课件7]在化简分式时，小颖和小明的做法出现了分歧：

小颖:；

小明:.

你对他们俩的解法有何看法？说说看！

引导学生分析得出小颖在化简时，没有化成最简分式，她的做法是错误的.

思路二

【课件8】我们观察:

⑴依0);

(2)(a+6X0).

这一过程由左到右是怎样变形的？根据的是什么？(小组讨论回答)

生:(1)式分子与分母同乘3。,(2)式分子与分母同乘(尹6),根据的是分式的基本性质.

师:将以上两个式子倒过来，又是怎样变形的？根据的是什么？

生:(1)式分子与分母同除以34(2)式分子与分母同除以(a+4,根据的是分式的基本性质.

我们把以上两式由右到左的变形过程叫分式的约分.(1)中的3。与(2)中的分别是分子与分母的公

因式.

由以上的学习过程,学生总结约分的定义(小组讨论回答)：

利用分式的基本性质，把分式中分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分.

强调:分式约分的依据:分式的基本性质.分子、分母(除1以外)没有公因式的分式，叫做最简分式.

【课件9】是最简分式.这种说法对吗？为什么？

解:不正确.因为分式的分子和分母还能约分,即分子与分母中含有公因式a,所以不是最简分式.

［知识拓展］分式的化简，就是把复杂的分式化为整式或最简分式，分式的约分是根据分式的基本性质,

约去分子、分母中的公因式,最终变为整式或最简分式.

活动二:例题讲解

［过渡语］掌握了分式约分和最简分式的概念,明确了分式约分的目的就是把分式化成最简分式或整

式.下面我们来做几道例题,共同来巩固一下约分的方法.

【课件10］

政留约分：

⑴；(2)；(3).

教师弓I导学生发现:①确定分子与分母的最大公因式:各项系数的最大公约数和相同因式的最低次第的

积;②分式约分的最后结果应为最简分式或整式，即分子、分母(除1以外)没有公因式.

学生先练，教师再根据情况指导.

解。).

(2).

(3).

［方法归纳］(1)如果分式的分子、分母都是单项式，那么直接约去分子与分母的公因式;(2)如果分式的分

子、分母是多项式，那么能因式分解的先因式分解，由此找出公因式，再进行约分.(3)约分后，分子与分母(除1

外)不能再有公因式.

【课件11】教材第6页“做一做”

指导学生分别用直接代入求值和化简后代人求值这两种方法解答，并比较哪种方法简单.

【拓展延伸】约分,为了把上述分式约分，应该先确定分式的分子与分母的公因式，那么分式的分子与

分母的公因式是什么？

师:因为分式的分子与分母都是单项式,所以取分子、分母中相同因式的最低次孱和分子、分母的系数的

最大公约数，把它们的积作为这个分式的分子与分母的公因式.

解:==.

师:分子或分母的系数是负数时，一般先把负号移到分式本身的前边,这就同时改变了分式本身与分子或

分母的符号,所以分式的值不变.

［设计意图］通过具体实例让学生归纳出约分的具体步骤，明确在进行分式约分时,关键是确定分子和分

母的公因式.

叵课堂小结

1.约分:(1)分式约分的结果一定要化成最简.⑵如果分式的分子或分母是多项式，可先考虑把它分解因

式，得到因式乘积形式，再约去分子与分母的公因式.如果分子或分母中的多项式不能分解因式，此时就不能

把分子、分母中的某些项单独约分.

2.最简分式:判断一个分式是不是最简分式，关键是确定其分子和分母(除1以外)是否有公因式.

3.分式进行约分的目的是要把这个分式化为最简分式或整式.分式约分时要注意正确运用乘方的符号

法则，如孙=("),(盯『=(〃)；(孙)

w检测反馈

L化简的结果是()

A.B.C.D.

解析:.故选A.

2.下列约分正确的是()

A.=xB.=0

C.D.

解析:A.二日故A选项错误;B.二1,故B选项错误;C.,故C选项正确;D.,故I)选项错误.故选C.

3.下列分式是最简分式的是()

A.B.

C.D.

解析:A.不能约分,是最简分式,B.£.,1).=1.故选A.

4.下列各式中，正确的是()

A.=2B.=0

C.=1D.=1

解析:A.=2,故此选项正确;B.,故此选项错误;C.=1，故此选项错误;I).二1,故此选项错误.故选A.

5.将下列分式约分.

(1);(2);(3)；(4).

解析:(1)根据分式的基本性质，分子、分母同时除以536°;(2)约去分子、分母的公因式(m■例即可;(3)先把

分子中的缶犷转变成(必)；再约分即可;(4)根据平方差公式和完全平方公式进行因式分解,再约分即可.

解:⑴=.

(2)=.

(3).

(4).

6.在给出的三个多项式:/+4541附咒，+2孙中，请你任选出两个分别作为分子和分母组成分式，并进

行化简运算.

解析:任意选出两个多项式，一个作为分子，另一个作为分母，进行因式分解,再约分即可.

解乂本题答案不唯一)选./+4孙+4/作分子,#4/作分母，则.

忸板书设计

第2课时

活动一:分式的约分和最简分式

(1)把分式中分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分.

(2)分式的分子、分母(除1以外)没有公因式的分式叫做最简分式.

活动二:例题讲解

例题

设布置作业

一、教材作业

【必做题】

1.教材第6页练习第1,2题.

2.教材第6页习题第1题.

【选做题】

教材第6页习题第2,3题.

二、课后作业

【基础巩固】

1.下列式子是分式且不能再约分的是（）

A.B.

C.D.

2.下列各式不成立的是（）

A.=bB.

C.=2at>1）.=a+b

3.化简的结果是（）

A.B.

C.D.

4.下列各分式变形正确的是（）

A.B.=a+Z>

C.=la1）.

【能力提升】

5.当x<0时,的化简结果是（）

A.Y1B./+1

C.xlD./+1

6.约分.

⑴；（2）；（3）；

（4）.

7.若，求2a36的值.

【拓展探究】

8.将分式约分,再讨论x取哪些整数时，能使分式的值是正整数？

【答案与解析】

1.C（解析A=&能约分;B.不是分式;C.分式的分母与分子中除1以外没有公因式，不能进行约分;D.=户尸,能约

分・）

2.A（解析:A.原式==a”此选项错误.）

3.口（解析:.）

4.C（解析:A.,故本选项错误;B.是最简分式，不能化简为故本选项错误;C.正确;D.=，故本选项错误.）

5.C（解析:因为水0,所以=V1.）

6.解:（1）.（2）.（3）=3/&（4）.

7.解:，即2a=34所以2a3Ho.

8.解:，当尸1,0,3,8时,分式的值是正整数.

区L教学反思

成功之处

本节课体现了学生是学习的主人，学习了类比的思想方法，培养了学生语言表达和概括知识的能力.在分

数约分的基础上，学习分式约分的方法.这一过程由学生自己学习、归纳，这样学生可以把新旧知识联系起来,

学起来也不觉得困难，从而激起学生学习的积极性.

不足之处

高估了学生的基础,部分学生求最大公约数不会，造成约分时学生对公因式的确定还不够准确.

（*再教设计

针对一些对分数约分困难的学生，给予帮扶,为进一步学习分式的约分奠定基础，另外教师在讲分式约分

前应先花一段时间复习因式分解，使得基础比较差的学生学习新知识时能较容易接受.

旧教材习题解答

练习（教材第6页）

1.解:（1）正确.（2）不正确，应为.（3）不正确，应为.（4）正确.

2.解:⑴.（2）.（3）.

习题（教材第6页）

1.解:⑴.(2)=.(3)=x3.(4).(5).(6).

2.解:.当x=2,y=3时，原式=.

3.解:=(3a功：(6aZ>)=l：2,所以小三角形与大三角形的面积比为1：2.

一备课资.

经典例题

❾1化简.

(1)；(2).

解:⑴原式=.

(2)原式=.

［解题策略］本题考查了分式的约分的应用，解此题的关键是找出分式中分子和分母的公因式.

例2

解法V.-xy.

解法2:=

-xy.

你认为这两种解法都正确吗？谈谈你的想法.

〔解析)解法1正确，解法2不正确，当上0时，使分式没有意义.

解:解法1正确，解法2不正确，当x*0时,不能在分子、分母上乘(xy).

12.2分式的乘除

,$教学目标

嘶只写技能1

1.使学生掌握分式乘除法的运算法则.

2.会进行分式乘除法的运算.

3.进一步掌握分式的基本性质，并能用它化简分式或进行分式变形.

，过'程筋捌

1.让学生类比分数乘除法的运算法则，探索分式乘除法的运算法则.

2.在分式乘除法的运算过程中，体会因式分解

在分式乘除法中的作用.

3.启发学生学会观察、分析、寻找解题的途径,提高他们分析问题、解决问题的能力.

通过师生共同交流、探讨,使学生在掌握知识的基础上，认识事物之间的内在联系，获得成就感，培养学生

的创新意识和应用数学的意识.

教学重难点

【重点】掌握分式乘除法运算.

【难点】分子、分母为多项式的分式乘除法运算.

第①课时

区L整体设计

UJ教学目标

嘶识与技能」

1.理解和掌握分式的乘法法则.

2.经历探索分式乘法法则的过程，体会分式乘法法则的合理性.

噎程筋步

1.总结分式的乘法法则，会进行分式的乘法运算，进一步运用类比的数学思想去观察、分析问题.

2.在分式乘法的运算过程中，体会因式分解在分式乘法中的作用，发展有条理的思考和语言表达能力.

1.让学生通过类比，体会到获得成功的喜悦，激发学生的学习热情.

2.在探究分式乘法法则的过程中，进一步体会分类和转化的思想.

¥教学重难点

【重点】分式的乘法法则.

【难点】分子和分母是多项式的乘法.

Q教学准备

【教师准备】课件

【学生准备】复习已学过的分数乘法和因式分解.

旧教学过程

JF新课导入

导入一：

用下面的话引入新课：

上节课，我们学习了分式的基本性质,我们可以发现它与分数的基本性质类似.那么，分式的运算是否也

和分数的运算类似呢？下面我们看投影片，进行探索和交流.

【课件1】观察下列算式：

»

回顾分数与分数相乘的法则.

（分数与分数相乘，用分子相乘的积作为积的分子，分母相乘的积作为积的分母）

猜一猜:=?与同伴交流.

【学生活动】仔细观察，先独立思考，然后在组内交流.

导入二：

师:我们一起来看一道计算题，你会做吗？（黑板出示）.

生:.（教师黑板书写答案）

师:你能用文字来叙述出你做这道题的思路吗？

生:分子乘分子得到分子，分母乘分母得到分母.

师:对，这就是小学所学的分数的乘法,这位同学说得很好.我们大家一起来看看分数的乘法法则.（多媒

体出示分数乘法法则:两个分数相乘,分母与分母相乘的积作为积的分母，分子与分子相乘的积作为积的分

子）

师:刚才我们做的是分数之间的乘法运算，那换成我们刚学过的分式,（黑板出示），大家来猜想一下应该等

于多少呢？

生:等于.

师:同学们还有没有不同的答案？（让学生讨论）

师:对，分式的乘法与分数乘法类似，那你能说出分式乘法的法则吗？

［设计意图］导入一和导入二运用类比的方法,让学生发现分式的乘法法则，体现知识迁移的过程.

导入三：

【课件2】受节约能源宣传的影响，一向满不在乎的小刚也开始节约用水了，他想知道自己过去到底用

了多少水，于是他通过调查资料得出一个信息:他平均每天的用水量是千克，而他自己的有效利用率为，他想了

半天也没有弄明白每天实际有效利用多少水.你能告诉他吗？

列式为：•，提出问题：

（1）这个式子是分式的哪种运算？

（2）又应该怎样计算呢？

这节课我们就来学习一分式的乘法.（板书课题）

［设计意图］通过情境引入，使学生会列分式的乘法算式，从而引出本节课的课题,为下面的学习设下悬

念，引起学生的学习兴趣.

匿新知构建

活动一:分式的乘法法则

［过渡语］根据刚才导入的问题,我们不难得出：1你能根据分数与分数相乘的法则，总结出分式与分式

相乘的法则吗？

说明:以