线性代数课后答案高等教育出版社

...wd......wd......wd...加QQ719283511第一章行列式1利用对角线法则计算以下三阶行列式(1)解2(4)30(1)(1)1180132(1)81(4)(1)2481644(3)解bc2ca2ab2ac2ba2(ab)(bc)(ca)4计算以下各行列式(1)解(2)解(3)解(4)解abcdabcdad16.证明:(1)(ab)3;证明(ab)3(2);证明8.计算以下各行列式(Dk为k阶行列式)(1),其中对角线上元素都是a未写出的元素都是0解(按第n行展开)anan2an2(a21)(2);解将第一行乘(1)分别加到其余各行得再将各列都加到第一列上得[x(n1)a](xa)n第二章矩阵及其运算1.计算以下乘积(5)解(a11x1a12x2a13x3a12x1a22x2a23x3a13x1a2.设求3AB2A及ATB解3.两个线性变换求从z1z2z3到x1x2x3的线性变换解由所以有4.设问(1)ABBA吗?解ABBA因为所以ABBA(3)(AB)(AB)A2B2吗?解(AB)(AB)A2B2因为而故(AB)(AB)A2B25.举反列说明以下命题是错误的(1)假设A20则A0解取则A20但A0(2)假设A2A则A0或AE解取则A2A但A0且AE(3)假设AXAY且A0则XY解取则AXAY且A0但XY7.设求Ak解首先观察用数学归纳法证明当k2时显然成立假设k时成立，则k1时，由数学归纳法原理知8.设AB为n阶矩阵，且A为对称矩阵，证明BTAB也是对称矩阵证明因为ATA所以(BTAB)TBT(BTA)TBTATBBTAB从而BTAB是对称矩阵11求以下矩阵的逆矩阵(1)解|A|1故A1存在因为故(3)解|A|20故A1存在因为所以(4)(a1a2an0)解由对角矩阵的性质知12.利用逆矩阵解以下线性方程组(1)解方程组可表示为故从而有19.设P1AP其中求A11解由P1AP得APP1所以A11A=P11P|P|3而故20.设APP其中求(A)A8(5E6AA2)解()8(5E62)diag(1158)[diag(555)diag(6630)diag(1125)]diag(1158)diag(1200)12diag(100)(A)P()P121.设AkO(k为正整数)证明(EA)1EAA2Ak1证明因为AkO所以EAkE又因为EAk(EA)(EAA2Ak所以(EA)(EAA2Ak1)E由定理2推论知(EA)可逆且(EA)1EAA2Ak1证明一方面有E(EA)1(EA)另一方面由AkO有E(EA)(AA2)A2Ak1(Ak1Ak)(EAA2Ak1)(EA)故(EA)1(EA)(EAA2Ak1)(EA)两端同时右乘(EA)1就有(EA)1(EA)EAA2Ak122设方阵A满足A2A2EO证明A及A2E都可逆并求A1及(A2E)1证明由A2A2EOA2A2E即A(AE)2E或由定理2推论知A可逆且由A2A2EOA2A6E4E即(A2E)(A3E)4E或由定理2推论知(A2E)可逆且证明由A2A2EO得A2A2E|A2A|2即|A||AE|2故|A|0所以A可逆而A2EA2|A2E||A2||A|20故A2E也可逆由A2A2EOA(AE)2EA1A(AE)2A1E又由A2A2EO(A2E)A3(A2E)4E(A2E)(A3E)4E所以(A2E)1(A2E)(A3E)4(A2E)1矩阵的初等变换与线性方程组1把以下矩阵化为行最简形矩阵(1)解(下一步r2(2)r1r3(3)r1)~(下一步r2(1)r3(2))~(下一步r3r2)~(下一步r33)~(下一步r23r3)~(下一步r1(2)r2r1r3)~(3)解(下一步r23r1r32r1r43r1)~(下一步r2(4)r3(3)r4(5))~(下一步r13r2r3r2r4r2)~3.两个线性变换求从z1z2z3到x1x2x3的线性变换解由所以有4.试利用矩阵的初等变换求以下方阵的逆矩阵(1)解~~~~故逆矩阵为(2)解~~~~~故逆矩阵为5.(2)设求X使XAB解考虑ATXTBT因为所以从而9.求作一个秩是4的方阵它的两个行向量是(10100)(11000)解用向量容易构成一个有4个非零行的5阶下三角矩阵此矩阵的秩为4其第2行和第3行是向量12.设问k为何值可使(1)R(A)1(2)R(A)2(3)R(A)3解(1)当k1时R(A)1(2)当k2且k1时R(A)2(3)当k1且k2时R(A)3P106/1.向量组Aa1(0123)Ta2(3012)Ta3(2301)TBb1(2112)Tb2(0211)Tb3(4413)T证明B组能由A组线性表示但A组不能由B组线性表示证明由知R(A)R(AB)3所以B组能由A组线性表示由知R(B)2因为R(B)R(BA)所以A组不能由B组线性表示4.判定以下向量组是线性相关还是线性无关(1)(131)T(210)T(141)T(2)(230)T(140)T(002)T解(1)以所给向量为列向量的矩阵记为A因为所以R(A)2小于向量的个数从而所给向量组线性相关(2)以所给向量为列向量的矩阵记为B因为所以R(B)3等于向量的个数从而所给向量组线性相无关5问a取什么值时以下向量组线性相关a1(a11)Ta2(1a1)Ta3(11解以所给向量为列向量的矩阵记为A由知当a1、0、1时R(A)3此时向量组线性相关9.设b1a1a2b2a2a3b3a3a4b4a4a1证明向量组b1b2证明由条件得a1b1a2a2b2a3a3b3a4于是a1b1b2a3b1b2b3ab1b2b3b4a1从而b1b2b3b40这说明向量组b1b2b3b4线性相关11.(1)求以下向量组的秩,并求一个最大无关组(1)a1(1214)Ta2(9100104)Ta3(2428)T解由知R(a1a2a3)2因为向量a1与a2的分量不成比例故a1a2线性无关所以a1a2是一个最大无关组12.利用初等行变换求以下矩阵的列向量组的一个最大无关组(1)解因为所以第1、2、3列构成一个最大无关组.(2)解因为所以第1、2、3列构成一个最大无关组13.设向量组(a31)T(2b3)T(121)T(231)T的秩为2求ab解设a1(a31)Ta2(2b3)Ta3(121)Ta4(231)T因为而R(a1a2a3a4)2所以a2b520.求以下齐次线性方程组的根基解系(1)解对系数矩阵进展初等行变换有于是得取(x3x4)T(40)T得(x1x2)T(163)T取(x3x4)T(04)T得(x1x2)T(01)T因此方程组的根基解系为1(16340)T2(0104)T(2)解对系数矩阵进展初等行变换有于是得取(x3x4)T(190)T得(x1x2)T(214)T取(x3x4)T(019)T得(x1x2)T(17)T因此方程组的根基解系为1(214190)T2(17019)T26.求以下非齐次方程组的一个解及对应的齐次线性方程组的根基解系(1)解对增广矩阵进展初等行变换有与所给方程组同解的方程为当x30时得所给方程组的一个解(81302)T