初中数学易错题5 .1 相交线

5.1相交线

一.填空题（共2小题）

1.如果两个角的两条边分别垂直，而其中一个角比另一个角的4倍少60°,则

这两个角的度数分别为.

【分析】分两种情况进行讨论，依据两个角的两条边分别垂直画出图形，而其中

一个角比另一个角的4倍少60。，即可得到这两个角的度数.

【解答】解:如图，a+p=180°,p=4a-60°,

解得a=48°,0=132°；

如图，a=0,|3=4a-60",

解得a邛=20。；

综上所述，这两个角的度数分别为48。、132。或20。、20°.

故答案为：48。、132。或20。、20°.

【点评】本题考查了垂线，当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时,

就说这两条直线互相垂直.

2.在一平面中，两条直线相交有一个交点；三条直线两两相交最多有3个交点;

四条直线两两相交最多有6个交点......当相交直线的条数从2至n变化时，最

多可有的交点数P与直线条数n之间的关系如下表：

直线条数n/条2345678…

最多交点个数p/13610

个

则n与p的关系式为：.

【分析】根据题意，3条直线相交最多有3个交点，4条直线相交最多有6个交

点，5条直线相交最多有10个交点.而3=1+2,6=1+2+3,10=1+2+3+4,故可

猜想，n条直线相交，最多有1+2+3+...+(n-1)=ln(n-1)个交点.

2

【解答】解：•••3条直线相交最多有3个交点，4条直线相交最多有6个交点.

而3=1+2,6=1+2+3,10=1+2+3+4,

...可猜想，n条直线相交，最多有1+2+3+...+(n-1)=ln(n-1)个交点.

2

即p=.Ln(n-1),

2

故答案为:p=ln(n-1).

2

【点评】本题主要考查了相交线，此题着重培养学生的观察、实验和猜想、归纳

能力，掌握从特殊向一般猜想的方法.

二.解答题(共8小题)

3.已知直线AB和CD相交于。点，CO±OE,OF平分NAOE,Z2=26°.

(1)写出图中所有N4的余角.

(2)写出图中相等的三对角：①②③.

(3)求N5的度数.

【分析】(1)依据垂直的定义以及对顶角相等，即可得到所有N4的余角；

(2)依据对顶角相等，角平分线的定义以及垂直的定义，即可得到相等的三对

角；

(3)根据垂直的定义可得NCOE=90。，然后求出NEOF,再根据角平分线的定义

求出NAOF,然后求出NAOC,再根据对顶角相等解答即可.

【解答】解：(1)VCO±OE,

/.Z4+Z5=90o,

又

AZl+Z5=90°,

，N4的余角为Nl,Z5,

故答案为：Nl,N5；

(2)直线AB和CD相交于0点,

AZ1=Z5,

VOF平分NAOE,

，NAOF=NEOF,

CO1OE,

/.ZCOE=ZDOE；

故答案为：Z1=Z5,ZAOF=ZEOF,ZCOE=ZDOE；

(3)VCO±OE,

，NCOE=90°,

XVZCOF=26",

AZEOF=90°-26°=64°,

VOF平分NAOE,

NAOF=EOF=64°,

，ZAOC=64°-26°=38°,

•.,NAOC与N5是对顶角，

AZ5=38°.

【点评】本题考查了余角和补角的定义，角平分线的定义，准确识图，找出各角

度之间的关系是解题的关键.

4.如图，直线AB与CD相交于点O,OE是NAOC的平分线OFLCD,OG±OE,

ZBOD=52°.

（1）求NAOF的度数；

（2）NEOF与NBOG是否相等呢？请说明理由;

（3）直接写出图中NAOE的所有余角.

【分析】（1）直接利用垂直的定义结合对顶角的定义得出NAOF的度数；

（2）分别求出NEOF与NBOG的度数进而得出答案.

（3）依据0E是NAOC的平分线，OF±CD,OG1OE,即可得到图中NAOE的所

有余角.

【解答】解:（1）VOF1CD,

/.ZCOF=90o,

又VZAOC与ZBOD是对顶角，

ZAOC=ZBOD=52°,

:.ZAOF=ZCOF-ZAOC=90°-52°=38°；

（2）相等，

理由：•.'NAOC与NBOD是对顶角，

，ZAOC=ZBOD=52°,

VOE是NAOC的平分线，

，NAOE」NAOC=26°,

2

又•.'OGLOE,

，NEOG=90°,

AZBOG=180°-ZAOE-ZEOG=64°,

而/EOF=NAOF+NAOE=38°+26°=64°,

/.ZEOF=ZBOG.

(3)：OE是ZAOC的平分线，

，ZAOE=ZCOE=26°,

又'.。丈口，

/.ZEOF+ZCOE=900,即NEOF+NAOE=90°,

又YOFLCD,OG1OE,

/.ZCOG=ZEOF,

.•.ZCOG+ZAOE=90°,

VZBOG+ZAOE=90°,ZCOG+ZCOE=90°,ZAOE=ZCOE,

.•.ZBOG=ZCOG,

/.ZBOG+ZAOE=90°,

，图中NAOE的所有余角为NEOF,ZCOG,ZBOG.

【点评】此题主要考查了垂线的定义以及角平分线的定义和对顶角定义，正确把

握相关定义是解题关键.

5.如图，OALOB,引射线0C（点C在NAOB外），0D平分NBOC,0E平分N

AOD.

（1）若NBOC=40。，请依题意补全图，并求NBOE的度数；

（2）若NBOC=a（0°<a<90o）,请直接写出NBOE的度数（用含a的代数式表

示）.

BB

【分析】（1）首先根据角平分线的定义求得NBOD的度数，然后求得NAOD的

度数，根据角平分线的定义求得NDOE,然后根据NBOE=NDOE-NBOD；

（2）与（1）解法相同.

【解答】解:（1）如图，:OD是NBOC的平分线，

/.ZCOD=ZBOD=20o,

，ZAOD=ZBOD+ZAOB=20o+90°=110°,

又,.•0E是NAOD的平分线，

/.ZDOE=1ZAOD=55°,

2

/.ZBOE=ZDOE-ZBOD=55°-20°=35°；

(2)同(1)可得NCOD=NBOD=La,

2

ZAOD=la+90°,

2

ZDOE=1ZAOD=1(la+90°)=la+45°,

2224

贝11|/80£=L6(+45。-la=45°-la.

备用图

【点评】本题考查了角度的计算，解题时注意：从一个角的顶点出发，把这个角

分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线，理解角平分线的定义是关键.

6.如图，直线CD与EF相交于点0,ZCOE=60°,将一直角三角尺AOB的直角

顶点与0重合，OA平分NCOE.

（1）求NBOD的度数；

（2）将三角尺AOB以每秒3。的速度绕点0顺时针旋转，同时直线EF也以每秒

9。的速度绕点。顺时针旋转，设运动时间为t秒（0WtW40）.

①当t为何值时，直线EF平分NAOB；

②若直线EF平分NBOD,直接写出t的值.

【分析】（1）依据NCOE=60。，0A平分NCOE,可得NAOC=30。，再根据NAOB=90。,

即可得到NBOD=180°-30°-90°=60°；

（2）①分两种情况进行讨论：当OE平分NAOB时，ZAOE=45°；当OF平分N

AOB时，AOF=45°；分别依据角的和差关系进行计算即可得到t的值；

②分两种情况进行讨论：当OE平分NBOD时，ZBOE=1ZBOD；当OF平分/

2

BOD时，ZDOF=1ZBOD；分别依据角的和差关系进行计算即可得出t的值.

2

【解答】解：（1）VZCOE=60°,0A平分NCOE,

；.NAOC=30。，

又•.•NAOB=90°,

ZBOD=180°-30°-90°=60°；

（2）①分两种情况：

当0E平分NAOB时，ZAOE=45°,

IE

A.___L._/B

cD

o

即9t+30°-3t=45°,

解得t=2.5；

当OF平分NAOB时，AOF=45",

即9t-150°-3t=45°,

解得t=32.5；

综上所述，当t=2.5s或32.5s时，直线EF平分NAOB；

②t的值为12s或36s.

分两种情况:

当OE平分NBOD时，ZBOE=1ZBOD,

即9t-60°-3t=l(60°-3t),

2

解得t=12；

当OF平分NBOD时，ZDOF=1ZBOD,

2

解得t=36；

综上所述，若直线EF平分NBOD,t的值为12s或36s.

【点评】本题主要考查了角平分线的定义，旋转的速度，角度，时间的关系，应

用方程的思想是解决问题的关键，还需要通过计算进行初步估计位置，掌握

分类思想，注意不能漏解.

7.直线AB、CD相交于点0,0E平分NBOD,0F1CD,垂足为0.

(1)若NEOF=54。，求NA0C的度数；

(2)①在NA0D的内部作射线0G_L0E；

②试探索NA0G与NE0F之间有怎样的关系？并说明理由.

【分析】(1)依据OFLCD,ZEOF=54°,可得NDOE=90°-54°=36°,再根据0E

平分NB0D,即可得出NBOD=2NDOE=72。，依据对顶角相等得到NAOC=72。；

(2)依据0E平分NB0D,可得NB0E=ND0E,再根据0F，CD,0G10E,即可

得到ZEOF+ZDOE=90°,ZAOG+ZBOE=90°,依据等角的余角相等，可得/EOF=

ZA0G.

【解答】解：(1)VOF±CD,ZEOF=54°,

AZDOE=90--54°=36°,

XV0E平分NB0D,

/.ZB0D=2ZD0E=72o,

,ZAOC=72°；

(2)①如图所示：

D

G

②/AOG=NEOF；

理由：•..OE平分NBOD,

/.ZBOE=ZDOE,

VOF±CD,OG±OE,

/.ZEOF+ZDOE=90°,ZAOG+ZBOE=90°,

/.ZEOF=ZAOG.

【点评】本题主要考查了垂线，角平分线的定义以及余角的综合运用，当两条直

线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其

中一条直线叫做另一条直线的垂线，解决问题的关键是掌握：等角的余角相

等.

8.如图，直线AB与CD相交于点0,ZBOE=ZDOF=90°.

(1)写出图中与NCOE互补的所有的角(不用说明理由).

(2)问：NCOE与NAOF相等吗？请说明理由；

(3)如果NAOC=L/EOF,求/AOC的度数.

【分析】(1)依据直线AB与CD相交于点。，可得NCOE+NDOE=180。，依据/

BOE=ZDOF=90°,可得NDOE=NBOF,即可得出与NCOE互补的所有的角；

(2)依据NAOE=NCOF,可得NAOE-ZAOC=ZCOF-ZAOC,进而得至【J/COE=

ZAOF；

(3)设NAOC=x,则NE0F=5x,依据NAOE=90。，可得x+2x=90。，进而得出NAOC

的度数.

【解答】解：(1)•.•直线AB与CD相交于点0,

/.ZCOE+ZDOE=180o,

XVZBOE=ZDOF=90°,

AZDOE=ZBOF,

.•.与NCOE互补的所有的角为NDOE,ZBOF；

(2)NCOE与NAOF相等，

理由：VZBOE=ZDOF=90",

，ZAOE=ZCOF,

,ZAOE-ZAOC=ZCOF-ZAOC,

/.ZCOE=ZAOF；

(3)设NAOC=x,则NEOF=5x,

VZCOE=ZAOF,

，ZCOE=ZAOF=1(5x-x)=2x,

2

,/NAOE=90。，

，x+2x=90°,

.,.x=30",

ZAOC=30°.

【点评】本题考查了对顶角、邻补角，余角和补角计算的应用，常常与等式的性

质、等量代换相关联.

9.如图，已知直线AB与CD相交于点。，0E是NBOD的平分线，ZEOF=90°.若

ZBOD=58°,求NCOF的度数.

A

OB

C

【分析】根据角平分线的定义求出/DOE,再求出NDOF,然后根据邻补角的定

义列式计算即可得解.

【解答】解：:0E是NBOD的平分线,ZBOD=58°,

二ZDOE=1ZBOD=1X58°=29°,

22

VZEOF=90°,

/.ZDOF=ZEOF-ZDOE=90°-29°=61°,

ZCOF=180°-ZDOF=180°-61°=119°.

【点评】本题考查了角平分线的定义，邻补角的两个角的和等于180°,熟记概

念并准确识图，理清图中各角度之间的关系是解题的关键.

10.已知直线AB和CD交于点0,ZA0C的度数为x,ZBOE=90°,OF平分NAOD.

(1)当x=19°48z,求NEOC与NFOD的度数.

(2)当x=60。，射线OE、OF分别以10为，4%的速度同时绕点。顺时针转动，

求当射线0E与射线OF重合时至少需要多少时间？

(3)当x=60°,射线0E以107s的速度绕点0顺时针转动,同时射线OF也以4%

的速度绕点。逆时针转动，当射线0