事件的关系和运算导学案

10.1.2事件的关系和运算

导学案

编写：廖云波初审：孙锐终审：孙锐廖云波

【学习目标】

1.了解事件的包含与相等的含义及概率关系.

2.理解事件和（并）、积（交）运算的含义及其概率关系.

3.理解事件的互斥与对立关系，掌握互斥事件的概率加法公式.

4.会进行事件的混合运算.

【自主学习】

知识点1事件的包含与相等

（1）包含关系

一般地，如果事件如发生.时,事件B一定发生，则称“A包含于B"（或“8包含A”）,

记作（或B2A）.用图形表示为：

（2）相等关系

如果事件A发生时，事件B一定发生；而且事件B发生时，事件A也一定发生，则称“A

与B相等”,记作A=B.

知识点2和事件与积事件

（1）事件的和（并）

m

给定事件A,B,由.所有A中的样本点与B中的样本点组成的事件称为A与B的和（或并）,

记作A+B（或AUB）.

事件A与B的和可以用如图中的阴影部分表示.

（2）事件的积（交）

给定事件A,B,由A与B中的公共样本点组成的事件称为4与8的积（或交）,

记作（或AC8）.

事件A与事件B的积可以用如图中的阴影部分表示.

知识点3事件的互斥与对立

给定事件4,B,若事件A与8不能同时发生,则称4与3互斥,

记作A8=0（或ACB=。）.

【合作探究】

探究一事件关系的判断

【例1】从40张扑克牌(红桃、黑桃、方块、梅花，点数从1〜10各1张)中，任取一张.

(1)“抽出红桃”与“抽出黑桃”；

(2)“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”；

(3)“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”.

判断上面给出的每对事件是否为互斥事件，是否为对立事件，并说明理由.

［分析］要判断两个事件是不是互斥事件，只需要分别找出各个事件包含的所有结果，看它

们之间能不能同时发生.在互斥的前提下，看两个事件的并事件是否为必然事件，从而可判

断是否为对立事件.

［解］(1)是互斥事件，不是对立事件.

理由是：从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出红桃”和“抽出黑桃”是不可能同时发生

的，所以是互斥事件.同时，不能保证其中必有一个发生，这是由于还可能抽出“方块”或者

“梅花”，因此，二者不是对立事件.

(2)既是互斥事件，又是对立事件.

理由是：从4()张扑克牌中，任意抽取1张，“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”，两个事件

不可能同时发生，但其中必有一个发生，所以它们既是互斥事件，又是对立事件.

(3)不是互斥事件，也不是对立事件.

理由是：从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点

数大于9”这两个事件可能同时发生，如抽得牌点数为10,因此，二者不是互斥事件，当然

不可能是对立事件.

归纳总结：

(1)利用基本概念

①互斥事件不可能同时发生；

②对立事件首先是互斥事件，且一次试验中必有一个要发生.

(2)利用集合观点

设事件A与8所含的结果组成的集合分别是A,B.

①若事件A与5互斥，则集合A08=。；

②若事件A与B对立，则集合4门8=0且4118=。.

【练习1】从装有5个红球和3个白球的口袋内任取3个球，那么下列各对事件中，互斥而

不对立的是()

A.至少有一个红球与都是红球

B.至少有一个红球与都是白球

C.至少有一个红球与至少有一个白球

D.恰有一个红球与恰有两个红球

【答案】D

解析：根据互斥事件与对立事件的定义判断.A中两事件不是互斥事件，事件“三个球都是

红球”是两事件的交事件；B中两事件是对立事件；C中两事件能同时发生，如“恰有一个红

球和两个白球“，故不是互斥事件；D中两事件是互斥而不对立事件.

探究二事件的运算

［例2］掷一枚骰子，下列事件：

A=”出现奇数点”，

B="出现偶数点”，

C="点数小于3”，

D="点数大于2”，

E="点数是3倍数”.

求：(1)ACB,BC；

(2)AUB,B+C；

(3)记百为事件H的对立事件，求万，.c,Buc,D+E,

［分析］利用事件间运算的定义.列出同一条件下的试验所有可能出现的结果，分析

并利用这些结果进行事件间的运算.

【答案】(1)408=0,3C={2}.

(2)AU8={1,2,34,5,6},

B+C={1,2,4,6}.

⑶方={1,2}；了C=BC={2}；

~BUC=AUC={1,2,3,5}；~D+~E={1,2,4,5).

归纳总结：进行事件的运算时，一是要紧扣运算的定义；二是要全面考查同一条件下的试验

可能出现的全部结果，必要时可利用Venn图或列出全部的试验结果进行分析.

【练习2】盒子里有6个红球，4个的白球，现从中任取3个球，设事件4={3个球中有1

个红球，2个白球},事件B={3个球中有2个红球，1个白球},事件C={3个球中至少有

1个红球},事件E={3个红球},那么事件C与A,B,£的运算关系是()

A.C=(AC8)UE

B.C=4UBUE

C.C=(AUB)CE

D.C=AQBHE

【答案】B

解析：由题意可知C=AU8U£

课后作业

A组基础题

一、选择题

1.抛掷一枚骰子，”向上的点数是1或2”为事件A,“向上的点数是2或3”为事件员则（）

A.AUB

B.A=B

C.A+B表示向上的点数是1或2或3

D.AB表示向上的点数是1或2或3

【答案】C

解析设A={1,2},8={2,3},则4n8={2},AUB={1,2,3},所以A+8表示向上的点数为1或2或

3,故选C.

2.从装有3个红球和4个白球的口袋中任取3个小球，则下列选项中的两个事件是互斥事

件的为（）

A.“都是红球”与“至少1个红球”

B.“恰有2个红球”与“至少1个白球”

C.“至少1个白球”与“至多1个红球”

D.“2个红球，1个白球”与“2个白球，1个红球”

【答案】D[A,B,C中两个事件是包含与被包含关系，只有D,两个事件不可能同

时发生，是互斥事件.]

3.抽查10件产品，记事件A为“至少有2件次品”，则A的对立事件为（）

A.至多有2件次品B.至多有1件次品

C.至多有2件正品D.至少有2件正品

【答案】B[至少有2件次品包含2,3,4,5,6,7,8,9,10件次品，共9种结果，故它的对立

事件为含有1或0件次品，即至多有I件次品.]

4.给出以下三个命题：（1）将一枚硬币抛掷两次，记事件A：“两次都出现正面”，事件8：“两

次都出现反面“，则事件A与事件B是对立事件；（2）在命题（1）中，事件A与事件B是互斥

事件；（3）在10件产品中有3件是次品，从中任取3件，记事件4“所取3件中最多有2

件是次品”，事件8：“所取3件中至少有2件是次品“，则事件A与事件B是互斥事件.其

中命题正确的个数是（）

A.0B.1

C.2D.3

【答案】B[（1）还有可能出现一次出现正面，一次出现反面这种情况，所以事件A和〃是

互斥事件，但不是对立事件，所以（1）错误；（2）正确；（3）中可能出现2件次品，1件正品的

情况，所以事件A与事件B不是互斥事件.故选B.1

5.如果事件4,B互斥，那么（）

A.AU8是必然事件B.AU8是必然事件

C.，与否一定互斥D.,与否一定不互斥

【答案】B[用集合的表示法中的“％nn图”解决比较直观，如图所示，.口后=/是

必然事件，故选B.

6.（多选题）对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设事件A=｛两弹都击中

飞机｝,事件8=｛两弹都没击中飞机｝,事件C=｛恰有一弹击中飞机｝,事件。=｛至少有一

弹击中飞机｝,下列关系正确的是（）

A.AQDB.BfW=。

C.AUC=DD.AUC=BU。

【答案】ABC[“恰有一弹击中飞机”指第一枚击中第二枚没中或第一枚没中第二枚击

中，“至少有一弹击中''包含两种情况：一种是恰有一弹击中，一种是两弹都击中，

/.AUC^BUD,]

二、填空题

7.事件“某人从装有5个黑球，5个白球的袋中任取5个小球，其中至少4个是黑球”的对

立事件是.

【答案】某人从装有5个黑球,5个白球的袋中任取5个小球，其中至多3个是黑球［事

件“某人从装有5个黑球，5个白球的袋中任取5个小球，其中至少4个是黑球”的对立事件

是“某人从装有5个黑球，5个白球的袋中任取5个小球，其中至多3个是黑球”.］

8.同时抛掷两枚均匀的骰子，事件“都不是5点且不是6点”的对立事件为.

①一个是5点，另一个是6点；

②一个是5点，另一个是4点；

③至少有一个是5点或6点；

④至多有一个是5点或6点.

【答案】③［同时掷甲、乙两枚骰子，可能出现的结果共有36个，“都不是5点且不

是6点”包含16个，其对立事件是“至少有一个是5点或6点］

9.向上抛掷一枚骰子，设事件A=｛点数为2或4｝,事件8=｛点数为2或6｝,事件C=｛点

数为偶数｝,则事件C与4,B的运算关系是.

【答案】C=4UB［由题意可知C=AUB.］

三、解答题

10..某县城有甲、乙两种报纸供居民订阅，记事件A为“只订甲报”，事件8为“至少订一种

报”，事件C为“至多订一种报”，事件。为“不订甲报”，事件E为“一种报也不订”.判断下

列事件是不是互斥事件，如果是，判断它们是不是对立事件.

(1)4与C；(2)8与E；(3)8与D；(4)8与C；(5)C与E.

【答案，解］(1)由于事件。'至多订一种报''中可能只订甲报，即事件4与事件C有可

能同时发生，故A与C不是互斥事件.

(2)事件ZT至少订一种报”与事件?一种报也不订”是不可能同时发生的，故事件B与E

是互斥事件.由于事件8和事件E必有一个发生，故8与E也是对立事件.

(3)事件中至少订一种报”中有可能只订乙报，即有可能不订甲报，也就是说事件B发生，

事件。也可能发生，故B与。不是互斥事件.

(4)事件至少订一种报”中有3种可能：“只订甲报”“只订乙报”“订甲、乙两种报”.事

件。'至多订一种报''中有3种可能：“一种报也不订”"只订甲报''"只订乙报即事件B与事

件C可能同时发生，故B与C不是互斥事件.

(5)由(4)的分析可知，事件b一种报也不订”仅仅是事件C的一种可能，事件C与事件

E可能同时发生，故C与E不是互斥事件.

11.某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学参加演讲比赛，用集合的形式分别写

出下列事件，并判断下列每对事件的关系：

(1)”恰有1名男生”与“恰有2名男生”；

(2)“至少有1名男生”与“全是男生”：

(3)“至少有1名男生”与“全是女生”；

(4)“至少有1名男生”与“至少有1名女生”.

【答案】［解］设3名男生用数字1,2,3表示，2名女生用4,5表示，用(x,y)(xd{l,2,3},

yC{4,5})表示选出参加比赛的2名同学，则试验的样本空间为

♦={(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5)}.

(1)设A="恰有1名男生"，5="恰有2名男生”,

则4={(1,4),(1,5),(2,4).(2,5),(3,4),(3,5)},8={(1,2),(1,3),(2,3)},

因为4nB=0,所以事件A与事件8互斥且不对立.

(2)设C="至少有1名男生”，£>="全是男生”，

则。={(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5)},

£>={(1,2),(1,3),(2,3)),因为CCO=。，所以。UC.即事件C与事件O不互斥

(3)设3="至少有1名男生”，F=“全是女生”,则E={(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),

(2,4),(2,5),(3.4),(3,5)},

F={(4,5)},因为EUF=Q,ECF=0,所以E和尸互为对立事件.

(4)设G="至少有1名男生”，H="至少有1名女生”，则

G={(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5)},

“={(1,4),(1,5),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5)},

由于GCG={(1,4),(1,5),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5)},所以G与H不互斥.

B组能力提升

一、选择题

1.(多选题)下列说法中，不正确的是()

A.若事件A与事件B是互斥事件，则P(A)+P(B)=1

B.若事件A与事件B满足条件:P(AU8)=P(A)+P(8)=1,则事件A与事件B是对立事件

C.一个人打靶时连续射击两次，则事件“至少有一次中靶”与事件“至多有一次中靶”是对立事

件

D.把红、橙、黄3张纸牌随机分给甲、乙、丙3人，每人分得1张,则事件“甲分得红牌”与事

件“乙分得红牌”是互斥事件

【答案】ABC

解析互斥事件的含义是事件A与事件8在任何一次试验中不会同时发生，即AOB=。;对立事

件的含义是事件A与事件B在任何一次试验中有且仅有一个发生4A8为不可能事件，且

AUB为必然事件，即P(ACIB)=O且P(AUB)=1.所以只有D正确.

2.(多选题)下列各组事件中，是互斥事件的是()

A.一个射手进行一次射击，命中环数大于8与命中环数小于6

B.统计一个班的数学成绩，平均分不低于90分与平均分不高于90分

C.播种100粒菜籽，发芽90粒与发芽80粒

D.检验某种产品，合格率高于70%与合格率低于70%

【答案】ACD[对于B,设事件4为平均分不低于90分，事件4为平均分不高于90分，

则ACVh为平均分等于90分，A”4可能同时发生，故它们不是互斥事件.而A、C、D

显然都是互斥事件.]

3.(多选题)抛掷一枚骰子，观察掷出的点数，设事件A=｛出现奇数点｝,事件B=｛出现2

点｝,事件C=｛出现奇数点或2点｝,则下列成立的是()

A.AQCB.

C.AUB=CD.BCC=@

【答案】ABC卜易知AUB=C,BCC=B,所以选项A、B,C正确，选项D不正确.]

二、填空题

4.（一题两空）如图所示，事件A="甲元件正常”，B="乙元件正常”，C="丙元件正常”.则

AUBUC表示的含义为,TnTn-c表示的含义为.

H-rZzTZnH-

【答案】电路工作正常电路工作不正常

三、解答题

5.某连锁火锅城开业之际，为吸引更多的消费者，开展抽奖活动，前20位顾客可参加如下

活动：摇动如图所示的游戏转盘（上面扇形的圆心角都相等），顾客可以免费获得按照指针所

指区域的数字10倍金额的店内菜品或饮品，最高120元，每人只能参加一次这个活动.记

事件A：“获得不多于30元菜品或饮品”.

（1）求事件A包含的基本事件:

（2）写出事件A的对立事件，以及一个事件A的互斥事件.

【答案】（1）事件A包含的基