2024辽宁中考数学二轮专题复习 微专题 常考全等模型（课件）

微专题常考全等模型模型一平移型模型分析模型展示已知BE＝CF，AB∥DE，AC∥DF.模型特点沿同一直线(BC)平移可得两个三角形重合解题思路证明三角形全等的关键：(1)加(减)CE，得BC＝EF；(2)利用平行线性质找对应角相等模型应用1.如图，点B，E，C，F在一条直线上，AB＝DF，AC＝DE，BE＝CF.求证：∠A＝∠D.第1题图证明：∵BE＝CF，∴BE＋EC＝CF＋EC，即BC＝EF.在△ABC和△DFE中，

∴△ABC≌△DFE，∴∠A＝∠D.模型二轴对称型模型分析模型展示有公共边有公共顶点模型特点所给图形沿公共边所在直线或者经过公共顶点的某条直线折叠，两个三角形完全重合解题思路证明三角形全等的关键：(1)找公共角、垂直、对顶角、等腰等条件得对应角相等；(2)找公共边、中点、等底角、相等边、线段的和差等条件得对应边相等模型应用2.如图，四边形ABCD中，AB＝AD，AC、BD是对角线，∠1＝∠2.求证：△BCD是等腰三角形．第2题图证明：在△ABC与△ADC中，∴△ABC≌△ADC；∴BC＝DC，∴△BCD是等腰三角形．3.如图，已知BE⊥AC，CD⊥AB，垂足分别为E，D，BE与CD相交于点F，FD＝FE.(1)求证：AD＝AE；第3题解图(1)证明：如解图，连接AF，∵BE⊥AC，CD⊥AB，FD＝FE，∴∠AEF＝∠ADF＝90°，在Rt△ADF和Rt△AEF中，∴Rt△ADF≌Rt△AEF，∴AD＝AE；(2)已知AC＝5，FE＝1，求四边形ABFC的面积．(2)解：∵BE⊥AC，CD⊥AB，∴∠CEF＝∠BDF＝90°，在△BDF和△CEF中，∴△BDF≌△CEF，∴DF＝EF，∴S△BDF＝S△CEF，第3题解图由(1)知Rt△ADF≌Rt△AEF，∴S△ADF＝S△AEF，∴S四边形ABFC＝2(S△AEF＋S△CEF)＝2S△ACF＝2××AC×FE＝2××5×1＝5.第3题解图模型三一线三等角型模型分析模型展示两个三角形在直线同侧锐角一线三等角直角一线三垂直钝角一线三等角模型展示两个三角形在直线异侧已知∠1＝∠2＝∠3结论当AC＝BP或AP＝BD或CP＝PD时，△CAP≌△PBD解题思路利用三角形内角和为180°及内外角关系，通过等角代换得到一组相等的角，构造AAS或ASA证明三角形全等锐角一线三等角直角一线三垂直钝角一线三等角模型应用4.如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点E是DC延长线上的一点，连接BE，过点E作EF⊥BE，与AD的延长线交于点F，若CE＝2，求证：BE＝EF.第4题图证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠BCE＝∠EDF＝90°，∵EF⊥BE，∴∠BEF＝90°，∵∠CBE＋∠BEC＝90°，∠BEC＋∠DEF＝90°，∴∠CBE＝∠DEF，∵AB＝4，BC＝6，CE＝2，∴BC＝DE，在△BCE和△EDF中，∴△BCE≌△EDF，∴BE＝EF.第4题图5.如图，在△ABC中，点D，E，F分别在AB，BC，AC上，∠B＝∠C＝∠DEF＝60°，BD＝CE.求证：DE＝EF.第5题图证明：∵∠B＋∠BDE＋∠BED＝180°，∠DEF＋∠FEC＋∠BED＝180°，∠B＝∠DEF＝60°，∴∠BDE＝∠CEF；在△BDE和△CEF中，∴△BDE≌△CEF，∴DE＝EF.模型四不共顶点旋转型(沈阳4考；抚本铁辽葫5年5考)模型分析模型展示已知BF＝CE，AB∥DE，AC∥DF.不共顶点模型特点(1)不共顶点旋转问题，绕某一点旋转，再平移可得两三角形重合；(2)共顶点旋转问题(手拉手模型)解题思路证明三角形全等的关键：①由BF＝CE→BF＋CF＝CE＋CF→BC＝EF；②利用平行线性质找对应角相等模型应用6.如图，点B，C，E，F在同一直线上，点A，D在BC的异侧，AB＝CD，BF＝CE，∠B＝∠C.(1)求证：AE∥DF.第6题图(1)证明：∵BF＝CE，∴BF＋EF＝CE＋EF，即BE＝CF，在△ABE和△DCF中，∴△ABE≌△DCF，∴∠AEB＝∠DFC，∴AE∥DF；第6题图(2)若∠A＋∠D＝144°，∠C＝30°，求∠AEC的度数．(2)解：∵△ABE≌△DCF，∴∠A＝∠D，∠B＝∠C＝30°，∵∠A＋∠D＝144°，∴∠A＝72°，∴∠AEC＝∠A＋∠B＝72°＋30°＝102°.第6题图模型五共顶点旋转型(手拉手型)模型分析模型特点共顶点：点A；等线段：AB＝AC，AD＝AE；等角度：∠BAC＝∠DAE模型展示

解题思路证明三角形全等的关键：(1)共顶点：加(减)共顶点的公共角∠BAE得一组对应角相等；(2)利用已知两组边相等或者等腰、等边、正方形、菱形等得到两组对应边相等结论△CAE≌△BAD(SAS)，BD＝CE，∠BPC＝∠BAC(“8字型”证角相等)模型应用7.如图，两个等腰直角△ADC与△EDG，∠ADC＝∠EDG＝90°，连接AG，CE交于点H.求证：AG＝CE.第7题图证明：∵△ADC与△EDG是等腰直角三角形，∴AD＝CD，DG＝DE，且∠ADC＝∠GDE＝90°，∴∠ADG＝∠CDE，在△ADG与△CDE中，∴△ADG≌△CDE，∴AG＝CE.第7题图8.如图，点P是等边△ABC内的一点，连接PA、PB、PC，以BP为一边作∠PBQ＝60°，且BQ＝BP，连接PQ，CQ.试观察猜想AP与CQ的大小关系，并加以证明．第8题图证明如下：∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC＝BC，∠ABC＝60°；又∵∠PBQ＝60°，∴∠ABC＝∠PBQ，∴∠ABP＝∠CBQ；解：猜想：AP＝CQ；在△ABP和△CBQ中，∴△ABP≌△CBQ，∴AP＝CQ.第8题图模型六旋转半角型模型分析模型特点AB＝AC，∠BAC＝90°，∠DAE＝45°∠BAD＝90°，∠EAF＝45°∠BDC＝120°，∠EDF＝60°模型展示解题思路通过旋转一定角度将另外两个角拼接在一起，构造的三角形与半角所在的三角形全等，得出线段的数量关系结论①△AED≌△AEF；②△CEF为直角三角形；③BD2＋CE2＝DE2①△AEF≌△AEG；②△AGF为等腰直角三角形；③EF＝BE＋DF①△DEF≌△DGF；②EF＝BE＋CF模型应用9.在∠MAN内有一点D，过点D分别作DB⊥AM，DC⊥AN，垂足分别为B，C.且BD＝CD，点E，F分别在边AM和AN上．若∠BDC＝120°，∠EDF＝60°，猜想EF，BE，CF具有的数量关系，并说明你的结论成立的理由．第9题图解：EF＝FC＋BE，理由：如解图，过点D作∠CDG＝∠BDE，交AN于点G，G在△BDE和△CDG中，∴△BDE≌△CDG，∴DE＝DG，BE＝CG.∵∠BDC＝120°，∠EDF＝60°，∴∠BDE＋∠CDF＝60°.∴∠FDG＝∠CDG＋∠CDF＝60°，∴∠EDF＝∠GDF.第9题图G在△EDF和△GDF中，∴△EDF≌△GDF.∴EF＝GF，∴EF＝FC＋CG＝FC＋BE.第9题图G模型七对角互补型模型分析模型特点∠ABC＝∠ADC＝90°，AD＝CD，BD平分∠ABC∠ABC＝120°，∠ADC＝60°，AD＝CD，BD平分∠ABC模型展示解题思路常过顶点作角两边的垂线，构造全等三角形结论AB＋BC＝2BF＝AB＋BC＝2BF＝BD模型应用10.在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，AD⊥BC于点D.点M在AD的延长线上，点N在AC上，连接BM，MN，且∠BMN＝90°，求证：AB＋AN＝AM.第10题图证明：如解图，过点M作ME∥BC交AB的延长线于点E，E∴∠AME＝90°，∵∠BAC＝90°，AB＝AC，∵∠ABC＝∠AEM＝45°，则AE＝AM，∠E＝45°，∴ME＝MA，∵∠AME＝90°，∠BMN＝90°，∴∠BME＝∠AMN，在△BME和△NMA中，∴△BME≌△NMA，∴BE＝NA，∴AB＋AN＝AB＋BE＝AE＝AM.第10题图E综合训练第1题图1.如图，在四边形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝∠CDA＝90°，BE⊥AD于点E，AE＝3，BC＝5，则DE的长为(

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A.3B.4C.5D.8B第2题图2.[条件开放性试题]如图，在△ABC中，D是BC边上的中点，∠BDE＝∠CDF，请你添加一个条件，使DE＝DF，你添加的条件是____________________________(不再添加辅助线和字母)．∠B＝∠C或∠BED＝∠CFD3.如图，在△ABC和△CDE中，∠ACB＝∠CED＝90°，AC＝CE，点B是EC的中点，若AB⊥CD于点F，DE＝10，则AE的长为______．第3题图第4题图4.如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，P是AB上一点，连接PC，PD，且PC＝PD，∠DPC＝90°.求证：AD＋BC＝AB.证明：∵∠DPC＝∠A＝∠B＝90°，∴∠ADP＋∠APD＝90°，∠BPC＋∠APD＝90°，∴∠ADP＝∠BPC，在△ADP与△BPC中，∴△ADP≌△BPC(AAS)，∴AD＝BP，AP＝BC，∴AD＋BC＝BP＋AP＝AB，即AD＋BC＝AB.第4题图第5题图①5.在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D是直线AB上一点(点D不与点A、B重合)，连接DC并延长到E，使得CE＝CD，过点E作EF⊥BC，交BC延长线于点F.(1)如图①，当点D为线段AB的上任意一点时，用等式表示线段EF、CF、AC的数量关系，并证明；解：(1)结论：AC＝EF＋FC，证明：如解图①，过点D作DH⊥CB于点H，H∵EF⊥CF，∴∠EFC＝∠DHC＝90°，在△FEC和△HDC中，∴△FEC≌△HDC，∴FC＝HC，EF＝DH，∵∠DHB＝90°，∠B＝45°，∴DH＝HB＝EF，∴AC＝BC＝CH＋BH＝FC＋EF；第5题图①H(2)如图②，当点D为线段BA的延长线上一点时，依题意补全图②，猜想线段EF、CF、AC的数量关系是否发生改变，并证明．(2)依题意补全图形如解图②，结论：EF＝FC＋AC，理由如下：如解图②，过点D作DH⊥CB交BC的延长线于点H，∵EF⊥CF，∴∠EFC＝∠DHC＝90°，第5题图解图②在△FEC和△HDC中，∴△EFC≌△DHC，∴FC＝HC，EF＝DH，∵∠DHB＝90°，∠B＝45°，∴DH＝HB＝EF，∴EF＝CH＋BC＝FC＋AC.解图②6.如图，点C为线段BD上一点，△ABC、△CDE都是等边三角形．AD与CE交于点F，BE与AC交于点G.(1)求证：△ACD≌△BCE；(1)证明：∵△ABC，△CDE是等边三角形，∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°，∴∠ACB＋∠ACE＝∠DCE＋∠ACE，即∠BCE＝∠ACD，∴△ACD≌△BCE；第6题图(2)若CF＋CG＝8，BD＝18，求△ACD的面积．(2)解：由(1)得△ACD≌△BCE，∴∠CBG＝∠CAF，又∵∠ACF＝∠BCG＝60°，BC＝AC，∴△BCG≌△ACF，∴S△ACF＝S△BCG，CG＝CF，而CF＋CG＝8，∴CG＝CF＝4，第6题图第6题图MN如解图，过点G作GM⊥BD于点M，过点F作FN⊥BD于点N，又∵∠ACB＝∠DCE＝