2022年中考数学压轴题押题含答案

2022年中考数学压轴题

1.如图，抛物线y=-/+-+c与x轴交于点A(-1,0),B(3,0),与)，轴交于点C.点

D是直线BC上方抛物线上一动点.

(1)求抛物线的解析式；

(2)如图1,连接8。、CD,设点。的横坐标为m,△BC。的面积为s.试求出s与机

的函数关系式，并求出s的最大值；

(3)如图2,设AB的中点为E,作OFLBC,垂足为F,连接8、CE,是否存在点。，

使得以C、D,尸三点为顶点的三角形与△CE。相似？若存在，请直接写出点。的坐标；

若不存在，请说明理由.

解：(1)•..抛物线了=-/+fer+c与x轴交于点A(-1,0),8(3,0)

.,.y--(x+1)(x-3)=-x2+2x+3

：.抛物线解析式为y=-f+2x+3

(2)过点。作。轴，交8c于点M

,当x=0时，y--xi+2x+3—3

：.C(0,3)

直线BC解析式为y=-x+3

.,.D(m,-m2+2m+3),M(m,-m+3~)

J.DM--n^+2m+3-(-m+3)=-m2+3m

13,3,933,27

:・s=fOB*DM=可(-m~+3/n)=—亍"f+5/〃=一亍(加一亍)一+-5-(0</n<3),

LLLLLL<5

与m的函数关系式为s=5的最大值为日.

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（3）存在点。，使得以C、D,F三点为顶点的三角形与△CEO相似

如图2,连接8。

设点D的横坐标为〃?,

・点E为AB中点，A(-1,0),B(3,0),C(0,3)

.E(1,0),OE=1,OC=3,CZ)2=〃?2+(2+2,"+3-3)2

.CE=yJOE2+OC2-Vl2+32-V10

0EOC_3_3/10

./℃“Ai而vio,

.sin/E=^=*=cosZOCE=CE=7TO=^LO-

，BC=y]OB2+OC2=3vLDFLBC

.由(2)知，面积s=一]m

cl2s—3m2-+9m-m2-}-3m

-DF=BC=-37T-=-f2-

•以C、D,尸三点为顶点的三角形与△CEO相似，NCFD=NCOE=90°

.△CFDs△COE或△CP"△EQC

①若△CF£)s/\cOE,则/FCD=NOCE

.,.sin/FC£>=^=需

10DF2=CD2

-m2+3m、

10(-------p-----)2=/H2+(-nr+2m)2

A/2

解得：，“1=4（舍去），，"2=擀

.**-in2+2m+3=一守+5+3=

57

:.D(一，一)

24

②若ACFDS/\E0C,则/尸£>C=/OCE

./M_DF_3国

•・cosN1F7DC==-]0

A10DF2=9CD2

-m2+3m、c、、

10(-----------)"=9[/W2+(-/w2+2/n)2J

V2

解得：如=0(舍去)，mi=1

o915

:.-n^+2m+3=-4+3+3=彳

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315

••D(一,—)

24

57315

•・•点。的坐标为（?-）或（?V）.

（1）求抛物线的解析式

（2）点。为抛物线的顶点，轴于点E,点N是线段上一动点

①当点N在何处时，△C4N的周长最小？

②若点0）是x轴上一个动点，且/MNC=90°,求巾的取值范围.

解：（1）函数的表达式为：y=a（x+1）（x-3）=a（JT-2.r-3）,

故-3a=-3,解得：a=1,

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故函数的表达式为：y=/-2x-3；

(2)①过点C作x轴的平行线交抛物线于点C'(2,-3),连接4C'交OE于点N,

将点A、C的坐标代入一次函数表达式：尸履+8得：仁3=汽?幺解得：?二

,(0=-k+blb=

故直线AC'的表达式为：y=-x-l,

当x=l时，y=-2,

故点N(l,-2)；

设NG=〃，贝ijNE=3-〃，

：NCNG+NGCN=90°,ZCNG+ZMNE=90°,

NNCG=NMNE,

Mf:

则tan/NCG=〃=tanNMNE=5——，

3—n

故ME=-后+3〃，

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.•.-1V0,故ME有最大值，当"=|时，ME吟

则MI的最小值为:-1;

如下图所示，当点N与点。处时，取得最大值,

同理可得：m=5；

故：一工相《5.

3.若在某区间内某函数的图象均在x轴或x轴的上方，则该区间称为这个函数的正能量区

间.如当•时，函数y=2x-1的图象均在x轴上或x轴的上方，则xNa叫做函数》=

2x-1的正能量区间.

（1）求反比例函数y=1的正能量区间；

（2）经过点（2,3）的一次函数的正能量区间为x2l,求一次函数的解析式；

（3）如果抛物线）="+版+。（aWO）与x轴交于点A（xi,0）和点8（X2,0）,那么

我们把A、B两点之间的距离叫做抛物线在x轴上的“截距”，设〃?，”为正整数，且〃?

K2,抛物线y=f+（3-M）x-3皿在x轴上的“截距”为抛物线y=--+⑵-物

x+2”f在x轴上的"截距”为"2,s=d：-强，试表示出s与f之间的函数关系式，若全

体实数为该函数的正能量区间，求“，”的值.

解：（1）①k>0时，y=［的正能量区间为：x>0；

②%<0H寸，y=?的正能量区间为：A<0；

（2）设一次函数的解析式为丫=履+儿

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•经过点(2,3),

：.3=2k+b,则，=3-2怎

解析式为：y^kx+3-2k,

当x2l时，恒有y'0,即日》2A-3,

2k—3

由题意得：x>0,----■=1,

k

解得：k=3,故人=-3,

则一次函数表达式为：y=3x-3；

(3)由题意得：y=/+(3-mt)x-3mt9

•\x\+x2=mt-3,x\xi=-3mt,

22

则(X1-x2)=(xi+%2)-4XIX2=(7m+3)2,

同理心2=(〃+2，)2,

s=(mt+3)2-(〃+2f)2,

•*2-4/0,

・••要全体实数为该函数的正能量区间，即有：

则加2P+6/%什924尸+4〃?+及之，

即：(加之-4)P+(6m-4〃)f+(9-n2)20,

由题意得：m2-4>0,△=(6/H-4n)2-4(/M2-4)(9-H2)WO,

解得：m2>4,(mn-6)2^0,

'：m,〃为正整数，且加W2,

则〃2=3,九=2或m=6,n=\.

4.如图，A8是。O的直径，点C是。。上一点(与点A,8不重合)，过点。作直线PQ,

使得NACQ=NA3C

(1)求证：直线尸。是OO的切线.

(2)过点A作AD_LPQ于点。，交。0于点E,若。。的半径为2,sin/D4C=求

图中阴影部分的面积.

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o

是。。的直径,

AZACB=90°,

"：OA=OC,

：.ZCAB=ZACO.

'：ZACQ^ZABC,

：.ZCAB+ZABC^ZACO+ZACQ^ZOCQ^9Q°,B|JOCVPQ,

直线P。是。。的切线.

(2)连接OE,

VsinZDAC=1,ADLPQ,

：.ZDAC=30°,ZACD=60°.

NA8C=/ACD=60°,

：.ZCAB=9Q°-60°=30°,

：.ZEAO=ZDAC+ZCAB^60°,

又；O4=OE,

.♦.△AEO为等边三角形，

AZAOE=60°.

•,•5阴影=S扇形-SMEO

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=S用彩一^OA・OE.sin60°

=HUX22-IX2X2XT

=^-V3.

，图中阴影部分的面积为等-V3.

5.如图，在△ABC中，/ACB=90°,将AABC沿直线AB翻折得到△A8D,连接CQ交

A8于点M.E是线段CM上的点，连接BE.F是△BOE的外接圆与A。的另一个交点，

连接所，BF.

(1)求证：4BEF是直角三角形；

(2)求证：ABEFs4BCA；

(3)当AB=6,8C=机时，在线段CM上存在点E,使得EF和A8互相平分，求机的

值.

备用图

(1)证明：VZACB=90°,将△ABC沿直线AB翻折得到

，NAD8=N4CB=90°,

■:NEFB=NEDB,NEBF=NEDF,

：.ZEFB+ZEBF=ZEDB+ZEDF=/ADB=90°,

：.NBEF=9Q°,

.♦.△BE尸是直角三角形.

(2)证明：,:BC=BD,

：.NBDC=NBCD,

；NEFB=NEDB,

:"EFB=NBCD,

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'：AC=ADfBC=BD,

C.ABLCD,

：.ZAMC=90Q,

ZBCD+ZACD=ZACD+ZCAB=90°,

:・NBCD=NCAB,

；・/BFE=/CAB,

VZACB=ZFEB=90Q,

:•△BEFsXBCA.

(3)解：设EF交AB于J.连接

•・・后尸与48互相平分，

・・・四边形4尸8石是平行四边形，

；・/EFA=NFEB=90°,即政_LAD,

VBD±AZ),

：.EF//BD,

：.AF=DF,

'rn

：.FJ=^BD=y,

；.EF=m,

•・・△ABCs^CBM,

ABC：MB=AB：BC,

7712

；・BM=吟,

o

♦：/\BEJS/\BME,

:.BE：BM=BJ：BE,

•,延修

,：/\BEF^/\BCA,

.ACBC

•.=,

EFBE

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V36-m2m

l!|J=~rn»

mV?

解得加=2次(负根已经舍弃).

6.如图1,已知四边形ABC。是菱形，G是线段上的任意一点时，连接8G交AC于凡

FHFG

过尸作FH//C。交8c于H,可以证明结论方=而成立.(考生不必证明)

(1)探究：如图2,上述条件中，若G在C。的延长线上，其它条件不变时，其结论是

否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由:

(2)计算：若菱形ABCZ)中A2=6,ZADC=60Q,G在直线C£)上，且CG=16,连

接8G交AC所在的直线于凡过F作尸”〃CO交8C所在的直线于H,求BG与尸G的

长.

FHFG

(3)发现：通过上述过程,你发现G在直线CO上时'结论方=茄还成立吗？

pHF「

【解答】解：⑴结论方=耘成立

证明：由已知易得FH〃A3,

.FHHC

AB~BC

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HCFG

•:FH〃GC,

BC一BG

.FHFG

，aAB~BG

(2)〈G在直线CD上，

，分两种情况讨论如下：

①G在的延长线上时，0G=10,

如图1,过B作3Q_LCZ)于Q,

由于四边形A8CD是菱形，ZADC=60°,

：.BC=AB=6,N5CQ=60°,

:・BQ=3®CQ=3,

：.BG=J1924-(3V3)2=2V97.

,―FHBH

又由FH//GC,可得一=—,

GCBC

而是等边三角形，

:・BH=BC-HC=BC-FH=6-FH,

.FH6-FH

•.=t

166

•rrj_48

••rri—]],

,°FHFG

由(1)知----=-----,

ABBG

,FHBG4816y16r^=

..FG==五%•92闻=五回.

②G在。。的延长线上时，CG=16,

如图2,过8作8QJ_CG于。，

・・•四边形A3CO是菱形，ZADC=60°,

：.BC=AB=6fN3CQ=60°.

:・BQ=3®CQ=3.

：.BG=J132+(3V3)2=14.

_,iJ"BH

又由FH//CG,可得—=—,

GCBC

.FHBH

-16.6,

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•:BH=HC-BC=FH-BC=FH-6,

48

：.FH=V-

，：FH〃CG,

.BFFH

…BG一CG'

W14x等+16=3

42112

AFG=14+T=­

FH488

(3)G在OC的延长线上时'方=m+6=g,

FG1128

—=---+14=一,

BG55

—=”成立.

ABBG

FHPC

结合上述过程，发现G在直线。上时，结论方=而还成立.

7.如图，在平面直角坐标系中，OB_LOA,且08=204,点4的坐标是(-1,2)