广西壮族自治区贵港市2024届高考模拟预测 数学试题【含答案】

高三年级数学考生注意：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合，，则（

）A． B． C． D．2．已知正方形ABCD的四个顶点都在椭圆上，且椭圆的两个焦点分别为边AD和BC的中点，则该椭圆的离心率为（

）A． B． C． D．3．下列说法中错误的是（

）A．独立性检验的本质是比较观测值与期望值之间的差异B．两个变量x，y的相关系数为r，若越接近1，则x与y之间的线性相关程度越强C．若一组样本数据（）的样本点都在直线上，则这组数据的相关系数r为0.98D．由一组样本数据（）求得的回归直线方程为，设，则4．在四棱锥P-ABCD中，底面，四边形是矩形，且，点是棱上的动点（包括端点），则满足的点有（

）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个5．已知等差数列的公差不为0，，给定正整数m，使得对任意的（且）都有成立，则m的值为（

）A．4047 B．4046 C．2024 D．40486．已知函数，若成立，则实数a的取值范围为（

）A． B． C． D．7．2024年4月6号岳阳马拉松暨全国半程马拉松锦标赛（第三站）开赛，比赛结束后，其中5男3女共8位运动员相约在赛道旁站成前后两排合影，每排各4人，若男运动员中恰有2人左右相邻，则不同的排列方法共有（

）A．732种 B．2260种 C．4320种 D．8640种8．已知圆C：，直线l：，若l与圆C交于A，B两点，设坐标原点为O，则的最大值为（

）A． B． C． D．二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．如图，在正方体中，P为线段的中点，Q为线段上的动点（不包括端点），则（

）A．存在点Q，使得 B．存在点Q，使得平面C．三棱锥的体积是定值 D．二面角的余弦值为10．已知复数，，，则下列说法中正确的有（

）A．若，则或 B．若，则C．若，则 D．若，则11．设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，，则（

）A． B．的图象关于直线对称C．在区间上为增函数 D．方程仅有4个实数解三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．已知向量，，，若，则．13．若直线是函数的图象的切线，则的最小值为．14．已知点P是双曲线C：（，）上一点，，分别是C的左、右焦点，设，若的重心和内心的连线垂直于x轴，则的取值范围为．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．如图，四边形ABCD是边长为2的正方形，E为边CD的中点，沿AE把折起，使点D到达点P的位置，且．(1)求证：平面；(2)求三棱锥的表面积16．如图，四边形ABCD内接于圆O，圆O的半径，，．(1)求的大小以及线段AB的长；(2)求四边形ABCD面积的取值范围.17．某射击运动员进行射击训练，已知其每次命中目标的概率均为．(1)若该运动员共射击6次，求其在恰好命中3次的条件下，第3次没有命中的概率；(2)该运动员射击训练不超过n（）次，当他命中两次时停止射击（射击n次后，若命中的次数不足两次也不再继续），设随机变量X为该运动员的射击次数，试写出随机变量X的分布列，并证明．18．已知函数．(1)当时，请判断的极值点的个数并说明理由；(2)若恒成立，求实数a的取值范围．19．已知两条抛物线，．(1)求与在第一象限的交点的坐标．(2)已知点A，B，C都在曲线上，直线AB和AC均与相切．（ⅰ）求证：直线BC也与相切．（ⅱ）设直线AB，AC，BC分别与曲线相切于D，E，F三点，记的面积为，的面积为．试判断是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由．1．B【分析】先解不等式求出两个集合，再求出，然后求即可.【详解】由，得，解得，所以，由，得或，所以，所以，所以．故选：B2．C【分析】设正方形的边长为2，边AD和BC的中点分别为，则，，从而可求出离心率.【详解】设正方形的边长为2，边AD和BC的中点分别为，椭圆的长半轴长为a（），半焦距为c（），连接，则，，所以离心率．故选：C3．C【分析】根据独立检验和线性回归方程的相关性质进行判断，得到答案.【详解】A，独立性检验的本质是比较观测值与期望值之间的差异，从而确定研究对象是否有关联，A正确；B，两个变量x，y的相关系数为r，若越接近1，则x与y之间的线性相关程度越强，B正确；C，若一组样本数据（）的样本点都在直线上，则这组数据的相关系数r为1，C错误；D，由残差分析可知，介于0与1之间，D正确.故选：C4．B【分析】假设存在点，连接，由题可证底面，所以得到，由此可知，点E在以AD为直径的圆上，根据圆与直线的位置关系可知，此圆与直线BC相切.【详解】如图，连接．由已知可得，，又，所以底面，所以，所以点在以为直径的圆上，又由几何关系可知，以为直径的圆与直线相切，故满足条件的点只有1个．故选：B5．A【分析】分与两种情况，结合等差数列的性质和得到方程，求出.【详解】若，由题意知，由等差数列的性质知，若，则有，所以，因为公差，且，所以，所以，所以．若，可得，由等差数列性质知，若，则有，所以，因为公差，且，所以，所以，所以．故选：A6．B【分析】判断函数的奇偶性和单调性，根据函数的性质，把函数不等式转化为代数不等式，再求解即可.【详解】，所以，即为偶函数，对函数，，则，因为，所以，，所以，故在上恒成立.所以函数在上单调递增，所以在上单调递增.所以，所以，解得或．故选：B7．D【分析】依题意只能一排3男1女，另一排2男2女，且相邻的2位男运动员在“3男1女”这一排中，按照先选人，再排列，相邻问题用捆绑法，最后按照分步乘法计数原理计算可得．【详解】根据题意，只能一排3男1女，另一排2男2女，且相邻的2位男运动员在“3男1女”这一排中．先确定“3男1女”这一排，5男选3人，3女选1人，所选3男选2人相邻，与余下的1男安排在1女的两侧，排列方法有种，再确定“2男2女”这一排，2男先排好有，2女相邻并放在2男之间有种，或2女放在2男成排的两空有种方式，排列方法有种，因此，不同的排列方法总数为．故选：D8．D【分析】求出圆的圆心及半径，直线所过定点，借助向量运算得，利用三角代换结合辅助角公式及三角函数性求出最大值.【详解】圆C：的圆心为，半径为2，直线l的方程可化为，于是l过定点，且，显然，即，又，因此，设，，显然，则，其中，当时等号成立，此时，，符合条件，所以的最大值为．故选：D

【点睛】思路点睛：涉及并求关于的二元函数的最值，可以令，借助三角变换及三角函数性质求解.9．BD【分析】A选项，由推出平面，矛盾；B选项，建立空间直角坐标系，证明出，，得到线面垂直，进而当Q为的中点时，，此时平面，故B正确；C选项，假设体积为定值，得到平面，求出平面的法向量，证明出平面不成立，C错误；D选项，找到二面角的平面角，利用余弦定理求出余弦值.【详解】对于A，若，因为平面，平面，所以平面，矛盾，故A错误．对于B，以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，设正方体棱长为2，则，因为，，故，，故，，因为，平面，故平面，当Q为的中点时，，此时平面，故B正确．对于C，Q在线段上运动，若三棱锥的体积为定值，则平面，，，设平面的法向量为，则，解得，令得，故，故，故与不垂直，故平面不成立，故C错误；对于D，二面角即二面角，连接BP，DP，BD，由于为等边三角形，则，，所以为所求二面角的平面角，不妨设正方体的棱长为2，则的棱长为，故，，由余弦定理可得，二面角的余弦值为，故D正确．故选：BD10．ABD【分析】根据复数的运算法则可判断A；先计算，再求，判断B；用特例验证C；利用说明D正确.【详解】对于A，或，故A正确．对于B，方法：，，，所以以3为周期，所以，故B正确．方法二（复数的三角表示）：，所以的模为1，辐角为，则的模为1，辐角为，所以．故B正确．对于C，取，，则，此时，故C错误．对于D，，，所以，故D正确．故选：ABD11．ACD【分析】根据给出的函数的性质，做出函数草图，数形结合，分析各选项的准确性.【详解】因为为奇函数，所以的图象关于点中心对称，因为为偶函数，所以的图象关于直线对称．可画出的部分图象大致如下（图中x轴上相邻刻度间距离均为）：

对于A，由图可知的最小正周期为，所以，故A正确．对于B，的图象关于点中心对称，故B错误．对于C，由图可知在区间上单调递增，故C正确．对于D，，，，，由图可知，曲线与的图象有4个交点，所以方程仅有4个实数解，故D正确．故选：ACD.【点睛】结论点睛：（1）若为偶函数，则函数为轴对称图形，对称轴为.（2）若为奇函数，则函数为中心对称图形，对称中心为.（3）若的图象有两条对称轴，（），则为周期函数，周期为.（4）若的图象有两个对称中心，（），则为周期函数，周期为.（5）若的图象关于成轴对称，同时关于成中心对称，则为周期函数，周期为.12．【分析】根据向量线性运算的坐标表示及垂直的坐标表示进行计算即可.【详解】由题意知，，由于，则，则，解得．故答案为：.13．【分析】求导，设切点为，根据导数的几何意义分析可知，构建函数，利用导数判断其单调性和最值，即可得结果.【详解】因为，则，设切点为，则，则切线方程为，即，可得，，所以，令，则，当时，；当时，；可知在内单调递减，在内单调递增，可得，所以的最小值为．故答案为：.14．【分析】设C的半焦距为c（），离心率为e．如图，设重心为Q，内心为I，则O，Q，P共线，不妨设点P在第一象限，分别表示出，，利用余弦定理表示出，然后由可求出的取值范围.【详解】设C的半焦距为c（），离心率为e．如图，设重心为Q，内心为I，则O，Q，P共线．设内切圆与轴的切点为，与内切圆的切点分别为，由双曲线的定义可得，由圆的切线长定理得，所以，设内切圆的圆心横坐标为，则点的横坐标为，所以，得，所以，因为轴，不妨设点P在第一象限，则，再由重心的性质知，由，可得．所以，所以，所以．所以，因为，所以，所以，所以，所以，所以．故答案为：15．(1)证明见解析(2)【分析】（1）求出各边，由勾股定理逆定理求出，结合得到线面垂直；（2）求出各边长，利用三角形面积公式得到各三角形面积，相加得到表面积.【详解】（1）由题可知，，，，，为等边三角形，，，．，平面，平面．（2）由（1）得，，，，由三角形面积公式得，，三棱锥的表面积．16．(1)，(2)【分析】（1）通过正弦定理求得，求出后利用正弦定理求解线段AB的即可；（2）方法一：延长AD，BC，交于点E，设，利用三角形面积公式得，从而正弦函数性质求解范围；方法二：连接OA，OB，OC，OD，设，则，从而，从而正弦函数性质求解范围；方法三：设，，由正弦定理和面积公式得，从而正弦函数性质求解范围；【详解】（1）由题易知,由正弦定理得，，，，.（2）方法一：延长AD，BC，交于点E.，.设，则.四边形ABCD内接于圆O，，，，，，，即四边形ABCD面积的取值范围是.方法二：连接OA，OB，OC，OD，由已知可得，是等边三角形.设，则，，又，，，，，即四边形ABCD面积的取值范围是.方法三：设，，则.由正弦定理得，，，则，，，，即四边形ABCD面积的取值范围为.17．(1)(2)分布列见解析，证明见解析【分析】（1）利用条件概率公式计算即可；（2）先根据离散型随机变量的分布列及期望公式得，法一、利用，再将列项为，利用放缩法证明即可；法二、利用错位相减法计算可得即可证明.【详解】（1）设第i次射击时命中目标为事件，该运动员射击6次恰好命中3次为事件B．，，．（2）随机变量X的所有可能取值为2，3，4，5，…，n．若射击次停止，则第k次命中，前次射击中有一次命中，故，，，若射击n次停止，有两种结果：前次有一次命中或一次都没命中，故．随机变量X的分布列为．法一、易知，，易知时，，即，∴，．法二、令，①则，②，得，令，则，得，，．．18．(1)有一个极值点，理由见解析(2)【分析】（1）先求，得，再设，通过对符号的分析，得到的单调性，再判断的解的情况，分析函数的极值点的情况.（2）先把原不等式化成恒成立，利用换元法，设，则，问题转化为恒成立．再设，利用（1）的结论求的最小值.【详解】（1）当时，，，所以，令，则，当时，，在上单调递增，又，，存在唯一零点，且，当时，，在上单调递减，当时，，在单调递增．有一个极小值点，无极大值点．（2）恒成立，恒成立，恒成立．令，则，恒成立．设，由（1）可知的最小值为．又，．（﹡）设，当时，，在上单调递增，，，，由（﹡）知，，即．，，，又，a的取值范围为．【点睛】关