2024年四川省乐山市中考数学试卷

2024年四川省乐山市中考数学试卷一、选择题：本大题共10个小题，每小题3分，共30分．1．（3分）不等式x﹣2＜0的解集是（）A．x＜2 B．x＞2 C．x＜﹣2 D．x＞﹣22．（3分）下列文物中，俯视图是四边形的是（）A．带盖玉柱形器 B．白衣彩陶钵 C．镂空人面覆盆陶器 D．青铜大方鼎3．（3分）2023年，乐山市在餐饮、文旅、体育等服务消费表现亮眼，网络零售额突破400亿元，居全省地级市第一．将40000000000用科学记数法表示为（）A．4×108 B．4×109 C．4×1010 D．4×10114．（3分）下列多边形中，内角和最小的是（）A． B． C． D．5．（3分）为了解学生上学的交通方式，刘老师在九年级800名学生中随机抽取了60名进行问卷调查，并将调查结果制作成如下统计表，估计该年级学生乘坐公交车上学的人数为（）交通方式公交车自行车步行私家车其它人数（人）3051582A．100 B．200 C．300 D．4006．（3分）如图，下列条件中不能判定四边形ABCD为平行四边形的是（）A．AB∥DC，AD∥BC B．AB＝DC，AD＝BC C．AO＝CO，BO＝DO D．AB∥DC，AD＝BC7．（3分）已知1＜x＜2，化简(x-1)2+A．﹣1 B．1 C．2x﹣3 D．3﹣2x8．（3分）若关于x的一元二次方程x2+2x+p＝0两根为x1、x2，且1x1+1A．-23 B．23 C．﹣6 9．（3分）已知二次函数y＝x2﹣2x（﹣1≤x≤t﹣1），当x＝﹣1时，函数取得最大值；当x＝1时，函数取得最小值，则t的取值范围是（）A．0＜t≤2 B．0＜t≤4 C．2≤t≤4 D．t≥210．（3分）如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝1，点P是BC边上一个动点，在BC延长线上找一点Q，使得点P和点Q关于点C对称，连结DP、AQ交于点M．当点P从B点运动到C点时，点M的运动路径长为（）A．36 B．33 C．32 二、填空题：本大题共6个小题，每小题3分，共18分．11．（3分）计算：a+2a＝．12．（3分）一名交警在路口随机监测了5辆过往车辆的速度，分别是：66，57，71，69，58（单位：千米/时）．那么这5辆车的速度的中位数是．13．（3分）如图，两条平行线a、b被第三条直线c所截．若∠1＝60°，那么∠2＝.14．（3分）已知a﹣b＝3，ab＝10，则a2+b2＝．15．（3分）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC和BD交于点O，若S△ABDS△BCD=16．（3分）定义：函数图象上到两坐标轴的距离都小于或等于1的点叫做这个函数图象的“近轴点”．例如，点（0，1）是函数y＝x+1图象的“近轴点”．（1）下列三个函数的图象上存在“近轴点”的是（填序号）；①y＝﹣x+3；②y=2③y＝﹣x2+2x﹣1．（2）若一次函数y＝mx﹣3m图象上存在“近轴点”，则m的取值范围为．三、解答题：本大题共10个小题，共102分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．17．（9分）计算：|﹣3|+（π﹣2024）0-918．（9分）解方程组：x+19．（9分）如图，AB是∠CAD的平分线，AC＝AD，求证：∠C＝∠D．20．（10分）先化简，再求值：2xx2-4解：2x=2=2=x=1当x＝3时，原式＝1．（1）小乐同学的解答过程中，第步开始出现了错误；（2）请帮助小乐同学写出正确的解答过程．21．（10分）乐山作为闻名世界的文化旅游胜地，吸引了大量游客．为更好地提升服务质量，某旅行社随机调查了部分游客对四种美食的喜好情况（每人限选一种），并将调查结果绘制成统计图，如图所示．根据以上信息，回答下列问题：（1）本次抽取的游客总人数为人，扇形统计图中m的值为；（2）请补全条形统计图；（3）旅行社推出每人可免费品尝两种美食的活动，某游客从上述4种美食中随机选择两种，请用画树状图或列表的方法求选到“钵钵鸡和跷脚牛肉”的概率．22．（10分）如图，已知点A（1，m）、B（n，1）在反比例函数y=3x（x＞0）的图象上，过点A的一次函数y＝kx+b的图象与y轴交于点C（0，（1）求m、n的值和一次函数的表达式；（2）连结AB，求点C到线段AB的距离．23．（10分）我国明朝数学家程大位写过一本数学著作《直指算法统宗》，其中有一道与荡秋千有关的数学问题是使用《西江月》词牌写的：平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．良工高士素好奇，算出索长有几？词写得很优美，翻译成现代汉语的大意是：有一架秋千，当它静止时，踏板离地1尺，将它往前推进10尺（5尺为一步），秋千的踏板就和某人一样高，这个人的身高为5尺．（假设秋千的绳索拉的很直）（1）如图1，请你根据词意计算秋千绳索OA的长度；（2）如图2，将秋千从与竖直方向夹角为α的位置OA'释放，秋千摆动到另一侧与竖直方向夹角为β的地方OA″，两次位置的高度差PQ＝h．根据上述条件能否求出秋千绳索OA的长度？如果能，请用含α、β和h的式子表示；如果不能，请说明理由．24．（10分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB为直径，过点C作⊙O的切线CD交BA延长线于点D，点E为CB上一点，且AC=（1）求证：DC∥AE；（2）若EF垂直平分OB，DA＝3，求阴影部分的面积．25．（12分）在平面直角坐标系xOy中，我们称横坐标、纵坐标都为整数的点为“完美点”．抛物线y＝ax2﹣2ax+2a（a为常数且a＞0）与y轴交于点A．（1）若a＝1，求抛物线的顶点坐标；（2）若线段OA（含端点）上的“完美点”个数大于3个且小于6个，求a的取值范围；（3）若抛物线与直线y＝x交于M、N两点，线段MN与抛物线围成的区域（含边界）内恰有4个“完美点”，求a的取值范围．26．（13分）在一堂平面几何专题复习课上，刘老师先引导学生解决了以下问题：【问题情境】如图1，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D、E在边BC上，且∠DAE＝45°，BD＝3，CE＝4，求DE的长．解：如图2，将△ABD绕点A逆时针旋转90°得到△ACD′，连结ED′．由旋转的特征得∠BAD＝∠CAD′，∠B＝∠ACD′，AD＝AD′，BD＝CD′．∵∠BAC＝90°，∠DAE＝45°，∴∠BAD+∠EAC＝45°．∵∠BAD＝∠CAD′，∴∠CAD′+∠EAC＝45°，即∠EAD′＝45°．∴∠DAE＝∠D′AE．在△DAE和△D′AE中，AD＝AD′，∠DAE＝∠D′AE，AE＝AE，∴①_____．∴DE＝D′E．又∵∠ECD′＝∠ECA+∠ACD′＝∠ECA+∠B＝90°，∴在Rt△ECD′中，②_____．∵CD′＝BD＝3，CE＝4，∴DE＝D′E＝③_____．【问题解决】上述问题情境中，“①”处应填：；“②”处应填：；“③”处应填：．刘老师进一步谈到：图形的变化强调从运动变化的观点来研究，只要我们抓住了变化中的不变量，就能以不变应万变．【知识迁移】如图3，在正方形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，满足△CEF的周长等于正方形ABCD的周长的一半，连结AE、AF，分别与对角线BD交于M、N两点．探究BM、MN、DN的数量关系并证明．【拓展应用】如图4，在矩形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，且∠EAF＝∠CEF＝45°．探究BE、EF、DF的数量关系：（直接写出结论，不必证明）．【问题再探】如图5，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，点D、E在边AC上，且∠DBE＝45°．设AD＝x，CE＝y，求y与x的函数关系式．最后，刘老师总结到：希望同学们在今后的数学学习中，学会用数学的眼光观察现实世界，用数学的思维思考现实世界，用数学的语言表达现实世界．

2024年四川省乐山市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10个小题，每小题3分，共30分．1．（3分）不等式x﹣2＜0的解集是（）A．x＜2 B．x＞2 C．x＜﹣2 D．x＞﹣2【答案】A【解答】解：x﹣2＜0，移项，得x＜2．故选：A．2．（3分）下列文物中，俯视图是四边形的是（）A．带盖玉柱形器 B．白衣彩陶钵 C．镂空人面覆盆陶器 D．青铜大方鼎【答案】D【解答】解：选项A中的“带盖玉柱形器”的俯视图是圆形，因此选项A不符合题意；选项B中的“白衣彩陶钵”的俯视图是圆形，因此选项B不符合题意；选项C中的“镂空人面覆盆陶器”的俯视图是圆形，因此选项C不符合题意；选项D中的“青铜大方鼎”的俯视图是四边形，因此选项D符合题意．故选：D．3．（3分）2023年，乐山市在餐饮、文旅、体育等服务消费表现亮眼，网络零售额突破400亿元，居全省地级市第一．将40000000000用科学记数法表示为（）A．4×108 B．4×109 C．4×1010 D．4×1011【答案】C【解答】解：40000000000用科学记数法表示为4×1010．故选：C．4．（3分）下列多边形中，内角和最小的是（）A． B． C． D．【答案】A【解答】解：三角形的内角和为180°，四边形的内角和为：（4﹣2）×180°＝360°，五边形的内角和为：（5﹣2）×180°＝540°，六边形的内角和为：（6﹣2）×180°＝720°，∵180＜360＜540＜720，∴在三角形、四边形、五边形和六边形中，内角和最小的是三角形，故选：A．5．（3分）为了解学生上学的交通方式，刘老师在九年级800名学生中随机抽取了60名进行问卷调查，并将调查结果制作成如下统计表，估计该年级学生乘坐公交车上学的人数为（）交通方式公交车自行车步行私家车其它人数（人）3051582A．100 B．200 C．300 D．400【答案】D【解答】解：800×3060即估计该年级学生乘坐公交车上学的人数大约为400人．故选：D．6．（3分）如图，下列条件中不能判定四边形ABCD为平行四边形的是（）A．AB∥DC，AD∥BC B．AB＝DC，AD＝BC C．AO＝CO，BO＝DO D．AB∥DC，AD＝BC【答案】D【解答】解：A、根据平行四边形的判定定理：两组对边分别平行的四边形是平行四边形，故能判断这个四边形是平行四边形，不符合题意；B、根据平行四边形的判定定理：两组对边分别相等的四边形是平行四边形，故能判断这个四边形是平行四边形，不符合题意；C、根据平行四边形的判定定理：对角线互相平分的四边形是平行四边形，故能判断这个四边形是平行四边形，不符合题意；D、一组对边平行，另一组对边相等，可能是等腰梯形，故不能判断这个四边形是平行四边形，符合题意；故选：D．7．（3分）已知1＜x＜2，化简(x-1)2+|A．﹣1 B．1 C．2x﹣3 D．3﹣2x【答案】B【解答】解：∵1＜x＜2，∴(x-1)2＝x﹣1+2﹣x＝1，故选：B．8．（3分）若关于x的一元二次方程x2+2x+p＝0两根为x1、x2，且1x1+1A．-23 B．23 C．﹣6 【答案】A【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+2x+p＝0两根为x1、x2，∴x1+x2＝﹣2，x1x2＝p，∵1x1∴x1即-2解得：p=-故选：A．9．（3分）已知二次函数y＝x2﹣2x（﹣1≤x≤t﹣1），当x＝﹣1时，函数取得最大值；当x＝1时，函数取得最小值，则t的取值范围是（）A．0＜t≤2 B．0＜t≤4 C．2≤t≤4 D．t≥2【答案】C【解答】解：因为y＝x2﹣2x＝（x﹣1）2﹣1，所以抛物线的对称轴为直线x＝1，且顶点坐标为（1，﹣1）．因为1﹣（﹣1）＝3﹣1，所以x＝﹣1和x＝3时的函数值相等．因为﹣1≤x≤t﹣1，当x＝﹣1时，函数取得最大值，所以t﹣1≤3，又因为当x＝1时，函数取得最小值，所以t﹣1≥1，所以1≤t﹣1≤3，解得2≤t≤4．故选：C．10．（3分）如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝1，点P是BC边上一个动点，在BC延长线上找一点Q，使得点P和点Q关于点C对称，连结DP、AQ交于点M．当点P从B点运动到C点时，点M的运动路径长为（）A．36 B．33 C．32 【答案】B【解答】解：如图过C作CG⊥BC，交AD于点G，作B关于C的对称点Q'，连接BD和AQ'交于点H．∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，∴△ACD是等边三角形，∴CG垂直平分AD，∵P、Q关于点C对称，∴M一定在直线CG上，∵P从点B运动到点C，∴可以得到点M的运动轨迹就是CH这一段．∵AB＝1＝CD，∴CG＝CD•sin60°=3∵△AHD∽△Q'HB，∴GHCH∴CH=23CG即点M的运动路径长为33故选：B．二、填空题：本大题共6个小题，每小题3分，共18分．11．（3分）计算：a+2a＝3a．【答案】3a．【解答】解：a+2a＝（1+2）a＝3a，故答案为：3a．12．（3分）一名交警在路口随机监测了5辆过往车辆的速度，分别是：66，57，71，69，58（单位：千米/时）．那么这5辆车的速度的中位数是66千米/时．【答案】66千米/时．【解答】解：数据从小到大的顺序排列为57，58，66，69，71，∴这组数据的中位数是66千米/时．故答案为：66千米/时．13．（3分）如图，两条平行线a、b被第三条直线c所截．若∠1＝60°，那么∠2＝120°.【答案】120°．【解答】解：∵a∥b，∴∠3＝∠1＝60°，∴∠2＝180°﹣60°＝120°．故答案为：120°．14．（3分）已知a﹣b＝3，ab＝10，则a2+b2＝29．【答案】29．【解答】解：∵a﹣b＝3，ab＝10，∴a2+b2＝（a﹣b）2+2ab＝9+20＝29，故答案为：29．15．（3分）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC和BD交于点O，若S△ABDS△BCD=【答案】19【解答】解：∵AD∥BC，∴点B到AD的距离等于D点到BC的距离，∴S△∵AD∥BC，∴△AOD∽△COB，∴S△AODS△BOC=（ADBC）故答案为：1916．（3分）定义：函数图象上到两坐标轴的距离都小于或等于1的点叫做这个函数图象的“近轴点”．例如，点（0，1）是函数y＝x+1图象的“近轴点”．（1）下列三个函数的图象上存在“近轴点”的是③（填序号）；①y＝﹣x+3；②y=2③y＝﹣x2+2x﹣1．（2）若一次函数y＝mx﹣3m图象上存在“近轴点”，则m的取值范围为0＜m≤12或-12≤【答案】（1）③；（2）0＜m≤12或-12【解答】解：（1）①当x＝0时，y＝3，当y＝0时，﹣x+3，∴x＝3，∴y＝﹣x+3与两坐标的交点分别为（0，3）和（3，0），∴函数y＝﹣x+3的图象上不存在“近轴点”；②∵y=2x中，在每一象限内y随当x＝1时，y＝2，当y＝1时，x＝2，∴函数y=2③∵y＝﹣x2+2x﹣1＝﹣（x﹣1）2，当x＝1时，y＝0；当x＝0时，y＝﹣1；∴函数y＝﹣x2+2x﹣1的图象上存在“近轴点”；故答案为：③；（2）∵y＝mx﹣3m＝m（x﹣3），∴一次函数y＝mx﹣3m经过（3，0），分两种情况：①当m＞0时，如图1，当x＝1时，y＝m﹣3m＝﹣2m，∵一次函数y＝mx﹣3m图象上存在“近轴点”，∴﹣1≤﹣2m＜0，∴0＜m≤1②当m＜0时，如图2，由①知：点A的坐标为（1，﹣2m）当x＝1时，y，∵一次函数y＝mx﹣3m图象上存在“近轴点”，∴0≤﹣2m＜1，∴-12≤m综上，m的取值范围为：0＜m≤12或-12故答案为：0＜m≤12或-12三、解答题：本大题共10个小题，共102分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．17．（9分）计算：|﹣3|+（π﹣2024）0-9【答案】1．【解答】解：|﹣3|+（π﹣2024）0-＝3+1﹣3＝1．18．（9分）解方程组：x+【答案】见试题解答内容【解答】解：x+①+②，得3x＝9，（3分）解得x＝3．（4分）把x＝3代入②，得y＝1．（7分）∴原方程组的解是x=3y=119．（9分）如图，AB是∠CAD的平分线，AC＝AD，求证：∠C＝∠D．【答案】见解答过程．【解答】证明：∵AB是∠CAD的平分线，∴∠CAB＝∠DAB，∴在△ABC和△ABD中，AC=∴△ABC≌△ABD（SAS），∴∠C＝∠D．20．（10分）先化简，再求值：2xx2-4解：2x=2=2=x=1当x＝3时，原式＝1．（1）小乐同学的解答过程中，第③步开始出现了错误；（2）请帮助小乐同学写出正确的解答过程．【答案】（1）③；（2）解答见解析．【解答】解：（1）第③步开始出现了错误，分子应该是2x﹣x﹣2，故答案为：③．（2）2=2=2=x=1当x＝3时，原式=121．（10分）乐山作为闻名世界的文化旅游胜地，吸引了大量游客．为更好地提升服务质量，某旅行社随机调查了部分游客对四种美食的喜好情况（每人限选一种），并将调查结果绘制成统计图，如图所示．根据以上信息，回答下列问题：（1）本次抽取的游客总人数为240人，扇形统计图中m的值为35；（2）请补全条形统计图；（3）旅行社推出每人可免费品尝两种美食的活动，某游客从上述4种美食中随机选择两种，请用画树状图或列表的方法求选到“钵钵鸡和跷脚牛肉”的概率．【答案】（1）240，35；（2）图形见解析；（3）16【解答】解：（1）本次抽取的游客总人数为72÷30%＝240（人），∴m%＝84÷240×100%＝35%，故答案为：240，35；（2）喜好甜皮鸡的人数为：240﹣48﹣72﹣84＝36（人），补全条形统计图如下：（3）把四种美食分别记为A：麻辣烫，B：跷脚牛肉，C：钵钵鸡，D：甜皮鸭，画树状图如下：共有12种可能出现的结果，其中选到“钵钵鸡和跷脚牛肉”的结果有2种，∴选到“钵钵鸡和跷脚牛肉”的概率为21222．（10分）如图，已知点A（1，m）、B（n，1）在反比例函数y=3x（x＞0）的图象上，过点A的一次函数y＝kx+b的图象与y轴交于点C（0，（1）求m、n的值和一次函数的表达式；（2）连结AB，求点C到线段AB的距离．【答案】（1）m＝3，n＝3；一次函数表达式为y＝2x+1；（2）32【解答】解：（1）∵点A（1，m）、B（n，1）在反比例函数y=∴m＝3，n＝3．又∵一次函数y＝kx+b过点A（1，3），C（0，1），∴k+b=3∴一次函数表达式为y＝2x+1．（2）如图，连结BC．过点A作AD⊥BC，垂足为点D，过点C作CE⊥AB，垂足为点E．∵C（0，1），B（3，1），∴BC∥x轴，BC＝3．∵点A（1，3），B（3，1），AD⊥BC，∴点D（1，1），AD＝2，DB＝2．在Rt△ADB中，AB=AD2又∵S△ABC=1即12∴CE=322，即点C到线段23．（10分）我国明朝数学家程大位写过一本数学著作《直指算法统宗》，其中有一道与荡秋千有关的数学问题是使用《西江月》词牌写的：平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．良工高士素好奇，算出索长有几？词写得很优美，翻译成现代汉语的大意是：有一架秋千，当它静止时，踏板离地1尺，将它往前推进10尺（5尺为一步），秋千的踏板就和某人一样高，这个人的身高为5尺．（假设秋千的绳索拉的很直）（1）如图1，请你根据词意计算秋千绳索OA的长度；（2）如图2，将秋千从与竖直方向夹角为α的位置OA'释放，秋千摆动到另一侧与竖直方向夹角为β的地方OA″，两次位置的高度差PQ＝h．根据上述条件能否求出秋千绳索OA的长度？如果能，请用含α、β和h的式子表示；如果不能，请说明理由．【答案】（1）秋千绳索的长度为14.5尺；（2）能，OA=h【解答】解：（1）如图，过点A′作A′B⊥OA于点B．设秋千绳索的长度为x尺．由题可知，OA＝OA′＝x尺，AB＝5﹣1＝4尺，A′B＝10尺，∴OB＝OA﹣AB＝（x﹣4）尺．在Rt△OA′B中，由勾股定理得：A′B2+OB2＝OA′2，∴102+（x﹣4）2＝x2，解得x＝14.5．答：秋千绳索的长度为14.5尺；（2）能．由题可知，∠OPA′＝∠OQA″＝90°，OA′＝OA″＝OA．在Rt△OA′P中，cosα=OP∴OP＝OA′•cosα＝OA•cosα，同理，OQ＝OA″•cosβ＝OA•cosβ，∵OQ﹣OP＝h，∴OA•cosβ﹣OA•cosα＝h，∴OA•（cosβ﹣cosα）＝h，∴OA=h24．（10分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB为直径，过点C作⊙O的切线CD交BA延长线于点D，点E为CB上一点，且AC=（1）求证：DC∥AE；（2）若EF垂直平分OB，DA＝3，求阴影部分的面积．【答案】（1）证明见解析；（2）3π-9【解答】（1）证明：∵CD为⊙O的切线，点C在⊙O上，∴∠OCD＝90°，∴∠DCA+∠OCA＝90°，∵AB为直径，∴∠ACB＝90°，∴∠B+∠OAC＝90°．∵OC＝OA，∴∠OAC＝∠OCA，∴∠B＝∠DCA，∵AC=∴∠B＝∠CAE，∴∠CAE＝∠DCA，∴CD∥AE；（2）解：连结OE、BE，∵EF垂直平分OB，∴OE＝BE，∵OE＝OB，∴△OEB为等边三角形．∴∠BOE＝60°，∴∠AOE＝180°﹣60°120°，∵OA＝OE，∴∠OAE＝∠OEA＝30°．∵DC∥AE，∴∠D＝∠OAE＝30°．∵∠OCD＝90°，∴OD＝2OC＝OA+AD，∵OA＝OC，∴OC＝AD＝3，∴AO＝OE＝OC＝3，∴EF=32OE∴△OAE的面积=12AO•FE∵扇形OAE的面积=120π×∴阴影的面积＝扇形OAE的面积﹣△OAE的面积＝3π-925．（12分）在平面直角坐标系xOy中，我们称横坐标、纵坐标都为整数的点为“完美点”．抛物线y＝ax2﹣2ax+2a（a为常数且a＞0）与y轴交于点A．（1）若a＝1，求抛物线的顶点坐标；（2）若线段OA（含端点）上的“完美点”个数大于3个且小于6个，求a的取值范围；（3）若抛物线与直线y＝x交于M、N两点，线段MN与抛物线围成的区域（含边界）内恰有4个“完美点”，求a的取值范围．【答案】（1）（1，1）；（2）32≤a＜52；（【解答】解：（1）当a＝1时，抛物线y＝x2﹣2x+2＝（x﹣1）2+1，∴抛物线的顶点坐标（1，1）；（2）当x＝0时，y＝2a，即抛物线与y轴的交点A坐标为（0，2a），∵线段OA上的“完美点”的个数大于3个且小于6个，即“完美点”的个数为4个或5个，而a＞0，∴当“完美点”个数为4个时，这4个“完美点”的坐标分别为（0，0），（0，1），（0，2），（0，3），当“完美点”个数为5个时，这5个“完美点”的坐标分别为（0，0），（0，1），（0，2），（0，3），（0，4），∴3≤2a＜5，∴a的取值范围是32≤a（3）易知抛物线的顶点坐标为（1，a），过点P（2，2a），Q（3，5a），R（4，10a）．显然，“完美点”（1，1），（2，2），（3，3）符合题意．下面讨论抛物线经过（2，1），（3，2）的两种情况：①当抛物线经过（2，1）时，解得a=12．此时，P（2，1），Q(3，52如图所示，满足题意的“完美点”有（1，1），（2，1），（2，2），（3，3），共4个．②当抛物线经过（3，2）时，解得a=25．此时，P(2，45)，Q（3，如图所示，满足题意的“完美点”有（1，1），（2，1），（2，2），（3，2），（3，3），（4，4），共6个．∴a的取值范围是2526．（13分）在一堂平面几何专题复习课上，刘老师先引导学生解决了以下问题：【问题情境】如图1，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D、E在边BC上，且∠DAE＝45°，BD＝3，CE＝4，求DE的长．解：如图2，将△ABD绕点A逆时针旋转90°得到△ACD′，连结ED′．由旋转的特征得∠BAD＝∠CAD′，∠B＝∠ACD′，AD＝AD′，BD＝CD′．∵∠BAC＝90°，∠DAE＝45°，∴∠BAD+∠EAC＝45°．∵∠BAD＝∠CAD′，∴∠CAD′+∠EAC＝45°，即∠EAD′＝45°．∴∠DAE＝∠D′AE．在△DAE和△D′AE中，AD＝AD′，∠DAE＝∠D′AE，AE＝AE，∴①_____．∴DE＝D′E．又∵∠ECD′＝∠ECA+∠ACD′＝∠ECA+∠B＝90°，∴在Rt△ECD′中，②_____．∵CD′＝BD＝3，CE＝4，∴DE＝D′E＝③_____．【问题解决】上述问题情境中，“①”处应填：△ADE≌△AD′E；“②”处应填：EC2+CD′2＝ED′2；“③”处应填：5．刘老师进一步谈到：图形的变化强调从运动变化的观点来研究，只要我们抓住了变化中的不变量，就能以不变应万变．【知识迁移】如图3，在正方形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，满足△CEF的周长等于正方形ABCD的周长的一半，连结AE、AF，分别与对角线BD交于M、N两点．探究BM、MN、DN的数量关系并证明．【拓展应用】如图4，在矩形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，且∠EAF＝∠CEF＝45°．探究BE、EF、DF的数量关系：EF2＝2BE2+2DF2（直接写出结论，不必证明）．【问题再探】如图5，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，点D、E在边AC上，且∠DBE＝45°．设AD＝x，CE＝y，求y与x的函数关系式．最后，刘老师总结到：希望同学们在今后的数学学习中，学会用数学的眼光观察现实世界，用数学的思维思考现实世界，用数学的语言表达现实世界．【答案】【问题解决】①△ADE≌△AD′E；②EC2+CD′2＝ED′2；③5；【知识迁移】DN2+BM2＝MN2，理由见解析过程；【拓展应用】2BE2+2DF2＝EF2，理由见解析过程；【问题再探】y=【解答】解：【问题解决】：如图2，将△ABD绕点A逆时针旋转90°得到△ACD′，连结ED′．由旋转的特征得∠BAD＝∠CAD′，∠B＝∠ACD′，AD＝AD′，BD＝CD′．∵∠BAC＝90°，∠DAE＝45°，∴∠BAD+∠EAC＝45°．∵∠BAD＝∠CAD′，∴∠CAD′+∠EAC＝45°，即∠EAD′＝45°．∴∠DAE＝∠D′AE．在△DAE和△D′AE中，AD=∴△ADE≌△AD'E（SAS）．∴DE＝D′E．又∵∠ECD′＝∠ECA+∠ACD′＝∠ECA+∠B＝90°，∴在Rt△ECD′中，EC2+CD′2＝ED′2，∵CD′＝BD＝3，CE＝4，∴DE＝