人教A版新教材高中数学第二册学案2：6. 2 . 4 向量的数量积

6.2.4向量的数量积

『课标要求』

课程标准：1.通过物理中功等实例,理解平面向所数量积的概念及其物理意义，会计算平面向量的数量:积.2.通过几何直

观,了解平面向量投影的概念以及投影向量的意义.

教学重点：1.平面向量数呈积的含义与几何意义.2.向星数呈积的性质与运算律及其应用.

教学难点:1.平面向量数量积的概念.2.平面向量数量积的运算律的证明.

『知识导学J

知识点一向量的夹角

条件两个回非零向量:。和匕

。是平面上的任意一点，作QA

产生

=a.O^=b,则=/AO8叫做

过程

向量a与b的夹角

范围

0=0a与b画同向

特殊

a与b眄1垂直，记作画aj_b

情况

0=na与b啦!反向

知识点二向量数量积的概念

已知条件两个非零向量a与b.它们的夹角为。

晅数量1al1b|cos。叫做向量a与8的数量积

定义

（或内积）

记法a•b=\a\\b\cos。

规定零向量与任一向量的数量积为靶

知识点三投影向量

如图1,设a,》是两个非零向量，AB=a,CD=b,我们考虑如下的变换：过A8的起点A

和终点B,分别作C。所在直线的垂线，垂足分别为Ai，Bi，得到48,我们称上述变换为

向量a向向量题:，481叫做向量。在向量力上的陛」

«

如图2,我们可以在平面内任取一点。，作OM=a,0N=8.过点M作直线ON的垂线，垂

足为例I,则0M就是向量”在向量入上的投影向量.

知识点四向量的数量积的性质和运算律

（1）向量的数量积的性质

设a,b是非零向量，它们的夹角是仇e是与b方向相同的单位向量，则

①Q.e=e.a=笆.

②笆.

③当“与5同向时，4力=因.

当a与6反向时，ab=^.

@a-a=^\^\a\=yf（ra=yla^.

⑤cosO=笆.

@|«-Z>|S|a||Z>|.

（2）向量数量积的运算律

①西（交换律）.

②（加）仍=西=时（结合律）.

③日（分配律）.

『新知拓展』

1.对数量积的理解

（1）求a,b的数量积需知道三个量，即⑷，向及a,方的夹角，这三个量有时并不是直接给出

来的，需根据题意去巧妙求解.

(2)两个向量的数量积是两个向量之间的运算，其结果不再是向量，而是数量，它的符号由

夹角确定，当夹角为锐角或。时，符号为正；当夹角为钝角或兀时，符号为负；当夹角为直

角时，其值为零.

向量的投影是一个数量，不是向量，其值可为正，可为负，也可为零.

(3)两个向量a,〜的数量积与代数中两个数a,6的乘积油是两码事，但表面看来又有点相

似，因此要注意两个向量a,方的数量积是记作。仍，中间的实心小圆点不能省略，也不能把

实心小圆点用乘号“X”代替，写成aXD.

2.要灵活掌握向量数量积的性质

(l)a±Z>«a&=0,既可以用来证明两向量垂直，也可以由垂直进行有关计算.

(2)«-a=a2=|ap与⑷=胸=而也用来求向量的模，以实现实数运算与向量运算的相互转

化.

(3)用8$。=儒求两向量的夹角，且夹角的取值与ab的符号有关.

设两个非零向量a与b的夹角为仇则

当6=0时，cos0=1,a-6=|a||Z>|；

当6"为锐角时，cos(9>0,ab>0；

当6为钝角时，cos6»<0,ab<0；

当6为直角时，cos0=O,ab=O；

当6=兀时,cos(9=—1,ab=—\a\\b\.

(4)|a0W|a|⑸可以用来通过构造向量来证明不等式问题或解决最值问题.

(5)①向量的数量积不满足消去律：若a,b,c均为非零向量，Kac=bc,但得不至l]a=Z>.

②(a彷)CWQS-C).

『评价自测』

1.判一判(正确的打“J”，错误的打“X”)

(1)若a力=ac且aWO,则，=c.()

(2)若=0,则«=0或5=0.()

(3)若a-Lb,则a力=0.()

(4)向量。在入上的投影向量是一个模等于|acos呢。是a与》的夹角)，方向与b相同或相反

的一个向量.()

2.做一做

(1)若向量a,力的夹角为30。，则向量一。，一6的夹角为()

A.60°B.30°C.120°D.150°

(2)已知向量a和向量6的夹角为30。，|a|=2,制=/，则向量a和向量〃的数量积〃力=

(3)已知向量满足向=2,a与b的夹角为60。,设方在@上的投影向量是c,则|c|=.

(4)若向量a,〃的夹角为120。，同=1,向=3,则|5a一加=.

『题型探究』

题型一平面向量数量积的概念

例1(1)己知a,b,c是三个非零向量，则下列命题中真命题的个数是()

①H创=|a||b|Qa〃b；

②a,b反向oeb=一回回；

③aJ_)o|a+6|=|〃一b|；

④|a|=步|=|〃­c|=\bx\.

A.1B.2C.3D.4

(2)已知⑷=5,网=2,若：(l)a//b；②aJ_6③。与b的夹角为30。.分别求〃力.

『规律方法」

⑴求平面向量的数量积的一般步骤

(2)。与b垂直当且仅当。力=0.

(3)非零向量。与b共线当且仅当。力=±|a||b|.

「跟踪训练1J

(1)已知下列命题：

①若°2+'2=0,则4=力=0；②已知a,b,c是三个非零向量，若a+b=O,则|a・c|=|"d；

③⑷步|<a•岳④aaa=|03；⑤若向量a,6满足。5>0,则。与的夹角为锐角.

其中判断正确的是.

⑵给出下列命题：

—►—►

①在AABC中，若AB8C<0,则△ABC是锐角三角形；

—►―►

②在△ABC中，若AB-BCO,则△ABC是钝角三角形；

③△ABC是直角三角形=AaBC=O.

其中，正确命题的序号是.

题型二投影向量

例2如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC=2,ZABC=30°,。为BC的中点.

(1)求BA在CZ)上的投影向量;

—►—►

(2)求CD在BA上的投影向量.

「规律方法」

求一个向量在另一个向量上的投影向量时，关键是作出恰当的垂线，根据题意确定向量的模

及两向量的夹角.

『跟踪训练2J

—►—►―►—►—►—►—►

在△ABC中，已知|A剧=|AC|=6,且ABAC=18,则84在BC上的投影向量为(用BC

表示).

题型三平面向量数量积的运算

例3(1)已知⑷=4,|*|=5,且向量［与b的夹角为605求(20+3》(30-26)；

—►-►

⑵在RtZXABC中,ZC=90°,AB=5,AC=4,求ABAC.

「综合探究」将本例改为：(1)已知©=4,|加=5,且向量a,b的夹角为30°,求(2a+3办(3a

—2b)；

(2)在Rt/XABC中,ZC=90°,AB=5,AC=4,求ABBC.

「规律方法」向量数量积的求法

(1)求两个向量的数量积，首先确定两个向量的模及两个向量的夹角，其中准确求出两个向

量的夹角是求数量积的关键.

(2)根据数量积的运算律，向量的加、减与数量积的混合运算类似于多项式的乘法运算.

「跟踪训练3」

-A-A-A-A

如图，在△4BC中，。是8c的中点，E,尸是4。上的两个三等分点，BA-C4=4,BFCF=

-1,贝IJ8ECE的值是

题型四与向量模有关的计算

例4已知向量”，b的夹角为60°,且⑷=2,步|=1,若c=2a-Z>,d=a+2b,求:

(l)c-rf;

⑵|c+2仇

「规律方法」求向量的模的常见思路及方法

(1)求模问题一般转化为求模的平方，与向量数量积联系，并灵活应用。2=同2,勿忘记开方.

(2)0.=序=|肝或|a尸而，可以实现实数运算与向量运算的相互转化.

「跟踪训练4J

已知|a|=|b|=5,向量Q与1的夹角为多求|a+b|,\a-b\.

题型五两向量的夹角问题

例5已知同=2,步|=1,a与分的夹角为60。，求向量nj=2.+b与向量"=a—45的夹角

的余弦值.

「规律方法J求向量a与b夹角的思路

(1)求向量夹角的关键是计算ab及⑷网，在此基础上结合数量积的定义或性质计算cos0=

箭，最后借助6右『0,兀』，求出6的值.

(2)在个别含有⑷，物与a力的等量关系式中，常利用消元思想计算cos。的值.

『跟踪训练5J

已知向量a,〃满足(a+26)"—》)=—6,且⑷=1,\b\=2,则a与b的夹角为.

题型六两向量的垂直问题

例6已知向量a,b不共线,且|2a+B|=|a+2臼，求证：(a+B)J_(a—B).

「规律方法」求(证明)两向量垂直的基本步骤

(1)计算“力的值；

(2)若为零，则”,否则不垂直.

「跟踪训练6」

已知⑷=1,步|=2,。一6与a垂直，求当左为何值时，(Aa-b)，(a+2b)?

『随堂达标』

1.已知非零向量a，b,若a+23与a—2b互相垂直，则曷=()

A.；B.4C.1D.2

—►-►—A-»—A

2.在△ABC中，若A8BC+AB2=o,则BC在BA上的投影向量为()

―►―►—►—►

A.BAB.2ABC.ACD.gcA

3.已知向量a,。满足|a|=2,|b|=l,(a—b>b=O,那么向量。与力的夹角为()

A.30°B.45°C.60°D.90°

—►—►—►—►

4.已知△ABC是边长为陋的等边三角形，贝!]BCC4+48BC=.

5.已知⑷=1,ab=~,(a+b)-(a—b)—^.

(1)求例的值；

(2)求向量a-b与a+b夹角的余弦值.

★参*考*答*案★

r知识导学J

知识点三投影向量

投影投影向量

知识点四向量的数量积的性质和运算律

⑴①⑷cos。

②。Z>=0

③⑷向一⑷网

④HF

⑥w

(I)®a-h=b-a

②K(rb)a(Ab)

③(a+b>c=0c+frc.

『评价自测』

1.『答案J(1)X(2)X(3)V(4)V

2.『答案」(1)B(2)3(3)1(4)7

『题型探究』

题型一平面向量数量积的概念

例1

11解析」」(1)①•.”力=|。仙IcosO,...由|。加=|。仙|及a,b均为非零向量可得|cos例=1,

.,.9=0或。=兀，且以上各步均可逆，故命题①是真命题；②若Q,〃反向，则a,

b的夹角为n,.,.a-Z>=|a||Z>|cos7i=—|a||Z>|,且以上各步均可逆，故命题②是真命题；③当a

时，将向量a，6的起点确定在同一点，则以向量a,5为邻边作平行四边形，则该平行

四边形一定为矩形，于是它的两对角线的长度相等，即有|a+勿=|a—用.反过来，若|。+勿=

\a-b\,则以a,b为邻边的平行四边形为矩形，...a，。，因此命题③也是真命题；④当⑷

=例但是a与c的夹角和力与c的夹角不等时，就有|a-c|#眇c].反过来，由|0c|=|Z>-c|也推不

出⑷=|臼，故命题④是假命题.故选C.

(2)①当a〃b时，若。与b同向，则它们的夹角为0。，

.*.a-6=|a||&|cosO°=5X2X1=10；

若a与方反向，则它们的夹角为180。，

：.ab=|a|网cos180°=5X2X(—1)=一10.

②当a_L5时，则它们的夹角为90。，a-6=|a||*|cos90°=5X2X0=0.

③当a与b的夹角为30。时，a力=|a||b|cos3(r=5X2X坐=5小.

『「答案」」(1)C⑵见『解析』

「跟踪训练11

「答案」⑴①②⑵②

「解析」(1)对于①，'.,。2+析=0,，|呼+向2=0,二|3=网=0,；.。=6=0,故①正确；

对于②，..,。+白=0,与白互为相反向量，设Q与c的夹角为仇则b与c的夹角为兀一

6,贝ija-c=|a||c|cos。，"c=|b||c|cos(7t—。)=一|b||c|cos仇\a-c\=\b-c\,故②正确；对于③，

由于|a0|=|a||b||cosJ|W|M|b|，故③错误；对于④,由于aaa=HFa,其结果为向量，故④错

误；对于⑤，当。与》为同向的非零向量时，ab=|a||^|cos0=|a||6|>0,但夹角不是锐角，故

⑤错误.

(2)利用向量数量积的符号，可以判断向量的夹角是锐角、直角，还是钝角.

—►―►—>—►—>―►

@'：ABBC<0,：,BABC=-ABBOO,

是锐角，但并不能断定其余的两个角也是锐角.

所以推不出△ABC是锐角三角形.故命题①是假命题.

—►-A-A-A-A-A

：.BABC=-ABBC<Q,

是钝角，因而AABC是钝角三角形.故命题②是真命题.

③若△ABC是直角三角形，则直角可以是/A,也可以是/B,ZC.

而A®8C=0仅能保证是直角.故命题③是假命题.

题型二投影向量

例2

「解」(1)如图，连接AD

•.,£)为BC的中点，AB=AC,：.AD±BC.

设与CO同方向的单位向量为e.

—►-►

又BD=DC=4且BA与CO的夹角为150。，

―►

―►—►―►—►—►

CD

3A在CD上的投影向量为|BA|cosl5(re=一小e=一/==-CO=BD

|CD|

(2)如图，延长CB至点M,使BM=CD,

过点M作AB延长线的垂线MN,并交AB的延长线于点N.

A

3

易知5M=CD3N=,CD在84上的投影向量即为身依BA上的投影向量.

-A-A

3

又MN1.BN,BN=],8M与H4的夹角为150。，

―►—►—►―►

3

故氏依氏4上的投影向量为5N=—a%,

―►―►—►

3

即C。在84上的投影向量为一：84

『跟踪训练2」

-A

「答案」\BC

—►—►—►—►

「解析」设/A=。，'：ABAC=|AB||Aqcos6»=18,：.cosd=y,/.6»=60°.

—►-►

又•.•|A8|=|AC1，.♦.△ABC为等边三角形.

过点A作AD1BC交BC于点。.则BD=DC.

—►—►―►-A

故8A在BC上的投影向量为8£>,即为会仁

题型三平面向量数量积的运算

例3

「解」(1)(2。+3b)-(3a—2b)=6a2—4ab+9ab—6b2

=6X4?+5X4X5义cos600-6X52=-4.

-A-A-►—>

4

(2)48AC=\AB^AQcosZBAC=5X4X--16.

[综合探究」

解(1)(2。+3用•(3a—25)=6a2+5eb—6小

=6X42+5X5X4XCOS300-6X52=50V3-54.

(2)在RtZ\ABC中，ZC=90°,AB=5,AC=4,故BC=3,

-A-A

3

且COSNABC=5,AB与3。的夹角。=180。一/43。，

―►—►—►-►

3

故AB-BC=一依剧|BC]cos/A8C=-5X3Xg=-9.

f跟踪训练3J

「答案」f7

-►-►—>•-►—►­►

「解析」解法一：设8O=a,DF=b,则BACA=(a+3力-(一。+3㈤=9|肝一⑷2=4,BFCF

-A-A

135

=(o+方>(—a+b)=|5F—1。|2=—1，解得|aF=k，|肝=『贝ijBECE=(a+2bx—a+2b)=4步F

OO

7

-|a|2=g-

解法二：设AB=a,AC=b,根据题意有

84cA=。仍=4,〃。彷=4,

—2(a2+ft2)+5a-ft=-9,

<B/C/一多)•0•一|。=一1,整理得j一一

—5(.+b2)+26ab

BE・CE=-----------宗-----,

I36

邛CE=&-|a)&-汕

527

-f5X(—9)+亍义4

于是BECE=----------文------=p.

题型四与向量模有关的计算

例4

「解」因为向量。与〃的夹角为60。，⑷=2,例=1,

所以。b=|a||b|cos60°=l,因为c=2a-Z>,d=a+2b.

(I)cd=(2a-/>>(a+23=2a2+3a力-2/=2|aF+3Xl—2|bF=2X22+3-2X12=9.

(2)因为c+2d=(2a—6)+2(a+2b)=4a+3b,

(c+2d¥=(4a+3b)2=16/+24“0+9於=16⑷2+24X1+9|例2=16X22+24X1+9X1=97,

所以匕+2肝=97,所以|c+2rf|=顺.

r跟踪训练4」

例5

「解」a2=2XlXcos60°=l,

|阑2=|20+加2=4|aF+4Q0+的2=4X22+4X1+1=21,

|/i|2=\a-4bF=|a|2-8a-Z>+16|6|2=22-8Xl+16X1=12,

\m\=-\[2\,|〃|=2小，

，"〃=(2a+b>(a-4))=2|aF-70b-4|bF=2X22-7Xl-4Xl=-3.

设m,”的夹角为仇

—3=-x/2lX2"\/§Xcos。，即cos6>=—率.

「跟踪训练5j

「答案Jf

『解析」设a与b的夹角为仇依题意有(a+2b>(a—6)=/+〃力一2於=-7+2COS6=一

6,所以cos6=,因为0W。，，故

题型六两向量的垂直问题

例6

『证明」9：\2a+b\=\a+2b\,：.(2a+b)2=(a+2b)2,

222222

即4a+4ab+b=a+4ah+4bf