八年级数学整式乘法与因式分解总复习

因式分解总复习

整式乘法

考点1整式乘法运算法则

同底数幕的乘法优"•优=优""(相,〃都是正整数)

幕的乘方(am)"=a""1(m,n都是正整数)

积的乘方(")"=anbn(〃为正整数)

填空：再看看过程用到哪些运算律？

(1)=(")•(而)=(a・a)(/2・b)=d%')；

(2)(a/===a()H).

考点2单项式的乘法法则

单项式的乘法是指单项式乘以单项式.

单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同的字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字

母，则连同它的指数作为积的一个因式.

注意：运算顺序是先乘方，后乘法，最后加减.

考点3单项式与多项式相乘的乘法法则.

单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.

说明：(1)单项式与多项式相乘，其实质就是乘法分配律的的应用.

(2)在应用乘法分配律时，要注意单项式分别与多项式的每一项相乘.

课堂交流

下列三个计算中，哪个正确？哪个不正确？错在什么地方？

(1)3a(〃—c+a)=3"—；

(2)2m(m2-mn+1)=2m3—2m2n4-2m

考点4多项式相乘的乘法法则.

多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一个项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.

二.典例剖析

1.基本概念题（考查三个公式）

例1.计算：

2

(1)①103x1()4;③Q.Q3.(4)(m+n)•("?+nf

(2)①⑻丫；②仗y；③(-4)3・(一:).

（3）①侬丫;②（2/1；③（-浦；④(-3x)4.

2.基本知识应用题

例2.计算：

232

（1）3x?y•（一2孙3）；(2)(-5a&)*(-4Z?c).

例3.计算：

(1)2a~(3a~—5Z>)：(2)(—2a~—5ub^).

例4.计算：

(1)(x-3y)(x+7y);(2)(5x+2)，)(3%-2y).

3.综合应用题

例5.化简：(1)(ci+b^ci—2.b)—(6i+2.b^ci—b)；(2)5x(x?+2x+l)—(2x+3)(x—5).

4.探索与创新题.

例6.已知S・ma-b=m'2,求a的值.

变式训练：

(1)若644x83=2,贝Ux=.

(2)若x2w=4,则_?"=.

(3)已知〃"=2,屋=3,则诡'+"=.

例7.计算㈠二":严.

变式训练：

(1)(§5993.252996=(2)(-1)2001x^lyOOO

(3)(ll)2001x(-ll)2002x(-^)2<x,3^

345

例8.己知2'=3,2>=5,2?=15,求证：x+y=z.

5.真题

1.化简(―xT・(—的结果正确的是()

A.-X6B.X6C.X5D.-X5

2.下列运算中，正确的是()

A.x2•x3=x6C.3a+2a=5a2D.(a-l)2=a2

3.计算：4x2•(-2xy)=.

4.计算：(一g/y)=,

5.化简：a3•a2b=

乘法公式

考点L平方差公式、完全平方公式.

平方差公式：(a+bla-b)=a2-h2.

完全平方公式：(a+b)2=。2+2ab+o2,(a-o)2="2一2”。+。2

考点2.添括号法则.

添括号时.，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不改变符号；如果括号前面是负号，括到括号里面的

各项都改变符号.

说明：添括号法则与去括号法则是一致的，添括号正确与否，可用去括号进行检验.

考点3.公式(x+a)(x+8)=/+("++

(x+a^x+b)=x~+bx+ax+ab=x2+(a+b)x+ab.

二.典例剖析

1.基本知识应用题.

例1.运用平方差公式计算：

(1)(3x+2)(3x-2)；(2)(b+2a)(2a—b)；(3)(-x+2yX-x-2y).

例2.运用完全平方公式计算:

(1)(4m+〃)2；

例3.运用乘法公式计算.

(1)102X98；(2)1022；(3)992.

例4.计算：

(1)(m-5)(m+3)；(2)(2x-342x-4).

2.综合应用题

例5.计算：

(1)(x+2y--2y+3)；(2)(a+b+c)~；(3)(y+2Xy-2)-(y-1*,+5).

例6.计算:

(1)他—2乂/+4)9+2)；(2)(2a-Z?)(2a+Z?)-(3a-2Z?)(3a+2Z?).

变式训练：

计算：(1)(5—x)(i+X))(x+万)；(2)(x+3)~—(x+2)(x~•2).

3.探索与创新题

例7.计算:19982—1997X1999.

例8.计算(2+。(2?+*24+1)…Q2"+1).

例9.已知(4+3?=7,(a—0)2=4,求/+〃，出，的值.

例10.观察下列各式：

(%—l)(x+l)=x2—1;

(x—l)(x2+x+l)=x3—1;

(x—l)(x3+x2+x+l)=x4—1.

根据前面各式的规律可得:

(x-l)(xn+xn-1+xn-2+.--+x+l)=.(其中〃为正整数).

4.易错与疑难题.

例11.计算：

(1)(2x+y-z+10)(2%—y+z+10).(2)+(a—

5.真题

1.若。的值使得》2+4x+a=(x+2)2—l成立，则。的值为()

A.5B.4C.3D.2

1,1,

2.已知x+y=l,那么5尸+q+5V的值为.

因式分解

考点1.因式分解的定义

把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式分解因式，也叫做把这个多项式因式

分解.

说明：(1)因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即互逆的运算.

(2)因式分解是恒等变形，因此可以用整式乘法来检验.

考点2.提公因式法分解因式的步骤.

多项式ma+〃必+机。中的各项都有一个公共的因式加，我们把因式加叫做这个多项式的公因式.

ma+mb+me=m[a+。+c)就是把〃KZ+〃必+MC分解成两个因式乘积的形式，其中一个因式是各项的

公因式加，另一个因式(a+8+c)是〃以+，汕+〃的除以加所得的商，像这种分解因式的方法叫做提公因

式法.

考点3.分解因式的两个公式

(1)平方差公式：a2-b2=(a+b^a-b).

即两个数的平方差，等于这两个数的和与这个数的差的积.

例如：4X2-9=(2X)2-32=(2X+3)(2X—3).

(2)完全平方公式：a2±2ab+b2=(a+b)2.

其中a2±2aA+/叫做完全平方式.即两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍，等于这

两个数的和(或差)的平方.

例如：4x2-12xy+9y2=(2x)2一2・2x・3y+(3yf=(2x-3y)2.

考点4.分组分解法

(1)形如：am+an+bm+bn-(am+an)+(bm+bn)—a[m+n)+b(m+n)—(m+n\a+b)

(2)形如：x~—y~+2x+1=+2,x+1)-=(x+1)"—y~=(x+y+—y+1).

把多项式进行适当分组，分组后能够有公因式或运用公式，这样的因式分解方法叫做分组分解法.

知识规律小结：

(1)分组分解法一般分组方式不唯一.

例如：将+++”因式分解，方法有两种：

方法1：am+an+bm+bn={am+an)+(bm+bii)=a(m+n)+b[m+n)=[m+n^a+b).

方法2：am+an+bm+bn={cim+bm)+[an+bn)-=m(a+b)+n(a+b)=(m+n\a+b).

(2)分组除具有尝试性外，还要具有目的性，或者分组后能出现公因式，或者分组后能运用公式.

例如：。机+4〃+勿〃+勿?分组后有公因式；——y2+2x+l分组后能运用公式

分组分解法是因式分解的基本方法，体现了化整体为局部，又统揽全局的思想，如何恰当分组是解题的关

键，常见的分组方法有：(1)按字母分组；(2)按次数分组；(3)按系数分组.

考点5.关于x2+(p+g)x+pq型二次三项式的因式分解.

x2+(p+q)x+pq=(x+p^x+q).

二.典例剖析

例1.用提公因式法将下列各因式分解：

(1)ax—ay；(2)6xyz-3xz2：(3)-x3z+x4y；(4)36aby-12abx+6ab；

(5)3%(a-b)+2y(h-a)；(6)x(m-x^m-y)-m(x-in\y-m).

例2.把下列各式分解因式：

(1)nr+2m+1；(2)9A:2-12X+4；(3)l-10%+25x2；(4)(m+n)--6(m+n)+9

例3.把下列各式分解因式：

(1)—3ax2+€>axy—3ay2；；(2)x~-2.x—8；(3)y~+7x—18；(4)x2+7x—18.

2.综合应用题

(1)d—2x?+x；(2)+4。-；(3)x4—8lx^y"；

(4)x2(x-y)+y2(y-x)s(5)(a+h+c)~-(a-b-c)，

例5.利用分组分解法把下列各式分解因式.

(1)cr-b2+a-b；(2)a2+b2-2ab-\；

(3)(办+Z?y)~+(ay-bx『；(4)a2-2ab+b2-c2-2c-l.

例6.若a、b、c是三角形三边，且满足关系式a2+62+c2-a/；—ac—8c=0,试判断这个三角形的形状.

例7.利用因式分解计算下列各题：

(1)234X165-234X65；(2)992+198+1.

变式训练：

利用因式分解计算下列各题：

(1)7.6X199.9+4.3X199.9-1.9X199.9；

(2)20022-4006X2002-20032.

(3)5652X11-4352XII.

(4)(5$2一42.

例8.若9x2+kxy+36y2是完全平方式，则k=.

变式训练：若丁+(女+3)彳+9是完全平方式，则后=.

3.探索与创新题

例9.若/+日+20能在整数范围内因式分解，则攵可取的整数值有()

A.2个B.3个C.4个D.5个

4.真题

(1)分解因式：a2(x-y)-x+y;

(2)分解因式：=