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文档简介
因式分解总复习
整式乘法
考点1整式乘法运算法则
同底数幕的乘法优"•优=优""(相,〃都是正整数)
幕的乘方(am)"=a""1(m,n都是正整数)
积的乘方(")"=anbn(〃为正整数)
填空:再看看过程用到哪些运算律?
(1)=(")•(而)=(a・a)(/2・b)=d%');
(2)(a/===a()H).
考点2单项式的乘法法则
单项式的乘法是指单项式乘以单项式.
单项式与单项式相乘,把它们的系数、相同的字母分别相乘,对于只在一个单项式里含有的字
母,则连同它的指数作为积的一个因式.
注意:运算顺序是先乘方,后乘法,最后加减.
考点3单项式与多项式相乘的乘法法则.
单项式与多项式相乘,就是用单项式去乘多项式的每一项,再把所得的积相加.
说明:(1)单项式与多项式相乘,其实质就是乘法分配律的的应用.
(2)在应用乘法分配律时,要注意单项式分别与多项式的每一项相乘.
课堂交流
下列三个计算中,哪个正确?哪个不正确?错在什么地方?
(1)3a(〃—c+a)=3"—;
(2)2m(m2-mn+1)=2m3—2m2n4-2m
考点4多项式相乘的乘法法则.
多项式与多项式相乘,先用一个多项式的每一个项乘另一个多项式的每一项,再把所得的积相加.
二.典例剖析
1.基本概念题(考查三个公式)
例1.计算:
2
(1)①103x1()4;③Q.Q3.(4)(m+n)•("?+nf
(2)①⑻丫;②仗y;③(-4)3・(一:).
(3)①侬丫;②(2/1;③(-浦;④(-3x)4.
2.基本知识应用题
例2.计算:
232
(1)3x?y•(一2孙3);(2)(-5a&)*(-4Z?c).
例3.计算:
(1)2a~(3a~—5Z>):(2)(—2a~—5ub^).
例4.计算:
(1)(x-3y)(x+7y);(2)(5x+2),)(3%-2y).
3.综合应用题
例5.化简:(1)(ci+b^ci—2.b)—(6i+2.b^ci—b);(2)5x(x?+2x+l)—(2x+3)(x—5).
4.探索与创新题.
例6.已知S・ma-b=m'2,求a的值.
变式训练:
(1)若644x83=2,贝Ux=.
(2)若x2w=4,则_?"=.
(3)已知〃"=2,屋=3,则诡'+"=.
例7.计算㈠二":严.
变式训练:
(1)(§5993.252996=(2)(-1)2001x^lyOOO
(3)(ll)2001x(-ll)2002x(-^)2<x,3^
345
例8.己知2'=3,2>=5,2?=15,求证:x+y=z.
5.真题
1.化简(―xT・(—的结果正确的是()
A.-X6B.X6C.X5D.-X5
2.下列运算中,正确的是()
A.x2•x3=x6C.3a+2a=5a2D.(a-l)2=a2
3.计算:4x2•(-2xy)=.
4.计算:(一g/y)=,
5.化简:a3•a2b=
乘法公式
考点L平方差公式、完全平方公式.
平方差公式:(a+bla-b)=a2-h2.
完全平方公式:(a+b)2=。2+2ab+o2,(a-o)2="2一2”。+。2
考点2.添括号法则.
添括号时.,如果括号前面是正号,括到括号里的各项都不改变符号;如果括号前面是负号,括到括号里面的
各项都改变符号.
说明:添括号法则与去括号法则是一致的,添括号正确与否,可用去括号进行检验.
考点3.公式(x+a)(x+8)=/+("++
(x+a^x+b)=x~+bx+ax+ab=x2+(a+b)x+ab.
二.典例剖析
1.基本知识应用题.
例1.运用平方差公式计算:
(1)(3x+2)(3x-2);(2)(b+2a)(2a—b);(3)(-x+2yX-x-2y).
例2.运用完全平方公式计算:
(1)(4m+〃)2;
例3.运用乘法公式计算.
(1)102X98;(2)1022;(3)992.
例4.计算:
(1)(m-5)(m+3);(2)(2x-342x-4).
2.综合应用题
例5.计算:
(1)(x+2y--2y+3);(2)(a+b+c)~;(3)(y+2Xy-2)-(y-1*,+5).
例6.计算:
(1)他—2乂/+4)9+2);(2)(2a-Z?)(2a+Z?)-(3a-2Z?)(3a+2Z?).
变式训练:
计算:(1)(5—x)(i+X))(x+万);(2)(x+3)~—(x+2)(x~•2).
3.探索与创新题
例7.计算:19982—1997X1999.
例8.计算(2+。(2?+*24+1)…Q2"+1).
例9.已知(4+3?=7,(a—0)2=4,求/+〃,出,的值.
例10.观察下列各式:
(%—l)(x+l)=x2—1;
(x—l)(x2+x+l)=x3—1;
(x—l)(x3+x2+x+l)=x4—1.
根据前面各式的规律可得:
(x-l)(xn+xn-1+xn-2+.--+x+l)=.(其中〃为正整数).
4.易错与疑难题.
例11.计算:
(1)(2x+y-z+10)(2%—y+z+10).(2)+(a—
5.真题
1.若。的值使得》2+4x+a=(x+2)2—l成立,则。的值为()
A.5B.4C.3D.2
1,1,
2.已知x+y=l,那么5尸+q+5V的值为.
因式分解
考点1.因式分解的定义
把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种变形叫做把这个多项式分解因式,也叫做把这个多项式因式
分解.
说明:(1)因式分解与整式乘法是相反方向的变形,即互逆的运算.
(2)因式分解是恒等变形,因此可以用整式乘法来检验.
考点2.提公因式法分解因式的步骤.
多项式ma+〃必+机。中的各项都有一个公共的因式加,我们把因式加叫做这个多项式的公因式.
ma+mb+me=m[a+。+c)就是把〃KZ+〃必+MC分解成两个因式乘积的形式,其中一个因式是各项的
公因式加,另一个因式(a+8+c)是〃以+,汕+〃的除以加所得的商,像这种分解因式的方法叫做提公因
式法.
考点3.分解因式的两个公式
(1)平方差公式:a2-b2=(a+b^a-b).
即两个数的平方差,等于这两个数的和与这个数的差的积.
例如:4X2-9=(2X)2-32=(2X+3)(2X—3).
(2)完全平方公式:a2±2ab+b2=(a+b)2.
其中a2±2aA+/叫做完全平方式.即两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍,等于这
两个数的和(或差)的平方.
例如:4x2-12xy+9y2=(2x)2一2・2x・3y+(3yf=(2x-3y)2.
考点4.分组分解法
(1)形如:am+an+bm+bn-(am+an)+(bm+bn)—a[m+n)+b(m+n)—(m+n\a+b)
(2)形如:x~—y~+2x+1=+2,x+1)-=(x+1)"—y~=(x+y+—y+1).
把多项式进行适当分组,分组后能够有公因式或运用公式,这样的因式分解方法叫做分组分解法.
知识规律小结:
(1)分组分解法一般分组方式不唯一.
例如:将+++”因式分解,方法有两种:
方法1:am+an+bm+bn={am+an)+(bm+bii)=a(m+n)+b[m+n)=[m+n^a+b).
方法2:am+an+bm+bn={cim+bm)+[an+bn)-=m(a+b)+n(a+b)=(m+n\a+b).
(2)分组除具有尝试性外,还要具有目的性,或者分组后能出现公因式,或者分组后能运用公式.
例如:。机+4〃+勿〃+勿?分组后有公因式;——y2+2x+l分组后能运用公式
分组分解法是因式分解的基本方法,体现了化整体为局部,又统揽全局的思想,如何恰当分组是解题的关
键,常见的分组方法有:(1)按字母分组;(2)按次数分组;(3)按系数分组.
考点5.关于x2+(p+g)x+pq型二次三项式的因式分解.
x2+(p+q)x+pq=(x+p^x+q).
二.典例剖析
例1.用提公因式法将下列各因式分解:
(1)ax—ay;(2)6xyz-3xz2:(3)-x3z+x4y;(4)36aby-12abx+6ab;
(5)3%(a-b)+2y(h-a);(6)x(m-x^m-y)-m(x-in\y-m).
例2.把下列各式分解因式:
(1)nr+2m+1;(2)9A:2-12X+4;(3)l-10%+25x2;(4)(m+n)--6(m+n)+9
例3.把下列各式分解因式:
(1)—3ax2+€>axy—3ay2;;(2)x~-2.x—8;(3)y~+7x—18;(4)x2+7x—18.
2.综合应用题
(1)d—2x?+x;(2)+4。-;(3)x4—8lx^y";
(4)x2(x-y)+y2(y-x)s(5)(a+h+c)~-(a-b-c),
例5.利用分组分解法把下列各式分解因式.
(1)cr-b2+a-b;(2)a2+b2-2ab-\;
(3)(办+Z?y)~+(ay-bx『;(4)a2-2ab+b2-c2-2c-l.
例6.若a、b、c是三角形三边,且满足关系式a2+62+c2-a/;—ac—8c=0,试判断这个三角形的形状.
例7.利用因式分解计算下列各题:
(1)234X165-234X65;(2)992+198+1.
变式训练:
利用因式分解计算下列各题:
(1)7.6X199.9+4.3X199.9-1.9X199.9;
(2)20022-4006X2002-20032.
(3)5652X11-4352XII.
(4)(5$2一42.
例8.若9x2+kxy+36y2是完全平方式,则k=.
变式训练:若丁+(女+3)彳+9是完全平方式,则后=.
3.探索与创新题
例9.若/+日+20能在整数范围内因式分解,则攵可取的整数值有()
A.2个B.3个C.4个D.5个
4.真题
(1)分解因式:a2(x-y)-x+y;
(2)分解因式:=
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