高考数学一轮复习知识点讲解+真题测试专题5.4三角恒等变换(知识点讲解)(原卷版+解析)

专题5.4三角恒等变换（知识点讲解）【知识框架】【核心素养】1.结合拆角、配角方法，将两角和与差的正弦、余弦、正切公式及二倍角公式等相结合，考查三角函数式的化简求值或求角问题，凸显逻辑推理、数学运算的核心素养．2．与三角函数的性质相结合考查三角恒等变换的应用，凸显逻辑推理、数学运算的核心素养．【知识点展示】（一）两角和与差的正弦、余弦、正切公式1．C(α－β)：cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ；C(α＋β)：cos(α＋β)＝cosαcos_β－sin_αsinβ；S(α＋β)：sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ；S(α－β)：sin(α－β)＝sin_αcos_β－cosαsinβ；T(α＋β)：tan(α＋β)＝eq\f(tanα＋tanβ,1－tanαtanβ)；T(α－β)：tan(α－β)＝eq\f(tanα－tanβ,1＋tanαtanβ).2．变形公式：tanα±tanβ＝tan(α±β)(1∓tanαtanβ)；.sinαsinβ＋cos(α＋β)＝cosαcosβ，cosαsinβ＋sin(α－β)＝sinαcosβ，3．辅助角公式：函数f(α)＝acosα＋bsinα(a，b为常数)，可以化为f(α)＝eq\r(a2＋b2)sin(α＋φ)或f(α)＝eq\r(a2＋b2)cos(α－φ)，其中φ可由a，b的值唯一确定．（二）二倍角的正弦、余弦、正切公式1.S2α：sin2α＝2sinαcosα；C2α：cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；T2α：tan2α＝eq\f(2tanα,1－tan2α).2.变形公式：（1）降幂公式：cos2α＝eq\f(1＋cos2α,2)，sin2α＝eq\f(1－cos2α,2)，sinαcosα＝eq\f(1,2)sin2α.（2）升幂公式1＋cosα＝2cos2eq\f(α,2)；1－cosα＝2sin2eq\f(α,2)；1＋sinα＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(α,2)＋cos\f(α,2)))eq\s\up12(2)；1－sinα＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(α,2)－cos\f(α,2)))eq\s\up12(2).（3）配方变形：1＋sin2α＝(sinα＋cosα)2,1－sin2α＝(sinα－cosα)21±sinα＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(α,2)±cos\f(α,2)))2,1＋cosα＝2cos2eq\f(α,2)，1－cosα＝2sin2eq\f(α,2)（4）sin2α＝eq\f(2sinαcosα,sin2α＋cos2α)＝eq\f(2tanα,1＋tan2α)；cos2α＝eq\f(cos2α－sin2α,cos2α＋sin2α)＝eq\f(1－tan2α,1＋tan2α).taneq\f(α,2)＝eq\f(sinα,1＋cosα)＝eq\f(1－cosα,sinα).（三）常见变换规律(1)角的变换：明确各个角之间的关系(包括非特殊角与特殊角、已知角与未知角)，熟悉角的变换技巧，及半角与倍角的相互转化，如：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β，40°＝60°－20°，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋α))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－α))＝eq\f(π,2)，eq\f(α,2)＝2×eq\f(α,4)等．(2)名的变换：明确各个三角函数名称之间的联系，常常用到同角关系、诱导公式，把正弦、余弦化为正切，或者把正切化为正弦、余弦．【常考题型剖析】题型一：两角和与差的三角函数公式例1.(2023·全国·高考真题（理））(2023新课标全国Ⅰ理科)=A． B．C． D．例2．(2023·全国·高考真题）若，则（

）A． B．C． D．例3.（2023·全国高考真题（文））已知，则（）A． B． C． D．例4.（2023·全国高考真题（理））已知2tanθ–tan(θ+)=7，则tanθ=（）A．–2 B．–1 C．1 D．2【规律方法】1.三角公式化简求值的策略(1)使用两角和、差及倍角公式，首先要记住公式的结构特征和符号变化规律．例如两角差的余弦公式可简记为：“同名相乘，符号反”．(2)使用公式求值，应注意与同角三角函数基本关系、诱导公式的综合应用．(3)使用公式求值，应注意配方法、因式分解和整体代换思想的应用．2.注意三角函数公式逆用和变形用的两个问题(1)公式逆用时一定要注意公式成立的条件和角之间的关系．(2)注意特殊角的应用，当式子中出现eq\f(1,2)，1，eq\f(\r(3),2)，eq\r(3)等这些数值时，一定要考虑引入特殊角，把“值变角”构造适合公式的形式．题型二：利用“角的变换”求值例5.（2023·全国·高考真题（文））tan255°=（）A．－2－ B．－2+ C．2－ D．2+例6.(2023·重庆·高考真题（文））若,则（）A． B． C． D．例7.(2023·浙江·高考真题）已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P（）．（Ⅰ）求sin（α+π）的值；（Ⅱ）若角β满足sin（α+β）=，求cosβ的值．【总结提升】1.三角公式求值中变角的解题思路(1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式．(2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，再应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．2.常见的配角技巧：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β，β＝eq\f(α＋β,2)－eq\f(α－β,2)，α＝eq\f(α＋β,2)＋eq\f(α－β,2)，eq\f(α－β,2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(β,2)))－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(α,2)＋β))等题型三：二倍（半）角公式例8.（2023·全国·高考真题（文））（

）A． B． C． D．例9.（2023·全国·高考真题（文））若，则（

）A． B． C． D．例10．（2023·全国·高考真题）若，则（

）A． B． C． D．【总结提升】1．运用两角和与差的三角函数公式时，不但要熟练，准确，而且要熟悉公式的逆用及变形，如tanα＋tanβ＝tan(α＋β)·(1－tanαtanβ)和二倍角的余弦公式的多种变形等．2．应熟悉公式的逆用和变形应用，公式的正用是常见的，但逆用和变形应用则往往容易被忽视，公式的逆用和变形应用更能开拓思路，培养从正向思维向逆向思维转化的能力，只有熟悉了公式的逆用和变形应用后，才能真正掌握公式的应用．提醒：在T(α＋β)与T(α－β)中，α，β，α±β都不等于kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)，即保证tanα，tanβ，tan(α＋β)都有意义；若α，β中有一角是kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)，可利用诱导公式化简．题型四：三角恒等变换应用---求值例11．(2023·四川·高考真题（理））_______.例12．(2023·全国·高考真题（理））已知，，则__________．例13.(2023·上海·高考真题）已知，则的值为_________.例14．（2023·全国·高三专题练习）已知角为锐角，，且满足，(1)证明：；(2)求.【规律方法】三角函数式求值的三种题型(1)给角求值：该类问题中给出的角一般都不是特殊角，需要通过三角恒等变换将其变为特殊角，或者能够正负相消，或者能够约分相消，最后得到具体的值．(2)给值求值：一般是给出某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，解题的关键在于“变角”，使相关角相同或具有某种关系．(3)给值求角：实质上可转化为“给值求值”，即通过求角的某一个三角函数值来求角．在选取函数时，遵循以下原则：①已知正切函数值，选正切函数．②已知正、余弦函数值，若角的范围是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，选正、余弦函数皆可，若角的范围是(0，π)，选余弦函数，若角的范围是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，选正弦函数．题型五：三角恒等变换应用---化简例15.【多选题】（2023·营口市第二高级中学高一期末）化简下式，与相等的是（）A． B．C． D．【规律方法】1.三角函数式的化简遵循的三个原则(1)一看“角”，这是最重要的一环，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的变换，从而正确使用公式．(2)二看“名”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有“切化弦”或“弦化切”．(3)三看“形”，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，常见的有“遇到分式要通分”“整式因式分解”“二次式配方”“遇到平方要降幂”等．2.三角函数式化简的方法(1)弦切互化，异名化同名，异角化同角，降幂或升幂．(2)在三角函数式的化简中“次降角升”和“次升角降”是基本的规律，根号中含有三角函数式时，一般需要升次，去掉根号．题型六：三角恒等变换应用---研究三角函数的图像和性质例16.(2023·北京·高考真题）已知函数，则（

）A．在上单调递减 B．在上单调递增C．在上单调递减 D．在上单调递增例17.（2023·北京·高考真题）函数是A．奇函数，且最大值为2 B．偶函数，且最大值为2C．奇函数，且最大值为 D．偶函数，且最大值为例18.(2023·四川·高考真题（文））下列函数中，最小正周期为且图象关于原点对称的函数是（

）A． B．C． D．例19.【多选题】(2023·湖北·黄冈中学二模）设函数，则（

）A．在上有且仅有1个零点 B．的最小正周期为C．在上单调递减 D．在上单调递减例20．（2023·浙江·高考真题）设函数.（1）求函数的最小正周期；（2）求函数在上的最大值.【规律方法】1.三角恒等变换在研究三角函数图象和性质中的应用先根据和角公式、辅助角公式、倍角公式等，把函数表达式变为正弦型函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b的形式.2.求三角函数周期的常用方法(1)公式法求周期①函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋B与f(x)＝Acos(ωx＋φ)＋B的周期为T＝eq\f(2π,|ω|)；②函数f(x)＝Atan(ωx＋φ)＋B的周期T＝eq\f(π,|ω|).(2)对称性求最值①两对称轴距离的最小值和两对称中心距离的最小值都等于eq\f(T,2)；②对称中心到对称轴距离的最小值等于eq\f(T,4)；③两个最大(小)值点之差的最小值等于T.3.三角函数是奇、偶函数的充要条件(1)函数y＝Asin(ωx＋φ)(x∈R)：是奇函数⇔φ＝kπ(k∈Z)；偶函数⇔φ＝kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)；(2)函数y＝Acos(ωx＋φ)(x∈R)：是奇函数⇔φ＝kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)；是偶函数⇔φ＝kπ(k∈Z)．4．如何判断函数的奇偶性:根据三角函数的奇偶性，利用诱导公式可推得函数的奇偶性，常见的结论如下：(1)若为偶函数，则有;若为奇函数则有；(2)若为偶函数，则有;若为奇函数则有；(3)若为奇函数则有.5.求对称轴方程(对称中心坐标)的方法(1)求f(x)＝Asin(ωx＋φ)图象的对称轴方程，只需对ωx＋φ＝eq\f(π,2)＋kπ(k∈Z)整理，对称中心横坐标只需令ωx＋φ＝kπ(k∈Z)，求x.(2)求f(x)＝Acos(ωx＋φ)的对称轴方程，只需对ωx＋φ＝kπ(k∈Z)整理，对称中心横坐标为ωx＋φ＝eq\f(π,2)＋kπ(k∈Z)，求x即可．(3)求f(x)＝Atan(ωx＋φ)的对称中心的横坐标，只需对ωx＋φ＝eq\f(kπ,2)(k∈Z)，求x.专题5.4三角恒等变换（知识点讲解）【知识框架】【核心素养】1.结合拆角、配角方法，将两角和与差的正弦、余弦、正切公式及二倍角公式等相结合，考查三角函数式的化简求值或求角问题，凸显逻辑推理、数学运算的核心素养．2．与三角函数的性质相结合考查三角恒等变换的应用，凸显逻辑推理、数学运算的核心素养．【知识点展示】（一）两角和与差的正弦、余弦、正切公式1．C(α－β)：cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ；C(α＋β)：cos(α＋β)＝cosαcos_β－sin_αsinβ；S(α＋β)：sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ；S(α－β)：sin(α－β)＝sin_αcos_β－cosαsinβ；T(α＋β)：tan(α＋β)＝eq\f(tanα＋tanβ,1－tanαtanβ)；T(α－β)：tan(α－β)＝eq\f(tanα－tanβ,1＋tanαtanβ).2．变形公式：tanα±tanβ＝tan(α±β)(1∓tanαtanβ)；.sinαsinβ＋cos(α＋β)＝cosαcosβ，cosαsinβ＋sin(α－β)＝sinαcosβ，3．辅助角公式：函数f(α)＝acosα＋bsinα(a，b为常数)，可以化为f(α)＝eq\r(a2＋b2)sin(α＋φ)或f(α)＝eq\r(a2＋b2)cos(α－φ)，其中φ可由a，b的值唯一确定．（二）二倍角的正弦、余弦、正切公式1.S2α：sin2α＝2sinαcosα；C2α：cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；T2α：tan2α＝eq\f(2tanα,1－tan2α).2.变形公式：（1）降幂公式：cos2α＝eq\f(1＋cos2α,2)，sin2α＝eq\f(1－cos2α,2)，sinαcosα＝eq\f(1,2)sin2α.（2）升幂公式1＋cosα＝2cos2eq\f(α,2)；1－cosα＝2sin2eq\f(α,2)；1＋sinα＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(α,2)＋cos\f(α,2)))eq\s\up12(2)；1－sinα＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(α,2)－cos\f(α,2)))eq\s\up12(2).（3）配方变形：1＋sin2α＝(sinα＋cosα)2,1－sin2α＝(sinα－cosα)21±sinα＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(α,2)±cos\f(α,2)))2,1＋cosα＝2cos2eq\f(α,2)，1－cosα＝2sin2eq\f(α,2)（4）sin2α＝eq\f(2sinαcosα,sin2α＋cos2α)＝eq\f(2tanα,1＋tan2α)；cos2α＝eq\f(cos2α－sin2α,cos2α＋sin2α)＝eq\f(1－tan2α,1＋tan2α).taneq\f(α,2)＝eq\f(sinα,1＋cosα)＝eq\f(1－cosα,sinα).（三）常见变换规律(1)角的变换：明确各个角之间的关系(包括非特殊角与特殊角、已知角与未知角)，熟悉角的变换技巧，及半角与倍角的相互转化，如：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β，40°＝60°－20°，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋α))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－α))＝eq\f(π,2)，eq\f(α,2)＝2×eq\f(α,4)等．(2)名的变换：明确各个三角函数名称之间的联系，常常用到同角关系、诱导公式，把正弦、余弦化为正切，或者把正切化为正弦、余弦．【常考题型剖析】题型一：两角和与差的三角函数公式例1.(2023·全国·高考真题（理））(2023新课标全国Ⅰ理科)=A． B．C． D．答案：D【解析】【详解】原式===，故选D.例2．(2023·全国·高考真题）若，则（

）A． B．C． D．答案：C【解析】分析：由两角和差的正余弦公式化简，结合同角三角函数的商数关系即可得解.【详解】由已知得：,即：，即：,所以,故选：C例3.（2023·全国高考真题（文））已知，则（）A． B． C． D．答案：B【解析】由题意可得：，则：，，从而有：，即.故选：B.例4.（2023·全国高考真题（理））已知2tanθ–tan(θ+)=7，则tanθ=（）A．–2 B．–1 C．1 D．2答案：D【解析】，，令，则，整理得，解得，即.故选：D.【规律方法】1.三角公式化简求值的策略(1)使用两角和、差及倍角公式，首先要记住公式的结构特征和符号变化规律．例如两角差的余弦公式可简记为：“同名相乘，符号反”．(2)使用公式求值，应注意与同角三角函数基本关系、诱导公式的综合应用．(3)使用公式求值，应注意配方法、因式分解和整体代换思想的应用．2.注意三角函数公式逆用和变形用的两个问题(1)公式逆用时一定要注意公式成立的条件和角之间的关系．(2)注意特殊角的应用，当式子中出现eq\f(1,2)，1，eq\f(\r(3),2)，eq\r(3)等这些数值时，一定要考虑引入特殊角，把“值变角”构造适合公式的形式．题型二：利用“角的变换”求值例5.（2023·全国·高考真题（文））tan255°=（）A．－2－ B．－2+ C．2－ D．2+答案：D【解析】分析：本题首先应用诱导公式，将问题转化成锐角三角函数的计算，进一步应用两角和的正切公式计算求解．题目较易，注重了基础知识、基本计算能力的考查．【详解】详解：=例6.(2023·重庆·高考真题（文））若,则（）A． B． C． D．答案：A【解析】，故选A.例7.(2023·浙江·高考真题）已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P（）．（Ⅰ）求sin（α+π）的值；（Ⅱ）若角β满足sin（α+β）=，求cosβ的值．答案：（Ⅰ）；（Ⅱ）或.【解析】分析：分析：（Ⅰ）先根据三角函数定义得，再根据诱导公式得结果，（Ⅱ）先根据三角函数定义得，再根据同角三角函数关系得，最后根据，利用两角差的余弦公式求结果.【详解】详解：（Ⅰ）由角的终边过点得，所以.（Ⅱ）由角的终边过点得，由得.由得，所以或.【总结提升】1.三角公式求值中变角的解题思路(1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式．(2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，再应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．2.常见的配角技巧：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β，β＝eq\f(α＋β,2)－eq\f(α－β,2)，α＝eq\f(α＋β,2)＋eq\f(α－β,2)，eq\f(α－β,2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(β,2)))－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(α,2)＋β))等题型三：二倍（半）角公式例8.（2023·全国·高考真题（文））（

）A． B． C． D．答案：D【解析】分析：由题意结合诱导公式可得，再由二倍角公式即可得解.【详解】由题意，.故选：D.例9.（2023·全国·高考真题（文））若，则（

）A． B． C． D．答案：A【解析】分析：由二倍角公式可得，再结合已知可求得，利用同角三角函数的基本关系即可求解.【详解】，，，，解得，，.故选：A.例10．（2023·全国·高考真题）若，则（

）A． B． C． D．答案：C【解析】分析：将式子先利用二倍角公式和平方关系配方化简，然后增添分母()，进行齐次化处理，化为正切的表达式，代入即可得到结果．【详解】将式子进行齐次化处理得：．故选：C．【总结提升】1．运用两角和与差的三角函数公式时，不但要熟练，准确，而且要熟悉公式的逆用及变形，如tanα＋tanβ＝tan(α＋β)·(1－tanαtanβ)和二倍角的余弦公式的多种变形等．2．应熟悉公式的逆用和变形应用，公式的正用是常见的，但逆用和变形应用则往往容易被忽视，公式的逆用和变形应用更能开拓思路，培养从正向思维向逆向思维转化的能力，只有熟悉了公式的逆用和变形应用后，才能真正掌握公式的应用．提醒：在T(α＋β)与T(α－β)中，α，β，α±β都不等于kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)，即保证tanα，tanβ，tan(α＋β)都有意义；若α，β中有一角是kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)，可利用诱导公式化简．题型四：三角恒等变换应用---求值例11．(2023·四川·高考真题（理））_______.答案：.【解析】【详解】法一、.法二、.法三、.例12．(2023·全国·高考真题（理））已知，，则__________．答案：【解析】【详解】因为，所以，①因为，所以，②①②得，即，解得，故本题正确答案为例13.(2023·上海·高考真题）已知，则的值为_________.答案：【解析】分析：利用两角和的正切公式可求出的值.【详解】由两角和的正切公式得.故答案为.例14．（2023·全国·高三专题练习）已知角为锐角，，且满足，(1)证明：；(2)求.答案：(1)证明见解析(2)【解析】分析：（1）根据二倍角的正切公式计算可得即可证明；（2）根据同角三角函数的关系可得，，再根据两角和差的正弦公式，结合求解即可(1)证明：因为，所以，因为为锐角且函数在上单调递增，所以(2)由，结合角为锐角，解得，，因为，且所以.又，所以【规律方法】三角函数式求值的三种题型(1)给角求值：该类问题中给出的角一般都不是特殊角，需要通过三角恒等变换将其变为特殊角，或者能够正负相消，或者能够约分相消，最后得到具体的值．(2)给值求值：一般是给出某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，解题的关键在于“变角”，使相关角相同或具有某种关系．(3)给值求角：实质上可转化为“给值求值”，即通过求角的某一个三角函数值来求角．在选取函数时，遵循以下原则：①已知正切函数值，选正切函数．②已知正、余弦函数值，若角的范围是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，选正、余弦函数皆可，若角的范围是(0，π)，选余弦函数，若角的范围是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，选正弦函数．题型五：三角恒等变换应用---化简例15.【多选题】（2023·营口市第二高级中学高一期末）化简下式，与相等的是（）A． B．C． D．答案：BC【解析】对于A：，由解得，即，解得，故A错误；对于B：因为所以，故B正确；对于C：对于D：故选：BC【规律方法】1.三角函数式的化简遵循的三个原则(1)一看“角”，这是最重要的一环，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的变换，从而正确使用公式．(2)二看“名”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有“切化弦”或“弦化切”．(3)三看“形”，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，常见的有“遇到分式要通分”“整式因式分解”“二次式配方”“遇到平方要降幂”等．2.三角函数式化简的方法(1)弦切互化，异名化同名，异角化同角，降幂或升幂．(2)在三角函数式的化简中“次降角升”和“次升角降”是基本的规律，根号中含有三角函数式时，一般需要升次，去掉根号．题型六：三角恒等变换应用---研究三角函数的图像和性质例16.(2023·北京·高考真题）已知函数，则（

）A．在上单调递减 B．在上单调递增C．在上单调递减 D．在上单调递增答案：C【解析】分析：化简得出，利用余弦型函数的单调性逐项判断可得出合适的选项.【详解】因为.对于A选项，当时，，则在上单调递增，A错；对于B选项，当时，，则在上不单调，B错；对于C选项，当时，，则在上单调递减，C对；对于D选项，当时，，则在上不单调，D错.故选：C.例17.（2023·北京·高考真题）函数是A．奇函数，且最大值为2 B．偶函数，且最大值为2C．奇函数，且最大值为 D．偶函数，且最大值为答案：D【解析】分析：由函数奇偶性的定义结合三角函数的性质可判断奇偶性；利用二倍角公式结合二次函数的性质可判断最大值.【详解】由题意，，所以该函数为偶函数，又，所以当时，取最大值.故选：D.例18.(2023·四川·高考真题（文））下列函数中，最小正周期为且图象关于原点对称的函数是（

）A． B．C． D．答案：A【解析】分析：求出函数的周期，函数的奇偶性，判断求解即可．【详解】解：y＝cos（2x）＝﹣sin2x，是奇函数，函数的周期为：π，满足题意，所以A正确y＝sin（2x）＝cos2x，函数是偶函数，周期为：π，不满足题意，所以B不正确；y＝sin2x+cos2xsin（2x），函数是非奇非偶函数，周期为π，所以C不正确；y＝sinx+cosxsin（x），函数是非奇非偶函数，周期为2π，所以D不正确；故选A．例19.【多选题】(2023·湖北·黄冈中学二模）设函数，则（

）A．在上有且仅有1个零点 B．的最小正周期为C．在上单调递减 D．