高中数学选择性必修3课件：7 3 1 离散型随机变量的均值(人教A版)

7.3.1离散型随机变量的均值1.通过具体实例，理解离散型随机变量的分布列及均值的概念.2.能计算简单离散型随机变量的均值.课标要求素养要求通过研究离散型随机变量的分布列及均值，进一步提升数学抽象及数据分析素养.课前预习课堂互动分层训练内容索引课前预习知识探究11.离散型随机变量的均值或数学期望一般地，若离散型随机变量X的分布列为Xx1x2…xi…XnPp1p2…pi…Pnx1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn加权平均数平均水平2.两点分布的期望一般地，如果随机变量X服从两点分布，那么E(X)＝0×(1－p)＋1×p＝____.p3.离散型随机变量的均值的性质设X的分布列为________________＝

pi，i＝1，2，…，n.一般地，下面的结论成立：E(aX＋b)＝________________.P(X＝xi)aE(X)＋b点睛1.均值是离散型随机变量的一个重要特征数，反映或刻画的是随机变量取值的平均水平，它是概率意义下的平均值，不同于相应数值的平均数.2.E(X1＋X2)＝E(X1)＋E(X2)，即两个随机变量和的均值等于均值的和.

1.思考辨析，判断正误 (1)随机变量X的均值E(X)是个变量，其随X的变化而变化.(

)

提示

随机变量X的均值E(X)是个定值，不随X的变化而变化. (2)随机变量的均值与样本的平均值相同.(

)

提示

随机变量的均值与样本的均值并非等价，因为样本代表的是部分的情况，不能完全与整体等价. (3)若随机变量X的均值E(X)＝2，则E(2X)＝4.(

) (4)对于结论E(aX＋b)＝aE(X)＋b，当a＝0时，E(b)＝b，即常数的均值就是这个常数本身.(

)××√√2.已知离散型随机变量X的分布列为A2.已知离散型随机变量X的分布列为A3.袋中有10个大小相同的小球，其中记为0号的有4个，记为n号的有n个(n＝1，2，3).现从袋中任取一球，X表示所取到球的标号，则E(X)等于(

)D解析由题意，可知X的所有可能取值为0，1，2，3.4.口袋中有编号分别为1，2，3的三个大小和形状相同的小球，从中任取2个，则取出的球的最大编号X的期望为__________.课堂互动题型剖析2题型一利用定义求离散型随机变量的均值【例1】袋中有4只红球，3只黑球，今从袋中随机取出4只球，设取到一只红球得2分，取到一只黑球得1分，试求得分X的均值.

解取出4只球颜色及得分分布情况是：4红得8分，3红1黑得7分，2红2黑得6分，1红3黑得5分，因此，故X的分布列如下：求离散型随机变量的均值关键是写出分布列，一般分为四步：(1)确定X的可能取值；(2)计算出P(X＝k)；(3)写出分布列；(4)利用E(X)的计算公式计算E(X).思维升华解根据题意，设X表示“该嘉宾所得分数”，则X的可能取值为－4，1，3，6.∴X的分布列为【例2】已知随机变量X的分布列为：题型二离散型随机变量均值的性质若Y＝－2X，则E(Y)＝__________.【迁移1】

(变设问)本例条件不变，若Y＝2X－3,求E(Y).∴a＝15.离散型随机变量均值的性质有关问题的解题思路若给出的随机变量Y与X的关系为Y＝aX＋b，a，b为常数，一般思路是先求出E(X)，再利用公式E(aX＋b)＝aE(X)＋b求E(Y).也可以利用X的分布列得到Y的分布列，关键是由X的取值计算Y的取值，对应的概率相等，再由定义法求得E(Y).思维升华【训练2】

已知随机变量X和Y，其中Y＝12X＋7，且E(Y)＝34，若X的分布列如下表，则m的值为(

)A解析因为Y＝12X＋7，则E(Y)＝12E(X)＋7，题型三离散型随机变量均值的应用(2)若新产品A研发成功，预计企业可获利润120万元；若新产品B研发成功，预计企业可获利润100万元.求该企业可获利润的分布列和均值.解设企业可获利润为X万元，则X的可能取值为0，100，120，220.故X的分布列为解答实际问题时，(1)把实际问题概率模型化；(2)利用有关概率的知识去分析相应各事件可能性的大小，并列出分布列；(3)利用公式求出相应均值.思维升华解X的所有取值为0，5，10，15，20，25，30.(2)求均值E(X).1.牢记3个知识点 (1)离散型随机变量的均值或数学期望； (2)两点分布的期望； (3)离散型随机变量的均值的性质.2.掌握1种方法、1个思路和3个步骤 (1)求离散型随机变量均值的规律方法； (2)与离散型随机变量均值的性质有关问题的解题思路；课堂小结 (3)解答概率模型的三个步骤： ①审题，确定实际问题是哪一种概率模型，可能用到的事件类型，所用的公式有哪些； ②确定随机变量的分布列，计算随机变量的均值； ③对照实际意义，回答均值所表示的结论.3.注意1个易错点

离散型随机变量的均值的计算离不开分布列，注意特殊的分布列，计算对应均值时要直观运用公式，以减少运算量.

课堂小结分层训练素养提升3

一、选择题1.已知离散型随机变量X的分布列为C2.已知某一随机变量X的分布列如下表所示，若E(X)＝6.3，则a的值为(

)AXa79Pb0.10.4A.4 B.5 C.6 D.7解析根据分布列的性质可知b＋0.1＋0.4＝1，所以b＝0.5.又E(X)＝a·0.5＋7×0.1＋9×0.4＝6.3，所以a＝4.3.设离散型随机变量X的分布列如下表，且E(X)＝1.6，则a－b等于(

)CX0123P0.1ab0.1A.0.2 B.0.1 C.－0.2 D.－0.4解析由0.1＋a＋b＋0.1＝1，得a＋b＝0.8.①又由E(X)＝0×0.1＋1·a＋2·b＋3×0.1＝1.6，得a＋2b＝1.3，②由①②解得a＝0.3，b＝0.5，则a－b＝－0.2.4.某射击运动员在比赛中每次击中10环得1分，击不中10环得0分.已知他击中10环的概率为0.8，则射击一次得分X的期望是(

) A.0.2 B.0.8 C.1 D.0

解析因为P(X＝1)＝0.8，P(X＝0)＝0.2，所以E(X)＝1×0.8＋0×0.2＝0.8.B5.离散型随机变量X的可能取值为1，2，3，4，P(X＝k)＝ak＋b(k＝1，2，3，4)，E(X)＝3，则a＋b等于(

)D解析易知E(X)＝1×(a＋b)＋2×(2a＋b)＋3×(3a＋b)＋4×(4a＋b)＝3，即30a＋10b＝3.①又(a＋b)＋(2a＋b)＋(3a＋b)＋(4a＋b)＝1，即10a＋4b＝1，②二、填空题6.已知离散型随机变量X的分布列如下表：X3b8P0.20.5a且E(X)＝6，则a＝__________，b＝__________.解析由0.2＋0.5＋a＝1，得a＝0.3.又由E(X)＝3×0.2＋b·0.5＋8·a＝6，得b＝6.0.367.某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用的付款期数X的分布列为X1234P0.50.20.20.1商场经销一件该商品，采用1期付款，其利润均为100元；分2期或3期付款，其利润均为150元；分4期付款，其利润为200元.若Y表示经销一件该商品的利润，则E(Y)＝__________元.130解析由题意可知Y的可能取值为100，150，200，分布列如下∴E(Y)＝100×0.5＋150×0.4＋200×0.1＝130(元).三、解答题9.盒中装有5节同品牌的五号电池，其中混有2节废电池，现在无放回地每次取一节电池检验，直到取到好电池为止.

求：(1)抽取次数X的分布列；所以X的分布列为(2)平均抽取多少次可取到好电池.即平均抽取1.5次可取到好电池.10.在有奖摸彩中，一期(发行10000张彩票为一期)有200个奖品是5元的，20个奖品是25元的，5个奖品是100元的.在不考虑获利的前提下，一张彩票的合理价格是多少元？

解设一张彩票的中奖额为随机变量X，显然X的所有可能取值为0，5，25，100.依题意，可得X的分布列为所以一张彩票的合理价格是0.2元.11.(多选题)设p为非负实数，离散型随机变量X的概率分布列为：AB12.某射手射击所得环数X的分布列如下：X78910Px0.10.3y已知X的均值E(X)＝8.9，则x的值为____________，y的值为__________.0.20.4解得y＝0.4，x＝0.2.13.如图，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割成125个同样大小的小正方体.经过搅拌后，从中随机取出一个小正方体，记它的涂油漆面数为X，求X的分布列及均值.解根据题意易知X＝0，1，2，3.分布列如下：14.某中学选派40名学生参加北京市高中生技术设计创意大赛的培训，他们参加培训的次数统计如下表所示：培训次数123参加人数51520(1)从这40名学生中任选3名，求这3名学生中至少有2名学生参加培训次数恰好相等的概率；(2)从这40名学生中任选2名，用X表示这2人参加培训次数之差的绝对值，求随机变量X的分布列及数学期望E(X).解

由题意知X＝0，1，2，则随机变量X的分布列为备用工具&资料(2)从这40名学生中任选2名，用X表示这2人参加培训次数之差的绝对值，求随机变量X的分布列及数学期望E(X).解

由题意知X＝0，1，2，13.如图，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割成125个同样大小的小正方体.经过搅拌后，从中随机取出一个小正方体，记它的涂油漆面数为X，求X的分布列及均值.解根据题意易知X＝0，1，2，3.分布列如下：4.口袋中有编号分别为1，2，3的三个大小和形状相同的小球，从中任取2个，则取出的