高中数学选择性必修3课件：6 3 2 二项式系数的性质(人教A版)

6.3.2二项式系数的性质课标要求素养要求1.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.2.理解二项式系数的性质并灵活运用.通过本节课的学习，进一步提升逻辑推理及数学运算素养.新知探究同学们根据二项式定理写出(a＋b)n(n＝1，2，3，4，5，6)的二项式系数．可以写成如下形式：这个表在我国宋代数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里就出现了，所不同的只是这里的表是用阿拉伯数字表示，在那本书里用汉字表示的，这个表称为“杨辉三角”．在欧洲，这个表被认为是法国数学家帕斯卡发现的，杨辉三角的发现比欧洲早500年左右，由此可见我国古代在数学方面的成就．问题你能利用上述规律写出下一行的数值吗？提示根据规律下一行的数值分别是：1

7

21

35

35

21

7

1.二项式系数的性质在求二项式系数的最大值时，要注意讨论n的奇偶性．拓展深化[微判断]1．二项展开式中系数最大项是中间一项(共奇数项)或中间两项(共偶数项)．(

)

提示二项展开式中项的系数与二项式系数是不同的，二项式系数最大项是中间一项(共奇数项)或中间两项(共偶数项)，但是项的系数的最大值与项其他数字因数的大小有关．2．二项展开式的偶数项系数和等于奇数项系数和． (

)

提示在二项式(a＋b)n中只有当a，b的系数都为1时，展开式的偶数项系数和才等于奇数项系数和．××3．二项展开式项的系数是先增后减的．

(

)

提示二项式系数是随n的增加先增后减的，二项展开式项的系数和a，b的系数有关．×答案D答案D2．在(x＋y)n的展开式中，第4项与第8项的系数相等，则展开式中系数最大的项是(

) A．第6项 B．第5项 C．第5，6项

D．第6，7项

解析由题意，得第4项与第8项的系数相等，则其二项式系数也相等，3．若(2－x)10＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10，则a8＝________．[微思考]怎样求二项式系数和？题型一

二项式定理的应用【例1】

(1)试求199510除以8的余数； (2)求证：32n＋2－8n－9(n∈N*)能被64整除．(1)解199510＝(8×249＋3)10.∵其展开式中除末项为310外，其余的各项均含有8这个因数，∴199510除以8的余数与310除以8的余数相同．又∵310＝95＝(8＋1)5，其展开式中除末项为1外，其余的各项均含有8这个因数，∴310除以8的余数为1，即199510除以8的余数也为1.(2)证明

32n＋2－8n－9＝(8＋1)n＋1－8n－9显然括号内的数为正整数，故原式能被31整除．显然括号内的数为正整数，故原式能被31整除．题型二二项展开式的系数的和问题【例2】已知(2x－1)5＝a0x5＋a1x4＋a2x3＋a3x2＋a4x＋a5，求a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5.

解令x＝1，得： (2×1－1)5＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5， ∴a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝1.【迁移1】

(变换所求)例2条件不变，求|a0|＋|a1|＋|a2|＋|a3|＋|a4|＋|a5|.

解∵(2x－1)5的展开式中偶数项的系数为负值， ∴|a0|＋|a1|＋|a2|＋|a3|＋|a4|＋|a5|＝a0－a1＋a2－a3＋a4－a5.

令x＝－1，得： [2×(－1)－1]5＝－a0＋a1－a2＋a3－a4＋a5，

即a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＝－(－3)5＝35， ∴|a0|＋|a1|＋|a2|＋|a3|＋|a4|＋|a5|＝35＝243.【迁移2】

(变换所求)例2条件不变，求a1＋a3＋a5的值．【训练2】已知(1－3x)8＝a0＋a1x＋…＋a7x7＋a8x8.求： (1)a0＋a1＋…＋a8； (2)a0＋a2＋a4＋a6＋a8； (3)|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a8|.

解(1)令x＝1，得a0＋a1＋…＋a8＝(－2)8＝256.① (2)令x＝－1，得a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6－a7＋a8＝48.② ①＋②，得2(a0＋a2＋a4＋a6＋a8)＝28＋48，故a0，a2，a4，a6，a8＞0，a1，a3，a5，a7＜0，∴|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a8|＝a0－a1＋a2－a3＋…＋a8＝48＝65536.解令x＝1，则展开式中各项系数的和为f(1)＝(1＋3)n＝4n，又展开式中各项的二项式系数之和为2n.由题意知，4n－2n＝992.∴(2n)2－2n－992＝0，∴(2n＋31)(2n－32)＝0，∴2n＝－31(舍去)或2n＝32，∴n＝5.【训练3】求出(x－y)11的展开式中： (1)二项式系数最大的项； (2)项的系数绝对值最大的项； (3)项的系数最大的项和系数最小的项； (4)二项式系数的和； (5)各项系数的和．解(1)二项式系数最大的项为中间两项：(3)由(2)知中间两项系数绝对值相等，一、素养落地1．通过本节课的学习，进一步提升逻辑推理素养、数学运算素养．2．求展开式中的系数或展开式中的系数的和、差的关键是给字母赋值，赋值的选择则需根据所求的展开式系数和特征来确定．一般地对字母赋的值为0，1或－1，但在解决具体问题时要灵活掌握．3．注意以下两点：(1)区分开二项式系数与项的系数． (2)求解有关系数最大时的不等式组时，注意其中k∈{0，1，2，…，n}.二、素养训练1．(1＋x)2n＋1的展开式中，二项式系数最大的项所在的项数是(

) A．n，n＋1 B．n－1，n C．n＋1，n＋2 D．n＋2，n＋32．设(x2＋1)(2x＋1)9＝a0＋a1(x＋2)＋a2(x＋2)2＋…＋a11(x＋2)11，则a0＋a1＋a2＋…＋a11的值为(

) A．－2 B．－1 C．1 D．2解析令x＝－1，则原式化为[(－1)2＋1][2×(－1)＋1]9＝a0＋a1(2－1)＋a2(2－1)2＋…＋a11(2－1)11，∴a0＋a1＋a2＋…＋a11＝－2.答案A3．在(1＋x)＋(1＋x)2＋…＋(1＋x)6的展开式中，x2的系数为__________．答案35解设(2x－1)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，且奇次项的系数和为A，偶次项的系数和为B.则A＝a1＋a3＋a5＋…，B＝a0＋a2＋a4＋a6＋….由已知可知：B－A＝38.令x＝－1，得：a0－a1＋a2－a3＋…＋an(－1)n＝(－3)n，即：(a0＋a2＋a4＋a6＋…)－(a1＋a3＋a5＋a7＋…)＝(－3)n.即：B－A＝(－3)n.∴(－3)n＝38＝(－3)8，∴n＝8.由二项式系数性质可得：备用工具&资料解设(2x－1)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，且奇次项的系数和为A，偶次项的系数和为B.则A＝a1＋a3＋a5＋…，B＝a0＋a2＋a4＋a6＋….由已知可知：B－A＝38.令x＝－1，得：a0－a1＋a2－a3＋…＋an(－1)n＝(－3)n，即：(a0＋a2＋a4＋a6＋…)－(a1＋a3＋a5＋a7＋…)3．在(1＋x)＋(1＋x)2＋…＋(1＋x)6的展开式中，x2的系数为__________．答案35显然括号内的数为正整数，故原式能被31整除．3．若(2－x)10＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10，则a8＝________．[微思考]怎样求二项式系数和？拓展深化[微判断]1．二项展开式中系数