高中数学选择性必修3课件：6 3 1 二项式定理(人教A版)

6.3二项式定理6.3.1二项式定理1.能用多项式乘法运算法则和计数原理证明二项式定理.2.掌握二项式定理及其展开式的通项公式.课标要求素养要求通过学习二项式定理的有关内容，提升逻辑推理素养及数学运算素养.课前预习课堂互动分层训练内容索引课前预习知识探究1二项式定理及其相关概念点睛1.二项展开式的特点(1)展开式共有n＋1项；(2)各项的次数和都等于二项式的幂指数n；(3)字母a的幂指数按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到为0，字母b的幂指数按升幂排列，从第一项开始，次数由0逐项加1直到为n.点睛1.思考辨析，判断正误 (1)(a＋b)n的展开式中共有n项.(

)

提示

(a＋b)n的展开式中共有n＋1项. (2)在公式中，交换a，b的顺序对各项没有影响.(

)

提示

交换a，b的顺序各项都发生变化.××(4)(a－b)n与(a＋b)n的二项式展开式的二项式系数相同.(

)×√A.－10 B.10 C.－5 D.5DA.－10 B.10 C.－5 D.5DA.80 B.－80 C.40 D.－40C4.设S＝(x－1)3＋3(x－1)2＋3(x－1)＋1，则S等于__________.x3解析S＝[(x－1)＋1]3＝x3.课堂互动题型剖析2题型一二项式定理的正用、逆用44(1)(a＋b)n的二项展开式有n＋1项，是和的形式，各项的幂指数规律是：①各项的次数和等于n；②字母a按降幂排列，从第一项起，次数由n逐项减1直到0；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由0逐项加1直到n.(2)逆用二项式定理可以化简多项式，体现的是整体思想.注意分析已知多项式的特点，向二项展开式的形式靠拢.思维升华【训练1】

化简：(2x＋1)5－5(2x＋1)4＋10(2x＋1)3－10(2x＋1)2＋5(2x＋1)－1.题型二二项展开式通项的应用解由已知得二项展开式的通项为令9－2k＝3，得k＝3，即展开式中第4项含x3，【迁移1】

(变设问)本例问题(1)条件不变，问题改为“求展开式中的常数项”.【迁移2】

(变设问)本例问题(1)条件不变，问题改为“求展开式中的有理项的项数”，该如何求解？所以k可取0，2，4，6，所以展开式中有理项的项数为4.

思维升华(1)求展开式的第4项的二项式系数；(2)求展开式的第4项的系数；(3)求展开式的第4项.【例3】

(1)试求199510除以8的余数；

解199510＝(8×249＋3)10. ∵其展开式中除末项为310外，其余的各项均含有8这个因数， ∴199510除以8的余数与310除以8的余数相同.

又∵310＝95＝(8＋1)5，其展开式中除末项为1外，其余的各项均含有8这个因数， ∴310除以8的余数为1，即199510除以8的余数也为1.题型三余数和整除的问题(2)求证：32n＋2－8n－9(n∈N*)能被64整除.证明

32n＋2－8n－9＝(8＋1)n＋1－8n－9①式中的每一项都含有82这个因数，故原式能被64整除.利用二项式定理可以解决求余数和整除的问题，通常需将底数化成两数的和与差的形式，且这种转化形式与除数有密切的关系.思维升华【训练3】已知n∈N*，求证：1＋2＋22＋…＋25n－1能被31整除.显然括号内的数为正整数，故原式能被31整除.1.牢记3个知识点 (1)二项式定理；(2)二项式系数；(3)二项式定理的通项公式.2.掌握3种方法 (1)运用二项式定理的解题方法； (2)求二项展开式的特定项的常用方法； (3)利用二项式定理解决求余数和整除问题的方法.3.注意1个易错点

注意项的系数与二项式系数的区别与联系.

课堂小结分层训练素养提升3

一、选择题1.(x＋2)n的展开式共有12项，则n等于(

) A.9 B.10 C.11 D.8C解析∵(a＋b)n的展开式共有n＋1项，而(x＋2)n的展开式共有12项，∴n＝11.2.(1－i)10(i为虚数单位)的二项展开式中第7项为(

) A.－210 B.210 C.－120i D.－210iAA.60 B.－60 C.250 D.－250AA.56x3 B.84x3 C.56x4 D.84x4BA.6 B.12 C.24 D.48C二、填空题6.若(x＋a)10的展开式中x7的系数为15，则a＝________.－359136三、解答题由B＝4A可得a2＝4，又a＞0，所以a＝2.(1)求n的值；化简得90＋(n－9)(n－8)＝20(n－8)，即n2－37n＋322＝0，解得n＝14或n＝23，因为n<15，所以n＝14.(2)写出它展开式中的所有有理项.展开式中的有理项当且仅当k是6的倍数，又0≤k≤14，所以展开式中的有理项共3项，分别是：A.存在n∈N*，使展开式中有常数项B.对任意n∈N*，展开式中没有常数项C.对任意n∈N*，展开式中没有x的一次项D.存在n∈N*，使展开式中有x的一次项AD8313.(1)求证：2n＋2·3n＋5n－4能被25整除(n∈N*)；以上各项均为25的整数倍，故得证.(2)求证：1＋3＋32＋…＋33n－1能被26整除(n为大于1的偶数).因为n为大于1的偶数，所以1＋3＋32＋…＋33n－1能被26整除.(1)求x的整数次幂的项；又0≤k≤8，所以当k＝0，6时，x的指数为整数.所以x的整数次幂的项有x12，28x.(2)展开式中第几项的二项式系数大于相邻两项的二项式系数，并证明你的结论.解

由(1)知展开式共有9项，展开式第5项的二项式系数大于相邻两项的二项式系数.故有展开式中第5项的二项式系数大于相邻两项的二项式系数.备用工具&资料又0≤k≤8，所以当k＝0，6时，x的指数为整数.所以x的整数次幂的项有x12，28x.(2)求证：1＋3＋32＋…＋33n－1能被26整除(n为大于1的偶数).因为n为大于1的偶数，所以1＋3＋32＋…＋33n－1能被26整除.4.设S＝(x－1)3＋3(x－1)2＋3(x－1)＋1，则S等于__________.x3解析S＝[(x－1)＋1]3＝x3.点睛1.二项展开式的特点(1)展开式共有n＋1项；(2)各项的次数和都等于二项式的幂指数n；(3)字母a的幂指数按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到为0，字母b的幂指数按升幂排列，从第一项开始，次数由0逐项加1直到为n.1.思考辨析，判断正误 (1)(a＋b)n的展