高考数学大题精做专题02利用导数求函数的单调性(第六篇)(原卷版+解析)

备战2020年高考数学大题精做之解答题题型全覆盖高端精品第六篇函数与导数专题02利用导数求函数的单调性类型对应典例不含参数的函数单调性典例1含参函数中主导函数是一次函数典例2含参函数中主导函数是类一次函数典例3含参函数中主导函数是二次函数（不能因式分解）典例4含参函数中主导函数是二次函数（能因式分解）典例5含参函数中主导函数是类二次函数典例6利用函数单调性求参数取值范围典例7【典例1】【广东省茂名市2020届模拟】已知函数在处的切线与直线平行．(1)求实数的值，并判断函数的单调性；(2)若函数有两个零点，，且，求证：．【典例2】【湖南省郴州市2019届高三第三次质量检测】已知函数f(x)=x−aln（1）讨论函数f(x)的单调性.（2）若∀x>0，f(x)≥0，求ab的最大值.【典例3】【黑龙江省齐齐哈尔市2019届高三第二次模拟考试】已知函数.（1）当时，讨论函数的单调性；（2）若函数在（为自然对数的底）时取得极值，且函数在上有两个零点，求实数的取值范围.【典例4】【广西柳州市2019届高三毕业班1月模拟】已知函数，.（1）讨论的单调性；（2）定义：对于函数，若存在，使成立，则称为函数的不动点.如果函数存在不动点，求实数的取值范围.【典例5】【北京市丰台区2020届模拟】已知函数.（Ⅰ）讨论的单调性；（Ⅱ）若，求的取值范围.【典例6】【湖南省三湘名校（五市十校)2019届高三下学期第一次联考】已知.（1）若，讨论函数的单调性；（2）当时，若不等式在上恒成立，求的取值范围．【典例7】【重庆市南开中学2020届月考】已知函数.（1）若函数在上单调递减，求实数的取值范围；（2）若，求的最大值.【针对训练】1.【安徽省定远中学2020届高三月考】已知函数.（1）当时，求函数的单调区间；（2）证明：当时，.2.【辽宁省瓦房店市2020届高三模拟】已知函数，．Ⅰ讨论函数的单调区间；Ⅱ若函数在处取得极值，对，恒成立，求实数b的取值范围．3.【安徽省合肥市2019届高三第二次教学质量检测】已知函数是减函数.（1）试确定a的值；（2）已知数列，求证：.4.【湖南省永州市2019届高三第三次模拟】已知函数讨论函数的单调性；当时，求函数在区间上的零点个数.5.【四川省乐山市2019届高三第一次调查研究考试】已知函数.（1）讨论的单调性；（2）若，当时，函数有且只有一个零点，求的值.6.【“荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟”2019届高三上学期期末】设．（1）求的单调区间；（2）讨论零点的个数；（3）当时，设恒成立，求实数a的取值范围．7.【辽宁省朝阳市重点高中2019届高三第四次模拟考试】已知函数.（1）讨论的单调性；（2）若有两个极值点，当时，求的最大值.备战2020年高考数学大题精做之解答题题型全覆盖高端精品第六篇函数与导数专题02利用导数求函数的单调性类型对应典例不含参数的函数单调性典例1含参函数中主导函数是一次函数典例2含参函数中主导函数是类一次函数典例3含参函数中主导函数是二次函数（不能因式分解）典例4含参函数中主导函数是二次函数（能因式分解）典例5含参函数中主导函数是类二次函数典例6利用函数单调性求参数取值范围典例7【典例1】【广东省茂名市2020届模拟】已知函数在处的切线与直线平行．(1)求实数的值，并判断函数的单调性；(2)若函数有两个零点，，且，求证：．【思路引导】（1）由可得，利用导数可求的单调区间.（2）由可得，，令，则且，构建新函数，利用导数可以证明即.【详解】（1）函数的定义域：，，解得，，令，解得，故在上是单调递减；令，解得，故在上是单调递增.（2）由为函数的两个零点，得两式相减，可得即，，因此，令，由，得.则，构造函数，则所以函数在上单调递增，故，即，可知.故命题得证.【典例2】【湖南省郴州市2019届高三第三次质量检测】已知函数f(x)=x−aln（1）讨论函数f(x)的单调性.（2）若∀x>0，f(x)≥0，求ab的最大值.【思路引导】（1）求出导数，讨论参数a的取值;（2）构造新函数，把双变量问题转化为单变量.【详解】解：（1）函数f(x)的定义域为(0,+∞)，由f(x)=x−alnx−b，得当a≤0时，f'(x)>0，所以函数f(x)在(0,+∞)上单调递增.当a>0时，则x∈(0,a)时，f'(x)<0，函数f(x)在(0,a)上单调递减；x∈(a,+∞)时，f'(x)>0，函数f(x)在(a,+∞)上单调递增.（2）由（1）可知，当a<0时，函数f(x)在(0,+∞)上单调递增，当x→0时，f(x)→−∞与f(x)≥0相矛盾；当a=0时，∀x>0，f(x)≥0，所以b≤0，此时ab=0.当a>0时，函数f(x)在(0,a)上单调递减，函数f(x)在(a,+∞)上单调递增.f(x)min=f(a)=a−a则ab≤a令F(x)=x2−令F'(x)>0，则0<x<e，令F'(x)<0，则x>当x=e时，F即当a=e，b=e2时，ab综上，ab的最大值为e2【典例3】【黑龙江省齐齐哈尔市2019届高三第二次模拟考试】已知函数.（1）当时，讨论函数的单调性；（2）若函数在（为自然对数的底）时取得极值，且函数在上有两个零点，求实数的取值范围.【思路引导】（1）当时，求函数的导数，利用函数单调性和导数之间的关系，即可判断f（x）的单调性；（2）函数在上有两个零点等价于函数的图像与x轴有两个交点，数形结合即可得到实数的取值范围.【详解】（1）当时，，，令，得，当时，，当时，.所以函数在上单调递增，在上单调递减.（2），，∵在时取得极值，∴即，∴.所以，，函数在上单调递增，在上单调递减，得函数的极大值，∴当函数在上有两个零点时，必有得.当时，.∴的两个零点分别在区间与中.∴的取值范围是.【典例4】【广西柳州市2019届高三毕业班1月模拟】已知函数，.（1）讨论的单调性；（2）定义：对于函数，若存在，使成立，则称为函数的不动点.如果函数存在不动点，求实数的取值范围.【思路引导】(1)对函数求导，结合二次函数的性质讨论的范围，即可判断的单调性；(2)由存在不动点，得到有实数根，即有解，构造函数令，通过求导即可判断的单调性，从而得到的取值范围，即可得到的范围。【详解】(1)的定义域为，对于函数，①当时，即时，在恒成立.在恒成立.在为增函数；②当，即或时，当时，由，得或，，在为增函数，减函数.为增函数，当时，由在恒成立，在为增函数。综上，当时，在为增函数，减函数，为增函数；当时，在为增函数。（2），存在不动点，方程有实数根，即有解，令，，令，得，当时，单调递减；当时，单调递增；，当时，有不动点，的范围为.【典例5】【北京市丰台区2020届模拟】已知函数.（Ⅰ）讨论的单调性；（Ⅱ）若，求的取值范围.【思路引导】（Ⅰ）函数求导，定义域为，由，可得或进而讨论导函数的正负得函数单调性即可；（Ⅱ）若恒成立，只需即可，讨论函数单调性求最值即可.试题解析：（Ⅰ）函数的定义域为，.由，可得或，当时，在上恒成立，所以的单调递增区间是，没有单调递减区间；当时，的变化情况如下表：所以的单调递减区间是，单调递增区间是.当时，的变化情况如下表：所以的单调递减区间是，单调递增区间是.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当时，，符合题意.当时，的单调递减区间是，单调递增区间是，所以恒成立等价于，即，所以，所以.当时，的单调递减区间是，单调递增区间是，所以恒成立等价于，即.所以，所以.综上所述，实数的取值范围是.【典例6】【湖南省三湘名校（五市十校)2019届高三下学期第一次联考】已知.（1）若，讨论函数的单调性；（2）当时，若不等式在上恒成立，求的取值范围．【思路引导】（1）的定义域为，且，据此确定函数的单调性即可；（2）由题意可知在上恒成立，分类讨论和两种情况确定实数b的取值范围即可.【详解】（1）的定义域为∵，，∴当时，；时，∴函数在上单调递减；在上单调递增.（2）当时，由题意，在上恒成立①若，当时，显然有恒成立；不符题意.②若，记，则,显然在单调递增，（i）当时，当时，∴时，（ii）当，，∴存在，使.当时，，时，∴在上单调递减；在上单调递增∴当时，，不符合题意综上所述，所求的取值范围是【典例7】【重庆市南开中学2020届月考】已知函数.（1）若函数在上单调递减，求实数的取值范围；（2）若，求的最大值.【思路引导】（1）根据单调递减可知导函数恒小于等于，采用参变分离的方法分离出，并将的部分构造成新函数，分析与最值之间的关系；（2）通过对的导函数分析，确定有唯一零点，则就是的极大值点也是最大值点，计算的值并利用进行化简，从而确定.【详解】（1）由题意知，在上恒成立，所以在上恒成立.令，则，所以在上单调递增，所以，所以.（2）当时，.则，令，则，所以在上单调递减.由于，，所以存在满足，即.当时，，；当时，，.所以在上单调递增，在上单调递减.所以，因为，所以，所以，所以.【针对训练】1.【安徽省定远中学2020届高三月考】已知函数.（1）当时，求函数的单调区间；（2）证明：当时，.【思路引导】（1）先求导数，可得减区间，可得增区间；（2）不等式的证明转化为最值的求解即可.【详解】解：（1）当时，，所以，讨论：①当时，，有；②当时，由函数为增函数，有，有；③当时，由函数为增函数，有，有.综上，函数的增区间为，，减区间为.证明：（2）当时，有，所以，所以.令，则.令，有.令，得.分析知，函数的增区间为，减区间为.所以.所以分析知，函数的增区间为，减区间为,所以,故当时，.2.【辽宁省瓦房店市2020届高三模拟】已知函数，．Ⅰ讨论函数的单调区间；Ⅱ若函数在处取得极值，对，恒成立，求实数b的取值范围．【思路引导】（1）求导，解不等式，得到增区间，解不等式，得到减区间；（2）函数f（x）在x=1处取得极值，可求得a=1，于是有f（x）≥bx﹣2⇔1+﹣≥b，构造函数g（x）=1+﹣，g（x）min即为所求的b的值详解：（1）在区间上，，当时，恒成立，在区间上单调递减；当时，令得，在区间上，，函数单调递减，在区间上，，函数单调递增.综上所述：当时，的单调递减区间是，无单调递增区间；当时，的单调递减区间是，单调递增区间是（2）因为函数在处取得极值，所以，解得，经检验可知满足题意由已知，即，即对恒成立，令，则，易得在上单调递减，在上单调递增，所以，即.3.【安徽省合肥市2019届高三第二次教学质量检测】已知函数是减函数.（1）试确定a的值；（2）已知数列，求证：.【思路引导】（Ⅰ）求导得，由是减函数得，对任意的，都有恒成立，构造函数，通过求导判断它的单调性，令其最大值小于等于0，即可求出；（Ⅱ）由是减函数，且可得，当时，，则，即，两边同除以得，，即，从而，两边取对数，然后再证明恒成立即可，构造函数，，通过求导证明即可．【详解】解：（Ⅰ）的定义域为，.由是减函数得，对任意的，都有恒成立.设.∵，由知，∴当时，；当时，，∴在上单调递增，在上单调递减，∴在时取得最大值.又∵，∴对任意的，恒成立，即的最大值为.∴，解得.（Ⅱ）由是减函数，且可得，当时，，∴，即.两边同除以得，，即.从而，所以①.下面证；记，.∴，∵在上单调递增，∴在上单调递减，而，∴当时，恒成立，∴在上单调递减，即时，，∴当时，.∵，∴当时，，即②.综上①②可得，.4.【湖南省永州市2019届高三第三次模拟】已知函数讨论函数的单调性；当时，求函数在区间上的零点个数.【思路引导】（1）先对函数求导，分别讨论，，即可得出结果；（2）先由（1）得时，函数的最大值，分别讨论，，，即可结合题中条件求出结果.【详解】解：（1），，当时，，当时，，当时，；当时，当时，在上单调递减；当时，在上单调递增，在上单调递减.（2）由（1）得，当，即时，函数在内有无零点；当，即时，函数在内有唯一零点，又，所以函数在内有一个零点；当，即时，由于，，，若，即时，，由函数单调性知使得，使得,故此时函数在内有两个零点；若，即时，，且，，由函数的单调性可知在内有唯一的零点，在内没有零点，从而在内只有一个零点综上所述，当时，函数在内有无零点；当时，函数在内有一个零点；当时，函数在内有两个零点．5.【四川省乐山市2019届高三第一次调查研究考试】已知函数.（1）讨论的单调性；（2）若，当时，函数有且只有一个零点，求的值.【思路引导】(1)求导后讨论时的单调性(2)将代入，得到函数的表达式，由条件只有一个零点，求出在极小值时取得零点，计算出的值【详解】（1）函数的定义域为，且.当时，，所以函数在上单调递增.当时，令，得，由得，由得，所以函数在上单调递增，在上单调递减.(2)由题意知，则，令，得（舍去），，当时，，在上单调递减；当时，，在上单调递增；所以的最小值为，因为函数有且只有一个零点，所以.由，得，所以，因为，所以.（*）设函数，易知当时，该函数是增虑熟，且当时，，所以方程（*）的解为，所以，解得.6.【“荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟”2019届高三上学期期末】设．（1）求的单调区间；（2）讨论零点的个数；（3）当时，设恒成立，求实数a的取值范围．【思路引导】（1）直接对原函数求导，令导数大于0，解得增区间，令导数小于0，解得减区间；（2）先判断是f(x)的一个零点，当时，由f(x)=0得，，对函数求导得的大致图像，分析y=a与交点的个数可得到函数