2024年高中数学专题8-9重难点题型培优精讲空间直线平面的平行教师版新人教A版必修第二册

专题8.9空间直线、平面的平行1．直线与直线平行(1)基本事实4

①自然语言：平行于同一条直线的两条直线平行.

②符号语言：a,b,c是三条不同的直线，若a∥b，b∥c，则a∥c.

③作用：推断或证明空间中两条直线平行.(2)空间等角定理

①自然语言：假如空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.

②符号语言：如图(1)(2)所示，在∠AOB与∠A'O'B'中，OA∥O'A'，OB∥O'B'，则∠AOB=∠A'O'B'或∠AOB+∠A'O'B'=.2．直线与平面平行(1)判定定理①自然语言假如平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行.②图形语言③符号语言.该定理可简记为“若线线平行，则线面平行”.(2)性质定理①自然语言一条直线与一个平面平行，假如过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行.②图形语言③符号语言.该定理可简记为“若线面平行，则线线平行”.(3)性质定理的作用①作为证明线线平行的依据.当证明线线平行时，可以证明其中一条直线平行于一个平面，另一条直线是过第一条直线的平面与已知平面的交线，从而得到两条直线平行.

②作为画一条与已知直线平行的直线的依据.假如一条直线平行于一个平面，要在平面内画一条直线与已知直线平行，可以过已知直线作一个平面与已知平面相交，交线就是所要画的直线.3．平面与平面平行(1)判定定理①自然语言假如一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行.②图形语言③符号语售.该定理可简记为“若线面平行，则面面平行”.(2)判定定理的推论①自然语言假如一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，那么这两个平面平行.②图形语言③符号语言.(3)性质定理①自然语言两个平面平行，假如另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行.②图形语言③符号语言.该定理可简记为“若面面平行，则线线平行”.(4)两个平面平行的其他性质①两个平面平行，其中一个平面内的随意一条直线都平行于另一个平面.

②平行直线被两个平行平面所截的线段长度相等.

③经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行.

④两条直线同时被三个平行平面所截，截得的线段对应成比例.

⑤假如两个平面分别平行于第三个平面，那么这两个平面相互平行.4．平行关系的相互转化及综合应用(1)证明线线平行的常用方法

①利用线线平行的定义：在同一平面内，不相交的两条直线是平行直线.

②利用基本事实4：平行于同一条直线的两条直线平行.

③利用三角形的中位线定理：三角形的中位线平行且等于底边的一半.

④利用平行线分线段成比例定理.

⑤利用线面平行的性质定理.

⑥利用面面平行的性质定理.

⑦利用反证法：假设两条直线不平行，然后推出冲突，进而得出两条直线是平行的.(2)证明线面平行的常用方法

①利用线面平行的定义：直线与平面没有公共点.

②利用直线与平面平行的判定定理：a，a∥b，b，则a∥.运用定理时，确定要说明“平面外一条直线与此平面内的一条直线平行”，若不注明，则证明过程不完整.因此，要证明a∥，则必需在平面内找一条直线b，使得a∥b，从而达到证明的目的，这三个条件缺一不行.

③利用面面平行的性质：若平面∥平面，直线a，则a∥.

④利用反证法.这时“平行”的否定有“在平面内”和“与平面相交”两种，只有在解除“直线在平面内”和“直线与平面相交”这两种位置关系后才能得到“直线与平面平行”的结论，在这一点上往往简洁出错，应引起重视.(3)平面与平面平行的判定方法

①依据定义：证明两个平面没有公共点，但有时干脆证明特殊困难.

②依据判定定理：要证明两个平面平行，只需在其中一个平面内找两条相交直线，分别证明它们平行于另一个平面，则这两个平面平行.

③依据判定定理的推论：在一个平面内找到两条相交的直线分别与另一个平面内两条相交的直线平行，则这两个平面平行.

④依据平面平行的传递性：若两个平面都平行于第三个平面，则这两个平面平行.

⑤利用反证法.(4)平行关系的相互转化常见的平行关系有线线平行、线面平行和面面平行，这三种关系不是孤立的，而是相互联系、相互转化的，如图所示.【题型1证明线线平行】【方法点拨】驾驭线线平行的判定方法，结合题目条件，进行求解，即可证明线线平行.【例1】（2024·上海·高二专题练习）若∠AOB=∠A1O1B1A．OB∥O1C．OB与O1B1不平行 D．OB【解题思路】画出图形，当满足题目中的条件时，出现的状况有哪些，即可得出结论．【解答过程】解：如图，；当∠AOB=∠A1O1B1时，且OA∥O1A1，OA与O1A1的方向相同，OB与O1B1是不愿定平行．故选：D．【变式1-1】（2024·全国·高一专题练习）如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1A．l与AD平行 B．l与AD不平行 C．l与AC平行 D．l与BD平行【解题思路】假设l//AD，通过平行线的传递性推出与题中条件相反的结论来说明直线l与直线AD确定不平行；当l与A1C1【解答过程】假设l//AD，则由AD//这与直线l与直线B1所以直线l与直线AD不平行.故选：A.【变式1-2】（2024·全国·高一专题练习）如图所示，在长方体AC1中，E，F分别是B1O和C1O的中点，则长方体的各棱中与EF平行的有（

）A．3条 B．4条C．5条 D．6条【解题思路】由E，F分别是B1O，C1O的中点，故EF∥B1C1，结合正方体的结构特征，即可求解.【解答过程】由于E，F分别是B1O，C1O的中点，故EF∥B1C1，因为与棱B1C1平行的棱还有3条：AD,BC，A1D1，所以共有4条.故选：B.【变式1-3】（2024春·高一课时练习）如图，在三棱锥P-ABC中，E,A．PH||BG B．IE||CP【解题思路】由平行公理即可得解.【解答过程】由题意结合三角形中位线的性质可得：FH∥由平行公理可得：FH∥故选C.【题型2直线与平面平行的判定】【方法点拨】运用直线与平面平行的判定定理时，关键是在平面内找到一条与已知直线平行的直线，具体操作中，我们可以利用几何体的特征，合理利用中位线定理，或者构造平行四边形等证明两直线平行.【例2】（2024·高一课时练习）已知A、B、C、D是不共面四点，M、N分别是△ACD、△BCD的重心．以下平面中与直线MN平行的是（①平面ABC；

②平面ABD；

③平面ACD；

④平面BCD．A．①③ B．①② C．①②③ D．①②③④【解题思路】由已知以及重心定理可推得EMEA=ENEB=13，进而得到MN//AB，依据线面平行的判定定理可得①②【解答过程】如图，取CD中点为E，连结AE、BE.由已知以及重心定理可得，AMME=21，BNNE所以EMEA=EN因为MN⊄平面ABC，AB⊂平面ABC，所以MN//平面ABC因为MN⊄平面ABD，AB⊂平面ABD，所以MN//平面ABD因为M∈平面ACD，N∉平面ACD，所以MN与平面ACD不平行，故因为N∈平面BCD，M∉平面BCD，所以MN与平面BCD不平行，故故选：B.【变式2-1】（2024秋·内蒙古呼和浩特·高二期中）如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不平行的是（

）A． B．C． D．【解题思路】利用线面平行判定定理可知B，C，D均不满足题意，A选项可证明出直线AB与平面MNQ不平行，从而可得答案.【解答过程】对于选项B，如图1，连接CD，因为M，N，Q为所在棱的中点，所以CD//MQ，由于AB//CD，所以AB//MQ，因为AB⊄平面MNQ，MQ⊂平面MNQ，所以AB//平面B选项不满足题意；对于选项C，如图2，连接CD，因为M，N，Q为所在棱的中点，所以CD//MQ，由于AB//CD，所以AB//MQ，因为AB⊄平面MNQ，MQ⊂平面MNQ，所以AB//平面C选项不满足题意；对于选项D，如图3，连接CD，因为M，N，Q为所在棱的中点，所以CD//NQ，由于AB//CD，所以AB//NQ，因为AB⊄平面MNQ，NQ⊂平面MNQ，所以AB//平面可知D不满足题意；如图4，取BC的中点D，连接QD，因为Q是AC的中点，所以QD//AB，由于QD与平面MNQ相交，故AB与平面MNQ不平行，A正确.故选：A.【变式2-2】（2024秋·广东湛江·高三统考阶段练习）如图，在长方体ABCD-A1B1C1A．B1C//平面A1C．BM//平面ACD1 D．【解题思路】作出过点A1,B,M的正方体的截面推断A；作出过点B【解答过程】在长方体ABCD-A1B1对于A，取CC1中点N，连接正方体ABCD-A1B1C1D1而B1C与BN相交，则B1对于B，取B1C1中点P正方体ABCD-A1B1C1又A1B1,D1B1,MP都在平面对于C，取AB中点Q，连接D1AB//A1B1因此BM//D1Q，又D1Q∩对于D，取AB中点Q，A1B1中点O正方形ABB1A1中，QO//正方形A1B1C1D1又C1M//A1因MQ⊂平面A1MC，BC1⊄平面故选：D.【变式2-3】（2024秋·四川·高二阶段练习）如图，正方体ABCD-A1B1C1D1A．AD1 B．AA1【解题思路】依据线面平行的判定定理即可得出答案.【解答过程】解：对于A，因为直线AD1与平面AEC交于点对于B，因为直线AA1与平面AEC交于点对于C，在正方体ABCD-因为E为DD1的中点，O为所以EO∕∕又EO⊂平面AEC，BD1所以BD1∕∕对于D，因为EO⊂平面AEC故选：C.【题型3平面与平面平行的判定】【方法点拨】第一步：在一个平面内找出两条相交直线；其次步：证明这两条相交直线分别平行于另一个平面；第三步：利用平面与平面平行的判定定理得出结论.【例3】（2024·全国·高三专题练习）下列四个正方体中，A、B、C为所在棱的中点，则能得出平面ABC//平面DEF的是（

A． B．C． D．【解题思路】利用反证法可推断A选项；利用面面平行的判定定理可推断B选项；利用反证法结合面面平行的性质可推断C选项；利用面面平行的判定和性质定理、结合反证法可推断D选项.【解答过程】对于A选项，若平面ABC//平面DEF，AC⊂平面ABC，则AC//由图可知AC与平面DEF相交，故平面ABC与平面DEF不平行，A不满足条件；对于B选项，如下图所示，连接NG，因为A、C分别为PN、PG的中点，则AC//在正方体EHDG-MFNP中，FN//故四边形EFNG为平行四边形，所以，NG//EF，∵AC⊄平面DEF，EF⊂平面DEF，∴同理可证BC//平面DEF，∵AC∩BC=对于C选项，如下图所示：在正方体PHDG-MNFE中，若平面ABC//平面DEF，且平面DEF则平面ABC//平面MNHP，但这与平面ABC与平面MNHP因此，平面ABC与平面DEF不平行，C不满足条件；对于D选项，在正方体PDHG-FNEM中，连接PH、PM、因为DH//FM且DH=FM，则四边形∵DF⊄平面PHM，MH⊂平面PHM，所以，DF同理可证EF//平面PHM，∵DF∩EF=若平面ABC//平面DEF，则平面ABC//平面这与平面ABC与平面PHM相交冲突，故平面ABC与平面DEF不平行，D不满足条件.故选：B.【变式3-1】（2024秋·北京海淀·高二期中）如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，若E，F，G，H分别是棱A1B1，BB1，CC1，C1D1的中点，则必有（

）A．BD1∥GHB．BD∥EFC．平面EFGH∥平面ABCDD．平面EFGH∥平面A1BCD1【解题思路】依据题意，结合图形，分别推断选项中的命题是否正确即可．【解答过程】易知GH∥D1C，因为过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，所以BD1，GH不行能相互平行，故选项A错误；易知EF∥A1B，与选项A同理，可推断选项B错误；因为EF∥A1B，而直线A1B与平面ABCD相交，故直线EF与平面ABCD也相交，所以平面EFGH与平面ABCD相交，选项C错误；对于D，平面EFGH//平面A由E，F，G，H分别是棱A1B1，BB1得出EF//A1所以EF//平面A1BCD1又EF∩EH=E，所以平面故选：D．【变式3-2】（2024·浙江·高三专题练习）如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E，F，M，N分别为棱ABA．直线AD//平面MNE B．直线FCC．平面A1BC//平面MNE D．平面【解题思路】依据平面的基本性质做出截面，如图所示，然后依据线面平行的定义否定AB,依据面面平行的定义否定C,利用面面平行的判定定理证得D.【解答过程】过点M，N，E的截面如图所示(H，I，J均为中点)，所以直线AD与其相交于H点，故A项错误；直线FC1与直线IJ在平面直线A1B与直线故平面A1BC与平面易得直线AB1//直线EI，直线A又∵AB1∩AD1故选:D.【变式3-3】（2024春·湖北·高二阶段练习）如图，在下列四个正方体中，P，R，Q，M，N，G，H为所在棱的中点，则在这四个正方体中，阴影平面与PRQ所在平面平行的是（

）A． B．C． D．【解题思路】延拓过点P,【解答过程】由题意可知经过P、Q、R三点的平面即为平面PSRHNQ，如下图所示：对B,C选项：可知N在经过P、Q、R三点的平面上，所以B、对A：MC1与QN是相交直线，所以A不正确；对D：因为A1C1//RH，，BC又简洁知RH,A1C1,BC1故平面A1C故选：D.【题型4线面平行性质定理的应用】【方法点拨】应用线面平行的性质定理时，关键是过已知直线作帮助平面与已知平面相交，所得交线与已知直线平行.还可以利用交线推断已知平面内随意一条直线与已知直线的位置关系，即在已知平面内，全部与交线平行的直线都与已知直线平行，全部与交线相交的直线都与已知直线异面.【例4】（2024春·浙江·高一期中）下列命题中正确的是（

）A．假如一条直线与一个平面平行，那么这条直线与平面内的随意一条直线平行B．平面α内有不共线的三个点A，B，C到平面β的距离相等，则αC．b∥α，αD．a∥α，a∥b【解题思路】依据线面平行的推断和性质理解辨析.【解答过程】对于A：若一条直线与一个平面平行，这条直线与平面内的多数条直线平行，但不是随意一条，A错误；对于B：由题意可得：α∥β或α与对于C：依据题意可得：b∥β或对于D：∵a∥α，则∃m⊂α∴b∥b⊄∴b∥故选：D.【变式4-1】（2024·全国·高三专题练习）已知直三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱和底面边长均为1，M，N分别是棱BCA．34 B．23 C．1【解题思路】过N作NP//B1C1交A1C1于【解答过程】过N作NP//B1C1交A因为MC//B1C1，因为MN//平面AA1C1C，平面MNPC∩所以MN//CP，又∴四边形MNPC为平行四边形，又CM=2∴NP=1所以λ=故选：B．【变式4-2】（2024·全国·高三专题练习）若直线a//平面α，A∉α，且直线a与点A位于α的两侧，B，C∈a，AB，AC分别交平面α于点E，F，若BC=4，CF=5A．3 B．32 C．34【解题思路】依据线面平行可得线线平行，从而可求EF=【解答过程】∵BC//α，BC⊂平面ABC∴EF//BC，∴AFAC=EFBC故选：B.【变式4-3】（2024春·江西南昌·高二阶段练习）如图，在三棱锥P-ABC中，点D，E分别为棱PB、BC的中点，点G为CD、PE的交点，若点F在线段AC上，且满足AD//A．1 B．2 C．12 D．【解题思路】结合线面平行的性质定理证得AD//FG，结合三角形的重心求得【解答过程】由于AD//平面PEF，AD⊂平面ACD，平面ACD∩依据线面平行的性质定理可知AD//由于点D，E分别为棱PB、BC的中点，点G为所以G是三角形PBC的重心，所以AFFC故选：C.【题型5面面平行性质定理的应用】【方法点拨】应用面面平行的性质定理时，找出一个平面中的一条直线，则该直线与另一个平面平行，据此可解题.【例5】（2024·高一课时练习）如图，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，平面ABA．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形【解题思路】依据平行关系可知A,F,【解答过程】∵AF//C∵平面ABB1A1//平面CDD1C1，平面AB∴四边形AEC故选：A.【变式5-1】（2024·全国·高三专题练习）如图，已知平面α//平面β，点P为α，β外一点，直线PB，PD分别与α，β相交于A，B和C，D，则AC与BD的位置关系为（

A．平行 B．相交 C．异面 D．平行或异面【解题思路】由题设知P，A，B，C，D共面，依据面面平行的性质，可证AC与BD的位置关系.【解答过程】解：由题意知P，A，B，C，D在同一平面内，且平面PBD∩平面α=AC，平面PBD∩平面β=BD故选：A．【变式5-2】（2024春·四川成都·高二期末）若平面α//平面β，直线m⊂α，则直线m与平面βA．相交 B．平行 C．m在β内 D．无法判定【解题思路】由面面平行可干脆得到结果.【解答过程】由面面平行的性质可知：当平面α//平面β，直线m⊂α故选：B.【变式5-3】（2024·高一课时练习）如图，平面α/平面β，A，C是α内不同的两点，B，D是内不同的两点，E，F分别是线段AB，CD的中点，则下列全部正确推断的编号是（

①当AB，CD共面时，直线AC②当AB=2CD时，E，③当AB，CD是异面直线时，直线EF确定与α平行④可能存在直线EF与α垂直A．①③ B．②④ C．①② D．③④【解题思路】对于①，由面面平行的性质定理推断即可，对于②，如图推断，对于③④，连接AD，取AD的中点M，连接EF,EM,FM，则可得平面【解答过程】解：对于①，当AB，CD共面时，则平面ABDC∩平面α=AC，平面ABDC∩平面β=BD，因为平面α/对于②，如图，当AE=2CE时，AB=2CD成立，而此时E，对于③，如图，连接AD，取AD的中点M，连接EF,EM,FM，因为E，F分别是线段AB，CD的中点，所以EM∥BD，FM∥AC，因为EM⊄β,FM⊄α，AC⊂α,BD⊂β，所以EM∥β，FM∥α，因为平面α/平面β，所以FM∥β，因为EM∩FM对于④，由①可知，当AB，CD共面时，EF∥AC，因为EF⊄α,AC⊂α，所以EF∥α，由③可知，当AB，CD是异面直线时，直线EF确定与α平行，综上，故选：A.【题型6平行问题的综合应用】【方法点拨】在立体几何中常见的平行关系有线线平行、线面平行和面面平行，这三种平行关系不是孤立的，而是相互联系，并且可以相互转化的.所以要解决平行关系的综合问题，必须要灵敏运用三种平行关系的相互转化.【例6】（2024秋·陕西渭南·高一期末）如图，在三棱柱ABC-A1B1C1(1)A1B1(2)平面ABF//平面DE【解题思路】（1）依据线面平行的判定定理证得A1B1（2）依据面面平行的判定定理证得平面ABF//平面DE【解答过程】