2025版高考数学一轮总复习课时作业第七章立体几何7.5空间向量与立体几何第2课时用空间向量研究夹角距离问题

第2课时用空间向量探讨夹角、距离问题【巩固强化】1.已知平面α的一个法向量为n=1,2,1，直线l的一个方向向量为m=A.33 B.22 C.6解：直线l与平面α所成角的正弦值为m⋅nm2.平面α的一个法向量为n=1,2,2，A1,0A.1 B.2 C.3 D.11解：由题意，知AP=2,1,1.则点P到平面3.已知平面α的一个法向量为m=-2,1,-1，向量AB=0A.2 B.2 C.5 D.6解：设n=x,y,z为平面ABC的法向量，则设平面α与平面ABC的夹角为θ，则cosθ=|cos⟨m,所以tanθ=4.如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC-A1B1C1,且CAA.55 B.53 C.2解：设CA=2，则C0,0,0，A故AB1=-2,2,1，B5.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为DA.13 B.223 C.解：建立如图所示的空间直角坐标系.设正方体的棱长为2.则A2,0,0,C所以AC=-2,2设平面EFC的法向量为m=则EF→⋅m=x+y所以m=所以cos⟨AC,m所以AC与平面EFC所成角的正弦值为22故选B.6.在单位正方体ABCD-A1B1C1D1中，MA.33 B.34 C.3解：如图，以D为坐标原点，DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、则D0,0,0,A11,0故A1M=(-1,12,0设平面A1BD的法向量为则n⋅DA1→故点M到平面A1d=A17.在空间直角坐标系中，点A1,2,3关于y轴的对称点为点B，则点C3,解：由题意，知B-1,2,-3，AB=-2又因为AC=所以AC⋅所以点C到直线AB的距离为d=故填2658.如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，CC1⊥平面ABC,AC⊥BC,AC=BC=2，CC（1）求证：C1解：依题意，以C为原点，分别以CA,CB,CC1的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系（如图），可得C0,0,0,A2,0,0,B0证明：依题意，C1M=1,1,（2）求二面角B-[答案]依题意，CA=2,0,0是平面设n=x,y,z为平面不妨设x=1，可得因此有cos⟨CA,n⟩=CA⋅nCAn=6（3）求直线AB与平面DB[答案]依题意，AB=-2,2,0.由（2）知n所以直线AB与平面DB1E【综合运用】9.在四面体ABCD中，CA=CB=CD=BD=2，A.23 B.24 C.14解：取BD的中点O，连接AO，OC.由CA=CB=CD=BD=2，AB=在△AOC中，AC2又BD∩OC=O，所以以O为原点,OB，OC，OA所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示.则A0,0,1，B所以AB=1,设异面直线AB与CD所成的角为θ，则cos即异面直线AB与CD所成角的余弦值为24故选B．10.【多选题】如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E,F,GA.A1C⊥AB1C.D1D⊥AF解：以D为坐标原点，DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，则A2,0,0,B2,2,0对于A，AB1=0,2,2,对于B，A1B=0,2,-2,AD1=-2,0,2，cos⟨对于C，DD1=0,0,对于D，设平面AEF的法向量为m=AE=-1由m⋅AE→取x=2，可得又A1G=0,2,-1，则m⋅A1G=故选ABD.11.如图，已知AE⊥平面ABCD，CF//AE，AD//BC，AD⊥AB，AB=AD=1，BC=2解：依题意，以A为坐标原点，AB，AD，AE的正方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.由已知,可得A0,0,0，B1,0,则BD=-1,1设m=x,则BD→⋅m令x=2，则y=所以m=设BF与平面BDE所成的角为θ，0≤因为BF=5，m=所以cos⟨BF,m则sinθ=|cos⟨因为0≤θ≤所以BF与平面BDE所成角的余弦值为23故填2312.[2024年新课标Ⅰ卷]如图，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AB=2,AA1=4．点A2,B2,C（1）证明：B2（2）点P在棱BB1上，当二面角P-A2解：（方法一）（1）证明：如图1，以C为坐标原点，CD,CB,CC1所在直线分别为x轴、y轴、图1则C0,0,0,C20所以B2C2=0又B2C2，A（2）设P0,2,λ0≤设平面PA2C则n⋅令z=2，得y=所以n=设平面A2C2则m⋅令a=1，得b=1,所以|cos⟨n,=6=cos化简可得λ2-4λ+3所以P0,2,1（方法二）（1）证明:连接AC,A2B2.取A2C2,AC的中点分别为O,O1.连接BD,B2D2,O1O.由题设,得O1O是梯形AA2C2C（2）如图2，在平面ABB1A1上取一点E，使C2E=A2E，连接OE,EB2,直线A2E交棱BB1于点P.设点E到图2由题设，可知∠EOB2在△EOB2中，E即2x-3x-3当x=3,y=1时,当x=32,y=52时,过点E作MN//AB交AA1于点M,交BB1于点N,则综上，当二面角P-A2C2【拓广探究】13.