人教A版高一数学上学期期中期末必考题型归纳及过关测试专题07函数的概念、定义域、值域、解析式、分段函数(原卷版+解析)

专题07函数的概念、定义域、值域、解析式、分段函数考点预测：1、函数的概念设,是非空的实数集，如果对于集合中的任意一个数，按照某种确定的对应关系，在集合中都有唯一确定的的数和它对应，那么就称为从集合到集合的一个函数，记作,.其中，叫做自变量，的取值范围叫做函数的定义域，与的值相对应的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域，显然，值域是集合的子集.2、区间：定义名称符号数轴表示闭区间开区间半开半闭区间半开半闭区间3、函数的三要素（1）定义域；（2）对应关系；（3）值域.值域随定义域和对应关系的确定而确定.4、函数的相等如果两个函数的定义域和对应关系分别相同，那么就说这两个函数是同一个函数.5、函数的表示方法（1）解析法（2）图象法说明：将自变量的一个值作为横坐标，相应的函数值作为纵坐标，就得到坐标平面上的一个点.当自变量取遍函数的定义域中的每一个值时，就得到一系列这样的点，所有这些点组成的图形就是函数的图象.函数的图象在轴上的射影构成的集合就是函数的定义域，在轴上的射影构成的集合就是函数的值域.函数的图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点，等等.（3）列表法6、分段函数（1）分段函数的概念有些函数在其定义域内，对于自变量的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数称为分段函数.如（1），（2）.说明：=1\*GB3①分段函数是一个函数，而不是几个函数.处理分段函数问题时，要先确定自变量的取值在哪个区间，从而选取相应的对应关系.=2\*GB3②分段函数在书写时用大括号把各段函数合并写成一个函数的形式.并且必须指明各段函数自变量的取值范围.=3\*GB3③分段函数的定义域是自变量所有取值区间的并集，分段函数的定义域只能写成一个集合的形式，不能分开写成几个集合的形式.=4\*GB3④分段函数的值域是各段函数在对应自变量的取值范围内值域的并集.（2）分段函数的图象分段函数有几段，它的图象就由几条曲线组成.在同一坐标系中，根据每段的定义区间和表达式依次画出图象，要注意每段图象的端点是空心点还是实心点，组合到一起就得到整个分段函数的图象.【典型例题】例1．(2023·全国·高一专题练习）若函数的定义域为，值域为，则的图象可能是（

）A． B．C． D．例2．(2023·山东·临沂二十四中高一阶段练习）函数的定义域是（

）A． B． C． D．例3．（多选题）(2023·全国·高一单元测试）已知函数关于函数的结论正确的是（

）A．的定义域为R B．的值域为C．若，则x的值是 D．的解集为例4．(2023·全国·高一专题练习）（1）已知函数的定义域为，求函数的定义域；（2）已知函数的定义域为，求函数的定义域．例5．(2023·全国·高一课时练习）求下列函数的值域：（1）；（2）；（3）（4）；（5）；（6）.例6．(2023·全国·高一课时练习）求下列函数的值域：(1)；(2)；(3)．(4)．例7．(2023·全国·高一课时练习）（1）已知是二次函数，且满足，，求函数的解析式；（2）已知，求函数的解析式；（3）已知是R上的函数，，并且对任意的实数x，y都有，求函数的解析式.例8．(2023·全国·高一单元测试）（1）已知，求的解析式；（2）已知，求函数的解析式；（3）已知是二次函数，且满足，，求函数的解析式；（4）已知，求的解析式．例9．(2023·全国·高一课时练习）已知函数(1)求，，的值；(2)若，求实数a的值；(3)若，求实数m的取值范围．【过关测试】一、单选题1．(2023·江苏·海安市曲塘中学高一开学考试）下列函数：①；②；③；④，其中与函数是同一个函数的个数是（

）A．0 B．1 C．2 D．32．(2023·江苏·高一单元测试）已知函数，若，则（

）A． B．6 C． D．3．(2023·全国·高一课时练习）已知函数，则的解集为（

）A． B．C． D．4．(2023·全国·高一课时练习）已知是一次函数，，，则（

）A． B． C． D．5．(2023·全国·高一专题练习）若函数的定义域为，则的范围是（

）A． B． C． D．6．(2023·全国·高一单元测试）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（

）A． B． C． D．7．(2023·全国·高一专题练习）已知，则有（

）A． B．C． D．8．(2023·安徽·六安一中高一开学考试）若函数满足，定义的最小值为的值域跨度，则是下列函数中值域跨度不为2的是（

）A． B． C． D．二、多选题9．(2023·河南省实验中学高一阶段练习）下列说法正确的是（

）A．若的定义域为，则的定义域为B．函数的值域为C．函数的值域为D．函数在上的值域为10．(2023·全国·高一课时练习）若函数，则（

）A． B．C． D．11．(2023·全国·高一课时练习）已知函数的图像由如图所示的两条曲线组成，则（

）A． B．C．函数的定义域是 D．函数的值域是12．(2023·全国·高一单元测试）若函数的定义域为，值域为，则正整数a的值可能是（

）A．2 B．3 C．4 D．5三、填空题13．(2023·全国·高一专题练习）若函数f（x）满足，则f（x）可以是___．（举出一个即可）14．(2023·全国·高一单元测试）设函数，若，则实数的值为_____．15．(2023·全国·高一专题练习）如图，设，，表示A到B的函数的是__________填序号．16．(2023·全国·高一课时练习）已知函数，则______.四、解答题17．(2023·全国·高一课时练习）作出下列函数的图象：(1)；(2)；(3)，其中表示不大于x的最大整数．18．(2023·江苏·高一单元测试）在①，②，且，③恒成立，且这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并作答.问题：已知二次函数的图像经过点（1，2），______.(1)求的解析式；(2)求在上的值域.19．(2023·全国·高一课时练习）根据下列条件，求函数的解析式；（1）若满足，则____________；（2）已知函数满足，对任意不为零的实数，恒成立.（3）已知；（4）已知等式对一切实数､都成立，且；20．(2023·全国·高一课时练习）“活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点.研究表明：“活水围网”养鱼时，某种鱼在一定的条件下，把每尾鱼的平均生长速度v（单位：千克/年）表示为养殖密度x（单位：尾/立方米）的函数.当时，v的值为2；当时，v是关于x的一次函数.当x＝20时，因缺氧等原因，v的值为0.(1)当时，求函数的表达式；(2)当x为多大时，鱼的年生长量（单位：千克/立方米）可以达到最大？并求出最大值.21．(2023·全国·高一课时练习）在①，②，③这三个条件中任选一个，补充到横线中，并解答．已知一次函数满足，且______．(1)求函数的解析式；(2)若在上的最大值为2，求实数的值．22．(2023·全国·高一课时练习）设函数的定义域与函数的定义域的交集为D，若对任意的，都有，则称函数是集合M的元素．(1)判断函数和是不是集合M中的元素，并说明理由；(2)设函数，且（k，b为常数，且k≠0），试求函数的解析式；(3)已知，，试求实数a，b应满足的关系．专题07函数的概念、定义域、值域、解析式、分段函数考点预测：1、函数的概念设,是非空的实数集，如果对于集合中的任意一个数，按照某种确定的对应关系，在集合中都有唯一确定的的数和它对应，那么就称为从集合到集合的一个函数，记作,.其中，叫做自变量，的取值范围叫做函数的定义域，与的值相对应的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域，显然，值域是集合的子集.2、区间：定义名称符号数轴表示闭区间开区间半开半闭区间半开半闭区间3、函数的三要素（1）定义域；（2）对应关系；（3）值域.值域随定义域和对应关系的确定而确定.4、函数的相等如果两个函数的定义域和对应关系分别相同，那么就说这两个函数是同一个函数.5、函数的表示方法（1）解析法（2）图象法说明：将自变量的一个值作为横坐标，相应的函数值作为纵坐标，就得到坐标平面上的一个点.当自变量取遍函数的定义域中的每一个值时，就得到一系列这样的点，所有这些点组成的图形就是函数的图象.函数的图象在轴上的射影构成的集合就是函数的定义域，在轴上的射影构成的集合就是函数的值域.函数的图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点，等等.（3）列表法6、分段函数（1）分段函数的概念有些函数在其定义域内，对于自变量的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数称为分段函数.如（1），（2）.说明：=1\*GB3①分段函数是一个函数，而不是几个函数.处理分段函数问题时，要先确定自变量的取值在哪个区间，从而选取相应的对应关系.=2\*GB3②分段函数在书写时用大括号把各段函数合并写成一个函数的形式.并且必须指明各段函数自变量的取值范围.=3\*GB3③分段函数的定义域是自变量所有取值区间的并集，分段函数的定义域只能写成一个集合的形式，不能分开写成几个集合的形式.=4\*GB3④分段函数的值域是各段函数在对应自变量的取值范围内值域的并集.（2）分段函数的图象分段函数有几段，它的图象就由几条曲线组成.在同一坐标系中，根据每段的定义区间和表达式依次画出图象，要注意每段图象的端点是空心点还是实心点，组合到一起就得到整个分段函数的图象.【典型例题】例1．(2023·全国·高一专题练习）若函数的定义域为，值域为，则的图象可能是（

）A． B．C． D．答案：B【解析】选项A中，当时，，不符合题意，排除A；选项C中，存在一个x对应多个y值，不是函数的图象，排除C；选项D中，x取不到0，不符合题意，排除D.故选：B.例2．(2023·山东·临沂二十四中高一阶段练习）函数的定义域是（

）A． B． C． D．答案：C【解析】由题，函数定义域满足，解得.故选：C例3．（多选题）(2023·全国·高一单元测试）已知函数关于函数的结论正确的是（

）A．的定义域为R B．的值域为C．若，则x的值是 D．的解集为答案：BC【解析】函数的定义域是，故A错误；当时，，值域为，当时，，值域为，故的值域为，故B正确；当时，令，无解，当时，令，得到，故C正确；当时，令，解得，当时，令，解得，故的解集为，故D错误．故选：BC．例4．(2023·全国·高一专题练习）（1）已知函数的定义域为，求函数的定义域；（2）已知函数的定义域为，求函数的定义域．【解析】（1）对于函数，有，解得，因此，函数的定义域为；（2）因为函数的定义域为，即，则，所以，函数的定义域为，对于函数，有，解得，因此，函数的定义域为.例5．(2023·全国·高一课时练习）求下列函数的值域：（1）；（2）；（3）（4）；（5）；（6）.【解析】（1），，函数值域为；（2），当时单调递减，当时单调递增，，所以函数的值域是；（3），所以函数的值域是；（4），所以函数值域是；（5），当时，，当时，，当，所以函数的值域是；（6）定义域为且，，或，或，所以函数的值域是.例6．(2023·全国·高一课时练习）求下列函数的值域：(1)；(2)；(3)．(4)．【解析】（1）方法一

因为，且，所以，所以原函数的值域为．方法二令，则，所以原函数的值域为．（2）因为，所以，所以原函数的值域为．（3）设，则且，得．因为，所以，即，所以原函数的值域为．（4）方法一令，因为，所以关于x的方程有解，则当，即时，；当时，，整理得，解得或．综上，原函数的值域为．方法二令，则，当时，；当时，，当时，因为，当且仅当时取等号，所以，所以，当时，因为，当且仅当时取等号，所以，所以．综上，原函数的值域为．例7．(2023·全国·高一课时练习）（1）已知是二次函数，且满足，，求函数的解析式；（2）已知，求函数的解析式；（3）已知是R上的函数，，并且对任意的实数x，y都有，求函数的解析式.【解析】（1）设，由得：c＝1.由得：，整理得，∴，则，∴.（2）∵，①∴，②②×2－①得：，∴.（3）令，则，∴.例8．(2023·全国·高一单元测试）（1）已知，求的解析式；（2）已知，求函数的解析式；（3）已知是二次函数，且满足，，求函数的解析式；（4）已知，求的解析式．【解析】（1）因为，所以．（2）方法一

设，则，，即，所以，所以．方法二

因为，所以．（3）因为是二次函数，所以设．由，得c＝1．由，得，整理得，所以，所以，所以．（4）用－x替换中的x，得，由，解得．例9．(2023·全国·高一课时练习）已知函数(1)求，，的值；(2)若，求实数a的值；(3)若，求实数m的取值范围．【解析】（1）由题可得，，因为，所以；（2）①当时，，解得，不合题意，舍去；②当时，，即，解得或，因为，，所以符合题意；③当时，，解得，符合题意；综合①②③知，当时，或；（3）由，得或或，解得或，故所求m的取值范围是.【过关测试】一、单选题1．(2023·江苏·海安市曲塘中学高一开学考试）下列函数：①；②；③；④，其中与函数是同一个函数的个数是（

）A．0 B．1 C．2 D．3答案：A【解析】,定义域为，与函数不是同一个函数；满足且，则，与函数定义域R不同,与函数不是同一个函数；与函数定义域不同，不是同一个函数；定义域为，与函数不是同一个函数；故选：A2．(2023·江苏·高一单元测试）已知函数，若，则（

）A． B．6 C． D．答案：D【解析】因为，所以，函数在和上均为增函数，因为，所以，可得，由题意可得，即，解得，合乎题意，所以，.故选：D.3．(2023·全国·高一课时练习）已知函数，则的解集为（

）A． B．C． D．答案：B【解析】当时，，则可化为，解得，又，所以.当时，，则可化为，解得，又，所以.综上，.故选：B.4．(2023·全国·高一课时练习）已知是一次函数，，，则（

）A． B． C． D．答案：D【解析】依题意，设，则有，解得，所以.故选：D5．(2023·全国·高一专题练习）若函数的定义域为，则的范围是（

）A． B． C． D．答案：A【解析】依题意，，成立，当时，成立，即，当时，，解得，因此得，所以的范围是.故选：A6．(2023·全国·高一单元测试）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（

）A． B． C． D．答案：C【解析】因为函数的定义域为，所以的定义域为.又因为，即，所以函数的定义域为.故选：C.7．(2023·全国·高一专题练习）已知，则有（

）A． B．C． D．答案：B【解析】设，，则，，，所以函数的解析式为，．故选：B.8．(2023·安徽·六安一中高一开学考试）若函数满足，定义的最小值为的值域跨度，则是下列函数中值域跨度不为2的是（

）A． B． C． D．答案：B【解析】A选项：，所以，值域跨度为2；B选项：，所以，值域跨度不为2；C选项：当时；当时，；当时，；故，值域跨度为2；D选项：，故，值域跨度为2；故选：B二、多选题9．(2023·河南省实验中学高一阶段练习）下列说法正确的是（

）A．若的定义域为，则的定义域为B．函数的值域为C．函数的值域为D．函数在上的值域为答案：AC【解析】对于A，因为的定义域为，所以，解得，即的定义域为，故A正确；对于B，，所以，即函数的值域为，故B不正确；对于C，令，则，，所以，，所以当时，该函数取得最大值，最大值为，所以函数的值域为，故C正确；对于D，，其图象的对称轴为直线，且，，所以函数在上的值域为，故D不正确．故选：AC．10．(2023·全国·高一课时练习）若函数，则（

）A． B．C． D．答案：AD【解析】令，则，所以，则，故C错误；，故A正确；，故B错误；（且），故D正确．故选：AD．11．(2023·全国·高一课时练习）已知函数的图像由如图所示的两条曲线组成，则（

）A． B．C．函数的定义域是 D．函数的值域是答案：AD【解析】选项A：由图像可得，所以，A正确；选项B：图像法只能近似地求出函数值，且有时误差较大，故由图像不能得出的确定值，B错误；选项C：由图像可得函数的定义域为，C错误；选项D：由图像可得函数的值域为，D正确.故选：AD.12．(2023·全国·高一单元测试）若函数的定义域为，值域为，则正整数a的值可能是（

）A．2 B．3 C．4 D．5答案：BC【解析】函数的图象如图所示：因为函数在上的值域为，结合图象可得，结合a是正整数，所以BC正确.故选：BC.三、填空题13．(2023·全国·高一专题练习）若函数f（x）满足，则f（x）可以是___．（举出一个即可）答案：【解析】若，满足.若，满足.故答案为：，答案不唯一.14．(2023·全国·高一单元测试）设函数，若，则实数的值为_____．答案：【解析】由题意知，；当时，有，解得(舍去)；当时，有，解得(舍去)或．所以实数的值是：．故答案为：.15．(2023·全国·高一专题练习）如图，设，，表示A到B的函数的是__________填序号．答案：④【解析】根据函数的定义，在③中，存在一个x对应两个y，③不是函数；①，②中函数的值域不是，故排除①②③；可知④符合题意.故答案为：④．16．(2023·全国·高一课时练习）已知函数，则______.答案：【解析】因为，，所以.故答案为：四、解答题17．(2023·全国·高一课时练习）作出下列函数的图象：(1)；(2)；(3)，其中表示不大于x的最大整数．答案：(1)作图见解析；(2)作图见解析；(3)作图见解析.分析：根据题意写出分段函数的解析式，然后作图即得.（1）因为函数，画出其图象如图所示：；（2）函数的图象是两段抛物线与一个点，画出其图象如图所示．（3）由题可得，画出其图象如图所示：.18．(2023·江苏·高一单元测试）在①，②，且，③恒成立，且这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并作答.问题：已知二次函数的图像经过点（1，2），______.(1)求的解析式；(2)求在上的值域.【解析】（1）选条件①.设，则.因为，所以，所以，解得.因为函数的图像经过点（1，2），所以，得.故.选条件②.设，则函数图像的对称轴为直线.由题意可得，解得.故.选条件③设.因为，所以.因为恒成立，所以，解得，故.（2）由（1）可知.因为，所以，所以.所以在上的值域为.19．(2023·全国·高一课时练习）根据下列条件，求函数的解析式；（1）若满足，则____________；（2）已知函数满足，对任意不为零的实数，恒成立.（3）已知；（4）已知等式对一切实数､都成立，且；【解析】（1）因为①用代替，②由①②组成的方程组得.故答案为: