高中数学选择性必修三课件：6 2 2 第1课时 排列数公式(人教A版)

第1课时排列数公式第六章6.2.2排列数1.能用计数原理推导排列数公式.2.能用排列数公式解决简单的实际问题.学习目标2021年是中国共产党成立100周年，1921年中国共产党的诞生掀开了中国历史的新篇章，百年来，党带领全国人民谱写了中华民族自强不息、顽强奋进的壮丽史诗.有30位老革命家参观完一大会址后，要在一大会址旁站成一排照相，那么这30位老革命家的排列顺序有多少种？这样的排列问题能否用一个公式来表示呢？导语随堂演练课时对点练一、排列数公式二、利用排列数公式化简与证明三、排列数公式的简单应用内容索引一、排列数公式提示我们把从n个不同元素中取出m(m≤n，且m，n∈N*)个元素的排列，看成从n个不同的球中取出m个球，放入排好的m个盒子中，每个盒子里放一个球，我们根据分步乘法计数原理排列这些球：第1步，从全体n个球中任选一个放入第1个盒子，有n种方法；第2步，从剩下的(n－1)个球中任选一个放入第2个盒子，有(n－1)种方法；第3步，从剩下的(n－2)个球中任选一个放入第3个盒子，有(n－2)种方法；……第m步，从剩下的[n－(m－1)]个球中任选一个放入第m个盒子，有[n－(m－1)]种方法，如图所示.盒子123…m方法数nn－1n－2…n－(m－1)因此，根据分步乘法计数原理，从n个不同的球中取出m个球的排列，共有n(n－1)(n－2)·…·[n－(m－1)]种方法.知识梳理1.排列数：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的

，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号___表示.2.排列数公式：

＝

＝

(n，m∈N*，m≤n).3.全排列：把n个不同的元素全部取出的一个排列，叫做n个元素的一个全排列.正整数1到n的连乘积，叫做n的阶乘，用

表示，于是，n个元素的全排列数公式可以写成

＝n(n－1)(n－2)×…×2×1＝n！.规定：0！＝1.所有不同排列的个数n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)n！知识梳理1.排列数：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的

，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号___表示.2.排列数公式：

＝

＝

(n，m∈N*，m≤n).3.全排列：把n个不同的元素全部取出的一个排列，叫做n个元素的一个全排列.正整数1到n的连乘积，叫做n的阶乘，用

表示，于是，n个元素的全排列数公式可以写成

＝n(n－1)(n－2)×…×2×1＝n！.规定：0！＝1.所有不同排列的个数n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)n！注意点：(1)乘积是m个连续正整数的乘积；(2)第一个数最大，是A的下标n；(3)第m个数最小，是n－m＋1.例1

(1)计算下列各题：解∵55－n,56－n，…，69－n中的最大数为69－n，且共有(69－n)－(55－n)＋1＝15(个)数，(2)用排列数表示(55－n)(56－n)·…·(69－n)(n∈N*且n<55).反思感悟排列数的计算方法排列数的计算主要是利用排列数的乘积公式进行.应用时注意：连续正整数的积可以写成某个排列数，其中最大的是排列元素的总个数，而正整数(因式)的个数是选取元素的个数，这是排列数公式的逆用.跟踪训练1

(1)化简：n(n＋1)(n＋2)(n＋3)·…·(n＋m).跟踪训练1

(1)化简：n(n＋1)(n＋2)(n＋3)·…·(n＋m).A.3B.8C.0D.5√解析∵当n≥5时，∴M的个位数字为3.二、利用排列数公式化简与证明反思感悟排列数公式的阶乘形式主要用于与排列数有关的证明、解方程和不等式等问题，具体应用时注意阶乘的性质，提取公因式，可以简化计算.跟踪训练2

(1)(多选)下列等式正确的是√√√A.[2,8]B.[2,6]C.(7,12)D.{8}√化简得x2－19x＋84<0，解得7<x<12，

①由①②及x∈N*，得x＝8.三、排列数公式的简单应用例3某信号兵用红、黄、蓝3面旗从上到下挂在竖直的旗杆上表示信号，每次可以任意挂1面、2面或3面，并且不同的顺序表示不同的信号，一共可以表示多少种不同的信号？由分类加法计数原理，所求的信号种数是即一共可以表示15种不同的信号.反思感悟对于简单的排列问题可直接代入排列数公式，也可以用树状图法.情况较多的情形，可以进行分类后进行.跟踪训练3若一个三位数的十位数字比个位数字和百位数字都大，则称这个数为“伞数”.现从2,3,4,5,6,9这六个数字中任取3个数，组成无重复数字的三位数，其中“伞数”有A.120个B.80个C.40个D.20个解析由题意知可按十位数字的取值进行分类：√1.知识清单：(1)排列数、排列数公式.(2)利用排列数公式化简与证明.(3)排列数公式的简单应用.2.方法归纳：直接法、优先法、间接法.课堂小结随堂演练A.9×3

B.93C.9×8×7

D.9×8×7×6×5×4×31234√2.4×5×6×…×(n－1)×n等于14√32143.某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了________条毕业留言.(用数字作答)156032144.从班委会的5名成员中选出3名分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，其中甲、乙二人不能担任文娱委员，则不同的选法共有______种.(用数字作答)由分步乘法计数原理知，共有3×12＝36(种)选法.3632课时对点练基础巩固123456789101112131415A.480 B.520

C.600 D.132016√A.4B.5C.6D.712345678910111213141516√123456789101112131415163.若a∈N*，且a<20，则(27－a)(28－a)…(34－a)等于√123456789101112131415164.有4名司机，4名售票员要分配到4辆汽车上，使每辆汽车上有1名司机和1名售票员，则可能的分配方法有√123456789101112131415165.要从a，b，c，d，e5个人中选出1名组长和1名副组长，但a不能当副组长，则不同的选法种数是A.20B.16C.10D.6√12345678910111213141516√√12345678910111213141516{3,4}得(n－1)(n－2)－n<7，整理，得n2－4n－5<0，解得－1<n<5.又n－1≥2且n∈N*，即n≥3且n∈N*，所以n＝3或n＝4.123456789101112131415168.有3名大学毕业生，到5家招聘员工的公司应聘，若每家公司至多招聘1名新员工，且3名大学毕业生全部被聘用，若不允许兼职，则共有_____种不同的招聘方案.(用数字作答)60解析将5家招聘员工的公司看作5个不同的位置，从中任选3个位置给3名大学毕业生，则本题即为从5个不同元素中任取3个元素的排列问题.12345678910111213141516所以原式成立.1234567891011121314151610.用0到9这10个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？解(特殊位置)用分步乘法计数原理，所求的三位数的个数是综合运用1234567891011121314151611.有5名同学被安排在周一至周五值日，已知同学甲只能在周一值日，那么5名同学值日顺序的编排方案共有A.12种 B.24种

C.48种 D.120种解析∵同学甲只能在周一值日，∴除同学甲外的4名同学将在周二至周五值日，√1234567891011121314151612.某班级从A，B，C，D，E，F六名学生中选四人参加4×100m接力比赛，其中第一棒只能在A，B中选一人，第四棒只能在A，C中选一人，则不同的选派方法共有A.24种 B.36种

C.48种 D.72种√1234567891011121314151613.由数字1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中小于50000的偶数共有A.60个 B.48个

C.36个 D.24个√1234567891011121314151614.用0,1,2,3,4这5个数字组成无重复数字的五位数，其中恰有一个偶数夹在两个奇数之间的五位数有______种.28拓广探究12345678910111213141516A.5 B.6

C.7 D.8√12345678910111213141516解析依题意得，(n＋1)！≥3000，又(5＋1)！＝6×5×4×3×2×1＝720，(6＋1)！＝7×6×5×4×3×2×1＝5040>3000，所以n的最小值是6.1234567891011121314151616.一条铁路有n个车站，为适应客运需要，新增了m个车站，且知m＞1，客运车票增加了62种，问原有多少个车站？现在有多少个车站？12345678910111213141516即(n＋m)(n＋m－1)－n(n－1)＝62，所以m(2n＋m－1)＝62＝2×31，因为m＜2n＋m－1，且n≥2，m，n∈N*，解得m＝2，n＝15，故原有15个车站，现有17个车站.备用工具&资料1234567891011121314151616.一条铁路有n个车站，为适应客运需要，新增了m个车站，且知m＞1，客运车票增加了62种，问原有多少个车站？现在有多少个车站？拓广探究12345678910111213141516A.5 B.6

C.7 D.8√提示我们把从n个不同元素中取出m(m≤n，且m，n∈N*)个元素的排列，看成从n个不同的球中取出m个球，放入排好的m个盒子中，每个盒子里放一个球，我们根据分步乘法计数原理排列这些球：第1步，从全体n个球中任选一个放入第1个盒子，有n种方法；第2步，从剩下的(n－1)个球中任选一个放入第2个盒子，有(n－1)种方法；第3步，从剩下的(n－2)个球中任选一个放入第3个盒子，有(n－2)种方法；