高考数学一轮复习知识点讲解+真题测试专题9.5抛物线(真题测试)(原卷版+解析)

专题9.5抛物线（真题测试）一、单选题1．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线上一点到轴的距离是2，则点到焦点的距离为（

）A． B．2 C． D．32．（2023·全国·高三专题练习）抛物线的焦点到其准线的距离为（

）A． B． C．2 D．43．(2023·全国·高考真题（文））设F为抛物线的焦点，点A在C上，点，若，则（

）A．2 B． C．3 D．4．（2023·全国·高考真题）抛物线的焦点到直线的距离为，则（

）A．1 B．2 C． D．45．（2023·北京·高考真题）设抛物线的顶点为，焦点为，准线为．是抛物线上异于的一点，过作于，则线段的垂直平分线（

）．A．经过点 B．经过点C．平行于直线 D．垂直于直线6.（2023·全国·高考真题（文））若抛物线y2=2px（p>0）的焦点是椭圆的一个焦点，则p=（）A．2 B．3C．4 D．87．（山东·高考真题（文））已知抛物线，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于两点，若线段的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为（）A． B．C． D．8.(2023·全国·高考真题（理））已知F为抛物线C：y2=4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A、B两点，直线l2与C交于D、E两点，则|AB|+|DE|的最小值为（）A．16 B．14 C．12 D．10二、多选题9．(2023·全国·高考真题）已知O为坐标原点，点在抛物线上，过点的直线交C于P，Q两点，则（

）A．C的准线为 B．直线AB与C相切C． D．10．(2023·全国·高考真题）已知O为坐标原点，过抛物线焦点F的直线与C交于A，B两点，其中A在第一象限，点，若，则（

）A．直线的斜率为 B．C． D．11．(2023·全国·高三专题练习）已知为坐标原点，抛物线的方程为，的焦点为，直线与交于，两点，且的中点到轴的距离为2，则下列结论正确的是（

）A．的准线方程为B．的最大值为6C．若，则直线的方程为D．若，则面积的最小值为1612．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线：，过其准线上的点作的两条切线，切点分别为，，下列说法正确的是（

）A． B．当时，C．当时，直线的斜率为2 D．面积的最小值为4三、填空题13．(2023·北京·高考真题（文））已知直线l过点（1,0）且垂直于𝑥轴，若l被抛物线截得的线段长为4，则抛物线的焦点坐标为_________.14．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线：的焦点为，为上一点且在第一象限，以为圆心，线段的长度为半径的圆交的准线于，两点，且，，三点共线，则______．15．（2023·山东·高考真题）已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点与双曲线的左焦点重合，若两曲线相交于，两点，且线段的中点是点，则该双曲线的离心率等于______.16.（2023·北京·高考真题）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，垂直轴与于点.若，则点的横坐标为_______；的面积为_______．四、解答题17.(2023·北京·高考真题（理））已知抛物线C：y2＝2px过点P(1,1)．过点作直线l与抛物线C交于不同的两点M，N，过点M作x轴的垂线分别与直线OP，ON交于点A，B，其中O为原点．(1)求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程；(2)求证：A为线段BM的中点．18.（2023·全国·高考真题（理））已知抛物线C：y2=3x的焦点为F，斜率为的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P．（1）若|AF|+|BF|=4，求l的方程；（2）若，求|AB|．19．（2023·北京·高考真题（理））已知抛物线C：x2=−2py经过点（2，−1）．（Ⅰ）求抛物线C的方程及其准线方程；（Ⅱ）设O为原点，过抛物线C的焦点作斜率不为0的直线l交抛物线C于两点M，N，直线y=−1分别交直线OM，ON于点A和点B.求证：以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点．20．(2023·全国·高考真题（理））设抛物线的焦点为F，点，过F的直线交C于M，N两点．当直线MD垂直于x轴时，．(1)求C的方程；(2)设直线与C的另一个交点分别为A，B，记直线的倾斜角分别为．当取得最大值时，求直线AB的方程．21.（2023·全国·高考真题（理））已知椭圆C1：(a>b>0)的右焦点F与抛物线C2的焦点重合，C1的中心与C2的顶点重合.过F且与x轴垂直的直线交C1于A，B两点，交C2于C，D两点，且|CD|=|AB|.（1）求C1的离心率；（2）设M是C1与C2的公共点，若|MF|=5，求C1与C2的标准方程.22.（2023·全国·高考真题（文））已知抛物线的焦点F到准线的距离为2．（1）求C的方程;（2）已知O为坐标原点，点P在C上，点Q满足，求直线斜率的最大值.专题9.5抛物线（真题测试）一、单选题1．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线上一点到轴的距离是2，则点到焦点的距离为（

）A． B．2 C． D．3答案：B分析：有题意可知,由焦点则可求出点到焦点的距离.【详解】到轴的距离是2，可得，焦点则点到焦点的距离为2.故选:B.2．（2023·全国·高三专题练习）抛物线的焦点到其准线的距离为（

）A． B． C．2 D．4答案：C分析：将抛物线方程化为标准式，即可得到，再根据的几何意义得解；【详解】解：抛物线，即，则，所以，所以抛物线的焦点到其准线的距离为.故选：C3．(2023·全国·高考真题（文））设F为抛物线的焦点，点A在C上，点，若，则（

）A．2 B． C．3 D．答案：B分析：根据抛物线上的点到焦点和准线的距离相等，从而求得点的横坐标，进而求得点坐标，即可得到答案.【详解】由题意得，，则，即点到准线的距离为2，所以点的横坐标为，不妨设点在轴上方，代入得，，所以.故选：B4．（2023·全国·高考真题）抛物线的焦点到直线的距离为，则（

）A．1 B．2 C． D．4答案：B分析：首先确定抛物线的焦点坐标，然后结合点到直线距离公式可得的值.【详解】抛物线的焦点坐标为，其到直线的距离：，解得：(舍去).故选：B.5．（2023·北京·高考真题）设抛物线的顶点为，焦点为，准线为．是抛物线上异于的一点，过作于，则线段的垂直平分线（

）．A．经过点 B．经过点C．平行于直线 D．垂直于直线答案：B分析：依据题意不妨作出焦点在轴上的开口向右的抛物线，根据垂直平分线的定义和抛物线的定义可知，线段的垂直平分线经过点，即求解.【详解】如图所示：．因为线段的垂直平分线上的点到的距离相等，又点在抛物线上，根据定义可知，，所以线段的垂直平分线经过点.故选：B.6.（2023·全国·高考真题（文））若抛物线y2=2px（p>0）的焦点是椭圆的一个焦点，则p=（）A．2 B．3C．4 D．8答案：D分析：利用抛物线与椭圆有共同的焦点即可列出关于的方程，即可解出，或者利用检验排除的方法，如时，抛物线焦点为（1，0），椭圆焦点为（±2，0），排除A，同样可排除B，C，故选D．【详解】因为抛物线的焦点是椭圆的一个焦点，所以，解得，故选D．7．（山东·高考真题（文））已知抛物线，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于两点，若线段的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为（）A． B．C． D．答案：B【详解】∵y2=2px的焦点坐标为,∴过焦点且斜率为1的直线方程为y=x-,即x=y+,将其代入y2=2px得y2=2py+p2,即y2-2py-p2=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=2p,∴=p=2,∴抛物线的方程为y2=4x,其准线方程为x=-1.故选B.8.(2023·全国·高考真题（理））已知F为抛物线C：y2=4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A、B两点，直线l2与C交于D、E两点，则|AB|+|DE|的最小值为（）A．16 B．14 C．12 D．10答案：A【详解】设，直线的方程为，联立方程，得，∴，同理直线与抛物线的交点满足，由抛物线定义可知，当且仅当（或）时，取等号.点睛:对于抛物线弦长问题，要重点抓住抛物线定义，到定点的距离要想到转化到准线上，另外，直线与抛物线联立，求判别式，利用根与系数的关系是通法，需要重点掌握.考查最值问题时要能想到用函数方法和基本不等式进行解决.此题还可以利用弦长的倾斜角表示，设直线的倾斜角为，则，则，所以.二、多选题9．(2023·全国·高考真题）已知O为坐标原点，点在抛物线上，过点的直线交C于P，Q两点，则（

）A．C的准线为 B．直线AB与C相切C． D．答案：BCD分析：求出抛物线方程可判断A，联立AB与抛物线的方程求交点可判断B，利用距离公式及弦长公式可判断C、D.【详解】将点的代入抛物线方程得，所以抛物线方程为，故准线方程为，A错误；，所以直线的方程为，联立，可得，解得，故B正确；设过的直线为，若直线与轴重合，则直线与抛物线只有一个交点，所以，直线的斜率存在，设其方程为，，联立，得，所以，所以或，，又，，所以，故C正确；因为，，所以，而，故D正确.故选：BCD10．(2023·全国·高考真题）已知O为坐标原点，过抛物线焦点F的直线与C交于A，B两点，其中A在第一象限，点，若，则（

）A．直线的斜率为 B．C． D．答案：ACD分析：由及抛物线方程求得，再由斜率公式即可判断A选项；表示出直线的方程，联立抛物线求得，即可求出判断B选项；由抛物线的定义求出即可判断C选项；由，求得，为钝角即可判断D选项.【详解】对于A，易得，由可得点在的垂直平分线上，则点横坐标为，代入抛物线可得，则，则直线的斜率为，A正确；对于B，由斜率为可得直线的方程为，联立抛物线方程得，设，则，则，代入抛物线得，解得，则，则，B错误；对于C，由抛物线定义知：，C正确；对于D，，则为钝角，又，则为钝角，又，则，D正确.故选：ACD.11．(2023·全国·高三专题练习）已知为坐标原点，抛物线的方程为，的焦点为，直线与交于，两点，且的中点到轴的距离为2，则下列结论正确的是（

）A．的准线方程为B．的最大值为6C．若，则直线的方程为D．若，则面积的最小值为16答案：BCD分析：直接求出准线方程即可判断A选项；由以及抛物线的定义结合即可判断B选项；设出直线的方程为，联立抛物线，由解出点坐标，即可判断C选项；由求得直线恒过点结合即可求出面积最小值，即可判断D选项.【详解】由题意知的标准方程为，故的准线方程为，A错误；设的中点为，分别过点，，作准线的垂线，垂足分别为，，，因为到轴的距离为2，所以.由抛物线的定义知，，所以.因为，所以，所以B正确；由得直线过点，直线的斜率存在，设直线的方程为，联立方程得化简得，则.由于，所以，得，得，所以，所以，直线的方程为，故C正确；设，，由，得，又所以，由题意知，所以.又，故直线的方程为.由于，所以，则直线恒过点，所以，所以面积的是小值为16，故D正确.故选：BCD.12．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线：，过其准线上的点作的两条切线，切点分别为，，下列说法正确的是（

）A． B．当时，C．当时，直线的斜率为2 D．面积的最小值为4答案：ABD分析：选项A：由点在准线上，可求出，从而可判断；选项B：设直线与抛物线方程联立，由韦达定理可判断；选项C：设，分别求出，方程，根据方程结构可判断；选项D：先同C求得直线的方程，再表达出的面积关于的表达式，进而求得面积的最大值即可【详解】对A，易知准线方程为，∴，：，故选项A正确.对B，设直线，代入，得，当直线与相切时，有，即，设，斜率分别为，，易知，是上述方程两根，故，故.故选项B正确.对C，设，，其中，.则：，即.代入点，得，同理可得，故：，故.

故选项C不正确.对D，同C，切线方程：；：，代入点有，，故直线的方程为，即，联立有，则，故，又到的距离，故，故当时的面积小值为，故D正确；故选：ABD三、填空题13．(2023·北京·高考真题（文））已知直线l过点（1,0）且垂直于𝑥轴，若l被抛物线截得的线段长为4，则抛物线的焦点坐标为_________.答案：【详解】分析：根据题干描述画出相应图形，分析可得抛物线经过点，将点坐标代入可求参数的值，进而可求焦点坐标.详细：由题意可得，点在抛物线上，将代入中，解得：，，由抛物线方程可得：，焦点坐标为.14．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线：的焦点为，为上一点且在第一象限，以为圆心，线段的长度为半径的圆交的准线于，两点，且，，三点共线，则______．答案：6分析：根据圆的几何性质以及抛物线的定义即可解出．【详解】如图所示，连接．因为，，三点共线，所以为圆的直径，所以，点到抛物线的准线的距离为3，则易知，由抛物线定义知．故答案为：6．15．（2023·山东·高考真题）已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点与双曲线的左焦点重合，若两曲线相交于，两点，且线段的中点是点，则该双曲线的离心率等于______.答案：分析：利用抛物线的性质，得到M的坐标，再带入到双曲线方程中，即可求解.【详解】由题意知：抛物线方程为：在抛物线上，所以在双曲线上，，又，故答案为：16.（2023·北京·高考真题）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，垂直轴与于点.若，则点的横坐标为_______；的面积为_______．答案：

5

分析：根据焦半径公式可求的横坐标，求出纵坐标后可求.【详解】因为抛物线的方程为，故且.因为，，解得，故，所以，故答案为：5；.四、解答题17.(2023·北京·高考真题（理））已知抛物线C：y2＝2px过点P(1,1)．过点作直线l与抛物线C交于不同的两点M，N，过点M作x轴的垂线分别与直线OP，ON交于点A，B，其中O为原点．(1)求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程；(2)求证：A为线段BM的中点．答案：（1）抛物线C的焦点坐标为，准线方程为x＝－；（2）见解析.【详解】试题分析：（Ⅰ）代入点求得抛物线的方程，根据方程表示焦点坐标和准线方程；（Ⅱ）设直线l的方程为（），与抛物线方程联立，再由根与系数的关系，及直线ON的方程为，联立求得点的坐标为，再证明.试题解析：（Ⅰ）由抛物线C：过点P（1，1），得.所以抛物线C的方程为.抛物线C的焦点坐标为（，0），准线方程为.（Ⅱ）由题意，设直线l的方程为（），l与抛物线C的交点为，.由，得.则，.因为点P的坐标为（1，1），所以直线OP的方程为，点A的坐标为.直线ON的方程为，点B的坐标为.因为，所以.故A为线段BM的中点.18.（2023·全国·高考真题（理））已知抛物线C：y2=3x的焦点为F，斜率为的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P．（1）若|AF|+|BF|=4，求l的方程；（2）若，求|AB|．答案：（1）；（2）.分析：（1）设直线：，，；根据抛物线焦半径公式可得；联立直线方程与抛物线方程，利用韦达定理可构造关于的方程，解方程求得结果；（2）设直线：；联立直线方程与抛物线方程，得到韦达定理的形式；利用可得，结合韦达定理可求得；根据弦长公式可求得结果.【详解】（1）设直线方程为：，，由抛物线焦半径公式可知：

联立得：则

，解得：直线的方程为：，即：（2）设，则可设直线方程为：联立得：则

，

，

则19．（2023·北京·高考真题（理））已知抛物线C：x2=−2py经过点（2，−1）．（Ⅰ）求抛物线C的方程及其准线方程；（Ⅱ）设O为原点，过抛物线C的焦点作斜率不为0的直线l交抛物线C于两点M，N，直线y=−1分别交直线OM，ON于点A和点B.求证：以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点．答案：(Ⅰ)，；(Ⅱ)见解析.分析：(Ⅰ)由题意结合点的坐标可得抛物线方程，进一步可得准线方程；(Ⅱ)联立准线方程和抛物线方程，结合韦达定理可得圆心坐标和圆的半径，从而确定圆的方程，最后令x=0即可证得题中的结论.【详解】(Ⅰ)将点代入抛物线方程：可得：，故抛物线方程为：，其准线方程为：.(Ⅱ)很明显直线的斜率存在，焦点坐标为，设直线方程为，与抛物线方程联立可得：.故：.设，则，直线的方程为，与联立可得：，同理可得，易知以AB为直径的圆的圆心坐标为：，圆的半径为：，且：，，则圆的方程为：，令整理可得：，解得：，即以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点.20．(2023·全国·高考真题（理））设抛物线的焦点为F，点，过F的直线交C于M，N两点．当直线MD垂直于x轴时，．(1)求C的方程；(2)设直线与C的另一个交点分别为A，B，记直线的倾斜角分别为．当取得最大值时，求直线AB的方程．答案：(1)；(2).分析：（1）由抛物线的定义可得，即可得解；（2）设点的坐标及直线，由韦达定理及斜率公式可得，再由差角的正切公式及基本不等式可得，设直线，结合韦达定理可解.（1）抛物线的准线为，当与x轴垂直时，点M的横坐标为p，此时，所以，所以抛物线C的方程为；（2）设，直线，由可得，，由斜率公式可得，，直线，代入抛物线方程可得，，所以，同理可得，所以又因为直线MN、AB的倾斜角分别为，所以，若要使最大，则，设，则，当且仅当即时，等号成立，所以当最大时，，设直线，代入抛物线方程可得，，所以，所以直线.21.（2023·全国·高考真题（理））已知椭圆C1：(a>b>0)的右焦点F与抛物线C2的焦点重合，C1的中心与C2的顶点重合.过F且与x轴垂直的直线交C1于A，B两点，交C2于C，D两点，且|CD|=|AB|.（1）求C1的离心率；（2）设M是C1与C2的公共点，若|MF|=5，求C1与C2的标准方程.答案：（1）；（2），.分析：（1）求出、，利用可得出关于、的齐次等式，可解得椭圆的离心率的值；（2）[方法四]由（1）可得出的方程为，联立曲线与的方程，求出点的坐标，利用抛物线的定义结合可求得的值，进而可得出与的标准方程.【详解】（1），轴且与椭圆相交于、两点，则直线的方程为，联立，解得，则，抛物线的方程为，联立，解得，，，即，，即，即，，解得，因此，椭圆的离心率为；（2）[方法一]：椭圆的第二定义由椭圆的第二定义知，则有，所以，即．又由，得．从而，解得．所以．故椭圆与抛物线的标准方程分别是．[方法二]：圆锥曲线统一的极坐标公式以为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．由（Ⅰ）知，又由圆锥曲线统一的极坐标公式，得，由，得，两式联立解得．故的标准方程为，的标准方程为．[方法三]：参数方程由（1）知，椭圆的方程为，所以的参数方程为x=2c⋅cosθ,y=3将它代入抛物线的方程并化简得，解得或（舍去），所以，即点M的坐标为．又，所以由抛物线焦半径公式有，即，解得．故的标准方程为，的标准方程为．[方法四]【最优解】：利用韦达定理由（1）知，，椭圆的方程为，联立，消去并整理得，解得或（舍去），由抛物线的定义可得，解得.因此，曲线的标准方程为，曲线的标准方程为.【整体点评】(2)方法一：椭圆的第二定义是联系准线与离心率的重要工具，涉及离心率的问题不妨考虑使用第二定义，很多时候会使得问题简单明了.方法二：圆锥曲线统一的极坐标公式充分体现了圆锥曲线的统一特征，同时它也是解决圆锥曲线问题的一