高考数学一轮复习题型讲解+专题训练(新高考专用)专题25正(余)弦定理的应用(原卷版+解析)VIP

2023高考一轮复习讲与练专题25正（余）弦定理的应用正（余）弦定理的应用正（余）弦定理的应用求边求角求面积练高考明方向1.(2023·新高考Ⅱ卷T18）记的三个内角分别为A，B，C，其对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为，已知．（1）求的面积；（2）若，求b．2.(2023·全国乙（文）T17）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c﹐已知．（1）若，求C；（2）证明：3.(2023·全国乙（理）T17）记的内角的对边分别为，已知．（1）证明：；（2）若，求的周长．4.(2023·北京卷T16）在中，．（1）求；（2）若，且的面积为，求的周长．5.(2023·浙江卷T18）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知．（1）求的值；（2）若，求的面积．6.(2023·浙江卷T11）我国南宋著名数学家秦九韶，发现了从三角形三边求面积的公式，他把这种方法称为“三斜求积”，它填补了我国传统数学的一个空白．如果把这个方法写成公式，就是，其中a，b，c是三角形的三边，S是三角形的面积．设某三角形的三边，则该三角形的面积___________．7．(2023年高考全国甲卷理科)2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848．86(单位：m)，三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一．如图是三角高程测量法的一个示意图，现有A．B．C三点，且A．B．C在同一水平面上的投影满足，．由C点测得B点的仰角为，与的差为100；由B点测得A点的仰角为，则A．C两点到水平面的高度差约为() ()A．346 B．373 C．446 D．4738．(2023·天津高考)在△ABC，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知sinA∶sinB∶sinC＝2∶1∶eq\r(2)，b＝eq\r(2).(1)求a的值；(2)求cosC的值；(3)求sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2C－\f(π,6)))的值．9、(2023·新高考Ⅱ卷)在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，b＝a＋1，c＝a＋2.(1)若2sinC＝3sinA，求△ABC的面积；(2)是否存在正整数a，使得△ABC为钝角三角形？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．10．(2023·全国乙卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为eq\r(3)，B＝60°，a2＋c2＝3ac，则b＝________.11．(2023·浙江高考)在△ABC中，∠B＝60°，AB＝2，M是BC的中点，AM＝2eq\r(3)，则AC＝______，cos∠MAC＝________.12．(2023年高考数学课标Ⅲ卷理科)在△ABC中，cosC=，AC=4，BC=3，则cosB= ()A． B． C． D．13．(2023年高考数学课标全国Ⅰ卷理科)的内角的对边分别为．设．(1)求；(2)若，求．14．(2023年高考数学课标Ⅲ卷（理）)的内角的对边分别为，若的面积为，则 ()A． B． C． D．15．(2023年高考数学课标Ⅱ卷（理）)在中，，，，则 ()A． B． C． D．16．(2023高考数学课标Ⅲ卷理科)在△ABC中,,边上的高等于,则 ()A． B． C． D．17．(2023高考数学课标2理科)钝角三角形ABC的面积是，AB=1，BC=，则AC= ()A．5 B． C．2 D．118．(2023年高考全国乙卷理科)记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为，，，则________．19．(2023年高考数学课标全国Ⅱ卷理科)的内角，，的对边分别为，，.若，，，则的面积为．20、【2019年高考浙江卷】在中，，，，点在线段上，若，则___________，___________．21.【2019年高考天津卷理数】在中，内角所对的边分别为．已知，．（1）求的值；（2）求的值．22．(2023年高考数学新课标Ⅰ卷理科)的内角的对边分别为,已知的面积为．(1)求;(2)若,,求的周长．23．(2023年高考数学课标Ⅲ卷理科)的内角的对边分别为．已知，，．(1)求；(2)设为边上一点，且，求的面积．24．(2023高考数学课标Ⅰ卷)的内角的对边分别为，已知(=1\*ROMANI)求；(=2\*ROMANII)若，的面积为，求的周长．25．(2023高考数学课标Ⅱ卷理科)的内角的对边分别为，若，，，则．讲典例备高考类型一、正（余）弦定理的基本应用基础知识：1．余、正弦定理的内容及其变形在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC的外接圆半径，则内容变形余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos_A；b2＝c2＋a2－2cacos_B；c2＝a2＋b2－2abcos_CcosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)；cosB＝eq\f(c2＋a2－b2,2ac)；cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)正弦定理eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝2R(1)a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC；(2)a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC；(3)eq\f(a＋b＋c,sinA＋sinB＋sinC)＝eq\f(a,sinA)＝2R2、主要结论：(1)在△ABC中，A＋B＋C＝π.变形：eq\f(A＋B,2)＝eq\f(π,2)－eq\f(C,2).(2)在△ABC中，内角A，B，C成等差数列⇔B＝eq\f(π,3)，A＋C＝eq\f(2π,3). B.(3)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．(4)有关三角形内角的三角函数关系式：sin(A＋B)＝sinC；cos(A＋B)＝－cosC；tan(A＋B)＝－tanC；sineq\f(A＋B,2)＝coseq\f(C,2)；coseq\f(A＋B,2)＝sineq\f(C,2).(5)大边对大角，大角对大边，如a＞b⇔A＞B⇔sinA＞sin(6)在斜△ABC中，tanA＋tanB＋tanC＝tanA·tanB·tanC.(7)三角形射影定理：在△ABC中，a＝bcosC＋ccosB；b＝acosC＋ccosA；c＝bcosA＋acosB.基本题型：1．（求角的大小）在中，内角的对边分别是，若，，则____.2．（求角的函数值）在中，角，，的对边，，满足，且，则=（）A． B． C． D．03、（求三角形的边长）已知a，b，c分别为锐角△ABC三个内角A，B，C的对边，若sinA＝eq\f(2\r(2),3)，sinB>sinC，a＝3，S△ABC＝2eq\r(2)，则b的值为()A．2或3 B．2C．3 D．64、（求三角形的高）在中，，，，则边上的高为（）A． B．2 C． D．5、（多选题）已知在中，角，，的对边分别为，，，则下列四个论断中正确的是（）A.若，则；B.`若，，，则满足条件的三角形共有两个；C.若，，成等差数列，，，成等比数列，则为正三角形；D.若，，的面积，则.基本方法：利用余弦定理可解决以下两类三角形问题：一是已知两边和它们的夹角，求其他边与角；二是已知三边求各个角．由于这两种情形下的三角形是唯一确定的，所以其解也是唯一的．利用正弦定理可解决以下两类三角形问题：一是已知两角和一角的对边，求其他边与角；二是已知两边和一边的对角，求其他边与角(该三角形具有不唯一性，常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断)．类型二、求三角形的面积基础知识：1．三角形常用面积公式(1)S＝eq\f(1,2)a·ha(ha表示边a上的高)；(2)S＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)acsinB＝eq\f(1,2)bcsinA；(3)S＝eq\f(1,2)r(a＋b＋c)(r为内切圆半径)．基本题型：1．已知，，分别为内角，，的对边，，，则的面积为（）A． B．2 C． D．2．在中，面积，则（）A． B． C． D．3．△的内角的对边分别为，已知，，则△的面积为________．4．已知分别为三个内角的对边，(1)求(2)若，的面积为，求．5、在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并加以解答.已知的内角，，所对的边分别是，，，若______.（1）求角；（2）若，求周长的最小值，并求出此时的面积.基本方法：与三角形面积有关问题的解题策略(1)利用正弦、余弦定理解三角形，求出三角形的相关边、角之后，直接求三角形的面积；(2)把面积作为已知条件之一，与正弦、余弦定理结合求出三角形的其他量．类型三、判断三角形的形状基本题型：1．在中，，，的对边分别为，，，，则的形状一定是（）A．正三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形2．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a，b，c成等差数列，设△ABC的面积为S，若accosB＝eq\f(2\r(3),3)S，则△ABC的形状为()A．直角三角形 B．钝角三角形C．等边三角形 D．等腰直角三角形3、（多选题）在中，若，则的形状A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．锐角三角形4．已知中，三内角满足，三边满足，则是（）A．直角三角形B．等腰直角三角形C．等边三角形 D．钝角三角形5．对于，有如下四个命题:①若，则为等腰三角形；②若，则是直角三角形；③若，则是钝角三角形；④若，则是等边三角形.其中正确的命题序号是6．在中，角，，所对的边分别是，，，且（1）若，，求；（2）若，试判断的形状.基本方法：1．判定三角形形状的途径：(1)化边为角，通过三角变换找出角之间的关系；(2)化角为边，通过代数变形找出边之间的关系，正(余)弦定理是转化的桥梁．2．无论使用哪种方法，都不要随意约掉公因式，要移项提取公因式，否则会有漏掉一种形状的可能．注意挖掘隐含条件，重视角的范围对三角函数值的限制．新预测破高考1.（多选题）在中，，，，则角的值可以是A． B． C． D．2．设的内角所对边的长分别为，若,则角=（）A． B．C． D．3．在中，若，则（）A． B． C． D．4．(多选)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝3，b＝2，sinB＝sin2A，则()A．sinB＝eq\f(4\r(2),9) B．cosA＝－eq\f(1,3)C．c＝3 D．S△ABC＝2eq\r(2)5．如果的三个内角的余弦值分别等于的三个内角的正弦值，则A．和都是锐角三角形B．和都是钝角三角形C．是钝角三角形，是锐角三角形D．是锐角三角形，是钝角三角形6．在中，角所对的边分别为，表示的面积，若，，则等于()A．90° B．60°C．45° D．30°7．设的内角所对的边分别为，且，已知的面积等于，，则的值为（）A． B． C． D．8．在中，角的对边分别是，，则的形状为A．直角三角形 B．等腰三角形或直角三角形C．等腰直角三角形 D．正三角形9．已知为的三个内角的对边，向量，若，则内角A的大小为（）A． B． C． D．10．(多选)在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a＝eq\r(10)，a2＋b2－c2＝absinC，acosB＋bsinA＝c，则下列结论正确的是()A．tanC＝2 B．A＝eq\f(π,4)C．b＝eq\r(2) D．△ABC的面积为611．在中，已知，则该的形状为（）A．等腰三角形 B．直角三角形 C．正三角形 D．等腰或直角三角形12．在中，内角、、所对的边分别为、、，为的面积，，且，则的大小为（）A． B． C． D．13．在中，角所对的边分别为，且满足．，的面积为1，则边=（）A． B．4 C． D．.14．在中，内角，，所对的边分别为，，.若，，，则____.15．在△中，分别为角的对边，已知，，面积，则________.16．在中，则的值等于________.17．在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别是，向量＝(a－c，b＋c)，＝(b－c，a)，且.（1）求B；（2）若b＝，cos＝，求a.18．在中，内角所对的边分别为，已知．（1）证明：；（2）若的面积，求角的大小．19．在中，角，，的对边分别为，，，已知.（1）求的值；（2）若，，求的值20、已知在△ABC中，三边a，b，c分别对应三个内角A，B，C，且eq\f(a,c＋b－a)＝eq\f(c－b＋a,b).(1)求角C的大小；(2)当△ABC外接圆半径R＝1时，求△ABC面积的最大值，并判断此时△ABC的形状．2023高考一轮复习讲与练专题25正（余）弦定理的应用正（余）弦定理的应用正（余）弦定理的应用求边求角求面积练高考明方向1.(2023·新高考Ⅱ卷T18）记的三个内角分别为A，B，C，其对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为，已知．（1）求的面积；（2）若，求b．答案：（1）（2）【解析】分析：（1）先表示出，再由求得，结合余弦定理及平方关系求得，再由面积公式求解即可；（2）由正弦定理得，即可求解.【小问1详解】由题意得，则，即，由余弦定理得，整理得，则，又，则，，则；【小问2详解】由正弦定理得：，则，则，.2.(2023·全国乙（文）T17）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c﹐已知．（1）若，求C；（2）证明：答案：（1）；（2）证明见解析．【解析】分析：（1）根据题意可得，，再结合三角形内角和定理即可解出；（2）由题意利用两角差的正弦公式展开得，再根据正弦定理，余弦定理化简即可证出．【小问1详解】由，可得，，而，所以，即有，而，显然，所以，，而，，所以．【小问2详解】由可得，，再由正弦定理可得，，然后根据余弦定理可知，，化简得，故原等式成立．3.(2023·全国乙（理）T17）记的内角的对边分别为，已知．（1）证明：；（2）若，求的周长．答案：（1）见解析（2）14分析：（1）利用两角差的正弦公式化简，再根据正弦定理和余弦定理化角为边，从而即可得证；（2）根据（1）的结论结合余弦定理求出，从而可求得，即可得解.【小问1详解】证明：因为，所以，所以，即，所以；【小问2详解】因为，由（1）得，

由余弦定理可得，则，所以，故，所以，所以的周长为.4.(2023·北京卷T16）在中，．（1）求；（2）若，且的面积为，求的周长．答案：（1）（2）【解析】分析：（1）利用二倍角的正弦公式化简可得的值，结合角的取值范围可求得角的值；（2）利用三角形的面积公式可求得的值，由余弦定理可求得的值，即可求得的周长.【小问1详解】因为，则，由已知可得，可得，因此，.【小问2详解】由三角形的面积公式可得，解得.由余弦定理可得，，所以，的周长为.5.(2023·浙江卷T18）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知．（1）求的值；（2）若，求的面积．答案：（1）；（2）．【解析】分析：（1）先由平方关系求出，再根据正弦定理即可解出；（2）根据余弦定理的推论以及可解出，即可由三角形面积公式求出面积．【小问1详解】由于，，则．因为，由正弦定理知，则．【小问2详解】因为，由余弦定理，得，即，解得，而，，所以的面积．6.(2023·浙江卷T11）我国南宋著名数学家秦九韶，发现了从三角形三边求面积的公式，他把这种方法称为“三斜求积”，它填补了我国传统数学的一个空白．如果把这个方法写成公式，就是，其中a，b，c是三角形的三边，S是三角形的面积．设某三角形的三边，则该三角形的面积___________．答案：.分析：根据题中所给的公式代值解出．【详解】因为，所以．7．(2023年高考全国甲卷理科)2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848．86(单位：m)，三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一．如图是三角高程测量法的一个示意图，现有A．B．C三点，且A．B．C在同一水平面上的投影满足，．由C点测得B点的仰角为，与的差为100；由B点测得A点的仰角为，则A．C两点到水平面的高度差约为() ()A．346 B．373 C．446 D．473答案：B解析：过作，过作，故，由题，易知为等腰直角三角形，所以．所以．因为，所以在中，由正弦定理得：，而，所以，所以．8．(2023·天津高考)在△ABC，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知sinA∶sinB∶sinC＝2∶1∶eq\r(2)，b＝eq\r(2).(1)求a的值；(2)求cosC的值；(3)求sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2C－\f(π,6)))的值．【解析】(1)∵sinA∶sinB∶sinC＝2∶1∶eq\r(2)，由正弦定理可得a∶b∶c＝2∶1∶eq\r(2)，∵b＝eq\r(2)，∴c＝2，a＝2eq\r(2).(2)由余弦定理可得cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq\f(8＋2－4,2×2\r(2)×\r(2))＝eq\f(3,4).(3)∵cosC＝eq\f(3,4)，∴sinC＝eq\r(1－cos2C)＝eq\f(\r(7),4)，∴sin2C＝2sinCcosC＝2×eq\f(\r(7),4)×eq\f(3,4)＝eq\f(3\r(7),8)，cos2C＝2cos2C－1＝2×eq\f(9,16)－1＝eq\f(1,8)，∴sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2C－\f(π,6)))＝sin2Ccoseq\f(π,6)－cos2Csineq\f(π,6)＝eq\f(3\r(21)－1,16).9、(2023·新高考Ⅱ卷)在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，b＝a＋1，c＝a＋2.(1)若2sinC＝3sinA，求△ABC的面积；(2)是否存在正整数a，使得△ABC为钝角三角形？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．【解析】(1)由2sinC＝3sinA及正弦定理可得2c＝3a，结合b＝a＋1，c＝a＋2，解得a＝4，b＝5，c＝6.在△ABC中，由余弦定理得cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq\f(16＋25－36,40)＝eq\f(1,8)，所以sinC＝eq\r(1－cos2C)＝eq\f(3\r(7),8)，S△ABC＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)×4×5×eq\f(3\r(7),8)＝eq\f(15\r(7),4).(2)设存在正整数a满足条件，由已知c>b>a，所以∠C为钝角，所以cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)<0⇒a2＋b2<c2⇒a2＋(a＋1)2<(a＋2)2⇒(a＋1)(a－3)<0，因为a为正整数，所以a＝1,2.当a＝1时，b＝2，c＝3，不能构成三角形，舍去．当a＝2时，b＝3，c＝4，满足条件．综上，当a＝2时，△ABC为钝角三角形．10．(2023·全国乙卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为eq\r(3)，B＝60°，a2＋c2＝3ac，则b＝________.答案：2eq\r(2)解析：由题意，得S△ABC＝eq\f(1,2)acsinB＝eq\r(3)，即eq\f(1,2)ac·eq\f(\r(3),2)＝eq\r(3)，解得ac＝4.由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accosB＝3ac－2ac·eq\f(1,2)＝8，解得b＝2eq\r(2)(负值已舍去)．11．(2023·浙江高考)在△ABC中，∠B＝60°，AB＝2，M是BC的中点，AM＝2eq\r(3)，则AC＝______，cos∠MAC＝________.答案：2eq\r(13)eq\f(2\r(39),13)解析：在△ABM中，由余弦定理，得AM2＝AB2＋BM2－2BM·ABcosB，即(2eq\r(3))2＝22＋BM2－2BM·2cos60°，则BM2－2BM－8＝0，解得BM＝4(负值已舍去)．又点M是BC的中点，所以BC＝2BM＝8.在△ABC中，由余弦定理，得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcosB＝22＋82－2×2×8×cos60°＝52，所以AC＝2eq\r(13)(负值已舍去)．12．(2023年高考数学课标Ⅲ卷理科)在△ABC中，cosC=，AC=4，BC=3，则cosB= ()A． B． C． D．答案：A解析：在中，，，根据余弦定理：,可得，即,由,故．13．(2023年高考数学课标全国Ⅰ卷理科)的内角的对边分别为．设．(1)求；(2)若，求．解析：（1）由已知得，故由正弦定理得．由余弦定理得．因为，所以．（2）由（1）知，由题设及正弦定理得，即，可得．由于，所以，故．14．(2023年高考数学课标Ⅲ卷（理）)的内角的对边分别为，若的面积为，则 ()A． B． C． D．答案：C解析：由余弦定理可得，所以由所以，而，所以，故选C．15．(2023年高考数学课标Ⅱ卷（理）)在中，，，，则 ()A． B． C． D．答案：A解析：因为，所以，所以，故选A．16．(2023高考数学课标Ⅲ卷理科)在△ABC中,,边上的高等于,则 ()A． B． C． D．答案：C【解析】设边上的高线为,则,所以,.由余弦定理,知,故选C.17．(2023高考数学课标2理科)钝角三角形ABC的面积是，AB=1，BC=，则AC= ()A．5 B． C．2 D．1答案：B解析：有面积公式得：，解得，因为钝角三角形，所以，由余弦定理得：，所以，选B。18．(2023年高考全国乙卷理科)记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为，，，则________．答案：解析：由题意，，所以，所以，解得（负值舍去）．19．(2023年高考数学课标全国Ⅱ卷理科)的内角，，的对边分别为，，.若，，，则的面积为．答案：【解析】由余弦定理得，所以，即，解得（舍去），所以，20、【2019年高考浙江卷】在中，，，，点在线段上，若，则___________，___________．答案：，【解析】由正弦定理有：，而,，，所以..【名师点睛】本题主要考查解三角形问题，即正弦定理、三角恒等变换、数形结合思想及函数方程思想.在中应用正弦定理，建立方程，进而得解.解答解三角形问题，要注意充分利用图形特征.21.【2019年高考天津卷理数】在中，内角所对的边分别为．已知，．（1）求的值；（2）求的值．答案：（1）；（2）.【解析】（1）在中，由正弦定理，得，又由，得，即．又因为，得到，．由余弦定理可得．由（1）可得，从而，，故．22．(2023年高考数学新课标Ⅰ卷理科)的内角的对边分别为,已知的面积为．(1)求;(2)若,,求的周长．答案：(1);(2)的周长为．分析：(1)由三角形面积公式建立等式,再利用正弦定理将边化成角,从而得出的值;(2)由和,计算出,从而求出角,根据题设和余弦定理可以求出和的值,从而可求出的周长．【解析】(1)由题设得,即．由正弦定理得．故．(2)由题设及(1)得,即．所以,故．由题设得,即．由余弦定理得,即,得．故的周长为．23．(2023年高考数学课标Ⅲ卷理科)的内角的对边分别为．已知，，．(1)求；(2)设为边上一点，且，求的面积．答案：(1);(2)【解析】(1)由可得,因为,故．由余弦定理可知:即整理可得,解得(舍去)或．(2)法一:设,则在中,由勾股定理可得在中,有,由余弦定理可得即,即所以,解得所以．法二:依题意易知,又因为,所以所以．法三:∵,由余弦定理．∵,即为直角三角形,则,得．由勾股定理．又,则,．24．(2023高考数学课标Ⅰ卷)的内角的对边分别为，已知(=1\*ROMANI)求；(=2\*ROMANII)若，的面积为，求的周长．答案：(=1\*ROMANI)；(=2\*ROMANII)【解答】法一：由已知及正弦定理得：即，故，∴可得，∴(=2\*ROMANII) 由已知得，，又所以由已知及余定理得：，，从而∴周长为．法二：(=1\*ROMANI)由正弦定理得：，∵，∴∴，∵∴(=2\*ROMANII) 由余弦定理得：，，∴∴，∴周长为25．(2023高考数学课标Ⅱ卷理科)的内角的对边分别为，若，，，则．答案：【解析】由平方关系可得：所以再由正弦定理得：．讲典例备高考类型一、正（余）弦定理的基本应用基础知识：1．余、正弦定理的内容及其变形在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC的外接圆半径，则内容变形余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos_A；b2＝c2＋a2－2cacos_B；c2＝a2＋b2－2abcos_CcosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)；cosB＝eq\f(c2＋a2－b2,2ac)；cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)正弦定理eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝2R(1)a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC；(2)a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC；(3)eq\f(a＋b＋c,sinA＋sinB＋sinC)＝eq\f(a,sinA)＝2R2、主要结论：(1)在△ABC中，A＋B＋C＝π.变形：eq\f(A＋B,2)＝eq\f(π,2)－eq\f(C,2).(2)在△ABC中，内角A，B，C成等差数列⇔B＝eq\f(π,3)，A＋C＝eq\f(2π,3). B.(3)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．(4)有关三角形内角的三角函数关系式：sin(A＋B)＝sinC；cos(A＋B)＝－cosC；tan(A＋B)＝－tanC；sineq\f(A＋B,2)＝coseq\f(C,2)；coseq\f(A＋B,2)＝sineq\f(C,2).(5)大边对大角，大角对大边，如a＞b⇔A＞B⇔sinA＞sin(6)在斜△ABC中，tanA＋tanB＋tanC＝tanA·tanB·tanC.(7)三角形射影定理：在△ABC中，a＝bcosC＋ccosB；b＝acosC＋ccosA；c＝bcosA＋acosB.基本题型：1．（求角的大小）在中，内角的对边分别是，若，，则____.答案：【解析】根据正弦定理：可得，根据余弦定理：，由已知可得：，故可联立方程：，解得：.由。2．（求角的函数值）在中，角，，的对边，，满足，且，则=（）A． B． C． D．0答案：C【解析】根据正弦定理：，，，故，，即，即，，故，故.3、（求三角形的边长）已知a，b，c分别为锐角△ABC三个内角A，B，C的对边，若sinA＝eq\f(2\r(2),3)，sinB>sinC，a＝3，S△ABC＝2eq\r(2)，则b的值为()A．2或3 B．2C．3 D．6答案：C【解析】因为△ABC为锐角三角形，所以cosA＝eq\r(1－sin2A)＝eq\f(1,3)，由余弦定理得cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq\f(b2＋c2－9,2bc)＝eq\f(1,3)①，因为S△ABC＝eq\f(1,2)bcsinA＝eq\f(1,2)bc×eq\f(2\r(2),3)＝2eq\r(2)，所以bc＝6②，将②代入①得eq\f(b2＋c2－9,12)＝eq\f(1,3)，则b2＋c2＝13③，由sinB>sinC得b>c，联立②③得b＝3，c＝2.4、（求三角形的高）在中，，，，则边上的高为（）A． B．2 C． D．答案：C【解析】过作，交的延长线于.由于，所以为钝角，且，所以.在三角形中，由正弦定理得，即，所以.在中有，即边上的高为.5、（多选题）已知在中，角，，的对边分别为，，，则下列四个论断中正确的是（）A.若，则；B.`若，，，则满足条件的三角形共有两个；C.若，，成等差数列，，，成等比数列，则为正三角形；D.若，，的面积，则.答案：AC【解析】对于①,由正弦定理得,即,故,所以正确.对于②,由余弦定理得解得,故有唯一解,所以错误.对于③.由正弦定理得,而,所以为正三角形,所以正确.对于④:根据面积公式有,此时角应该对应两个解,一个钝角一个锐角,故错误.综上所述①③正确.基本方法：利用余弦定理可解决以下两类三角形问题：一是已知两边和它们的夹角，求其他边与角；二是已知三边求各个角．由于这两种情形下的三角形是唯一确定的，所以其解也是唯一的．利用正弦定理可解决以下两类三角形问题：一是已知两角和一角的对边，求其他边与角；二是已知两边和一边的对角，求其他边与角(该三角形具有不唯一性，常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断)．类型二、求三角形的面积基础知识：1．三角形常用面积公式(1)S＝eq\f(1,2)a·ha(ha表示边a上的高)；(2)S＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)acsinB＝eq\f(1,2)bcsinA；(3)S＝eq\f(1,2)r(a＋b＋c)(r为内切圆半径)．基本题型：1．已知，，分别为内角，，的对边，，，则的面积为（）A． B．2 C． D．答案：C【解析】由已知及正弦定理得，化简得，∴，，∴，∴，∴．2．在中，面积，则（）A． B． C． D．答案：B【解析】根据，又，则，所以，化简得：①，又②，联立①②，得，解得：.3．△的内角的对边分别为，已知，，则△的面积为________．答案：.【解析】因为，结合正弦定理可得，可得，因为，结合余弦定理，可得，所以为锐角，且，从而求得，所以的面积为，4．已知分别为三个内角的对边，(1)求(2)若，的面积为，求．答案：(1)(2)=2．解析：由及正弦定理得∵，∴∴，又，，∴．(Ⅱ)的面积==,故=4，而故=8，解得=2．5、在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并加以解答.已知的内角，，所对的边分别是，，，若______.（1）求角；（2）若，求周长的最小值，并求出此时的面积.【解析】（1）选①，由正弦定理得，∵，∴，即，∵，∴，∴，∴.选②，∵，，由正弦定理可得，∵，∴，∵，∴.选③，∵，由已知结合正弦定理可得，∴，∴，∵，∴.（2）∵，即，∴，解得，当且仅当时取等号，∴，周长的最小值为6，此时的面积.基本方法：与三角形面积有关问题的解题策略(1)利用正弦、余弦定理解三角形，求出三角形的相关边、角之后，直接求三角形的面积；(2)把面积作为已知条件之一，与正弦、余弦定理结合求出三角形的其他量．类型三、判断三角形的形状基本题型：1．在中，，，的对边分别为，，，，则的形状一定是（）A．正三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形答案：B【解析】因为，所以，所以即，所以因为，所以，因为，所以，即是直角三角形。2．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a，b，c成等差数列，设△ABC的面积为S，若accosB＝eq\f(2\r(3),3)S，则△ABC的形状为()A．直角三角形 B．钝角三角形C．等边三角形 D．等腰直角三角形答案：C【解析】由已知得accosB＝eq\f(\r(3),3)acsinB，得tanB＝eq\r(3)，因为0<B<π，所以B＝eq\f(π,3).因为a，b，c成等差数列，所以a＋c＝2b①，由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accoseq\f(π,3)，所以b2＝a2＋c2－ac②，由①②解得a2＋c2＝2ac，可得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－c))2＝0，所以a＝c＝b，所以△ABC是等边三角形．3、（多选题）在中，若，则的形状A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．锐角三角形答案：ABD【解析】：，．，．，或．，，，或．为直角三角形或等腰三角形．4．已知中，三内角满足，三边满足，则是（）A．直角三角形B．等腰直角三角形C．等边三角形 D．钝角三角形答案：C【解析】法一：中，，因为，则，又，由余弦定理可得，代入可得，化简得，即，而，由等边三角形判定定理可知为等边三角形，法二：因为的三个内角，所以,由及正弦定理得，所以，即，又因为，所以。5．对于，有如下四个命题:①若，则为等腰三角形；②若，则是直角三角形；③若，则是钝角三角形；④若，则是等边三角形.其中正确的命题序号是答案：③④【解析】对于①可推出或，故不正确；②若，显然满足条件，但不是直角三角形；③由正弦定理得，所以,是钝角三角形；④由正弦定理知,由于半角都是锐角，所以，三角形是等边三角形.6．在中，角，，所对的边分别是，，，且（1）若，，求；（2）若，试判断的形状.答案：（1）（2）等边三角形【解析】（1）由，，得.由，得，得.又，∴，∴，∴.（2）由，得，又.得，得，∴.∴，又，∴.所以是等边三角形.基本方法：1．判定三角形形状的途径：(1)化边为角，通过三角变换找出角之间的关系；(2)化角为边，通过代数变形找出边之间的关系，正(余)弦定理是转化的桥梁．2．无论使用哪种方法，都不要随意约掉公因式，要移项提取公因式，否则会有漏掉一种形状的可能．注意挖掘隐含条件，重视角的范围对三角函数值的限制．新预测破高考1.（多选题）在中，，，，则角的值可以是A． B． C． D．答案：AB【解析】：，，，由正弦定理可得，即，所以，，，则或，则角或．2．设的内角所对边的长分别为，若,则角=（）A． B．C． D．答案：B【解析】，由正弦定理可得即；因为，所以，所以，而，所以，故选B.3．在中，若，则（）A． B． C． D．答案：B【解析】因为，所以，设，由余弦定理知，故选B.4．(多选)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝3，b＝2，sinB＝sin2A，则()A．sinB＝eq\f(4\r(2),9) B．cosA＝－eq\f(1,3)C．c＝3 D．S△ABC＝2eq\r(2)答案：ACD【解析】因为sinB＝sin2A，所以sinB＝2sinAcosA，b＝2acosA．又a＝3，b＝2，所以cosA＝eq\f(1,3)，sinA＝eq\f(2\r(2),3)，sinB＝eq\f(4\r(2),9).又b＜a，所以cosB＝eq\f(7,9)，cosC＝－cos(A＋B)＝－cosAcosB＋sinAsinB＝eq\f(1,3)＝cosA，所以c＝a＝3，S△ABC＝eq\f(1,2)bcsinA＝eq\f(1,2)×2×3×eq\f(2\r(2),3)＝2eq\r(2).故选A、C、D.5．如果的三个内角的余弦值分别等于的三个内角的正弦值，则A．和都是锐角三角形B．和都是钝角三角形C．是钝角三角形，是锐角三角形D．是锐角三角形，是钝角三角形答案：D【解析】的三个内角的余弦值均大于0，则是锐角三角形，若是锐角三角形，由，得，那么，，矛盾，所以是钝角三角形，故选D.6．在中，角所对的边分别为，表示的面积，若，，则等于()A．90° B．60°C．45° D．30°答案：C【解析】由和正弦定理，得，即，即，，则由，得，即；故选C.7．设的内角所对的边分别为，且，已知的面积等于，，则的值为（）A． B． C． D．答案：D【解析】：，由正弦定理可得，，，即，，解得：或（舍去），的面积，解得．8．在中，角的对边分别是，，则的形状为A．直角三角形 B．等腰三角形或直角三角形C．等腰直角三角形 D．正三角形答案：A【解析】因为，所以,,因此9．已知为的三个内角的对边，向量，若，则内角A的大小为（）A． B． C． D．答案：C【解析】因为，所以，所以由正弦定理得．因为内角，所以，所以．因为内角，所以内角．(多选)在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a＝eq\r(10)，a2＋b2－c2＝absinC，acosB＋bsinA＝c，则下列结论正确的是()A．tanC＝2 B．A＝eq\f(π,4)C．b＝eq\r(2) D．△ABC的面积为6答案：ABD【解析】因为a2＋b2－c2＝absinC，所以cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq\f(absinC,2ab)＝eq\f(sinC,2)，所以tanC＝eq\f(sinC,cosC)＝2，故A正确；因为acosB＋bsinA＝c，利用正弦定理可得sinAcosB＋sinBsinA＝sinC＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB，即sinBsinA＝cosAsinB，因为B∈(0，π)，所以sinB≠0，所以tanA＝1，又A∈(0，π)，所以A＝eq\f(π,4)，故B正确；因为tanC＝2，C∈(0，π)，所以sinC＝eq\f(2\r(5),5)，cosC＝eq\f(\r(5),5)，所以sinB＝sin(A＋C)＝sinAcosC＋cosA·sinC＝eq\f(\r(2),2)×eq