高考数学一轮复习题型讲解+专题训练(新高考专用)专题20任意角和弧度制、三角函数的概念(原卷版+解析)

2023高考一轮复习讲与练专题20任意角和弧度制、三角函数的概念讲典例备高考任意角和弧度制、三角函数的概念任意角和弧度制、三角函数的概念任意角的概念角的分类弧度制任意角三角函数定义轴线角象限角终边相同的角弧长及扇形面积公式弧度制与角度制换算1弧度角余弦函数正弦函数正切函数旋转方向终边位置旋转方向终边位置零角正角负角零角正角负角类型一、终边相同角的判断基础知识：角的概念的推广：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．2、终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，构成的角的集合是{β|β＝k·360°＋α，k∈Z}或{β|β＝α＋2kπ，k∈Z}。3．常用结论(1)α，β终边相同⇔β＝α＋2kπ，k∈Z.(2)α，β终边关于x轴对称⇔β＝－α＋2kπ，k∈Z.(3)α，β终边关于y轴对称⇔β＝π－α＋2kπ，k∈Z.(4)α，β终边关于原点对称⇔β＝π＋α＋2kπ，k∈Z.基本题型：1、下列与角eq\f(9π,4)的终边相同的角的表达式中正确的是()A.2kπ＋45°(k∈Z) B.k·360°＋eq\f(9π,4)(k∈Z)k·360°－315°(k∈Z) D.kπ＋eq\f(5π,4)(k∈Z)2、若角θ的终边与eq\f(6π,7)角的终边相同，则在[0,2π)内终边与eq\f(θ,3)角的终边相同的角的个数是()A．3 B．4C．5 D．63、终边在直线y＝eq\r(3)x上，且在[－2π，2π)内的角α的集合为______________________.基本方法：1．求终边在某直线上角的4个步骤(1)数形结合，在平面直角坐标系中画出该直线；(2)按逆时针方向写出[0,2π)内的角；(3)再由终边相同角的表示方法写出满足条件角的集合；(4)求并集化简集合．2、象限角和终边相同的角的判断及表示方法1．若要确定一个绝对值较大的角所在的象限，一般是先将角化为2kπ＋α(0≤α<2π)(k∈Z)的形式，然后再根据α所在的象限予以判断。2．利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k赋值来求得所需角。类型二、象限角的判断基础知识：1、象限角：使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限.叫做轴线角。2、第一象限角：{α|k·360°<α<k·360°＋90°，k∈Z}第二象限角：{α|k·360°＋90°<α<k·360°＋180°，k∈Z}第三象限角：{α|k·360°＋180°<α<k·360°＋270°，k∈Z}第四象限角：{α|k·360°－90°<α<k·360°，k∈Z}3、区分两个概念①第一象限角未必是锐角，但锐角一定是第一象限角．②不相等的角未必终边不相同，终边相同的角也未必相等．基本题型：1．(多选)已知角2α的终边在x轴的上方，那么角α可能是()A．第一象限角 B．第二象限角C．第三象限角 D．第四象限角2．设α角属于第二象限，且eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(cos\f(α,2)))＝－coseq\f(α,2)，则eq\f(α,2)角属于()A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限3．若α是第四象限角，则eq\f(α,2)－eq\f(π,2)在第________象限．基本方法：1．利用终边相同的角的集合求适合某些条件的角先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k赋值来求得所需的角．2．确定kα，eq\f(α,k)(k∈N*)的终边位置3步骤(1)用终边相同角的形式表示出角α的范围；(2)再写出kα或eq\f(α,k)的范围；(3)然后根据k的可能取值讨论确定kα或eq\f(α,k)的终边所在的位置．3、判断象限角的2种方法：图象法：在平面直角坐标系中，作出已知角并根据象限角的定义直接判断已知角是第几象限角转化法：先将已知角化为k·360°＋α(0°≤α<360°，k∈Z)的形式，即找出与已知角终边相同的角α，再由角α终边所在的象限判断已知角是第几象限角。类型三、弧度制及弧度制下的弧长与扇形面积公式基础知识：1、(1)1弧度的角：长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角。(2)角α的弧度数：如果半径为r的圆的圆心角α所对弧的长为l，那么角α的弧度数的绝对值是|α|＝eq\f(l,r)。(3)角度与弧度的换算：①1°＝eq\f(π,180)rad；②1rad＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(180,π)))°。(4)弧长、扇形面积的公式：设扇形的弧长为l，圆心角大小为α(rad)，半径为r，则l＝|α|r，扇形的面积为S＝eq\f(1,2)lr＝eq\f(1,2)|α|·r2。2、(1)把弧度作为单位表示角的大小时，“弧度”两字可以省略不写，但把度(°)作为单位表示角时，度(°)就一定不能省略．(2)正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零．(3)角度制与弧度制可利用180°＝πrad进行互化，在同一个式子中，采用的度量制必须一致，不可混用．基本题型：1.一扇形的圆心角为eq\f(2π,3)，则此扇形的面积与其内切圆的面积的比值为________.2、《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积＝eq\f(1,2)(弦×矢＋矢2)，弧田(如图)由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差。现有圆心角为eq\f(2π,3)，半径等于4米的弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面积约是()A．6平方米 B．9平方米C．12平方米 D．15平方米3、在周长为4π的扇形中，当扇形的面积最大时，其弧长为________．基本方法：1、应用弧度制解决问题的方法(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度．(2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题，利用配方法使问题得到解决，有时也利用基本不等式及导数求最值．(3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形．(4)在解决实际问题时，先读懂题意，明确题干的叙述，然后将所求问题转化为弧度的问题，如角度的表示、弧度制下的弧长及扇形面积等，最后回归到实际问题，得到答案．类型四、任意角的三角函数基础知识：任意角的三角函数定义：设α是一个任意角，α∈R，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么y叫做α的正弦函数，记作sinα，即y＝sinα，x叫做α的余弦函数，记作cosα，即x＝cosα，eq\f(y,x)叫做α的正切函数，记作tanα，即＝tanα(x≠0)。定义的推广：设P(x，y)是角α终边上异于原点的任一点，它到原点的距离为r(r>0)，那么：sinα＝eq\a\vs4\al(\f(y,r))，cosα＝eq\a\vs4\al(\f(x,r))，tanα＝eq\a\vs4\al(\f(y,x))(x≠0)，基本题型：1．(多选)已知角α终边经过点P(sin120°，tan120°)，则()A．cosα＝eq\f(\r(5),5) B．sin(π＋α)＝－eq\f(4,5)C．tanα＝－2 D．sinα＋cosα＝－eq\f(\r(5),5)2、已知角α的终边与单位圆的交点为Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，y))，则sinα·tanα等于()A.－eq\f(\r(3),3)B.±eq\f(\r(3),3)C.－eq\f(3,2)D.±eq\f(3,2)3．(多选)已知f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(log3x，x＞0，,2x，x≤0，))角α的终边经过点(1,2eq\r(2))，则下列结论正确的是()A．f(cosα)＝－1 B．f(sinα)＝1C．f(f(cosα))＝eq\f(1,2) D．f(f(sinα))＝24.若角α的终边落在直线y＝eq\r(3)x上，角β的终边与单位圆交于点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，m))，且sinα·cosβ<0，则cosα·sinβ＝________.基本方法：1、有关任意角三角函数定义的三种题型及解题方法(1)已知角α的终边上的一点P的坐标，求角α的三角函数值:先求出点P到原点的距离r，再利用三角函数的定义求解(2)已知角α的一个三角函数值和终边上一点P的横(纵)坐标，求与角α有关的三角函数值:先求出点P到原点的距离(带参数)，根据已知三角函数值及三角函数的定义建立方程，求出未知数，从而求解问题(3)已知角α的终边所在的直线方程(y＝kx，k≠0)，求角α的三角函数值:先设出终边上一点P(a，ka)，a≠0，求出点P到原点的距离，再利用三角函数的定义求解。类型四、任意角的三角函数基础知识：1、三个三角函数的性质如下表：三角函数定义域第一象限符号第二象限符号第三象限符号第四象限符号sinαR＋＋－－cosαR＋－－＋tanα{α|α≠kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z}＋－＋－总结一下三角函数值在各象限符号为正的规律.：一全正、二正弦、三正切、四余弦.基本题型：1．(多选)下列选项正确的是()A.cos250°<0 B.sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)))>0C.tan(－672°)>0 D．taneq\f(11π,3)<02．函数的值域是（）A． B． C． D．3．已知在第三、第四象限内，那么的取值范围是______．基本方法：判断三角函数值的符号，关键是确定角的终边所在的象限，然后结合三角函数值在各象限的符号确定所求三角函数值的符号，注意不要忽略角的终边在坐标轴上的情况．新预测破高考1．若为第一象限角，则，，，中必定为正值的有（）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个2.已知扇形的周长是6，面积是2，则扇形的圆心角的弧度数是()A.1B.4C.1或4D.2或43．(多选)在平面直角坐标系xOy中，角α顶点在原点O，以x轴的非负半轴为始边，终边经过点P(1，m)(m<0)，则下列各式的值恒大于0的是()A．eq\f(sinα,tanα) B．cosα－sinαC．sinαcosα D．sinα＋cosα4．与角240°终边相同的角的集合是()A.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α|α＝kπ＋\f(5,3)π，k∈Z)) B.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α|α＝2kπ＋\f(5,3)π，k∈Z))C.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α|α＝kπ＋\f(4,3)π，k∈Z)) D.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α|α＝2kπ＋\f(4,3)π，k∈Z))5、已知角α的始边与x轴的正半轴重合，顶点在坐标原点，角α终边上的一点P到原点的距离为eq\r(2)，若α＝eq\f(π,4)，则点P的坐标为()A．(1，eq\r(2)) B．(eq\r(2)，1)C．(eq\r(2)，eq\r(2)) D．(1,1)6．(多选)下列函数值中符号为负的是()A．sin(－1000°) B．coseq\f(10π,3)C．tan2 D．sin57.设集合M＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(k,2)·180°＋45°，k∈Z))))，N＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(k,4)·180°＋45°，k∈Z))))，那么()A.M＝NB.M⊆NC.N⊆MD.M∩N＝∅8、已知角α的终边过点P(－8m，－6sin30°)，且cosα＝－eq\f(4,5)，则m的值为()A.－eq\f(1,2) B.－eq\f(\r(3),2)C.eq\f(1,2) D.eq\f(\r(3),2)9．在直角坐标系xOy中，角α的始边为x轴的正半轴，顶点为坐标原点O，已知角α的终边l与单位圆交于点A(0.6，m)，将l绕原点逆时针旋转eq\f(π,2)与单位圆交于点B(x，y)，若tanα＝－eq\f(4,3)，则x＝()A．0.6 B．0.8C．－0.6 D．－0.810.已知圆O：x2＋y2＝4与y轴正半轴的交点为M，点M沿圆O顺时针运动eq\f(π,2)弧长到达点N，以ON为终边的角记为α，则tanα等于()A.－1 B.1C.－2 D.211．若角α的顶点为坐标原点，始边在x轴的非负半轴上，终边在直线y＝－eq\r(3)x上，则角α的取值集合是()A.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α|α＝2kπ－\f(π,3)，k∈Z)) B.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α|α＝2kπ＋\f(2π,3)，k∈Z))C.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α|α＝kπ－\f(2π,3)，k∈Z)) D.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α|α＝kπ－\f(π,3)，k∈Z))12.角α的终边在第一象限，则eq\f(sin\f(α,2),\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(sin\f(α,2))))＋eq\f(cos\f(α,2),\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(cos\f(α,2))))的取值集合为()A.{－2,2} B.{0,2}C.{2} D.{0，－2,2}13.若角α的终边在直线y＝－x上，则角α的取值集合为()A.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(α＝k·2π－\f(π,4)，k∈Z))))B.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(α＝k·2π＋\f(3π,4)，k∈Z))))C.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(α＝k·π－\f(3π,4)，k∈Z))))D.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(α＝k·π－\f(π,4)，k∈Z))))14．已知角α的顶点在坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上一点M的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(3π,4)，cos\f(3π,4)))，则角α的最小正角为()A．eq\f(π,4) B．eq\f(3π,4)C．eq\f(5π,4) D．eq\f(7π,4)15.已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴非负半轴重合，若A(－1，y)是角θ终边上的一点，且sinθ＝－eq\f(3\r(10),10)，则y＝________.16、若扇形的周长为10，面积为4，则该扇形的圆心角为_________。17．已知角α为第一象限角，则eq\f(α,2)是第________象限角．18、已知角α的终边上一点P(－eq\r(3)，m)(m≠0)，且sinα＝eq\f(\r(2)m,4)，则cosα＝________，tanα＝________.19.三星堆古遗址位于四川省广汉市西北的鸭子河南岸，是迄今在西南地区发现的范围最大、延续时间最长、文化内涵最丰富的古蜀文化遗址．青铜太阳轮是三星堆出土器物中最具神秘色彩的器物之一，该文物中央凸起，周围均匀分布了五个芒条，现将该太阳轮的中心记为点A，相邻的两个芒条与圆轮交于B，C两点，如图，某考古工作人员为了估计该太阳轮的圆轮周长，现测得B，C两点间的距离约为51cm，则太阳轮的圆轮周长约为________cm.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(参考数据：π≈3.14，sineq\f(π,5)≈0.6))2023高考一轮复习讲与练专题20任意角和弧度制、三角函数的概念讲典例备高考任意角和弧度制、三角函数的概念任意角和弧度制、三角函数的概念任意角的概念角的分类弧度制任意角三角函数定义轴线角象限角终边相同的角弧长及扇形面积公式弧度制与角度制换算1弧度角余弦函数正弦函数正切函数旋转方向终边位置旋转方向终边位置零角正角负角零角正角负角类型一、终边相同角的判断基础知识：角的概念的推广：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．2、终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，构成的角的集合是{β|β＝k·360°＋α，k∈Z}或{β|β＝α＋2kπ，k∈Z}。3．常用结论(1)α，β终边相同⇔β＝α＋2kπ，k∈Z.(2)α，β终边关于x轴对称⇔β＝－α＋2kπ，k∈Z.(3)α，β终边关于y轴对称⇔β＝π－α＋2kπ，k∈Z.(4)α，β终边关于原点对称⇔β＝π＋α＋2kπ，k∈Z.基本题型：1、下列与角eq\f(9π,4)的终边相同的角的表达式中正确的是()A.2kπ＋45°(k∈Z) B.k·360°＋eq\f(9π,4)(k∈Z)k·360°－315°(k∈Z) D.kπ＋eq\f(5π,4)(k∈Z)答案：C【解析】与角eq\f(9π,4)的终边相同的角可以写成2kπ＋eq\f(9π,4)(k∈Z)或k·360°＋45°(k∈Z)，但是角度制与弧度制不能混用，所以只有答案C正确.2、若角θ的终边与eq\f(6π,7)角的终边相同，则在[0,2π)内终边与eq\f(θ,3)角的终边相同的角的个数是()A．3 B．4C．5 D．6答案：A【解析】因为θ＝eq\f(6π,7)＋2kπ，k∈Z，所以eq\f(θ,3)＝eq\f(2π,7)＋eq\f(2kπ,3)，k∈Z，依题意0≤eq\f(2π,7)＋eq\f(2kπ,3)<2π，k∈Z，得－eq\f(3,7)≤k<eq\f(18,7)，k∈Z，所以k＝0或1或2，所以在[0,2π)内终边与eq\f(θ,3)角的终边相同的角有eq\f(2π,7)，eq\f(20π,21)，eq\f(34π,21)，共3个。3、终边在直线y＝eq\r(3)x上，且在[－2π，2π)内的角α的集合为______________________.答案：eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－\f(5,3)π，－\f(2,3)π，\f(π,3)，\f(4,3)π))【解析】如图，在坐标系中画出直线y＝eq\r(3)x，可以发现它与x轴的夹角是eq\f(π,3)，在[0,2π)内，终边在直线y＝eq\r(3)x上的角有两个：eq\f(π,3)，eq\f(4,3)π；在[－2π，0)内满足条件的角有两个：－eq\f(2,3)π，－eq\f(5,3)π，故满足条件的角α构成的集合为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－\f(5,3)π，－\f(2,3)π，\f(π,3)，\f(4,3)π)).基本方法：1．求终边在某直线上角的4个步骤(1)数形结合，在平面直角坐标系中画出该直线；(2)按逆时针方向写出[0,2π)内的角；(3)再由终边相同角的表示方法写出满足条件角的集合；(4)求并集化简集合．2、象限角和终边相同的角的判断及表示方法1．若要确定一个绝对值较大的角所在的象限，一般是先将角化为2kπ＋α(0≤α<2π)(k∈Z)的形式，然后再根据α所在的象限予以判断。2．利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k赋值来求得所需角。类型二、象限角的判断基础知识：1、象限角：使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限.叫做轴线角。2、第一象限角：{α|k·360°<α<k·360°＋90°，k∈Z}第二象限角：{α|k·360°＋90°<α<k·360°＋180°，k∈Z}第三象限角：{α|k·360°＋180°<α<k·360°＋270°，k∈Z}第四象限角：{α|k·360°－90°<α<k·360°，k∈Z}3、区分两个概念①第一象限角未必是锐角，但锐角一定是第一象限角．②不相等的角未必终边不相同，终边相同的角也未必相等．基本题型：1．(多选)已知角2α的终边在x轴的上方，那么角α可能是()A．第一象限角 B．第二象限角C．第三象限角 D．第四象限角答案：AC【解析】因为角2α的终边在x轴的上方，所以k·360°<2α<k·360°＋180°，k∈Z，则有k·180°<α<k·180°＋90°，k∈Z.故当k＝2n，n∈Z时，n·360°<α<n·360°＋90°，n∈Z，α为第一象限角；当k＝2n＋1，n∈Z时，n·360°＋180°<α<n·360°＋270°，n∈Z，α为第三象限角．2．设α角属于第二象限，且eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(cos\f(α,2)))＝－coseq\f(α,2)，则eq\f(α,2)角属于()A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限答案：C【解析】∵α是第二象限角，∴90°＋k·360<α<180°＋k·360°，k∈Z，∴45°＋k·180°<eq\f(α,2)<90°＋k·180°，k∈Z.当k＝2n，n∈Z时，eq\f(α,2)在第一象限；当k＝2n＋1，n∈Z时，eq\f(α,2)在第三象限，∴eq\f(α,2)在第一象限或在第三象限，∵eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(cos\f(α,2)))＝－coseq\f(α,2)，∴coseq\f(α,2)<0，∴eq\f(α,2)角在第三象限．3．若α是第四象限角，则eq\f(α,2)－eq\f(π,2)在第________象限．答案：一或三【解析】α是第四象限角，则eq\f(3π,2)＋2kπ<α<2π＋2kπ，k∈Z，故eq\f(π,4)＋kπ<eq\f(α,2)－eq\f(π,2)<eq\f(π,2)＋kπ，k∈Z，当k为偶数时，eq\f(α,2)－eq\f(π,2)在第一象限；当k为奇数时，eq\f(α,2)－eq\f(π,2)在第三象限．基本方法：1．利用终边相同的角的集合求适合某些条件的角先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k赋值来求得所需的角．2．确定kα，eq\f(α,k)(k∈N*)的终边位置3步骤(1)用终边相同角的形式表示出角α的范围；(2)再写出kα或eq\f(α,k)的范围；(3)然后根据k的可能取值讨论确定kα或eq\f(α,k)的终边所在的位置．3、判断象限角的2种方法：图象法：在平面直角坐标系中，作出已知角并根据象限角的定义直接判断已知角是第几象限角转化法：先将已知角化为k·360°＋α(0°≤α<360°，k∈Z)的形式，即找出与已知角终边相同的角α，再由角α终边所在的象限判断已知角是第几象限角。类型三、弧度制及弧度制下的弧长与扇形面积公式基础知识：1、(1)1弧度的角：长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角。(2)角α的弧度数：如果半径为r的圆的圆心角α所对弧的长为l，那么角α的弧度数的绝对值是|α|＝eq\f(l,r)。(3)角度与弧度的换算：①1°＝eq\f(π,180)rad；②1rad＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(180,π)))°。(4)弧长、扇形面积的公式：设扇形的弧长为l，圆心角大小为α(rad)，半径为r，则l＝|α|r，扇形的面积为S＝eq\f(1,2)lr＝eq\f(1,2)|α|·r2。2、(1)把弧度作为单位表示角的大小时，“弧度”两字可以省略不写，但把度(°)作为单位表示角时，度(°)就一定不能省略．(2)正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零．(3)角度制与弧度制可利用180°＝πrad进行互化，在同一个式子中，采用的度量制必须一致，不可混用．基本题型：1.一扇形的圆心角为eq\f(2π,3)，则此扇形的面积与其内切圆的面积的比值为________.答案：eq\f(7＋4\r(3),9)【解析】设扇形半径为R，内切圆半径为r.则(R－r)sineq\f(π,3)＝r，即R＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(2\r(3),3)))r.又S扇＝eq\f(1,2)|α|R2＝eq\f(1,2)×eq\f(2π,3)×R2＝eq\f(π,3)R2＝eq\f(7＋4\r(3),9)πr2，所以eq\f(S扇,πr2)＝eq\f(7＋4\r(3),9).2、《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积＝eq\f(1,2)(弦×矢＋矢2)，弧田(如图)由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差。现有圆心角为eq\f(2π,3)，半径等于4米的弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面积约是()A．6平方米 B．9平方米C．12平方米 D．15平方米答案：B【解析】法一：如图，由题意可得∠AOB＝eq\f(2π,3)，OA＝4，在Rt△AOD中，可得∠AOD＝eq\f(π,3)，∠DAO＝eq\f(π,6)，OD＝eq\f(1,2)AO＝eq\f(1,2)×4＝2，于是矢＝4－2＝2。由AD＝AO·sineq\f(π,3)＝4×eq\f(\r(3),2)＝2eq\r(3)，可得弦＝2AD＝2×2eq\r(3)＝4eq\r(3)。所以弧田面积＝eq\f(1,2)(弦×矢＋矢2)＝eq\f(1,2)×(4eq\r(3)×2＋22)＝4eq\r(3)＋2≈9(平方米)。法二：由已知，可得扇形的面积S1＝eq\f(1,2)r2θ＝eq\f(1,2)×42×eq\f(2π,3)＝eq\f(16π,3)，△AOB的面积S2＝eq\f(1,2)×OA×OB×sin∠AOB＝eq\f(1,2)×4×4×sineq\f(2π,3)＝4eq\r(3)。故弧田的面积S＝S1－S2＝eq\f(16π,3)－4eq\r(3)。由π≈3，eq\r(3)≈1.7，可得S≈9(平方米)。3、在周长为4π的扇形中，当扇形的面积最大时，其弧长为________．答案：2π【解析】设扇形的半径为r，弧长为l，则l＋2r＝4π，r＝eq\f(4π－l,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0<l<4π))，则扇形面积S＝eq\f(1,2)lr＝eq\f(1,2)×l×eq\f(4π－l,2)＝－eq\f(1,4)l2＋πl，根据二次函数的性质可知，当l＝－eq\f(π,2×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,4))))＝2π时，S取得最大值．基本方法：1、应用弧度制解决问题的方法(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度．(2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题，利用配方法使问题得到解决，有时也利用基本不等式及导数求最值．(3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形．(4)在解决实际问题时，先读懂题意，明确题干的叙述，然后将所求问题转化为弧度的问题，如角度的表示、弧度制下的弧长及扇形面积等，最后回归到实际问题，得到答案．类型四、任意角的三角函数基础知识：任意角的三角函数定义：设α是一个任意角，α∈R，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么y叫做α的正弦函数，记作sinα，即y＝sinα，x叫做α的余弦函数，记作cosα，即x＝cosα，eq\f(y,x)叫做α的正切函数，记作tanα，即＝tanα(x≠0)。定义的推广：设P(x，y)是角α终边上异于原点的任一点，它到原点的距离为r(r>0)，那么：sinα＝eq\a\vs4\al(\f(y,r))，cosα＝eq\a\vs4\al(\f(x,r))，tanα＝eq\a\vs4\al(\f(y,x))(x≠0)，基本题型：1．(多选)已知角α终边经过点P(sin120°，tan120°)，则()A．cosα＝eq\f(\r(5),5) B．sin(π＋α)＝－eq\f(4,5)C．tanα＝－2 D．sinα＋cosα＝－eq\f(\r(5),5)答案：ACD【解析】∵角α的终边经过点P(sin120°，tan120°)即Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，－\r(3)))，∴|OP|＝eq\r(\f(3,4)＋3)＝eq\f(\r(15),2)(O为原点)，∴sinα＝eq\f(tan120°,\f(\r(15),2))＝－eq\f(2\r(5),5)，可得sin(α＋π)＝－sinα＝eq\f(2\r(5),5)，故B错误；可得cosα＝eq\f(sin120°,\f(\r(15),2))＝eq\f(\r(5),5)，故A正确；可得tanα＝eq\f(sinα,cosα)＝－2，故C正确；可得sinα＋cosα＝－eq\f(\r(5),5)，故D正确．2、已知角α的终边与单位圆的交点为Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，y))，则sinα·tanα等于()A.－eq\f(\r(3),3)B.±eq\f(\r(3),3)C.－eq\f(3,2)D.±eq\f(3,2)答案：C【解析】由OP2＝eq\f(1,4)＋y2＝1，得y2＝eq\f(3,4)，y＝±eq\f(\r(3),2).当y＝eq\f(\r(3),2)时，sinα＝eq\f(\r(3),2)，tanα＝－eq\r(3)，此时，sinα·tanα＝－eq\f(3,2).当y＝－eq\f(\r(3),2)时，sinα＝－eq\f(\r(3),2)，tanα＝eq\r(3)，此时，sinα·tanα＝－eq\f(3,2).所以sinα·tanα＝－eq\f(3,2).3．(多选)已知f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(log3x，x＞0，,2x，x≤0，))角α的终边经过点(1,2eq\r(2))，则下列结论正确的是()A．f(cosα)＝－1 B．f(sinα)＝1C．f(f(cosα))＝eq\f(1,2) D．f(f(sinα))＝2答案：AC【解析】选因为角α的终边经过点(1,2eq\r(2))，所以sinα＝eq\f(2\r(2),3)，cosα＝eq\f(1,3)，所以f(cosα)＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))＝log3eq\f(1,3)＝－1，f(sinα)＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(2),3)))＝log3eq\f(2\r(2),3)＜0，所以f(f(cosα))＝f(－1)＝2－1＝eq\f(1,2)，f(f(sinα))＝2log3eq\f(2\r(2),3).故选A、C.4.若角α的终边落在直线y＝eq\r(3)x上，角β的终边与单位圆交于点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，m))，且sinα·cosβ<0，则cosα·sinβ＝________.答案：±eq\f(\r(3),4)【解析】由角β的终边与单位圆交于点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，m))，得cosβ＝eq\f(1,2)，又由sinα·cosβ<0知，sinα<0，因为角α的终边落在直线y＝eq\r(3)x上，所以角α只能是第三象限角.记P为角α的终边与单位圆的交点，设P(x，y)(x<0，y<0)，则|OP|＝1(O为坐标原点)，即x2＋y2＝1，又由y＝eq\r(3)x得x＝－eq\f(1,2)，y＝－eq\f(\r(3),2)，所以cosα＝x＝－eq\f(1,2)，因为点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，m))在单位圆上，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2＋m2＝1，解得m＝±eq\f(\r(3),2)，所以sinβ＝±eq\f(\r(3),2)，所以cosα·sinβ＝±eq\f(\r(3),4).基本方法：1、有关任意角三角函数定义的三种题型及解题方法(1)已知角α的终边上的一点P的坐标，求角α的三角函数值:先求出点P到原点的距离r，再利用三角函数的定义求解(2)已知角α的一个三角函数值和终边上一点P的横(纵)坐标，求与角α有关的三角函数值:先求出点P到原点的距离(带参数)，根据已知三角函数值及三角函数的定义建立方程，求出未知数，从而求解问题(3)已知角α的终边所在的直线方程(y＝kx，k≠0)，求角α的三角函数值:先设出终边上一点P(a，ka)，a≠0，求出点P到原点的距离，再利用三角函数的定义求解。类型四、任意角的三角函数基础知识：1、三个三角函数的性质如下表：三角函数定义域第一象限符号第二象限符号第三象限符号第四象限符号sinαR＋＋－－cosαR＋－－＋tanα{α|α≠kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z}＋－＋－总结一下三角函数值在各象限符号为正的规律.：一全正、二正弦、三正切、四余弦.基本题型：1．(多选)下列选项正确的是()A.cos250°<0 B.sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)))>0C.tan(－672°)>0 D．taneq\f(11π,3)<0答案：ACD【解析】对于A，250°是第三象限角，所以cos250°<0，故A正确；对于B，－eq\f(π,4)为第四象限角，所以sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)))<0，故B错误；对于C，－672°为第一象限角，所以tan(－672°)>0，故C正确；对于D，eq\f(11π,3)为第四象限角，所以taneq\f(11π,3)<0，故D正确．2．函数的值域是（）A． B． C． D．答案：C【解析】由题意可知：角的终边不能落在坐标轴上，当角终边在第一象限时，当角终边在第二象限时，当角终边在第三象限时，当角终边在第四象限时，因此函数的值域为。3．已知在第三、第四象限内，那么的取值范围是______．答案：【解析】∵角在第三、四象限内，∴，可得，①当时，即时，原不等式可化为，解之得；②当时，即时，原不等式可化为，此不等式组的解集为空集，综上可得，可得的取值范围是，基本方法：判断三角函数值的符号，关键是确定角的终边所在的象限，然后结合三角函数值在各象限的符号确定所求三角函数值的符号，注意不要忽略角的终边在坐标轴上的情况．新预测破高考1．若为第一象限角，则，，，中必定为正值的有（）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个答案：B【解析】因为为第一象限角，所以为第一或二象限角，可得：，而符号不确定，又为第一或三象限角，，可以是正数，也可以是负数，它们的符号均不确定，综上所述，必定为正值的只有一个。2.已知扇形的周长是6，面积是2，则扇形的圆心角的弧度数是()A.1B.4C.1或4D.2或4答案：C【解析】设扇形的半径为r，弧长为l，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2r＋l＝6，,\f(1,2)rl＝2，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(r＝1，,l＝4))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(r＝2，,l＝2.))从而α＝eq\f(l,r)＝eq\f(4,1)＝4或α＝eq\f(l,r)＝eq\f(2,2)＝1.3．(多选)在平面直角坐标系xOy中，角α顶点在原点O，以x轴的非负半轴为始边，终边经过点P(1，m)(m<0)，则下列各式的值恒大于0的是()A．eq\f(sinα,tanα) B．cosα－sinαC．sinαcosα D．sinα＋cosα答案：AB【解析】本题考查三角函数的定义．由题意知sinα<0，cosα>0，tanα<0，则eq\f(sinα,tanα)>0，故A正确；cosα－sinα>0，故B正确；sinαcosα<0，故C错误；sinα＋cosα的符号不确定，故D错误.4．与角240°终边相同的角的集合是()A.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α|α＝kπ＋\f(5,3)π，k∈Z)) B.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α|α＝2kπ＋\f(5,3)π，k∈Z))C.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α|α＝kπ＋\f(4,3)π，k∈Z)) D.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α|α＝2kπ＋\f(4,3)π，k∈Z))答案：D【解析】∵240°＝eq\f(4π,3)，∴与角240°终边相同的角的集合是eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α|α＝2kπ＋\f(4,3)π，k∈Z)).5、已知角α的始边与x轴的正半轴重合，顶点在坐标原点，角α终边上的一点P到原点的距离为eq\r(2)，若α＝eq\f(π,4)，则点P的坐标为()A．(1，eq\r(2)) B．(eq\r(2)，1)C．(eq\r(2)，eq\r(2)) D．(1,1)答案：D【解析】设点P的坐标为(x，y)，则由三角函数的定义得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(sin\f(π,4)＝\f(y,\r(2))，,cos\f(π,4)＝\f(x,\r(2))，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\r(2)cos\f(π,4)＝1，,y＝\r(2)sin\f(π,4)＝1。))故点P的坐标为(1,1)。6．(多选)下列函数值中符号为负的是()A．sin(－1000°) B．coseq\f(10π,3)C．tan2 D．sin5答案：BCD【解析】∵－1000°＝－3×360°＋80°，∴－1000°是第一象限角，∴sin(－1000°)>0；∵eq\f(10π,3)＝2π＋eq\f(4π,3)，∴eq\f(10π,3)是第三象限角，∴coseq\f(10π,3)<0；∵eq\f(π,2)<2<π，∴2rad是第二象限角，∴tan2<0；∵eq\f(3π,2)<5<2π，∴5rad是第四象限角，∴sin5<0.7.设集合M＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(k,2)·180°＋45°，k∈Z))))，N＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(k,4)·180°＋45°，k∈Z))))，那么()A.M＝NB.M⊆NC.N⊆MD.M∩N＝∅答案：B【解析】由于M中，x＝eq\f(k,2)·180°＋45°＝k·90°＋45°＝(2k＋1)·45°，2k＋1是奇数；而N中，x＝eq\f(k,4)·180°＋45°＝k·45°＋45°＝(k＋1)·45°，k＋1是整数，因此必有M⊆N，故选B.8、已知角α的终边过点P(－8m，－6sin30°)，且cosα＝－eq\f(4,5)，则m的值为()A.－eq\f(1,2) B.－eq\f(\r(3),2)C.eq\f(1,2) D.eq\f(\r(3),2)答案：C【解析】由题意得点P(－8m，－3)，r＝eq\r(64m2＋9)，所以cosα＝eq\f(－8m,\r(64m2＋9))＝－eq\f(4,5)，解得m＝±eq\f(1,2)，又cosα＝－eq\f(4,5)<0，所以－8m<0，即m>0，所以m＝eq\f(1,2).9．在直角坐标系xOy中，角α的始边为x轴的正半轴，顶点为坐标原点O，已知角α的终边l与单位圆交于点A(0.6，m)，将l绕原点逆时针旋转eq\f(π,2)与单位圆交于点B(x，y)，若tanα＝－eq\f(4,3)，则x＝()A．0.6 B．0.8C．－0.6 D．－0.8答案：B【解析】已知角α的终边l与单位圆交于点A(0.6，m)，且tanα＝－eq\f(4,3)，则tanα＝eq\f(m,0.6)＝－eq\f(4,3)，解得m＝－0.8，所以A(0.6，－0.8)在第四象限，角α为第四象限角．由l绕原点逆时针旋转eq\f(π,2)与单位圆交于点B(x，y)，可知点B(x，y)在第一象限，则∠BOx＝eq\f(π,2)＋α，所以cos∠BOx＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(eq\f(π,2)＋α))＝－sinα，即eq\f(x,1)＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(eq\f(－0.8,1)))，解得x＝0.8.10.已知圆O：x2＋y2＝4与y轴正半轴的交点为M，点M沿圆O顺时针运动eq\f(π,2)弧长到达点N，以ON为终边的角记为α，则tanα等于()A.－1 B.1C.－2 D.2答案：B【解析】圆的半径为2，eq\f(π,2)的弧长对应的圆心角为eq\f(π,4)，故以ON为终边的角为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(α＝2kπ＋\f(π,4)，k∈Z))))，故tanα＝1.11．若角α的顶点为坐标原点，始边在x轴的非负半轴上，终边在直线y＝－eq\r(3)x上，则角α的取值集合是()A.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α|α＝2kπ－\f(π,3)，k∈Z)) B.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α|α＝2kπ＋\f(2π,3)，k∈Z))C.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α|α＝kπ－\f(2π,3)，k∈Z)) D.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α|α＝kπ－\f(π,3)，k∈Z))答案：D【解析】因为直线y＝－eq\r(3)x的倾斜角是eq\f(2π,3)，tanα＝－eq\r(3)，所以终边落在直线y＝－eq\r(3)x上的角的取值集合为：eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α|α＝kπ－\f(π,3)，k∈Z))或者eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α|α＝kπ＋\f(2π,3)，k∈Z)).12.角α的终边在第一象限，则eq\f(sin\f(α,2),\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(sin\f(α,2))))＋eq\f(cos\f(α,2),\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(cos\f(α,2))))的取值集合为()A.{－2,2} B.{0,2}C.{2} D.{0，－2,2}答案：A【解析】因为角α的终边在第一象限，所以角eq\f(α,2)的终边在第一象限或第三象限，所以eq\f(sin\f(α,2),\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(sin\f(α,2))))＋eq\f(cos\f(α,2),\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(cos\f(α,2))))＝±2.13.若角α的终边在直线y＝－x上，则角α的取值集合为()A.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(α＝k·2π－\f(π,4)，k∈Z))))B.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(α＝k·2π＋\f(3π,4)，k∈Z))))C.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(α＝k·π－\f(3π,4)，k∈Z))))D.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(α＝k·π－\f(π,4)，k∈Z))))答案：D【解析】由图知，角α的取值集合为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(α＝2nπ＋\f(3π,4)，n∈Z))))∪eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1