一、常用机构及机械传动讲解

鹤壁职业技术学院机械基础与制造技术目录一、常用机构及机械传动二、机床夹具三、数控加工与数控机床四、现代制造技术鹤壁职业技术学院单元1常用机构及机械传动■有关概念■常用机构■机械传动鹤壁职业技术学院1.1有关概念

1、机器：由零件组成的执行机械运动，用来完成所赋予的功能的装置。具备三个特征（1）它们是许多人为实物的组合；（2）各实物之间具有确定的相对运动；（3）能代替或减轻人类的劳动，以完成有效的机械功，或进行能量转换及传递信息。1—曲轴2—连杆3—活塞4—缸体5—凸轮6—推杆7—摆杆8—阀门杆飞机发动机一、有关概念2、机构

机构只具有机器的前两个特征，机构的作用是传递运动和转换动力。机构是机器的重要组成部分，机器包括一个或多个机构。

从构成和运动的观点看，机器与机构并无区别。在工程上，通常以“机械”一词作为机器与机构的总称。3、构件：机构中的运动单元。可以是一个零件；也可以由若干个无相对运动的零件组成（即固定连接）。4、零件：是机构的制造单元。

一、有关概念5、通用零件：在各种机器中都能用到的零件。6、专用零件：在特定类型的机器中才能用到的零件。专用零件—活塞专用零件—整体式曲轴1.2常用机构1.2.1平面机构1、运动副及其分类

由两构件直接接触并能产生一定相对运动的联接，称为运动副。

根据组成运动副两构件之间的接触几何特征（点、线、面），运动副可分为低副和高副。

1）低副：两构件通过面接触构成的运动副称为低副。按两构件间的相对运动形式，低副又分为移动副和转动副。转动副移动副一、平面机构的结构分析1.2常用机构

（1）转动副：组成运动副的两构件之间只能绕某一轴线作相对转动，这种运动副称为转动副，又称为铰链。。铰链中有一构件是固定的，称为固定铰链。否则称为活动铰链。

转动副的符号：用小圆表示，小圆中心代表转动轴线的位置。若构件代表机架则在构件上画上斜线。1.2.1平面机构转动副的符号表示1.2常用机构1.2.1平面机构（2）移动副：两构件只能做相对移动的运动副。

移动副符号：用直线表示移动导路或其中心线的位置。移动副符号表示1.2常用机构2）高副

概念：两构件呈现点、线接触的运动副称为高副。高副用两构件在直接接触处的轮廓表示。

注意：画高副时，对于凸轮、滚子，习惯上画出全部的轮廓；对于齿轮，常画点画线画出其节圆。1.2.1平面机构齿轮副凸轮副1.2常用机构

2、平面机构的运动简图

分析机构运动时，为了使问题简化，有必要撇开与运动无关的因素（如构件外形和运动副的具体结构），仅用简单的线条和规定的运动副符号来表示构件和运动副，按一定的比例尺确定运动副的位置，这种用规定简化画法简明表达机构中各构件运动关系的图形，称为机构运动简图。1.2.1平面机构1.2常用机构1.2.1平面机构1）平面机构的组成原动件1234从动件机架机构（1）固定件（机架）：是用来支承着活动构件的构件。（2）原动件：是运动规律已知的活动构件，它的运动是由外界输入的，故又称为输入构件。（3）从动件：是机构中随原动件运动而运动的其余活动构件。1.2常用机构1.2.1平面机构2）机构运动简图的符号转动副移动副高副（齿轮副、凸轮副）应将接触部分的外形准确画出1.2常用机构1.2.1平面机构1.2常用机构1.2.1平面机构3）机构运动简图的绘制（1）观察机构的实际结构，分析机构的运动情况，找出机构中的固定构件（机架）、原动件及从动件；（2）从原动件开始，按运动传递路线，仔细分析各构件之间的相对运动情况，从而确定该机构的构件数目及运动副的数目及类型；（3）在此基础上，按一定的比例及特定的构件和运动副符号，绘制机构运动简图。注意：画构件时应撇开构件的实际外形，而只考虑运动副的性质。1.2常用机构1.2.1平面机构例1绘出如图所示抽水唧筒机构的运动简图。《分式》1.2.1平面机构1.2常用机构3、构件的自由度和约束

1）构件的自由度：构件作独立运动的可能性，称为构件的自由度。

一个在平面内自由运动的构件有三个自由度，可用x、y、φ表示。

注意：①一个作平面运动的点，有两个自由度；②一个作平面运动的构件，有三个自由度；③一个作空间运动的构件，有六个自由度。《分式》1.2.1平面机构1.2常用机构2）运动副对构件的约束：机构中的构件相互联接，其独立运动受到约束。必然失去一些自由度，同时保留一些自由度。转动副：受到两个约束，保留一个自由度移动副：受到两个约束，保留一个自由度高副：受到一个约束，保留两个自由度1.2.1平面机构1.2常用机构4、平面构件自由度的计算

平面机构的自由度就是该机构中各构件相对于机架所具有的独立运动的数目。

平面机构自由度与组成机构的构件数目、运动副的数目及运动副的性质有关。机构自由度的计算公式：F—该机构的自由度PL—该机构中的低副数n—该机构中的可动件数PH—该机构中的高副数

1.2常用机构1.2.1平面机构例2计算下图所示的该机构的自由度。该机构的可动构件数为：n＝5低副数：PL＝7高副数：PH＝0F＝3n－2PL－PH

＝3×5－2×7

＝11.2常用机构1.2.1平面机构例3计算下图所示的抽水唧筒机构的自由度。F=3n-2PL-PH=3x3-2x4-0=11.2常用机构1.2.1平面机构5、平面构件具有确定运动的条件

构件系统的自由度必须大于零，且原动件数与其自由度必须相等。（1）构件系统F=0的情况1.2常用机构1.2.1平面机构（2）构件系统自由度与原动件数不相等的情况

1）机构的原动件数大于自由度（a图），势必使机构卡死或导致运动副及构件的损坏，不能成为机构。

2）机构的原动件数小于自由度（b图），就会出现运动不确定情况。1.2常用机构1.2.1平面机构6、计算平面构件自由度的注意事项1.复合铰链：（1）概念：两个以上构件在同一处用同轴转动副相联接组成的运动副，称为复合铰链。（2）处理方法：复合铰链所代表的转动副个数（k）应是该处汇交构件个数减一（k-1）。1.2常用机构1.2.1平面机构2.局部约束

（1）概念：不影响整个机构运动的局部的独立运动，称为局部自由度。（2）出现的场合：将滑动摩擦改为滚动摩擦处。（3）处理方法：计算自由度时将局部自由度除去，将滚子与杆件固结一体。1.2常用机构1.2.1平面机构

3.虚约束概念：机构中与别的约束起重复限制作用的约束，称为虚约束。

虚约束出现的场合：（1）两个构件形成多个具有相同作用的运动副1)两个构件在同一轴线上形成多个转动副。处理方法：只保留一个转动副1.2常用机构1.2.1平面机构2）两构件形成多个导路平行或重合的移动副处理方法：只保留一个移动副。

1.2常用机构1.2.1平面机构3）两构件在多处接触形成的高副。

处理方法：只保留一个高副。1.2常用机构1.2.1平面机构

（2）被联接件上点的轨迹与机构上联接点的轨迹重合。处理方法：去除虚约束及多余的构件

1.2常用机构1.2.1平面机构（3)机构中对传递运动不起独立作用的对称部分。

处理方法：去除对称部分的构件和形成的运动副。

1.2常用机构1.2.1平面机构

例4

请计算下图直线机构的自由度，并判断机构是否有确定相对运动？

F=3n-2PL-PH=3X7-2X10-0=11.2常用机构1.2.1平面机构

例5计算下图所示机构的自由度，并指出其中是否有复合铰链、局部自由度、虚约束（应说明属于哪一类虚约束），并判断该运动机构是否有确定运动（图中箭头所示构件为原动件），为什么？（凸轮3与齿轮2固结为一个构件）

解：F=3n-2PL-PH=3×9-2×12-1×2=11.2常用机构1.2.1平面机构

例6

请计算下图直线机构的自由度，并判断机构是否有确定相对运动？

解：2、3、4是复合铰链F=3×7-2×10=11.2常用机构1.2.1平面机构二、平面连杆机构一）概述1、基本概念：平面连杆机构：由若干个刚性构件用低副相互连接而成，并在同一平面或相互平行的平面内运动。1.2常用机构1.2.1平面机构2、平面连杆机构的特点

低副是面接触，磨损小，承载能力大；结构简单，便于制造；（优点）

低副中存在难以消除的间隙，从而产生运动误差，不易准确实现复杂的运动，不易用于高速场合。（缺点）3、平面连杆机构的应用

最常用的基本机构之一，广泛应用于各种机械、仪表中。如:内燃机、锻压机、空气压缩机及牛头刨床中的主要运动的执行机构等；缝纫机、颚式破碎机、拖拉机、回转式油泵等机器设备中的传动、操纵机构等。1.2常用机构1.2.1平面机构二）平面四杆机构的类型及应用基本概念：（1）铰链四杆机构：四个构件全部用转动副相连的四杆机构，称为铰链四杆机构。

（2）机架：机构中固定不动的构件。（3）连架杆：与机架连接的构架。

曲柄：若能绕机架作整周转动的连架杆则称为曲柄。

摇杆：只能绕着机架在一定范围内摆动的连架杆。（4）连杆：不直接与机架相连的构件。

构件名称连架杆机架连架杆连杆1.2常用机构1.2.1平面机构1、铰链四杆机构按是否存在曲柄可分为三类：

1）曲柄摇杆机构

概念：铰链四杆机构的两个连架杆中，若一个是曲柄，另一个是摇杆，则称为曲柄摇杆机构。

曲柄摇杆机构特点：既能将曲柄的整周转动变换为摇杆的往复摆动，又能将摇杆的往复摆动变换为曲柄的连续回转运动。搅拌机脚踏砂轮机机构1.2常用机构1.2.1平面机构2）双曲柄机构

概念：具有两个曲柄的铰链四杆机构，称为双曲柄机构。双曲柄机构的特点：能将等角速度转动转变为周期性的变角速度转动。

1.2常用机构1.2.1平面机构双曲柄机构的其他类型

（1）平行四边形机构：如果两曲柄的长度相等，且连杆和机架的长度也相等，则称为四边形机构或平行双曲柄机构。例如：掘土机的驱动铲斗机构等平行四边形机构掘土机的驱动铲斗机构1.2常用机构1.2.1平面机构（2）反平行四边形机构：两相对构件长度相等，一对构件互相平行的双曲柄机构。

例如：公共汽车的车门开关机构

反平行四边形机构公共汽车的车门开关机构

二者特点：将等速转动转换为等速同向、不等速同向等多种转动。

1.2常用机构1.2.1平面机构3）双摇杆机构

概念：铰链四杆机构的两个连架杆若都是摇杆，则称为双摇杆机构。双摇杆机构的特点：将一种摆动转换为另一种摆动。

港口鹤式起重机双摇杆机构1.2常用机构1.2.1平面机构2、铰链四杆机构类型的判断1）铰链四杆机构存在曲柄的条件（1）连架杆或机架为最短杆；（2）最短杆和最长杆之和应小于或等于其他两杆长度之和。2）铰链四杆机构基本类型的判别方法1.2常用机构1.2.1平面机构三）平面四杆机构的演化在实际工作机械中，铰链四杆机构还远远不能满足需要，生产实践中，常常采用多种不同外形、结构和特性的四杆机构，都可以认为是铰链四杆机构的演化形式。

常用的的演化方法：（1）变转动副为移动副；（2）取不同的构件作机架；（3）扩大转动副和移动副的尺寸。

1.2常用机构1.2.1平面机构1.曲柄滑块机构（1）由曲柄摇杆机构，将CD→无穷大，C点轨迹变成直线；

（2）演化方法：将转动副→移动副；

（3）类型：a.偏心曲柄滑块机构，e≠0偏距：曲柄转动中心距导路的距离。b.对心曲柄滑块机构，e=01.2常用机构1.2.1平面机构冲床活塞式内燃机（4）应用实例1.2常用机构1.2.1平面机构2.导杆机构

（1）演化过程：改变对心曲柄滑块中的机架而演化来的；（2）演化方法：将曲柄滑块机构的机架,改成以构件1为机架。（3）导杆机构类型：a、若l1<l2为转动导杆机构b、若l1>l2为摆动导杆机构

1.2常用机构1.2.1平面机构（4）应用实例：常用于牛头刨床、插床和回转油泵中。牛头刨床驱动机构插刀插床机构1.2常用机构1.2.1平面机构3.摇块机构

（1）演化方法：以构件2为机架，可得摇块机构。（2）应用实例：卡车车厢自动卸料机构1.2常用机构1.2.1平面机构4.移动导杆机构：（1）演化方法：以构件3为机架，得到定块机构。（2）应用实例：手动抽水机1.2常用机构1.2.1平面机构四）平面四杆机构的基本性质1、急回特性（以曲柄摇杆机构为例，曲柄为原动件）基本概念1）摆角（ψ）：摇杆（从动件）在两个极限位置之间所夹角称为摇杆的摆角，用ψ表示。2）极位夹角（θ）：从动件处于二个极限位置时，相对应的原动件曲柄所夹的锐角。3）急回特性：原动件曲柄作连续转动时，作往复运动的摇杆在空回行程的平均速度大于工作行程的特性称为急回特性。

1.2常用机构1.2.1平面机构工作行程：摇杆由C1D摆到C2D空行程：摇杆由C2D摆到C1D1.2常用机构1.2.1平面机构4）行程速比系数k作往复运动的输出构件在空回行程中的速度与工作行程中的速度之比值。k用来表示机构急回特性的相对程度。

由上式可知，机构的急回程度取决于极位夹角θ的大小。θ角越大，K值越大，机构的急回程度也越高，但机构运动的平稳性就越差。反之亦然。极限夹角是标志机构有无急回特性的重要参数。θ>0，K>1，机构具有急回特性θ=0,K=1,

机构不具有急回特性。1.2常用机构1.2.1平面机构2、压力角和传动角压力角：机构中输出件受力点处所受驱动力F和该点速度V之间所夹的锐角α。F的两个分力：

Fn=Fsinα—引起摩擦力，有害分力

Ft=Fcosα—有效分力传动角：压力角的余角γ压力角α越小或传动角γ越大，机构的传力性能越好，反之亦然。所以压力角α或传动角γ是反映机构传力性能的重要指标。1.2常用机构1.2.1平面机构

为保证机构的传力性能良好，必须限定机构的最小传动角，通常γmin≥[γ]。对于一般机械，通常γmin≥40º,

[γ]

=40º~50º;对于传递功率大的机械γmin≥50º，对于一些非传力机构，也可取γmin<40º,但不能过小。1.2常用机构1.2.1平面机构3、死点位置

当机构处于压力角α=90o

（即传动角γ=0o

）的位置时，输出件所受驱动力的有效分力为零。即连杆作用于从动曲柄的力通过了曲柄的回转中心，不能推动曲柄转动，机构的这种位置称为机构的死点位置。

注意：对于曲柄摇杆机构和曲柄滑块机构，只有当曲柄为从动件时，才可能有死点位置。1.2常用机构1.2.1平面机构越过死点的措施（1）在输出件上安装飞轮，利用其惯性顺利通过死点位置，如缝纫机上的带轮即起飞轮的作用。

（2）采用错位排列，将死点位置相互错开。1.2常用机构1.2.1平面机构利用死点的实例飞机起落架机构夹具机构1.2常用机构1.2.1平面机构如图6-41所示，设已知四杆机构各构件的长度AB=240mm、BC=600mm、CD=400mm、AD=500mm。试回答下列问题：（1）当取构件4为机架时，是否有曲柄存在？（2）若各构件长度不变，能否以选不同构件为机架的办法获得双曲柄机构和双摇杆机构？如何获得？练习11.2常用机构1.2.1平面机构

一铰链四杆机构，已知lBC=500mm，lCD=350mm、lAD=300mm，AD为机架，试问：（1）若此机构为曲柄摇杆机构，且AB为曲柄，求lAB的最大值；（2）若此机构为双曲柄机构，求lAB的最小值（3）若此机构为双摇杆机构，求lAB的取值范围练习21.2常用机构1.2.2凸轮机构一、组成、应用和特点1.概念凸轮：具有某种曲线轮廓或凹槽的构件。一般以凸轮为主动件，通常作连续等速转动。凸轮机构：含有凸轮的机构称为凸轮机构。是一种高副机构。内燃机配气机构1.2常用机构1.2.2凸轮机构2.凸轮机构的组成凸轮+从动件+机架3.凸轮机构的特点（1）结构简单、紧凑，易于设计。（2）凸轮轮廓与从动件之间为点或线接触，属于高副，易磨损。4.凸轮机构的作用：将凸轮的转动或移动转变为从动件的移动或摆动5.凸轮机构的应用通常用于传力不大的控制机构。尤其广泛应用于自动机械、仪表和自动控制系统中。1.2常用机构1.2.2凸轮机构二、分类1.按凸轮的形状（1）盘形凸轮机构：此机构的凸轮是一个绕固定轴线转动并具有变化向径的盘形构件。盘形凸轮是凸轮的基本形式。（2）移动凸轮机构：这种机构的凸轮是一个具有曲线轮廓、作往复直线移动的构件。1.2常用机构1.2.2凸轮机构（3）圆柱凸轮机构：这种机构的凸轮是一个在圆柱表面上开有凹槽并绕圆柱轴线旋转的构件。自动送料凸轮机构1.2常用机构1.2.2凸轮机构2.按从动件的形状（1）尖顶从动件凸轮机构尖顶容易磨损,只用于传力不大的低速凸轮机构。（2）滚子从动件凸轮机构滚子与凸轮之间是滚动摩擦，故磨损小而且均匀，可承受较大载荷，应用普遍。1.2常用机构1.2.2凸轮机构(3)平底从动件凸轮机构

凸轮对从动件的作用力始终垂直于平底，传动效率最高；凸轮与平底之间易形成楔形油膜，便于润滑和减少磨损;常用于高速凸轮机构中,但不能用于具有内凹曲线轮廓的凸轮机构。1.2常用机构1.2.2凸轮机构3.按从动件运动方式（1）移动从动件（2）摆动从动件1.2常用机构1.2.2凸轮机构三、运动过程与运动参数基圆（r0）：以凸轮最小向径作的圆称为基圆，其半径称为基圆半径，用表示r0。推程：当凸轮连续转动时，从动件尖端被凸轮轮廓由最低点推至最高点的过程。行程（h）:从动件由最低点上升到最高点的距离称为行程，用h表示。1.2常用机构1.2.2凸轮机构推程运动角Φ0

：在推程中，凸轮相应的转角称为推程运动角，用Φ0表示。远休止：当凸轮连续转动时，从动件尖端被在最高点位置不动的过程。

远程休止角Φ

s：在远休止时，当凸轮继续转动，凸轮所转过的角度，用Φ

s表示。

回程：当凸轮连续转动时，从动件尖端由最高点回到最低点的过程。回程运动角Φ

0

′：在回程中，凸轮所转过的角度，用Φ

0

′表示。1.2常用机构1.2.2凸轮机构

近休止：当凸轮连续转动时，从动件尖端被在最低点位置不动的过程。

近休止角Φ

sˊ：在近休止时，凸轮所转过的角度，用Φ

sˊ表示。1.2常用机构1.2.3间歇机构机器工作时，当主动件作连续运动时，常需要从动件产生周期性的运动和停歇，实现这种运动的机构，称间歇运动机构。类型：1.主动件往复摆动，从动件间歇运动---棘轮机构2.主动件连续转动，从动件间歇运动---槽轮机构、不完全齿轮机构1.2常用机构1.2.3间歇机构一、棘轮机构由棘轮、棘爪、机架三个基本构件组成。功能：它是利用主动件作往复摆动，实现从动件间歇运动。工作过程

摇杆逆时针摆动→棘爪插入棘齿槽内推动→棘轮转过一定角度；摇杆逆时针摆动→棘爪沿棘齿背滑过→棘轮停止不动→获得间歇运动。止回棘爪可阻止棘轮的逆向转动。1.2常用机构1.2.3间歇机构棘轮机构的特点

棘轮机构具有结构简单，制造方便和运动可靠等特点，利用其单向运动特点，常用于机械的送进、制动和超越。优点

在其运动开始和终止的瞬间有刚性冲击，运动平稳性差，嘈音较大，传递的动力较小。不适合于高速传动。缺点1.2常用机构1.2.3间歇机构卷扬机提升机构为防止在起升过程中重物意外的回落，采用棘轮机构可阻止卷筒倒转，起到安全保护作用。内啮合棘轮机构（自行车后轮轴上的棘轮机构）正常行驶链条链轮（内圈有棘齿）棘爪后轮轴下坡行驶踏板不动链轮和链条不再转动后轮在惯性力的作用下仍可带动棘爪转动，棘爪在棘齿背上滑过。应用实例1.2常用机构1.2.3间歇机构2.棘轮机构的类型按工作原理分：1）齿式棘轮机构2）摩擦式棘轮机构

齿式棘轮机构摩擦式棘轮机构1.2常用机构1.2.3间歇机构单动式棘轮机构主动摇杆往复摆动一次，棘轮只能单向间歇转过某一角度。外啮合棘轮机构内啮合棘轮机构1.2常用机构1.2.3间歇机构双动式棘轮机构：摇杆来回摆动时，棘轮向同一方向转动。

1.2常用机构1.2.3间歇机构双向棘轮机构棘轮的齿为矩形，棘爪可翻转。根据棘爪所放位置不同，棘轮分别得到逆时针方向的单向间歇运动和顺时针方向的单向间歇运动。1.2常用机构1.2.3间歇机构摩擦式棘轮机构摩擦式棘轮机构是通过棘爪与棘轮之间的摩擦力实现转动。特点：与齿式棘轮机构相比，摩擦式棘轮机构能无级调节棘轮转角的大小，而且降低了棘轮机构的冲击和噪声。1.2常用机构1.2.3间歇机构棘轮转角的调节：齿式棘轮机构中，棘轮的转角可以进行有级调节，常用的方法有两种。

(1)改变摇杆的摆角：通过调节曲柄摇杆机构中曲柄的长度，改变摇杆摆角的大小，从而实现棘轮机构转角大小的调整。1.2常用机构1.2.3间歇机构

(2)利用遮盖罩

通过改变棘轮罩的位置，使部分行程棘爪沿棘轮罩表面滑过，从而实现棘轮转角大小的调整。1.2常用机构1.2.3间歇机构二、槽轮机构1、槽轮机构的工作原理组成:由带有圆销的拨盘、具有径向槽的槽轮和机架组成。工作原理：槽轮机构是利用圆销插入轮槽并拨动槽轮和脱离轮槽使槽轮停止转动的方式，以实现周期性间歇运动，1.2常用机构1.2.3间歇机构2.槽轮机构的特点结构简单，工作可靠，在进入和退出啮合时，槽轮的运动要比棘轮平稳。优点

转角大小不能调节。由于槽轮每次转过的角度与槽数Z有关，要想改变其转角大小，必须更换具有相应槽数的槽轮，使用不方便。槽轮槽数不能过多，故槽轮转角较大，当要求间歇运动的转角小时，不应采用槽轮机构。缺点1.2常用机构1.2.3间歇机构3.槽轮机构的类型及应用根据槽轮径向槽的开口在外缘或內缘：外啮合式两轴转向相反内啮合式两轴转向相同1.2常用机构1.2.3间歇机构根据机构中圆销的数目：单圆销、双圆销、多圆销空间槽轮机构此种机构多用于两轴相错的分度间歇运动中。1.2常用机构1.2.3间歇机构槽轮机构的应用实例自动灌装机1.2常用机构1.2.3间歇机构三、不完全齿轮机构1.不完全齿轮机构的工作原理和类型

由齿轮机构演变而成，即在主动齿轮上只作一个或几个齿，而在从动齿轮上，做出与主动齿轮相应的齿间，形成不完全的齿轮传动，从而达到从动齿轮做间歇运动的要求。外啮合不完全齿轮机构内啮合不完全齿轮机构1.2常用机构1.2.3间歇机构2.不完全齿轮机构的特点和应用

从动轮每转一周的停歇时间、运动时间及每次转动的角度变化范围都较大，设计较灵活；但加工工艺复杂，从动轮在运动开始，终了时冲击较大，故一般用于低速、轻载场合。

1.2常用机构1.2.3间歇机构1.2常用机构1.2.3间歇机构1.3机械传动1.3.1三角形的概念02命题与证明■定义■四种命题■反证法命题与证明在数学中，一般把判断某一件事情的陈述句叫做命题。正确的命题叫做真命题，错误的命题叫做假命题。■

数学命题通常由条件（题设）和结论两部分组成：条件（题设）是已知事项，结论是由已知事项推出的事项。■

充分和必要条件：①“若p，则q”为真命题，叫做由p推出q，记作p=>q，并且说p是q的充分条件，q是p的必要条件。②充要条件：如果既有p=>q，又有q=>p，就记作p<=>q，并且说p是q的充分必要条件（或q是p的充分必要条件），简称充要条件。命题的定义数学命题■公理：经过人类长期反复实践的考验,不需要再加证明的命题。公理都是用来推导其他命题的起点。一个公理不能被其他公理推导出来。■基本事实：数学中，把少数真命题作为基本事实。■定义：数学中，对一个概念的含义加以描述说明或作出明确规定的语句叫做这个概念的定义。■定理：把经过证明为真的命题叫做定理。证明定理是数学的中心活动。如果一个定理上午逆命题是真命题，那么它是原定理的逆定理，这两个定理叫做互逆定理。■推论：把定理作为判断其他命题真假的依据，由某定理直接得出的真命题叫做这个定理的推论。命题与证明命题与证明四种命题■原命题：一个命题的本身称之为原命题。■逆命题：将原命题的条件和结论颠倒的新命题。■否命题：将原命题的条件和结论全否定的新命题，但不改变条件和结论的顺序。■

逆否命题：将原命题的条件和结论颠倒，然后再将条件和结论全否定的新命题。■

四种命题的相互关系：原命题与逆命题互逆，否命题与原命题互否，原命题与逆否命题相互逆否，逆命题与否命题相互逆否，逆命题与逆否命题互否，逆否命题与否命题互逆。■

四种命题的真假关系：①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性。②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系(原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假）。命题与证明数学中的证明证明：在数学中，从命题的条件出发，通过讲道理（推理），得出其结论成立，从而判定这个命题是真命题的过程。反证法：先假设命题不成立，然后利用命题条件或有关结论，通过推理导出矛盾，从而得出假设不成立，即所证命题是正确的方法。举出一个反例，它符合命题条件，但不符合命题结论，从而判定命题是假命题的方法叫做“举反例”。■

反证法是间接论证的方法之一，亦称“逆证”。基本思路是：否定结论，导出矛盾，肯定结论。■

在进行反证中，只有与论题相矛盾的判断才能作为反论题，论题的反对判断是不能作为反论题的，因为具有反对关系的两个判断可以同时为假。反证法中的重要环节是确定反论题的虚假，常常要使用归谬法。反证法是一种有效的解释方法，特别是在进行正面的直接论证或反驳比较困难时，用反证法会收到更好的效果。命题与证明经典例题例题4、证明命题“三角形的三内角和为180°”是真命题。.已知：∠A、∠B、∠C为△ABC的三个内角，求证：∠A+∠B+∠C=180°，证明：作射线BD，过C点作CE∥AB，如图，∵CE∥AB，∴∠1=∠A，∠2=∠B，而∠C+∠1+∠2=180°，∴∠A+∠B+∠C=180°．所以命题“三角形的三内角和为180°”是真命题。

ABCDE12命题与证明经典例题例题5、请判断下列命题的真假性，若是假命题请举反例说明．（1）若a＞b，则a2＞b2；

（2）若三角形三边a，b，c满足（a﹣b）（b﹣c）（c﹣a）=0，则三角形是等边三角形；（3）若三条线段a，b，c满足a+b＞c，则这三条线段a，b，c能够组成三角形．.解：（1）假命题，例如：0＞﹣1，但02＜（﹣1）2；

（2）假命题，例如：a=b，b≠c时，（a﹣b）（b﹣c）（c﹣a）=0，三角形是等腰三角形；（3）若三条线段a，b，c满足a+b＞c，则这三条线段a，b，c能够组成三角形，是假命题，例如：三条线段a=3，b=2，c=1满足a+b＞c，但这三条线段不能够组成三角形。

命题与证明经典例题例题6、请写出命题“等角的余角相等”的条件和结论；这个命题是真命题吗？如果是，请你证明；如果不是，请给出反例。.解：条件：两个角分别是两个相等角的余角；

结论：这两个角相等这个命题是真命题，已知：∠1=∠2，∠3是∠1的余角．∠4是∠2的余角，求证：∠3=∠4。证明：∵∠3是∠1的余角．∠4是∠2的余角∴∠3=90°﹣∠1，∠4=90°﹣∠2，又∠1=∠2∴∠3=∠4．03等腰三角形■定义■基本性质■经典例题等腰三角形等腰三角形的定义等腰三角形，至少有两边相等的三角形。底腰相等的等腰三角形叫做等边三角形。ABC顶角底角底角腰腰底在等腰△ABC：AB=AC,AB、AC叫做等腰三角形的腰；BC叫做等腰三角的底；∠A叫做等腰三角形的顶角；∠B、∠C叫做等腰三角形的底角。等腰三角形等腰三角形的性质等边三角形除了具有等腰三角形的所有性质外，还有一些特殊的性质：■

等腰三角形的两个底角度数相等（简写成“等边对等角”）。■

等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线，底边上的高相互重合（简写成“等腰三角形三线合一”）。■

一般的等腰三角形是轴对称图形,只有一条对称轴，顶角平分线所在的直线是它的对称轴。但等边三角形（特殊的等腰三角形）有三条对称轴。每个角的角平分线所在的直线，三条中线所在的直线，和高所在的直线就是等边三角形的对称轴。等腰三角形等边三角形的性质等腰三角形除了具有三角形的所有性质外，还有一些特殊的性质：■

等边三角形三边相等，三角都相等，且均为60°。■

等边三角形每条边上的中线、高线和角平分线互相重合（三线合一）。■

等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴，对称轴是每条边上的中线、高线或角的平分线所在的直线。■等边三角形重心、内心、垂心、外心重合于一点，称为等边三角形的中心。等腰三角形等腰三角形的判定等腰三角形的判定：■

判定定理：两个角相等的三角形是等腰三角形。（简称：等角对等边）。■“三线合一”的逆定理：例如：在一个三角形中，如果一个角的平分线与该角对边上的中线重合，那么这个三角形是等腰三角形，且该角为顶角等。等边三角形的判定：■

三边相等的三角形是等边三角形（定义）。■

三个内角都相等的三角形是等边三角形。■有一个内角是60°的等腰三角形是等边三角形。■三（两）个内角为60°的三角形是等边三角形。等腰三角形经典例题例题7、如图，树AB垂直于地面，为测树高，小明在C处，测得∠ACB=15°，他沿CB方向走了20米，到达D处，测得∠ADB=30°，你能帮助小明计算出树的高度吗？

.解：∵∠ADB=30°，∠ACB=15°，∴∠CAD=∠ADB﹣∠ACB=15°，∴∠ACB=∠CAD，∴AD=CD=20，又∵∠ABD=90°，∴AB=1/2AD=10，∴树的高度为10米。等腰三角形经典例题例题8、如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AD⊥AC交BC于点D，求证：BC=3AD。证明：在△ABC中，∵AB=AC，∠BAC=120°，∴∠B=∠C=30°，又∵AD⊥AC，∴∠DAC=90°，∵∠C=30°∴CD=2AD，∠BAD=∠B=30°，∴AD=DB，∴BC=CD+BD=AD+DC=AD+2AD=3ADABCD∟等腰三角形例题9、已知：如图，D、E是△ABC中BC边上的两点，AD=AE，要证明△ABE≌△ACD，应该再增加一个什么条件？请你增加这个条件后再给予证明。解：本题答案不唯一，现增加∠B=∠C证明过程如下：证明：∵AD=AE，∴∠ADE=∠AED∴∠ADB=∠AEC∴△ABD≌△ACE（AAS）∴∠BAD=∠CAE∵∠BAD+∠DAE=∠CAE+∠DAE∴∠BAE=∠CAD∴△ABE≌△ACD（AAS）ABCDE经典例题04线段的垂直平分线■定义■基本性质■尺规作法线段的垂直平分线垂直平分线的定义经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，又称“中垂线”。ABCO∟直线OC⊥线段，垂足为O,且O为AB中点，这时，直线OC叫做线段AB的垂直平分线。C为直线OC上任意一点，CA=CB，因此：垂直平分线可以看成到线段两个端点距离相等的点的集合，垂直平分线是线段的一条对称轴。线段的垂直平分线垂直平分线的性质■

垂直平分线垂直且平分其所在线段。■

垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等。垂直平分线的判定与逆定理■

垂直平分线的判定：必须同时满足①直线过线段中点;②直线⊥线段。■逆定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。垂直平分线的尺规作法线段的垂直平分线ABCD作法：①分别以点A，B为圆心，以大于AB的长为半径作弧，两弧交于C，D两点；②过C、D两点作直线CD，CD即为所求。■

尺规作图是指用没有刻度的直尺和圆规作图。■另外，做垂直平分线还有度量法、折叠法等非尺规作图方法。线段的垂直平分线经典例题例题10、如图，在△ABC中，AD是高，在线段DC上取一点E，使DE=BD，已知AB+BD=DC。求证：E点在线段AC的垂直平分线上。证明：∵AD是高，∴AD⊥BC，又∵BD=DE，∴AD所在的直线是线段BE的垂直平分线，∴AB=AE，∴AB+BD=AE+DE，又∵AB+BD=DC，∴DC=AE+DE，∴DE+EC=AE+DE∴EC=AE，∴点E在线段AC的垂直平分线上。ABCDE∟线段的垂直平分线经典例题例题11、已知△ABC中，AD是∠BAC的平分线，AD的垂直平分线交BC的延长线于F。求证：∠BAF=∠ACF。证明：∵AD是∠BAC的平分线，∴∠1=∠2，∵FE是AD的垂直平分线，∴FA=FD，∴∠FAD=∠FDA，∵∠BAF=∠FAD+∠1，∠ACF=∠FDA+∠2，∴∠BAF=∠ACF。ABCDF∟E1205全等三角形■定义■基本性质■判定方法全等三角形能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。全等三角形的定义BACA＇B＇C＇△ABC与△A＇B＇C＇全等，记作：△ABC≌△A＇B＇C＇。互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角。全等三角形全等三角形的性质■

全等三角形的对应角相等。■

全等三角形的对应边相等。■

全等三角形的对应边上的高对应相等。■

全等三角形的对应角的角平分线相等。■

全等三角形的对应边上的中线相等。■

全等三角形面积和周长相等。■

根据全等转换，两个全等三角形经过平移、旋转、翻折后，仍旧全等。全等三角形■SAS（边角边）：两边及其夹角对应相等的三角形是全等三角形。■

ASA（角边角）：两角及其夹边对应相等的三角形全等。■

AAS（角角边）：两角及其一角的对边对应相等的三角形全等。■SSS（边边边）：三边对应相等的三角形是全等三角形。■

HL(斜边、直角边)）：在一对直角三角形中，斜边及另一条直角边相等。全等三角形的判定全等三角形特别注意■

在写三角形全等时，一定把对应的顶点，角、边的顺序写一致，为解题找对应角、对应边提供方便。■

一般只要三角形三边确定，那这个三角形的形状与大小也固定，这个性质叫做三角形的稳定性。■

解题时，有时需要画辅助线，常用的辅助线有：中线倍长，截长补短等。■

“边边角”即“SSA”和“角角角”即："AAA"是错误的证明方法。全等三角形经典例题例题12、如图，已知△ACF≌△DBE，AD=9厘米，BC=5厘米，求AB的长。解：∵△ACF≌△DBE，∴CA=BD，∴CA﹣BC=DB﹣BC，即AB=CD，∴AB+CD=2AB=AD﹣BC=9﹣5=4（cm），∴AB=2cm．ABCDFE全等三角形经典例题例题13、如图，在△ABC中，BE，CF分别是边AC，AB上的高，在BE上截取BD=AC，在CF的延长线上截取CG=AB，连接AD，AG，则AG与AD有何关系？试给出你的结论的理由。解：AG=AD，AG⊥AD，理由是：∵在△ABC中，BE，CF分别是边AC，AB上的高，∴∠BFP=∠CEP=∠AFO=90°，∴∠ABD+∠FPB=90°，∠ACG+∠EPC=90°，∵∠FPB=∠EPC，∴∠ACG=∠ABD，在△ABD和△GCA中，∴△ABD≌△GCA（SAS），∴AG=AD，∠AGC=∠BAD，∵∠AFO=90°，∴∠BAD+∠AOF=90°，∴∠AGC+∠AOF=90°，∴∠GAD=180°﹣90°=90°，∴AG⊥AD。ABCDFEG∟∟全等三角形经典例题例题14、如图：已知BD=CD，BF⊥AC，CE⊥AB，求证：点D在∠BAC的平分线上。证明：∵BF⊥AC，CE⊥AB，∴∠BED=∠CFD=90°，在△BED和△CFD中，∴△BED≌△CFD（AAS），∴DE=DF，又∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴点D在∠BAC的平分线上．ABCDFE∟∟全等三角形经典例题例题15、如图1，点A是线段DE上一点，∠BAC＝90°，AB＝AC，BD⊥DE，CE⊥DE，（1）求证：DE＝BD+CE。（2）如果是如图2这个图形，BD、CE、DE有什么数量关系？并证明。证明：（1）∵BD⊥DE，CE⊥DE，∴∠D＝∠E＝90°，∴∠DBA+∠DAB＝90°，∵∠BAC＝90°，∴∠DAB+∠CAE＝90°，∴∠DBA＝∠CAE，且AB＝AC，∠D＝∠E＝90°，∴△ADB≌△CEA（AAS），∴BD＝AE，CE＝AD，∴DE＝AD+AE＝CE+BD；