高中数学选择性必修二课件：习题课 利用导数研究函数的综合问题(人教A版)

习题课利用导数研究函数的综合问题第五章§5.3导数在研究函数中的应用1.结合函数图象利用导数研究函数的零点的问题.2利用导数解决生活中的实际问题.学习目标随堂演练课时对点练一、利用导数研究函数的零点个数二、由函数的零点个数求参数的范围三、导数在解决实际问题中的应用内容索引一、利用导数研究函数的零点个数例1给定函数f(x)＝ex－x.(1)判断函数f(x)的单调性，并求出f(x)的值域；解函数f(x)的定义域为R，f′(x)＝ex－1，令f′(x)＝0，解得x＝0.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如表所示：x(－∞，0)0(0，＋∞)f′(x)－0＋f(x)单调递减1单调递增所以f(x)在区间(－∞，0)上单调递减，在区间(0，＋∞)上单调递增.当x＝0时，f(x)的极小值f(0)＝1，也是最小值，故函数f(x)的值域为[1，＋∞).(2)画出函数f(x)的大致图象；解由(1)可知，函数的最小值为1.当x→＋∞时，f(x)→＋∞，f′(x)→＋∞；当x→－∞时，指数函数y＝ex越来越小，趋向于0，因此函数f(x)图象上的点逐渐趋向于直线y＝－x，根据上述信息，画出函数f(x)的大致图象如图所示.(3)求出方程f(x)＝m(m∈R)在区间[－1,2]上的根的个数.(3)求出方程f(x)＝m(m∈R)在区间[－1,2]上的根的个数.解截取函数f(x)在区间[－1,2]上的图象如图所示.由图象知，当f(0)<m≤f(－1)，当m<1或m>e2－2时，方程f(x)＝m在区间[－1,2]上无实根.反思感悟判断零点的个数问题的思路(1)求出函数的定义域.(2)求导数f′(x)及函数f′(x)的零点.(3)用f′(x)的零点将函数f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f′(x)在各个区间上的正负，并得出f(x)的单调性与极值.(4)确定f(x)的图象经过一些特殊点，以及图象的变化趋势.(5)画出f(x)的大致图象.跟踪训练1

已知函数f(x)＝

－1.(1)求f(x)的单调区间；令f′(x)＝0，得x＝e1－a.f′(x)及f(x)随x的变化情况如表所示：x(0，e1－a)e1－a(e1－a，＋∞)f′(x)＋0－f(x)

极大值

所以f(x)的单调递增区间为(0，e1－a)，单调递减区间为(e1－a，＋∞).(2)当a≤1时，求函数f(x)在区间(0，e]上零点的个数.(2)当a≤1时，求函数f(x)在区间(0，e]上零点的个数.①当a＝1时，f(x)在区间(0,1)上单调递增，在区间(1，e]上单调递减，又f(1)＝0，故f(x)在区间(0，e]上只有一个零点.②当a<1时，1－a>0，e1－a>1，综上，当a＝1时，f(x)在区间(0，e]上只有一个零点；当a<1时，f(x)在区间(0，e]上无零点.二、由函数的零点个数求参数的范围例2

已知函数f(x)＝x3－kx＋k2.(1)讨论f(x)的单调性；解f′(x)＝3x2－k.当k＝0时，f(x)＝x3，故f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增；当k<0时，f′(x)＝3x2－k>0，故f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增.(2)若f(x)有三个零点，求k的取值范围.解由(1)知，当k≤0时，f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，f(x)不可能有三个零点.反思感悟利用导数研究函数的零点或方程根的方法是借助于导数研究函数的单调性、极值(最值)，通过极值或最值的正负、函数的单调性判断函数图象走势，从而判断零点个数或者通过零点的个数求参数范围.跟踪训练2

若函数f(x)＝ax3－bx＋4，当x＝2时，函数f(x)取得极值－

.(1)求函数f(x)的解析式；解f′(x)＝3ax2－b，(2)若方程f(x)＝k有3个不同的实数根，求实数k的取值范围.解由(1)可得f′(x)＝x2－4＝(x－2)(x＋2).令f′(x)＝0，得x＝2或x＝－2.∴当x<－2或x>2时，f′(x)>0；当－2<x<2时，f′(x)<0.三、导数在解决实际问题中的应用例3

请你设计一个包装盒，如图所示，四边形ABCD是边长为60cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A，B，C，D四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒.点E，F在边AB上，是被切去的一个等腰直角三角形的斜边的两个端点.设AE＝FB＝x(cm).某厂商要求包装盒的容积V(cm3)最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值.令V′(x)＝0，得x＝0(舍去)或x＝20.∵当0<x<20时，V′(x)>0；当20<x<30时，V′(x)<0.∴V(x)在x＝20时取极大值也是唯一的极值，故为最大值，反思感悟解决最优问题应从以下几个方面入手(1)设出变量，找出函数关系式，确定定义域.(2)在实际应用问题中，若函数f(x)在定义域内只有一个极值点，则它就是最值点.跟踪训练3

为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层.某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元.该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系：C(x)＝ (0≤x≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元.设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和.(1)求k的值及f(x)的表达式；解由题设可知，隔热层厚度为xcm，又隔热层建造费用为C1(x)＝6x.则隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为(2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值.当0≤x<5时，f′(x)<0；当5<x≤10时，f′(x)>0，故x＝5是f(x)的最小值点，对应的最小值为即当隔热层修建5cm厚时，总费用f(x)达到最小，且最小值为70万元.1.知识清单：(1)研究求函数零点的方法.(2)已知函数的零点求参数的取值范围.(3)导数在实际问题中的应用.2.方法归纳：转化法、数形结合、分类讨论.3.常见误区：不能正确分析函数图象的变化趋势从而不能正确得到函数零点的个数.课堂小结随堂演练12341.已知函数f(x)＝(x2＋a)ex有最小值，则函数y＝f′(x)的零点个数为A.0 B.1 C.2 D.不确定√解析由题意得，f′(x)＝(x2＋2x＋a)ex，因为函数f(x)有最小值，且ex>0，所以函数存在单调递减区间，即f′(x)<0有解，所以x2＋2x＋a＝0有两个不等实根，所以函数y＝f′(x)的零点个数为2.1234√1234解析设圆锥的高为hcm,0<h<20，1234√1234解析由题意知，函数f(x)＝sinx－xcosx的定义域为R，关于原点对称，又f(－x)＝sin(－x)＋xcos(－x)＝－(sinx－xcosx)＝－f(x)，所以函数f(x)为奇函数，所以A项正确；f′(x)＝cosx－cosx＋xsinx＝xsinx，所以0不是函数f(x)的极值点，所以B不正确；1234例如当x＝2kπ，k∈Z时，可得f(2kπ)＝－2kπ，当k→＋∞且k∈Z时，f(x)→－∞，当x＝2kπ＋π，k∈Z时，可得f(2kπ＋π)＝2kπ＋π，当k→＋∞且k∈Z时，f(x)→＋∞，由此可得函数f(x)的值域为R，所以D是正确的.12344.直线y＝a与函数y＝x3－3x的图象有三个相异的交点，则a的取值范围是________.解析令y＝f(x)＝x3－3x，则f′(x)＝3x2－3，令f′(x)＝0，得x＝1或x＝－1.因为当x∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)时，f′(x)>0，当x∈(－1,1)时，f′(x)<0，所以f(x)极小值＝f(1)＝－2，f(x)极大值＝f(－1)＝2.函数f(x)＝x3－3x的大致图象如图所示，所以－2<a<2.(－2,2)课时对点练基础巩固123456789101112131415161.函数f(x)＝x3－12x－16的零点个数为A.0 B.1 C.2 D.3√12345678910111213141516解析由题意得f′(x)＝3x2－12＝3(x＋2)(x－2)，令f′(x)>0，得x>2或x<－2；令f′(x)<0，得－2<x<2，所以函数的单调递增区间为(－∞，－2)，(2，＋∞)，单调递减区间为(－2,2)，所以函数的极大值为f(－2)＝0，极小值为f(2)＝－32，当x→－∞时，f(x)<0，当x→＋∞时，f(x)>0，所以函数的零点个数为2.123456789101112131415162.已知函数f(x)＝ex－x－a，若函数y＝f(x)有零点，则实数a的取值范围是A.(1，＋∞) B.[1，＋∞)C.(－∞，1) D.(－∞，1]√解析函数y＝f(x)有零点等价于方程ex－x＝a有解，令g(x)＝ex－x，g′(x)＝ex－1，当x>0时，g′(x)>0，函数g(x)单调递增；当x<0时，g′(x)<0，函数g(x)单调递减，又g(0)＝1，所以a≥1.123456789101112131415163.某商场从生产厂家以每件20元的价格购进一批商品.若该商品零售价定为P元，销量为Q，销量Q(单位：件)与零售价P(单位：元)有如下关系：Q＝8300－170P－P2，则最大毛利润为(毛利润＝销售收入－进货支出)A.30元 B.60元 C.28000元 D.23000元√12345678910111213141516解析设毛利润为L(P).则L(P)＝PQ－20Q＝(8300－170P－P2)(P－20)＝－P3－150P2＋11700P－166000，所以L′(P)＝－3P2－300P＋11700.令L′(P)＝0，解得P＝30或P＝－130(舍去).此时，L(30)＝23000.根据实际问题的意义知，L(30)是最大值，即零售价定为每件30元时，最大毛利润为23000元.12345678910111213141516√12345678910111213141516解析令g(x)＝x2ex，则g′(x)＝2xex＋x2ex＝xex(x＋2).令g′(x)＝0，得x＝0或x＝－2，∴g(x)在(－2,0)上单调递减，在(－∞，－2)，(0，＋∞)上单调递增.123456789101112131415165.设I是函数y＝f(x)的定义域，若存在x0∈I，使f(x0)＝－x0，则称x0是f(x)的一个“次不动点”，也称f(x)在区间I上存在“次不动点”.若函数f(x)＝ax3－3x2－x＋1在R上存在三个“次不动点x0”，则实数a的取值范围是A.(－2,0)∪(0,2) B.(－2,2)C.(－1,0)∪(0,1) D.[－1,1]√12345678910111213141516解析因为函数f(x)＝ax3－3x2－x＋1在R上存在三个“次不动点x0”，设g(x)＝ax3－3x2＋1，则g′(x)＝3ax2－6x，由已知a≠0，令g′(x)＝0，即3ax2－6x＝0，12345678910111213141516综上可得，实数a的取值范围是(－2,0)∪(0,2).12345678910111213141516√√√12345678910111213141516解析A项，由f(x)＝0，得x2＋x－1＝0，当f′(x)>0时，－1<x<2；当f′(x)<0时，x<－1或x>2，所以函数的单调递减区间为(－∞，－1)，(2，＋∞)，函数的单调递增区间为(－1,2)，所以f(－1)是函数的极小值，f(2)是函数的极大值，所以B正确；12345678910111213141516C项，当x趋向于＋∞时，f(x)趋向于0，根据B项可知，函数的最小值是f(－1)＝－e，再根据单调性可知，当－e<k<0时，方程f(x)＝k有且只有两个实根，所以C正确；D项，由图象可知，t的最大值是2，所以D不正确.123456789101112131415167.已知曲线f(x)＝－x3＋3x2＋9x＋a与x轴只有一个交点，则实数a的取值范围为_______________.{a|a<－27或a>5}12345678910111213141516解析f′(x)＝－3x2＋6x＋9.令f′(x)＝0，解得x＝－1或x＝3.当f′(x)>0时，－1<x<3；当f′(x)<0时，x<－1或x>3，所以当x＝－1时，f(x)取得极小值为f(－1)＝a－5；当x＝3时，f(x)取得极大值为f(3)＝a＋27.画出大致图象，要使f(x)的图象与x轴只有一个交点，只需极大值小于0(如图1)或极小值大于0(如图2)，所以a＋27<0或a－5>0，解得a<－27或a>5，故实数a的取值范围为{a|a<－27或a>5}.1234567891011121314151612345678910111213141516∴f′(x)＝x2－3x＋2＝(x－1)(x－2)，由f′(x)>0，得x>2或x<1，此时函数单调递增；由f′(x)<0，得1<x<2，此时函数单调递减，

12345678910111213141516又f(0)＝3a＋b,123456789101112131415169.已知函数f(x)＝ex＋

，a∈R，试讨论函数f(x)的零点个数.解函数f(x)的定义域为{x|x≠a}.(1)当x＞a时，ex＞0，x－a＞0，∴f(x)＞0，即f(x)在(a，＋∞)上无零点.12345678910111213141516令g(x)＝ex(x－a)＋1，则g′(x)＝ex(x－a＋1).由g′(x)＝0得x＝a－1.当x＜a－1时，g′(x)＜0；当x＞a－1时，g′(x)＞0，∴g(x)在(－∞，a－1)上单调递减，在(a－1，a)上单调递增，∴g(x)min＝g(a－1)＝1－ea－1.∴当a＝1时，g(a－1)＝0，则x＝a－1是f(x)的唯一零点；当a＜1时，g(a－1)＝1－ea－1＞0，则f(x)没有零点；当a＞1时，g(a－1)＝1－ea－1＜0，则f(x)有两个零点.123456789101112131415161234567891011121314151610.某知名保健品企业新研发了一种健康饮品.已知每天生产该种饮品最多不超过40千瓶，最少1千瓶，经检测知生产过程中该饮品的正品率P与日产量x(x∈N*，单位：千瓶)间的关系为P＝

，每生产一瓶正品盈利4元，每生产一瓶次品亏损2元.(注：正品率＝饮品的正品瓶数÷饮品总瓶数×100%)(1)将日利润y(元)表示成日产量x的函数；12345678910111213141516解由题意，知每生产1千瓶正品盈利4000元，每生产1千瓶次品亏损2000元，12345678910111213141516(2)求该种饮品的最大日利润.12345678910111213141516则f′(x)＝3600－4x2.令f′(x)＝0，解得x＝30或x＝－30(舍去).当1≤x<30时，f′(x)>0；当30<x≤40时，f′(x)<0，所以函数f(x)在[1,30)上单调递增，在(30,40]上单调递减，所以当x＝30时，函数f(x)取得极大值，也是最大值，所以该种饮品的最大日利润为72000元.123456789101112131415综合运用16√12345678910111213141516当x>e时，g′(x)<0，g(x)单调递减；当0<x<e时，g′(x)>0，g(x)单调递增，12345678910111213141516显然当x>1时，g(x)>0；当0<x<1时，g(x)<0；当x＝1时，g(1)＝0，12345678910111213141516√12345678910111213141516解析因为函数f(x)＝ex－ax2(x>0)无零点，所以方程ex－ax2＝0在x∈(0，＋∞)上无解，当x>2时，g′(x)>0，函数g(x)单调递增；当0<x<2时，g′(x)<0，函数g(x)单调递减，所以当x＝2时，函数g(x)有唯一的极小值，也是最小值.1234567891011121314151613.方程x2＝ex的实根个数为A.0 B.1 C.2 D.3√12345678910111213141516解析设f(x)＝ex－x2，f′(x)＝ex－2x，令g(x)＝f′(x)＝ex－2x，则g′(x)＝ex－2，令g′(x)＝0，则x＝ln2，当x<ln2时，g′(x)<0；当x>ln2时，g′(x)>0，所以g(x)在(－∞，ln2)上单调递减，在(ln2，＋∞)上单调递增，所以当x＝ln2时，g(x)取得极小值，也是最小值，为f′(x)的最小值，f′(x)min＝f′(ln2)＝eln2－2ln2＝2(1－ln2)>0，即f′(x)>0在(－∞，＋∞)上恒成立，所以f(x)＝ex－x2在(－∞，＋∞)上单调递增，12345678910111213141516所以函数f(x)＝ex－x2存在唯一的零点，即方程x2＝ex只有1个实根.1234567891011121314151614.一个帐篷，它下部的形状是高为1m的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3m的正六棱锥(如图所示).当帐篷的顶点O到底面中心O1的距离为_____m时，帐篷的体积最大.212345678910111213141516解析设OO1＝xm，则1<x<4.由题设可得正六棱锥底面边长为则底面正六边形的面积为帐篷的体积为12345678910111213141516令V′(x)＝0，解得x＝－2(不符合题意，舍去)或x＝2.当1<x<2时，V′(x)>0，V(x)单调递增；当2<x<4时，V′(x)<0，V(x)单调递减.综上，当x＝2时，V(x)最大.拓广探究1234567891011121314151615.已知方程|lnx|＝ax有三个实数解，则实数a的取值范围为_______.解析因为方程|lnx|＝ax有三个实数解，所以函数y＝|lnx|与y＝ax的图象有三个交点，作出y＝|lnx|图象如图，当a≤0时，函数y＝|lnx|与y＝ax的图象至多有1个交点，不符合题意；当a>0时，设y＝lnx

与y＝ax相切于点P(x0，y0)，则