高中数学选择性必修二课件：4 2 2 第2课时 等差数列前n项和的性质及应用(人教A版)

第2课时等差数列前n项和的性质及应用第四章4.2.2等差数列的前n项和公式1.构造等差数列求和模型，解决实际问题.2.能够利用等差数列前n项和的函数性质求其前n项和的最值.3.理解并应用等差数列前n项和的性质.学习目标随堂演练课时对点练一、等差数列前n项和的实际应用二、等差数列中前n项和的最值问题三、等差数列中的片段和问题内容索引一、等差数列前n项和的实际应用问题1

请同学们围绕身边的相关生活背景，发挥智慧，命制一个等差数列求和的应用题.提示我们学校会议室里的一排排座位；超市里摆放的水果；工地上的一堆钢管等.例1

某单位用分期付款的方式为职工购买40套住房，共需1150万元，购买当天先付150万元，按约定以后每月的这一天都交付50万元，并加付所有欠款利息，月利率为1%，若交付150万元后的一个月开始算分期付款的第一个月，问分期付款的第10个月应付多少钱？全部付清后，买这40套住房实际花了多少钱？解因购房时付150万元，则欠款1000万元，依题意知分20次付款，则每次付款的数额依次构成数列{an}，则a1＝50＋1000×1%＝60，a2＝50＋(1000－50)×1%＝59.5，a3＝50＋(1000－50×2)×1%＝59，a4＝50＋(1000－50×3)×1%＝58.5，所以an＝50＋[1000－50(n－1)]×1%＝10×(60＋50.5)＝1105.所以实际共付1105＋150＝1255(万元).反思感悟(1)本题属于与等差数列前n项和有关的应用题，其关键在于构造合适的等差数列.(2)遇到与正整数有关的应用题时，可以考虑与数列知识联系，抽象出数列的模型，并用有关知识解决相关的问题，是数学建模的核心素养的体现.反思感悟(1)本题属于与等差数列前n项和有关的应用题，其关键在于构造合适的等差数列.(2)遇到与正整数有关的应用题时，可以考虑与数列知识联系，抽象出数列的模型，并用有关知识解决相关的问题，是数学建模的核心素养的体现.跟踪训练1

《张邱建算经》卷上第22题为：今有女善织，日益功疾，且从第2天起，每天比前一天多织相同量的布，若第1天织5尺布，现在一月(按30天计)共织390尺布，则每天比前一天多织____尺布(不作近似计算).解析由题意知，该女每天的织布尺数构成等差数列{an}，其中a1＝5，S30＝390，二、等差数列中前n项和的最值问题问题2根据上节课所学，等差数列前n项和公式有什么样的函数特点？知识梳理等差数列前n项和的最值(1)在等差数列{an}中，当a1>0，d<0时，Sn有最

值，使Sn取得最值的n可由不等式组________确定；当a1<0，d>0时，Sn有最

值，使Sn取得最值的n可由不等式组________确定．大小知识梳理等差数列前n项和的最值(1)在等差数列{an}中，当a1>0，d<0时，Sn有最

值，使Sn取得最值的n可由不等式组________确定；当a1<0，d>0时，Sn有最

值，使Sn取得最值的n可由不等式组________确定．大小小大例2

在等差数列{an}中，a1＝25，S8＝S18，求前n项和Sn的最大值.解方法一

因为S8＝S18，a1＝25，解得d＝－2.所以当n＝13时，Sn有最大值为169.方法二

同方法一，求出公差d＝－2.所以an＝25＋(n－1)×(－2)＝－2n＋27.因为a1＝25>0，又因为n∈N*，所以当n＝13时，Sn有最大值为169.方法三

因为S8＝S18，所以a9＋a10＋…＋a18＝0.由等差数列的性质得a13＋a14＝0.因为a1>0，所以d<0.所以a13>0，a14<0.所以当n＝13时，Sn有最大值.由a13＋a14＝0，得a1＋12d＋a1＋13d＝0，解得d＝－2，所以Sn的最大值为169.方法四

设Sn＝An2＋Bn.因为S8＝S18，a1＝25，所以当n＝13时，Sn取得最大值.所以Sn＝－n2＋26n，所以S13＝169，即Sn的最大值为169.反思感悟(1)等差数列前n项和Sn最大(小)值的情形①若a1>0，d<0，则Sn存在最大值，即所有非负项之和；②若a1<0，d>0，则Sn存在最小值，即所有非正项之和.(2)求等差数列前n项和Sn最值的方法①寻找正、负项的分界点，可利用等差数列性质或利用②运用二次函数求最值.跟踪训练2

在等差数列{an}中，a10＝18，前5项的和S5＝－15.(1)求数列{an}的通项公式；解设等差数列的公差为d，因为在等差数列{an}中，a10＝18，S5＝－15，所以an＝3n－12，n∈N*.(2)求数列{an}的前n项和的最小值，并指出何时取最小值.解因为a1＝－9，d＝3，an＝3n－12，所以当n＝3或4时，前n项和Sn取得最小值为S3＝S4＝－18.三、等差数列中的片段和问题问题3

等差数列{an}的前n项和Sn，你能发现Sn与S2n的关系吗？提示S2n＝a1＋a2＋…＋an＋an＋1＋…＋a2n＝Sn＋(a1＋nd)＋(a2＋nd)＋…＋(an＋nd)＝2Sn＋n2d，同样我们发现S3n＝3Sn＋3n2d，这里出现了一个有意思的数列Sn，S2n－Sn＝Sn＋n2d，S3n－S2n＝Sn＋2n2d，…，是一个公差为n2d的等差数列.知识梳理1.设等差数列{an}的公差为d，Sn为其前n项和，则Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…仍构成等差数列，且公差为m2d.2.若数列{an}是公差为d的等差数列，则数列

也是等差数列，且公差为

.3.在等差数列中，若Sn＝m，Sm＝n，则Sm＋n＝－(m＋n).例3

已知Sn是等差数列{an}的前n项和，且S10＝100，S100＝10，求S110.解方法一设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，∵S10＝100，S100＝10，方法二∵S10，S20－S10，S30－S20，…，S100－S90，S110－S100，…成等差数列，设公差为d，所以S110＝－110.方法四直接利用性质Sn＝m，Sm＝n，Sm＋n＝－(m＋n)，可知S110＝－110.反思感悟利用等差数列前n项和的性质简化计算(1)在解决等差数列问题时，先利用已知求出a1，d，再求所求，是基本解法，有时运算量大些.(2)等差数列前n项和Sn的有关性质在解题过程中，如果运用得当可以达到化繁为简、化难为易、事半功倍的效果.(3)设而不求，整体代换也是很好的解题方法.跟踪训练3

等差数列{an}的前m项和为30，前2m项和为100，求数列{an}的前3m项的和S3m.解方法一在等差数列中，∵Sm，S2m－Sm，S3m－S2m成等差数列，∴30,70，S3m－100成等差数列.∴2×70＝30＋(S3m－100)，∴S3m＝210.即S3m＝3(S2m－Sm)＝3×(100－30)＝210.1.知识清单：(1)等差数列前n项和的实际应用.(2)等差数列前n项和的最值问题.(3)等差数列中的片段和问题.2.方法归纳：公式法、构造法、函数法、整体代换法.3.常见误区：等差数列前n项和性质应用的前提是等差数列.课堂小结随堂演练12341.已知数列{an}满足an＝26－2n，则使其前n项和Sn取最大值的n的值为A.11或12 B.12 C.13 D.12或13√1234解析∵an＝26－2n，∴an－an－1＝－2(n≥2，n∈N*)，∴数列{an}为等差数列.又a1＝24，d＝－2，∵n∈N*，∴当n＝12或13时，Sn最大.12342.等差数列{an}中，S3＝3，S6＝9，则S12等于A.12 B.18 C.24 D.30√解析根据题意，得在等差数列{an}中，S3，S6－S3，S9－S6，S12－S9，…也成等差数列，又由S3＝3，S6＝9，得S6－S3＝6，则S9－S6＝9，S12－S9＝12，则S12＝S3＋(S6－S3)＋(S9－S6)＋(S12－S9)＝3＋6＋9＋12＝30.12343.《算法统宗》是中国古代数学名著，由明代数学家程大位编著，它对我国民间普及珠算和数学知识起到了很大的作用.在这部著作中，许多数学问题都是以歌诀形式呈现的，“九儿问甲歌”就是其中一首：一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，共年二百又零七，借问长儿多少岁，各儿岁数要详推.在这个问题中，记这位公公的第n个儿子的年龄为an，则a1等于A.35 B.32 C.23 D.38√1234解析由题意可知，九个儿子的年龄成公差d＝－3的等差数列，且九项之和为207.123420181234解析∵Sn是等差数列{an}的前n项和，课时对点练基础巩固123456789101112131415161.在等差数列{an}中，a1＝1，其前n项和为Sn，若

＝2，则S10等于A.10 B.100 C.110 D.120√12345678910111213141516解析∵{an}是等差数列，a1＝1，∴S10＝100.123456789101112131415162.若等差数列{an}的前m项的和Sm为20，前3m项的和S3m为90，则它的前2m项的和S2m为A.30 B.70 C.50 D.60解析∵等差数列{an}中，Sm，S2m－Sm，S3m－S2m也成等差数列，∴2(S2m－Sm)＝Sm＋S3m－S2m，∴2(S2m－20)＝20＋90－S2m，∴S2m＝50.√123456789101112131415163.已知数列{2n－19}，那么这个数列的前n项和SnA.有最大值且是整数 B.有最小值且是整数C.有最大值且是分数 D.无最大值和最小值√12345678910111213141516解析易知数列{2n－19}的通项公式为an＝2n－19，∴a1＝－17，d＝2.∴该数列是递增的等差数列.∴a1<a2<a3<…<a9<0<a10<….123456789101112131415164.在等差数列{an}中，Sn是其前n项和，且S2011＝S2018，Sk＝S2009，则正整数k为A.2017 B.2018 C.2019 D.2020√解析因为等差数列的前n项和Sn是关于n的二次函数，所以由二次函数的对称性及S2011＝S2018，Sk＝S2009，解得k＝2020.123456789101112131415165.在我国古代著名的数学专著《九章算术》里有一段叙述：今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安四百二十里，良马初日行九十七里，日增一十五里；驽马初日行九十二里，日减一里；良马先至齐，复还迎驽马，二马相逢.问：几日相逢？A.4日 B.3日 C.5日 D.6日√12345678910111213141516解析由题意，可知良马第n日行程记为an，则数列{an}是首项为97，公差为15的等差数列，驽马第n日行程记为bn，则数列{bn}是首项为92，公差为－1的等差数列，则an＝97＋15(n－1)＝15n＋82，bn＝92－(n－1)＝93－n.整理得14n2＋364n－1680＝0，即n2＋26n－120＝0，解得n＝4(n＝－30舍去)，即4日相逢.123456789101112131415166.(多选)设{an}是等差数列，Sn为其前n项和，且S5<S6＝S7>S8，则下列结论正确的是A.d<0 B.a7＝0C.S9>S5 D.S6与S7均为Sn的最大值√√解析∵S5<S6＝S7>S8，∴a6>0，a7＝0，a8<0.∴d<0.∴S6与S7均为Sn的最大值.S9－S5＝a6＋a7＋a8＋a9＝2(a7＋a8)<0.√∴S9<S5，故C错.123456789101112131415167.已知等差数列前n项和为Sn，其中S5＝8，S8＝5，则S13＝______.解析由性质Sn＝m，Sm＝n，Sm＋n＝－(m＋n)可知，S13＝－13.－13123456789101112131415168.已知在等差数列{an}中，Sn为其前n项和，已知S3＝9，a4＋a5＋a6＝7，则S9－S6＝____.解析∵S3，S6－S3，S9－S6成等差数列，而S3＝9，S6－S3＝a4＋a5＋a6＝7，∴S9－S6＝5.5123456789101112131415169.某抗洪指挥部接到预报，24小时后有一洪峰到达，为确保安全，指挥部决定在洪峰到来之前临时筑一道堤坝作为第二道防线.经计算，除现有的参战军民连续奋战外，还需调用20台同型号翻斗车，平均每辆车工作24小时.从各地紧急抽调的同型号翻斗车目前只有一辆投入使用，每隔20分钟能有一辆翻斗车到达，一共可调集25辆，那么在24小时内能否构筑成第二道防线？12345678910111213141516解从第一辆车投入工作算起各车工作时间(单位：小时)依次设为a1，a2，…，a25.而需要完成的工作量为24×20＝480.∵500>480，∴在24小时内能构筑成第二道防线.1234567891011121314151610.已知在等差数列{an}中，a1＝9，a4＋a7＝0.(1)求数列{an}的通项公式；解由a1＝9，a4＋a7＝0，得a1＋3d＋a1＋6d＝0，解得d＝－2，∴an＝a1＋(n－1)·d＝11－2n.12345678910111213141516(2)当n为何值时，数列{an}的前n项和取得最大值？12345678910111213141516解方法一

a1＝9，d＝－2，＝－(n－5)2＋25，∴当n＝5时，Sn取得最大值.方法二

由(1)知a1＝9，d＝－2<0，∴{an}是递减数列.令an≥0，则11－2n≥0，12345678910111213141516∵n∈N*，∴当n≤5时，an>0；当n≥6时，an<0.∴当n＝5时，Sn取得最大值.12345678910111213141516综合运用√解析由等差数列的性质知S3，S6－S3，S9－S6，S12－S9成等差数列，设S3＝k，S6＝4k(k≠0)，则S9＝3S6－3S3＝9k，S12＝3S9－3S6＋S3＝16k，1234567891011121314151612.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a2＝11，

＝－8，则Sn取最大值时的n为A.6 B.7 C.8 D.9√12345678910111213141516解析设数列{an}是公差为d的等差数列，解得d＝－2；则a1＝a2－d＝13，则Sn＝－n2＋14n＝－(n－7)2＋49，故当n＝7时，Sn取得最大值.1234567891011121314151613.等差数列{an}的前n项和为Sn，且a1>0，S4＝S9，当Sn最大时，n等于A.6 B.7 C.6或7 D.13√12345678910111213141516化简得a1＋6d＝0，所以a1＝－6d，因为a1>0，所以d<0，因为n∈N*，所以当n＝6或n＝7时，Sn取得最大值.1234567891011121314151614.现有200根相同的钢管，把它们堆成正三角形垛，要使剩余的钢管尽可能少，那么剩余钢管的根数为_____.10解析由题意知钢管排列方式是从上到下各层钢管数组成了一个等差数列，最上面一层钢管数为1，逐层增加1个.当n＝19时，S19＝190.当n＝20时，S20＝210>200.∴当n＝19时，剩余钢管根数最少，为10根.拓广探究1234567891011121314151615.已知等差数列{an}，满足a2019＋a2020<0，a2019·a2020<0，且数列{an}的前n项和Sn有最大值，那么Sn取最小正值时，n等于A.4037 B.4036 C.4035 D.4034√12345678910111213141516解析因为数列{an}的前n项和