高中数学选择性必修二课件：4 3 1 第1课时 等比数列的概念及通项公式(人教A版)

第四章

4.3.1等比数列的概念第1课时等比数列的概念及通项公式学习目标XUEXIMUBIAO1.通过实例，理解等比数列的概念.2.掌握等比中项的概念并会应用.3.掌握等比数列的通项公式并了解其推导过程.4.灵活应用等比数列通项公式的推广形式及变形.内容索引知识梳理题型探究随堂演练课时对点练1知识梳理PARTONE知识点一等比数列的概念1.定义：一般地，如果一个数列从第

项起，每一项与它的

一项的

都等于

常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的

，通常用字母q表示(q≠0).2前比同一个公比思考为什么等比数列的各项和公比q均不能为0?答案由于等比数列的每一项都可能作分母，故每一项均不能为0，因此q也不能为0.知识点二等比中项如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，此时，G2＝ab.思考当G2＝ab时，G一定是a，b的等比中项吗？答案不一定，如数列0,0,5就不是等比数列.知识点三等比数列的通项公式若等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则an＝

(n∈N*).a1qn－1知识点四等比数列通项公式的推广和变形等比数列{an}的公比为q，则an＝a1_______

①＝am_________

②＝

·

. ③其中当②中m＝1时，即化为①.qn－1qn－mlqn知识点四等比数列通项公式的推广和变形等比数列{an}的公比为q，则an＝a1_______

①＝am_________

②＝

·

. ③其中当②中m＝1时，即化为①.qn－1qn－mlqn1.数列1，－1,1，－1，…是等比数列.(

)2.若一个数列从第2项起每一项与前一项的比为常数，则该数列为等比数列.(

)3.等比数列的首项不能为零，但公比可以为零.(

)4.常数列一定为等比数列.(

)思考辨析判断正误SIKAOBIANXIPANDUANZHENGWU√×××2题型探究PARTTWO一、等比数列中的基本运算例1

在等比数列{an}中：(1)a1＝1，a4＝8，求an；解因为a4＝a1q3，所以8＝q3，所以q＝2，所以an＝a1qn－1＝2n－1.(2)an＝625，n＝4，q＝5，求a1；故a1＝5.(3)a2＋a5＝18，a3＋a6＝9，an＝1，求n.①②又an＝1，(3)a2＋a5＝18，a3＋a6＝9，an＝1，求n.①②又an＝1，反思感悟等比数列的通项公式涉及4个量a1，an，n，q，只要知道其中任意三个就能求出另外一个，在这四个量中，a1和q是等比数列的基本量，只要求出这两个基本量，问题便迎刃而解.跟踪训练1在等比数列{an}中：(1)若它的前三项分别为5，－15,45，求a5；所以a5＝405.(2)若a4＝2，a7＝8，求an.①②二、等比中项的应用例2

如果－1，a，b，c，－9成等比数列，那么b＝_____，ac＝___.－39解析因为b是－1，－9的等比中项，所以b2＝9，b＝±3.又等比数列奇数项符号相同，得b<0，故b＝－3，而b又是a，c的等比中项，故b2＝ac，即ac＝9.反思感悟(1)由等比中项的定义可知

所以只有a，b同号时，a，b的等比中项有两个，异号时，没有等比中项.(2)在一个等比数列中，从第二项起，每一项(有穷数列的末项除外)都是它的前一项和后一项的等比中项.(3)a，G，b成等比数列等价于G2＝ab(ab>0).跟踪训练2

在等比数列{an}中，a1＝－16，a4＝8，则a7等于A.－4 B.±4 C.－2 D.±2√解析因为a4是a1与a7的等比中项，即64＝－16a7，故a7＝－4.三、等比数列通项公式的推广及应用例3

在等比数列{an}中.(1)已知a3＝4，a7＝16，且q>0，求an；又q≠0，∴a1＝q.由2(an＋an＋2)＝5an＋1得，2an(1＋q2)＝5qan，∵an≠0，∴2(1＋q2)＝5q，∵a1＝q，且{an}为递增数列，反思感悟(1)应用an＝amqn－m，可以凭借任意已知项和公比直接写出通项公式，不必再求a1.(2)等比数列的单调性由a1，q共同确定，但只要单调，必有q>0.跟踪训练3

已知等比数列{an}满足a1＝3，a1＋a3＋a5＝21，则a3＋a5＋a7等于A.21 B.42 C.63 D.84√解析设等比数列{an}的公比为q，则由a1＝3，a1＋a3＋a5＝21得3(1＋q2＋q4)＝21，解得q2＝－3(舍去)或q2＝2，于是a3＋a5＋a7＝q2(a1＋a3＋a5)＝2×21＝42.四、灵活设元求解等比数列问题例4

(1)有四个数成等比数列，将这四个数分别减去1,1,4,13成等差数列，则这四个数的和是_____.45解析(1)设这四个数分别为a，aq，aq2，aq3，则a－1，aq－1，aq2－4，aq3－13成等差数列.因此这四个数分别是3,6,12,24，其和为45.(2)有四个实数，前三个数成等比数列，且它们的乘积为216，后三个数成等差数列，且它们的和为12，求这四个数.所以a3＝216.所以a＝6.由题意知第4个数为12q－6.故所求的四个数为9,6,4,2.故所求得的四个数为9,6,4,2.反思感悟几个数成等比数列的设法推广到一般：奇数个数成等比数列设为(2)四个符号相同的数成等比数列设为推广到一般：偶数个符号相同的数成等比数列设为(3)四个数成等比数列，不能确定它们的符号是否相同时，可设为a，aq，aq2，aq3.跟踪训练4

在2和20之间插入两个数，使前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，则插入的两个数的和为√∴a2－a－20＝0，解得a＝－4或a＝5.3随堂演练PARTTHREE1.在等比数列{an}中，若a2＝4，a5＝－32，则公比q应为12345√123452.(多选)已知a是1,2的等差中项，b是－1，－16的等比中项，则ab等于A.6 B.－6 C.－12 D.12√√∴ab＝±6.3.若等比数列的首项为4，末项为128，公比为2，则这个数列的项数为A.4 B.8 C.6 D.3212345√解析由等比数列的通项公式得，128＝4×2n－1,2n－1＝32，所以n＝6.123454.等比数列{an}中，|a1|＝1，a5＝－8a2，a5＞a2，则an等于A.(－2)n－1 B.－(－2n－1)

C.(－2)n D.－(－2)n解析设公比为q，则a1q4＝－8a1q，又a1≠0，q≠0，所以q3＝－8，q＝－2，又a5＞a2，所以a2＜0，a5＞0，从而a1＞0，即a1＝1，故an＝(－2)n－1.√5.在等比数列{an}中，a1＝－2，a3＝－8，则数列{an}的公比为____，通项公式为an＝____________.12345±2当q＝－2时，an＝a1qn－1＝－2×(－2)n－1＝(－2)n；当q＝2时，an＝a1qn－1＝－2×2n－1＝－2n.(－2)n或－2n1.知识清单：(1)等比数列的概念.(2)等比数列的通项公式.(3)等比中项的概念.(4)等比数列的通项公式推广.2.方法归纳：方程(组)思想、构造法、等比数列的设法.课堂小结KETANGXIAOJIE3.常见误区：(1)x，G，y成等比数列⇒G2＝xy，但G2＝xy⇏x，G，y成等比数列.(2)四个数成等比数列时设成

aq，aq3，未考虑公比为负的情况.(3)忽视了等比数列中所有奇数项符号相同，所有偶数项符号相同而出错.4课时对点练PARTFOUR1.在数列{an}中，若an＋1＝3an，a1＝2，则a4为A.108 B.54 C.36 D.18基础巩固12345678910111213141516√解析因为an＋1＝3an，所以数列{an}是公比为3的等比数列，则a4＝33a1＝54.12345678910111213141516√所以a4与a8的等比中项为±a6＝±4.√解析∵a1＋a2＝1，a3＋a4＝9，∴q2＝9.∴q＝3(q＝－3舍去)，∴a4＋a5＝(a3＋a4)q＝27.3.在等比数列{an}中，an>0，且a1＋a2＝1，a3＋a4＝9，则a4＋a5的值为A.16 B.27 C.36 D.8112345678910111213141516√4.数列{an}是公差不为0的等差数列，且a1，a3，a7为等比数列{bn}的连续三项，则数列{bn}的公比为√设数列{an}的公差为d，则d≠0，所以(a1＋2d)2＝a1(a1＋6d)，所以a1＝2d，12345678910111213141516A.22n－1 B.2n C.22n＋1 D.22n－3√12345678910111213141516由等比数列的定义知数列{an}是以2为首项，4为公比的等比数列.由等比数列的通项公式，得an＝2×4n－1＝22n－1.6.若{an}为等比数列，且a3＋a4＝4，a2＝2，则公比q＝________.123456789101112131415161或－27.已知{an}是等差数列，公差d不为零.若a2，a3，a7成等比数列，且2a1＋a2＝1，且a1＝___，d＝_____.解析∵a2，a3，a7成等比数列，－1∴(a1＋2d)2＝(a1＋d)(a1＋6d)，即2d＋3a1＝0. ①又∵2a1＋a2＝1，∴3a1＋d＝1. ②123456789101112131415168.已知等比数列{an}的前三项依次为a－1，a＋1，a＋4，则an＝________.解析由已知可得(a＋1)2＝(a－1)(a＋4)，解得a＝5，所以a1＝4，a2＝6，12345678910111213141516123456789101112131415169.在等比数列{an}中，a3＝32，a5＝8.(1)求数列{an}的通项公式an；12345678910111213141516123456789101112131415161234567891011121314151610.在等比数列{an}中：(1)已知a3＝2，a5＝8，求a7；所以q2＝4，所以a7＝a5q2＝8×4＝32.12345678910111213141516(2)已知a3＋a1＝5，a5－a1＝15，求通项公式an.解a3＋a1＝a1(q2＋1)＝5，a5－a1＝a1(q4－1)＝15，所以q2－1＝3，所以q2＝4，所以a1＝1，q＝±2，所以an＝a1qn－1＝(±2)n－1.11.已知a，b，c，d成等比数列，且曲线y＝x2－2x＋3的顶点是(b，c)，则ad等于A.3 B.2 C.1 D.－2综合运用√解析∵y＝(x－1)2＋2，∴b＝1，c＝2.又∵a，b，c，d成等比数列，∴ad＝bc＝2.1234567891011121314151612345678910111213141516√解析方法一∵a3，a5的等比中项为±a4，∴a4＝2.12345678910111213141516方法二∵a3a5＝4(a4－1)，∴a1q2·a1q4＝4(a1q3－1)，解得q＝2，123456789101112131415161234567891011121314151613.(多选)已知等差数列a，b，c三项之和为12，且a，b，c＋2成等比数列，则a等于A.－2 B.2 C.－8 D.8√√故a＝2或a＝8.1234567891011121314151614.若数列{an}的前n项和为Sn，且an＝2Sn－3，则{an}的通项公式是_______________.an＝3·(－1)n－1解析由an＝2Sn－3得an－1＝2Sn－1－3(n≥2)，两式相减得an－an－1＝2an(n≥2)，∴an＝－an－1(n≥2)，又a1＝3，故{an}是首项为3，公比为－1的等比数列，∴an＝3·(－1)n－1.拓广探究1234567891011121314151615.已知在等差数列{an}中，a2＋a4＝16，a1＋1，a2＋1，a4＋1成等比数列，把各项按如图所示排列.则从上到下第10行，从左到右的第11个数值为________.275或8解析设公差为d，由a2＋a4＝16，得a1＋2d＝8，

①由a1＋1，a2＋1，a4＋1成等比数列，得(a2＋1)2＝(a1＋1)(a4＋1)，化简得a1－d＝－1或d＝0，

②当d＝3时，an＝3n－1.由题图可得第10行第11个数为数列{an}中的第92项，a92＝3×92－1＝275.当d＝0时，an＝8，a92＝8.123456789101112131415161234567891011121314151616.设数列{an}是公比小于1的正项等比数列，已知a1＝8，且a1＋13,4a2，a3＋9成等差数列.(1)求数列{an}的通项公式；12345678910111213141516解设数列{an}的公比为q.由题意，可得an＝8qn－1，且0＜q＜1.由a1＋13,4a2，a3＋9成等差数列，知8a2＝30＋a3，所以64q＝30＋8q2，123456789101