高中数学选择性必修二课件：§5 1 第1课时 变化率问题和导数的概念(人教A版)

第五章

§5.1导数的概念及其意义第1课时变化率问题和导数的概念学习目标XUEXIMUBIAO1.了解导数概念的实际背景.2.会求函数在某一点附近的平均变化率.3.会利用导数的定义求函数在某点处的导数.内容索引知识梳理题型探究随堂演练课时对点练1知识梳理PARTONE知识点一瞬时速度瞬时速度的定义(1)物体在

的速度称为瞬时速度.(2)一般地，设物体的运动规律是s＝s(t)，则物体在t0到t0＋Δt这段时间某一时刻极限知识点二函数的平均变化率对于函数y＝f(x)，设自变量x从x0变化到x0＋Δx，相应地，函数值y就从f(x0)变化到f(x0＋Δx).这时，x的变化量为Δx，y的变化量为Δy＝________

.我们把比值

叫做函数y＝f(x)从x0到x0＋Δx的平均变化率.

f(x0＋Δx)－f(x0)知识点三函数在某点处的导数f′(x0)或1.在平均变化率中，函数值的增量为正值.(

)2.瞬时变化率是刻画某函数值在区间[x1，x2]上变化快慢的物理量.(

)3.函数y＝f(x)在x＝x0处的导数值与Δx的正、负无关.(

)4.设x＝x0＋Δx，则Δx＝x－x0，当Δx趋近于0时，x趋近于x0，因此，f′(x0)思考辨析判断正误SIKAOBIANXIPANDUANZHENGWU√√××2题型探究PARTTWO2题型探究PARTTWO一、函数的平均变化率√A.－0.11 B.－1.1 C.3.89 D.0.29√解析∵Δy＝f(2＋0.1)－f(2)＝(3×2.1－2.12)－(3×2－22)＝－0.11，(3)汽车行驶的路程s和时间t之间的函数图象如图，在时间段[t0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]上的平均速度分别为

则三者的大小关系为___________.反思感悟求平均变化率的主要步骤(1)先计算函数值的改变量Δy＝f(x2)－f(x1).(2)再计算自变量的改变量Δx＝x2－x1.跟踪训练1

已知函数f(x)＝3x2＋5，求f(x)：(1)从0.1到0.2的平均变化率；解因为f(x)＝3x2＋5，跟踪训练1

已知函数f(x)＝3x2＋5，求f(x)：(1)从0.1到0.2的平均变化率；解因为f(x)＝3x2＋5，(2)在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率.解f(x0＋Δx)－f(x0)＝6x0Δx＋3(Δx)2.二、求瞬时速度例2

一做直线运动的物体，其位移s与时间t的关系是s(t)＝3t－t2.(1)求此物体的初速度；解当t＝0时的速度为初速度.在0时刻取一时间段[0,0＋Δt]，即[0，Δt]，∴Δs＝s(Δt)－s(0)＝[3Δt－(Δt)2]－(3×0－02)＝3Δt－(Δt)2，∴物体的初速度为3.(2)求此物体在t＝2时的瞬时速度.解取一时间段[2,2＋Δt]，∴Δs＝s(2＋Δt)－s(2)＝[3(2＋Δt)－(2＋Δt)2]－(3×2－22)＝－Δt－(Δt)2，∴当t＝2时，物体的瞬时速度为－1.反思感悟求运动物体瞬时速度的三个步骤(1)求位移改变量Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0).跟踪训练2

(1)一物体的运动方程为s＝7t2－13t＋8，且在t＝t0时的瞬时速度为1，则t0＝____.1＝14t0·Δt－13Δt＋7(Δt)2，所以t0＝1.(2)一质点M按运动方程s(t)＝at2＋1做直线运动(位移单位：m，时间单位：s)，若质点M在t＝2s时的瞬时速度为8m/s，求常数a的值.解质点M在t＝2s时的瞬时速度即为函数在t＝2处的瞬时变化率.∵质点M在t＝2附近的平均变化率为三、求函数在某点处的导数从而y′|x＝1＝2.反思感悟用导数定义求函数在某一点处的导数的步骤(1)求函数的增量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0).跟踪训练3

(1)f(x)＝x2在x＝1处的导数为A.2x B.2 C.2＋Δx D.1√A.－4 B.2 C.－2 D.±2√3随堂演练PARTTHREE1.函数y＝1在[2,2＋Δx]上的平均变化率是A.0 B.1 C.2 D.Δx12345√123452.已知函数f(x)＝2x2－4的图象上两点A，B，且xA＝1，xB＝1.1，则函数f(x)从A点到B点的平均变化率为A.4 B.4x C.4.2 D.4.02√A.18m/s是物体从开始到3s这段时间内的平均速度B.18m/s是物体从3s到(3＋Δt)s这段时间内的速度C.18m/s是物体在3s这一时刻的瞬时速度D.18m/s是物体从3s到(3＋Δt)s这段时间内的平均速度12345√123454.一物体做直线运动，其运动方程为s(t)＝－t2＋2t，则t＝0时，其速度为A.－2 B.－1 C.0 D.2√所以当t＝0时，其速度为2.5.设函数f(x)＝ax＋3，若f′(1)＝3，则a＝___.123453又因为f′(1)＝3，所以a＝3.1.知识清单：(1)平均变化率.(2)瞬时速度.(3)函数在某点处的导数.2.方法归纳：极限法、定义法.3.常见误区：对函数的平均变化率、瞬时变化率及导数概念理解不到位.课堂小结KETANGXIAOJIE4课时对点练PARTFOUR基础巩固√123456789101112131415162.函数f(x)＝5x－3在区间[a，b]上的平均变化率为A.3 B.4 C.5 D.6√12345678910111213141516解析由平均速度和瞬时速度的关系可知，3.一质点的运动方程为s＝5－3t2，若该质点在时间段[1,1＋Δt]内相应的平均速度为－3Δt－6，则该质点在t＝1时的瞬时速度是A.－3 B.3 C.6 D.－612345678910111213141516√4.已知f(x)＝x2－3x，则f′(0)等于A.Δx－3 B.(Δx)2－3ΔxC.－3 D.0√123456789101112131415165.(多选)设f(x)＝t2x，若f′(1)＝4，则t的值是A.－2 B.－1 C.1 D.2√12345678910111213141516√所以t＝±2.6.函数f(x)＝x2－x在区间[－2，t]上的平均变化率是2，则t＝____.123456789101112131415165解析因为函数f(x)＝x2－x在区间[－2，t]上的平均变化率是2，即t2－t－6＝2t＋4，从而t2－3t－10＝0，解得t＝5或t＝－2(舍去).7.一物体位移s和时间t的关系是s＝2t－3t2，则物体的初速度是___.解析由题意知，212345678910111213141516当t＝0时，v＝2－6×0＝2，即物体的初速度是2.解析∵f(x)的图象过原点，∴f(0)＝0，12345678910111213141516－1123456789101112131415169.若函数f(x)＝ax2＋c，且f′(1)＝2，求a的值.解∵f(1＋Δx)－f(1)＝a(1＋Δx)2＋c－a－c＝a(Δx)2＋2aΔx，即2a＝2，∴a＝1.1234567891011121314151610.某物体按照s(t)＝3t2＋2t＋4(s的单位：m)的规律做直线运动，求自运动开始到4s时物体的运动的平均速度和4s时的瞬时速度.12345678910111213141516由于Δs＝3(t＋Δt)2＋2(t＋Δt)＋4－(3t2＋2t＋4)＝(2＋6t)Δt＋3(Δt)2.所以4s时物体的瞬时速度为26m/s.11.(多选)如图显示物体甲、乙在时间0到t1范围内，路程的变化情况，下列说法正确的是A.在0到t0范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度B.在0到t0范围内，甲的平均速度等于乙的平均速度C.在t0到t1范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度D.在t0到t1范围内，甲的平均速度小于乙的平均速度综合运用√12345678910111213141516√1234567891011121314151612.A，B两机关开展节能活动，活动开始后两机关的用电量W1(t)，W2(t)与时间t(天)的关系如图所示，则一定有A.两机关节能效果一样好B.A机关比B机关节能效果好C.A机关的用电量在[0，t0]上的平均变化率比B机关的

用电量在[0，t0]上的平均变化率大D.A机关与B机关自节能以来用电量总是一样大12345678910111213141516√解析由题图可知，A，B两机关用电量在[0，t0]上的平均变化率都小于0，由平均变化率的几何意义知，A机关用电量在[0，t0]上的平均变化率小于B机关的平均变化率，从而A机关比B机关节能效果好.1234567891011121314151612345678910111213141516√14.如图所示，函数y＝f(x)在[x1，x2]，[x2，x3]，[x3，x4]这几个区间内，平均变化率最大的一个区间是________.解析由平均变化率的定义可知，函数y＝f(x)在区间[x1，x2]，[x2，x3]，[x3，x4]上的平均变化率分别为12345678910111213141516[x3，x4]结合图象可以发现函数y＝f(x)的平均变化率最大的一个区间是[x3，x4].拓广探究123456789101112131415162所以m2＋m＋1＝7，所以m＝2或m＝－3(舍).1234567891011121314151616.若一物体的运动方程如下：(位移单位：m，时间单位：s)求：(1)物体在t∈[3,5]内的平均速度；解因为物体在t∈[3,5]内的时间变化量为Δt＝5－3＝2，位移变化量为Δs＝3×52＋2－(3×32＋2)＝3×(52－32)＝48，12345678910111213141516即物体在t∈[3,5]内的平均速度为24m/s.12345678910111213141516(2)物体在t＝1时的瞬时速度.解物体在t＝1时的瞬时速度即为物体在t＝1处位移的瞬时变化率，即物体在t＝1时的瞬时速度为－12m/s.备用工具&资料解