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福建省仙游县2024届九年级数学上学期期中试题(总分:150分,考试时间:120分钟)选择题(每小题4分,共40分)1.下列电视台的台标,是中心对称图形的是(
).2.下列方程中是一元二次方程的是()A.
xy+6=1B.
ax2+bx+c=0C.
x2=0D.
x3+12x−9=03.二次函数y=eq\f(1,2)(x-4)2+5的图象的开口方向、对称轴、顶点坐标分别是()A.向上,直线x=4,(4,5) B.向上,直线x=-4,(-4,5)C.向上,直线x=4,(4,-5) D.向下,直线x=-4,(-4,5)4.关于x的一元二次方程的一个根是0,则a的值是()
A.B.1C.1或D.或05.如图,点A,B,C是⊙O上的三点,已知∠AOB=120°,那么∠ACB的度数是()A.30° B.40° C.50° D.60°(第5题)(第6题)(第7题)(第16题)6.如图,已知⊙O的半径为5cm,弦AB=6cm,则圆心O到弦AB的距离是()A.1cm B.2cm C.3cm D.4cm7.如图,将△AOB绕点O按逆时针方向旋转60°后得到△A′OB′,若∠AOB=15°,则∠AOB′的度数是()A.25° B.30° C.40° D.45°8.已知二次函数y=kx2﹣5x﹣5的图象与x轴有交点,则k的取值范围是()A. B.且k≠0 C. D.且k≠09.设一元二次方程两个实根为和,则下列结论正确的是()(A)(B)(C)(D)10.如图,点C是以点O为圆心,AB为直径的半圆上的动点(点C不与点A,B重合),AB=4.设弦AC的长为x,△ABC的面积为y,则下列图象中,能表示y与x的函数关系的图象大致是()A B CD填空题(每小题4分,共24分)11.点(2,)关于原点对称的点的坐标是.12.函数的图象是抛物线,则m=__________.13.如图,AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB,垂足为E,连接AC.若∠CAB=22.5°,CD=6cm,则⊙O的半径为cm.(第13题)2114.若抛物线y=x2-x-2与x轴的交点坐标为(m,0),则代数式m2-m+2017的值为________.15.已知二次函数的图像上有三点A(3,Y1),B(2,Y2),C(-3,Y3),则Y1,Y2,Y3的大小关系是.216.如图,AB、CD是半径为5的⊙0的两条弦,AB=8,CD=6,MN是直径,AB⊥MN点E,CD⊥MN于点F,P为EF上的任意一点,则PA+PC的最小值是.解答题(共86分)17.(8分)如图所示,已知△ABC的顶点A、B、C的坐标分别是A(-1,-1)、B(-4,-3)、C(-4,-1).(1)作出△ABC关于原点O中心对称的图形△A′B′C′;(2)将△ABC绕原点O按顺时针方向旋转90°后得到△A1B1C1,画出△A1B1C1,并写出点的坐标.18.(8分)已知二次函数的图象经过点(0,−3),且顶点坐标为(1,−4).求这个解析式。19.(8分)如图在ΔABC中,∠BAC=120º,以BC为边的外作等边三角形ΔBCD,把ΔABD绕点D按顺时针方向旋转60º到ΔECD的位置,若AB=3cm,AC=2cm(1)求∠BAD的度数(2)求AD的长20.(8分)随着人们节能意识的增强,节能产品的销售量逐年增加.某商场高效节能灯2015年的年销售量为5万只,预计2017年将达到7.2万只.求该商场2015年到2017年高效节能灯年销售量的平均增长率.21.(8分)如图,AB、CD是⊙O的两条弦,延长AB、CD交于点P,连接AD、BC交于点E,∠P=30°,∠ABC=50°,求∠A的度数.w22.(8分)如图,⊙O直径AB和弦CD相交于点E,AE=4,EB=8,∠DEB=30°,求弦CD长.23.(10分)如图,已知AB是⊙O的直径,点C、D在⊙O上,点E在⊙O外,∠EAC=∠D=60°.(1)求∠ABC的度数;(2)求证:AE是⊙O的切线;(3)当BC=4时,求劣弧AC的长.24.(13分)某公路隧道横截面为抛物线,其最大高度为6米,底部宽度OM为12米.现以O点为原点,OM所在直线为x轴建立直角坐标系.(1)直接写出点M及抛物线顶点P的坐标;(2)求这条抛物线的解析式;(3)若要搭建一个矩形“支撑架”AD-DC-CB,使C、D点在抛物线上,A、B点在地面OM上,则这个“支撑架”总长的最大值是多少?(第24题)(第25题)25.(15分)如图1在平面直角坐标系中,⊙O1与x轴切于A(﹣3,0)与y轴交于B、C两点,BC=8,连AB.(1)求证:∠ABO1=∠ABO;(2)求AB的长;(3)如图2,过A、B两点作⊙O2与y轴的正半轴交于M,与O1B的延长线交于N,当⊙O2的大小变化时,BM﹣BN的值是否发生不变?并说明理由?
2024年秋季郊尾、枫亭五校教研小片区期中考试联考九年级数学科答案(总分:150分,考试时间:120分钟)一、选择题(每小题4分,共40分)12345678910ACAADDDBAD二、填空题(每小题4分,共24分)11.(-2,2);12.-1;13.;14.2019;15.;16.三、解答题(共86分)17.(1)图略;(2)图略,A1(-1,1)B1(-3,-4)C1(-1,-4)18.19.(1)(2)AD=5cm20.增长率为20%21.22.23.(1)(2)略(3)24.(1)M(12,0),P(6,6);(2)(3)设A(m,0),则有B(12-m,0),C(12-m,),D(m,)∴“支撑架“的总长为AD+DC+CB=+(12-2m)+()=∴当m=3时,AD+DC+CB有最大值为15米.25.(1)连接O1A,则O1A⊥OA,又OB⊥OA,∴O1A∥OB,∴∠O1AB=∠ABO,又∵O1A=O1B,∴∠O1AB=∠O1BA,∴∠ABO1=∠ABO;(2)作O1E⊥BC于点E,∴E为BC的中点,∵BC=8,∴BE=BC=4,∵A(﹣3,0),∴O1E=OA=3,在直角三角形O1BE中,根据勾股定理得:O1B===5,∴O1A=EO=5,∴BO=5﹣4=1,在直角三角形AOB中,根据勾股定理得:AB==;(3)BM﹣BN的值不变,理由为:证明:在MB上取一点G,使MG=BN,连接AM、AN、AG、MN,∵∠ABO1为四边形ABMN的外角,∴∠ABO1=∠NMA,又∠ABO1=∠ABO,∴∠ABO=∠NMA,又∠ABO=∠ANM,∴∠AMN=∠ANM,∴AM=AN,∵∠AMG和∠ANB都为所对的圆周角,∴∠AMG=∠ANB,在△AMG和△ANB中,∵,∴△AMG≌△ANB(SAS),∴AG=AB,∵AO⊥BG,∴BG=2BO=2,∴BM﹣BN=BM﹣MG=BG=2其值不变.福建省三明市大田县2024学年九年级上期末模拟数学试卷一、单选题(共10题;共30分)1.在一个不透明的袋子中,装有红球、黄球、篮球、白球各1个,这些球除颜色外无其他差别,从袋中随机取出一个球,取出红球的概率为()A.
B.
C.
D.
12.如图,若AB是⊙O的直径,CD是⊙O的弦,∠ABD=58°,则∠C的度数为(
)
A.
116°
B.
58°
C.
42°
D.
32°3.如图,把边长为3的正三角形绕着它的中心旋转80°后,则新图形与原图形重叠部分的面积为(
)
A.
B.
C.
D.
4.已知函数y=,则使y=k成立的x值恰好有三个,则k的值为()A.
0
B.
1
C.
2
D.
35.已知一个函数图象经过(1,﹣4),(2,﹣2)两点,在自变量x的某个取值范围内,都有函数值y随x的增大而减小,则符合上述条件的函数可能是(
)A.
正比例函数
B.
一次函数
C.
反比例函数
D.
二次函数6.在一个不透明的袋子中装有5个除颜色外完全相同的小球,其中黄球2个,红球1个,白球2个,“从中任意摸出3个球,它们的颜色相同”,这一事件是()A.
必然事件
B.
不可能事件
C.
随机事件
D.
确定事件7.已知关于x的一元二次方程x2+2x﹣(m﹣2)=0有实数根,则m的取值范围是(
)A.
m>1
B.
m<1
C.
m≥1
D.
m≤18.在一个暗箱里放有a个除颜色外其他完全相同的球,这a个球中红球有4个,每次将球搅拌均匀后,任意摸出一个球记下颜色再放回暗箱,通过大量重复摸球实验后发现,摸到红球的频率稳定在0.25,那么可以推算出a大约是()A.
3
B.
4
C.
12
D.
169.已知a、b、c为常数,点P(a,c)在第二象限,则关于x的方程ax2+bx+c=0根的情况是(
)A.
有两个相等的实数根
B.
有两个不相等的实数根
C.
没有实数根
D.
无法判断10.⊙O的内接正三角形的边长等于3,则⊙O的面积等于()A.
27π
B.
π
C.
9π
D.
π二、填空题(共8题;共24分)11.判断下面的说法:如果一件事发生的可能性为百万分之一,那么它就不可能发生
________(填“正确”或“错误”)12.如图,依次以三角形、四边形、…、n边形的各顶点为圆心画半径为1的圆,且圆与圆之间两两不相交.把三角形与各圆重叠部分面积之和记为S3,四边形与各圆重叠部分面积之和记为S4,….n边形与各圆重叠部分面积之和记为Sn.则S2017的值为________.(结果保留π)
13.如图,四边形ABCD是圆内接四边形,E是BC延长线上一点,若∠BAD=105°,则∠DCE的大小是________.
14.二次函数y=x2+4x+5(﹣3≤x≤0)的最大值和最小值分别是________.
15.将抛物线y=(x+1)2向下平移2个单位,得到新抛物线的函数解析式是________
16.如图,⊙O的半径OA⊥弦BC,且∠AOB=60°,D是⊙O上另一点,AD与BC相交于点E,若DC=DE,则正确结论的序号是________
(多填或错填得0分,少填酌情给分).
①弧AB=弧AC;
②∠ACD=105°;
③AB<BE;
④△AEC∽△ACD.
17.如图,已知正方形ABCD的顶点A、B在⊙O上,顶点C、D在⊙O内,将正方形ABCD绕点逆时针旋转,使点D落在⊙O上.若正方形ABCD的边长和⊙O的半径均为6cm,则点D运动的路径长为________
cm.
18.把△ABC绕点A按逆时针方向旋转θ度,并使各边长变为原来的n倍,得到△AB′C′,即如图,∠BAB′=θ,===n,我们将这种变换记为[θ,n].△ABC中,AB=AC,∠BAC=36°,BC=1,对△ABC作变换[θ,n]得△AB′C′,使点B、C、B′在同一直线上,且四边形ABB′C′为平行四边形,那么θ=________,n=________.
三、解答题(共6题;共36分)19.解方程组.20.在平面直角坐标系xOy中,过点(0,2)且平行于x轴的直线,与直线y=x﹣1交于点A,点A关于直线x=1的对称点为B,抛物线C1:y=x2+bx+c经过点A,B.
(1)求点A,B的坐标;
(2)求抛物线C1的表达式及顶点坐标;
(3)若抛物线C2:y=ax2(a≠0)与线段AB恰有一个公共点,结合函数的图象,求a的取值范围.
21.如图,⊙O的直径AB垂直弦CD于点E,点F在AB的延长线上,且∠BCF=∠A.
(1)求证:直线CF是⊙O的切线;
(2)若⊙O的半径为5,DB=4.求sin∠D的值.22.如图,在平面直角坐标系中,点0为坐标原点,抛物线y=ax2+bx+4与y轴交于点A,与x轴交于点B、C(点B在点C左侧),且OA=OC=4OB.
(1)求a,b的值;
(2)连接AB、AC,点P是抛物线上第一象限内一动点,且点P位于对称轴右侧,
过点P作PD⊥AC于点E,分别交x、y轴于点D、H,过点P作PG∥AB交AC于点F,交x轴于点G,设P(x,y),线段DG的长为d,求d与x之间的函数关系(不要求写出自变量x的取值范围);
(3)在(2)的条件下,当时,连接AP并延长至点M,连接HM交AC于点S,点R是抛物线上一动点,当△ARS为等腰直角三角形时.求点R的坐标和线段AM的长.
23.阅读下面的材料,回答问题:
解方程x4﹣5x2+4=0,这是一个一元四次方程,根据该方程的特点,它的解法通常是:
设x2=y,那么x4=y2,于是原方程可变为y2﹣5y+4=0
①,解得y1=1,y2=4.
当y=1时,x2=1,∴x=±1;当y=4时,x2=4,∴x=±2;
∴原方程有四个根:x1=1,x2=﹣1,x3=2,x4=﹣2.
(1)在由原方程得到方程①的过程中,利用什么法达到降次的目的,体现了数学的转化思想.
(2)解方程:(x2+3x)2+5(x2+3x)﹣6=0.24.小东在学习了=后,认为=也成立,因此他认为一个化简过程:是正确的.你认为他的化简对吗?说说理由.四、综合题(共10分)25.如图,已知直线PA交⊙O于A、B两点,AE是⊙O的直径,点C为⊙O上一点,且AC平分∠PAE,过C作CD⊥PA,垂足为D.
(1)求证:CD为⊙O的切线;(2)若DC+DA=6,⊙O的直径为10,求AB的长度.
参考答案一、单选题1.C2.D3.A4.D5.D6.B7.C8.D9.B10.C二、填空题11.错误12.1007.5π13.105°14.5,115.y=(x+1)2﹣216.①、②、④17.π18.72°;三、解答题19.解:将两式联立消去x得:
9(y+2)2﹣4y2=36,
即5y2+36y=0,
解得:y=0或﹣,
当y=0时,x=2,
y=﹣时,x=﹣;
原方程组的解为或.20.解:(1)当y=2时,则2=x﹣1,
解得:x=3,
∴A(3,2),
∵点A关于直线x=1的对称点为B,
∴B(﹣1,2).
(2)把(3,2),(﹣2,2)代入抛物线C1:y=x2+bx+c得:
解得:
∴y=x2﹣2x﹣1.
顶点坐标为(1,﹣2).
(3)如图,当C2过A点,B点时为临界,
代入A(3,2)则9a=2,
解得:a=,
代入B(﹣1,2),则a(﹣1)2=2,
解得:a=2,
∴a<2.21.解:(1)连接OC,
∵OA=OC,
∴∠ACO=∠A,
又∵∠FCB=∠A
∴∠ACO=∠FCB,
又∵AB是⊙O的直径
∴∠ACO+∠OCB=90°,∠FCB+∠OCB=90°
∴直线CF为⊙O的切线,
(2)∵AB是⊙O直径
∴∠ACB=90°
∵DC⊥AB
∴BC=BD
∴BC=BD,∠A=∠D
∴22.解:(1)y=ax2+bx+4,当x=0时,y=4,
∴A(0,4)
∵OC=OA=4OB,
∴OC=4,OB=1,
∴C(4,0),B(﹣1,0)
将C(4,0),B(﹣1,0)代入抛物线y=ax2+bx+4
得:,解得:
∴a=﹣1b=3.
(2)如图1,作PK⊥x轴于点K.
∵a=﹣1b=3.
∴抛物线的解析式为y=﹣x2+3x+4.
设点P的坐标为(x,y)
∵OA=OC,∠AOC=90°,
∴∠ACO=45°,
∵AC⊥PD,
∴∠EDC=45°,
∵PK⊥x轴,
∴△PDK为等腰直角三角形,
∴PK=DK=y,
∵AB∥PG,
∴∠ABO=∠PGK,
∵tan∠ABO==4,
∴tan∠PGK==4
∴GK=PK=y
∴d=DK﹣GK=y﹣y=y,
将y=﹣x2+3x+4代入得:d=(﹣x2+3x+4)=-.
(3)如图2所示:过点P作PK⊥x轴,垂足为K,PK交于AC与N.
∵
∴.
设点P的坐标为(x,y).
∵CK=NK=4﹣x
∴PN=y﹣4+x
∴PE=PN=(y-4+x),PD=PK=y
∴,.
将y=﹣x2+3x+4代入得:.
整理得:x2﹣7x+12=0.
解得:x1=3,x2=4(舍去).
∴P(3,4)
∵DK=PK=4,
∴D(﹣1,0).
∴点D、B重合.
∵△BOH为等腰直角三角形,
∴OH=OB
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