北师大版初中九年级数学上册专项素养巩固训练卷(九)数学文化及新定义型试题(练题型)课件

数学文化及新定义型试题(练题型)专项素养巩固训练卷(九)类型一数学文化1.(★☆☆)我国古代数学家刘徽用“牟合方盖”找到了球体体积的计算方法.

“牟合方盖”是由两个圆柱分别从纵横两个方向嵌入一个正方体时两圆柱公

共部分形成的几何体.如图所示的几何体是可以形成“牟合方盖”的一种模型,

它的俯视图是

()A解析

A该几何体的俯视图是

.故选A.2.(★☆☆)我国古代数学著作《九章算术》中,将底面是直角三角形,且侧棱与

底面垂直的三棱柱称为“堑堵”.某“堑堵”的三视图如图所示(网格图中每个

小正方形的边长均为1),则该“堑堵”的侧面积为

()AA.16+16

B.16+8

C.24+16

D.4+4

解析

A由三视图可得该“堑堵”的侧面积为2×2

×4+4×4=16+16

,故选A.3.(★☆☆)《孙子算经》是中国古代重要的数学著作,成书于约一千五百年前,

其中有首歌谣:今有竿不知其长,量得影长一丈五尺,立一标杆,长一尺五寸,影长

五寸,问竿长几何?译文:有一根竹竿不知道有多长,量出它在太阳下的影子长一

丈五尺,同时立一根一尺五寸的小标杆,它的影长五寸(提示:1丈=10尺,1尺=10

寸),则竹竿的长为

()A.五丈

B.四丈五尺

C.一丈

D.五尺B解析

B设竹竿的长为x尺,∵竹竿的影长=一丈五尺=15尺,标杆长=一尺五寸=

1.5尺,标杆的影长=五寸=0.5尺,根据题意有

=

,解得x=45,∴竹竿的长为45尺,即四丈五尺.故选B.4.[情境题数学文化](2023江西中考,11,★☆☆)《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法.“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺(即图中的ABC).“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放,可测量物体的高度.如图,点A,B,Q在同一水平线上,∠ABC和∠AQP均为直角,AP与BC相交于点D.测得AB=40cm,BD=20cm,AQ=12m,则树高PQ=

m.6解析由题意可得,BC∥PQ,∴△ABD∽△AQP,∴

=

,∵AB=40cm,BD=20cm,AQ=12m,∴

=

,解得QP=6(m),∴树高PQ=6m,故答案为6.答案

65.(2021江苏盐城中考,22,★★☆)圆周率π是无限不循环小数.历史上,祖冲之、

刘徽、韦达、欧拉等数学家都对π有过深入的研究.目前,超级计算机已计算出π

的小数部分超过31.4万亿位.有学者发现,随着π小数部分位数的增加,0~9这10个

数字出现的频率趋于稳定,接近相同.(1)从π的小数部分随机取出一个数字,估计数字是6的概率为

.(2)某校进行校园文化建设,拟从以上4位数学家的画像中随机选用2幅,求其中有

一幅是祖冲之的概率(用画树状图或列表的方法求解).解析

(1)

.(2)解法一:令祖冲之、刘徽、韦达、欧拉分别为A、B、C、D,列表如下:

ABCDA

(B,A)(C,A)(D,A)B(A,B)

(C,B)(D,B)C(A,C)(B,C)

(D,C)D(A,D)(B,D)(C,D)

一共有12种等可能的情况,其中符合题意的有6种,所以P(有一幅是祖冲之)=

=

.解法二:令祖冲之、刘徽、韦达、欧拉分别为A、B、C、D,画树状图如图所示:一共有12种等可能的情况,其中符合题意的有6种,所以P(有一幅是祖冲之)=

=

.类型二新定义型试题6.(2023湖南娄底新化期末,4,★☆☆)定义运算:a*b=a(1-b),若a,b是方程x2-x+

m=0(m<0)的两根,则b*b-a*a的值为

()A.-1

B.0

C.1

D.±1B解析

B∵a,b是方程x2-x+

m=0(m<0)的两根,∴a+b=1,∴b*b-a*a=b(1-b)-a(1-a)=b(a+b-b)-a(a+b-a)=ab-ab=0.故选B.7.(2024四川乐山期末,6,★★☆)定义一种新运算:a

b=

·

,其中a>0,b>0,当x

(x-3)=2时,x的值为

()A.-1

B.4

C.4和-1

D.3B解析

B

∵a

b=

·

,其中a>0,b>0,∴x

(x-3)=

·

=2,两边平方得,x(x-3)=4,整理得x2-3x-4=0,∴(x-4)(x+1)=0,∴x1=4,x2=-1,∵x>0,x-3>0,∴x>3,∴x=4,故选B.8.(2023湖南邵阳隆回期末,20,★★☆)将4个数a,b,c,d排成2行2列,记成

=ad-bc,若

=5,则x=

.4或-2答案

4或-2解析∵

=ad-bc,

=5,∴(x+1)(x-1)-(x+1)×2=5,解得x1=4,x2=-2,故答案为4或-2.9.(2023湖南邵阳新邵期末,25,★★☆)对于任意两个非零实数a,b,定义运算如下:a

b=

如:2

3=

,(-2)

3=(-2)+3=1.根据上述定义,解决下列问题:(1)

=

,(-

)

=

.(2)如果(x2+2)

(x2-x)=1,那么x=

.(3)如果(x2-4)

x=(-2)

x,求x的值.解析

(1)∵

>0,∴

=

=

.∵-

<0,∴(-

)

=-

+

=0.(2)∵x2+2>0,∴(x2+2)

(x2-x)=

=1,∴x2+2=x2-x,解得x=-2,经检验,x=-2是原方程的解,故x=-2.(3)当x2-4>0时,

=-2+x,即x2-4=-2x+x2,解得x=2,经检验,x=2是原方程的解,但不符合x2-4>0,∴x=2应舍去.当x2-4<0时,(x2-4)+x=-2+x,整理得x2-2=0,解得x1=

,x2=-

,经检验,x1=

和x2=-

都是原方程的解,且符合x2-4<0.综上所述,x的值为

或-

.10.(2021山东枣庄中考,24,★★★)(12分)如图①,对角线互相垂直的四边形叫做

垂美四边形.(1)概念理解:如图②,在四边形ABCD中,AB=AD,CB=CD,问四边形ABCD是垂美

四边形吗?请说明理由.(2)性质探究:如图①,垂美四边形ABCD的对角线AC,BD交于点O.猜想:AB2+CD2

与AD2+BC2有什么关系?证明你的猜想.(3)解决问题:如图③,分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形

ACFG和正方形ABDE,连接CE,BG,GE.已知AC=4,AB=5,求GE的长.解析

(1)四边形ABCD是垂美四边形.理由如下:如图1,连接AC、BD,∵AB=AD,

∴点A在线段BD的垂直平分线上,∵CB=CD,∴点C在线段BD的垂直平分线上,∴

直线AC是线段BD的垂直平分线,∴AC⊥BD,即四边形ABCD是垂美四边形.(2)AB2+CD2=AD2+BC2.证明:在题图①中,∵AC⊥BD,∴∠AOD=∠AOB=∠BOC=∠COD=90°,由勾股定理得AD2+BC2=AO2+DO2+BO2+

CO2,AB2+CD2=AO2+BO2+CO2+DO2,∴AD2+BC2=AB2+CD2.(3)如图2,连接CG、BE,设AB与CE交于点M,CE与BC交于点N,∵四边形ACFG和

四边形ABDE都是正方形,∴AG=AC,AB=AE,∠CAG=∠BAE=90°,∴∠CAG+∠BAC=∠BAE+∠BAC,即∠GAB=∠CAE,在△GAB和△CAE中,

∴△GAB≌△CAE(SAS),∴∠ABG=∠AEC,∵∠AEC+∠AME=90°,∴∠ABG+∠AME=90°,