北师大版初中九年级数学上册第一章特殊平行四边形第一章素养综合检测课件

第一章素养综合检测(满分100分,限时90分钟)一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,共30分)1.(2024江西九江期中)下列说法错误的是

(

)A.平行四边形的对边相等B.正方形的对角线互相垂直平分且相等C.菱形的对角线相等且平分D.矩形的对角线相等且互相平分C解析

A.平行四边形的对边相等,故该选项中说法正确,不符

合题意;B.正方形的对角线互相垂直平分且相等,故该选项中

说法正确,不符合题意;C.菱形的对角线互相垂直且平分,故

该选项中说法不正确,符合题意;D.矩形的对角线相等且互相

平分,故该选项中说法正确,不符合题意.故选C.2.(2024广东深圳南山期末)下列平行四边形中,根据图中所

标出的数据,不能判定是菱形的是

(

)

C解析根据等腰三角形的判定定理可得,平行四边形的一组

邻边相等,即可判定该平行四边形是菱形,故A不符合题意;根

据三角形内角和定理可得,平行四边形的对角线互相垂直,即

可判定该平行四边形是菱形,故B不符合题意;一组邻角互补,

不能判定该平行四边形是菱形,故C符合题意;根据平行四边

形的邻角互补,对角线平分一个120°的角,可得平行四边形的

一组邻边相等,即可判定该平行四边形是菱形,故D不符合题

意.故选C.3.小明用四根长度相同的木条制作了能够活动的菱形学具,

他先活动学具成为如图1所示的菱形,并测得∠B=60°,对角线

AC=20cm,接着活动学具成为如图2所示的正方形,则图2中

对角线AC的长为

(

)DA.20cm

B.30cm

C.40cm

D.20

cm解析如图,连接AC.图1中,∵四边形ABCD是菱形,∴AB=BC,∵∠B=60°,∴△ABC是等边三角形,

∴AB=BC=AC=20cm,在图2中,∵四边形ABCD是正方形,∴AB=BC,∠B=90°,∴△ABC是等腰直角三角形,∴AC=

AB=20

cm.故选D.4.(2024河南郑州一中月考)如图,在菱形ABCD中,对角线AC,

BD相交于点O,E为AD的中点,且OE=3,则菱形ABCD的周长

为

(

)

A.9

B.12

C.18

D.24D解析∵四边形ABCD是菱形,∴AD=AB=CD=CB,AC⊥BD,

∴∠AOD=90°,∵E为AD的中点,∴OE=AE=DE=

AD,∵OE=3,∴AD=2OE=2×3=6,∴AD+AB+CD+CB=4AD=4×6=24,∴菱形ABCD的周长

为24,故选D.5.(2024江西修水期中)如图,四边形ABCD是正方形,延长AB

到点E,使AE=AC,则∠BCE的度数是

(

)

A.62.5°

B.45°

C.32.5°

D.22.5°D解析∵四边形ABCD是正方形,∴AB=CB,∠ABC=90°,∴∠BAC=∠BCA=45°,∵AE=AC,∴∠E=∠ACE=

(180°-∠BAC)=

×(180°-45°)=67.5°,∴∠BCE=67.5°-45°=22.5°,故选D.6.(2024广东揭阳榕城期中)如图,四边形ABCD为平行四边形,

延长AD到E,使DE=AD,连接EB,EC,DB,添加一个条件,不能使

四边形DBCE成为矩形的是

(

)

A.AB=BE

B.CE⊥DEC.∠ADB=90°

D.BE⊥ABD解析

∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB=CD,BC=AD,BC

∥AD,AB∥CD,∵DE=AD,BC∥AD,∴BC=DE,∴四边形

DBCE是平行四边形.A.添加AB=BE时,∵AB=CD,∴BE=CD,

∴平行四边形DBCE是矩形,故选项A不符合题意;B.添加CE

⊥DE时,∠CED=90°,∴平行四边形DBCE是矩形,故选项B不

符合题意;C.添加∠ADB=90°时,∠BDE=180°-∠ADB=90°,∴平行四边形DBCE是矩形,故选项C不符合题意;D.添加BE⊥AB时,∵AB∥CD,∴BE⊥CD,∴平行四边形DBCE是菱形,故选项D符合题意.故选D.7.(2024河南郑州一中月考)如图,在Rt△ABC中,∠A=90°,P为

边BC上一动点,PE⊥AB于E,PF⊥AC于F,动点P从点B出发,

沿着BC匀速向终点C运动,则线段EF的值的大小变化情况是

(

)A.一直增大

B.一直减小CC.先减小后增大D.先增大后减少解析如图,连接AP.∵∠BAC=90°,PE⊥AB,PF⊥AC,∴四边

形AFPE是矩形,∴EF=AP,由垂线段最短可得AP⊥BC时,AP

最短,此时线段EF的值最小,∴动点P从点B出发,沿着BC匀速

向终点C运动,则线段EF的值的大小变化情况是先减小后增

大.故选C.

方法解读本题考查了矩形的判定与性质,垂线段最短的性

质.判断出AP⊥BC时,线段EF的值最小是解题的关键.8.(2024江西九江期中)如图,O为正方形ABCD对角线AC的中

点,△ACE为等边三角形.若AB=2,则OE的长度为

(

)

A.

B.

C.2

D.2

B解析∵四边形ABCD为正方形,AB=2,∴AC=2

,∵O为正方形ABCD对角线AC的中点,∴AO=

,∵△ACE为等边三角形,∴∠AOE=90°,∴AE=AC=2

,∴OE=

=

.故选B.9.(2023山东潍坊中考)如图,在直角坐标系中,菱形OABC的顶

点A的坐标为(-2,0),∠AOC=60°.将菱形OABC沿x轴向右平移

1个单位长度,再沿y轴向下平移1个单位长度,得到菱形O'A'B'

C',其中点B'的坐标为

(

)AA.(-2,

-1)

B.(-2,1)

C.(-

,1)

D.(-

,

-1)解析如图,过点B作BE⊥x轴于点E,∴∠BEA=90°,∵点A的坐标为(-2,0),∴OA=2,∵四边形OABC是菱形,∴AB=OA=2,AB∥OC,∴∠EAB=∠AOC=60°,∴∠ABE=30°,∴AE=

AB=

×2=1,由勾股定理得BE=

=

=

,∴OE=AE+OA=1+2=3,∴点B的坐标是(-3,

).

∵将菱形OABC沿x轴向右平移1个单位长度,再沿y轴向下平移1个单位长度,得到菱形O'A'B'C',∴点B'的坐标为(-2,

-1).故选A.10.(2023浙江绍兴中考)如图,在矩形ABCD中,O为对角线BD的中点,∠ABD=60°,动点E在线段OB上,动点F在线段OD上,点E,F同时从点O出发,分别向终点B,D运动,且始终保持OE=OF.点E关于AD,AB的对称点为E1,E2;点F关于BC,CD的对称点为F1,F2.在整个过程中,四边形E1E2F1F2形状的变化依次是

(

)AA.菱形→平行四边形→矩形→平行四边形→菱形B.菱形→正方形→平行四边形→菱形→平行四边形C.平行四边形→矩形→平行四边形→菱形→平行四边形D.平行四边形→菱形→正方形→平行四边形→菱形解析如图1,∵四边形ABCD是矩形,∴AB∥CD,∠BAD=∠ABC=90°,∴∠BDC=∠ABD=60°,∠ADB=∠CBD=90°-60°=30°,∵OE=OF,OB=OD,∴DF=EB,由对称性可知,DF=DF2,BF=BF1,BE=BE2,DE=DE1,∴E1F2=E2F1.由对称性知∠F2DC=∠CDF=60°,∴∠EDA=∠E1DA=30°,∴∠E1DB=60°,同理∠F1BD=60°,∴DE1∥BF1,∵E1F2=E2F1,∴四边形E1E2F1F2是平行四边形.当E,F,O三点重合时,DO=OB,如图2所示,∴DE1=DO=DF2=AE1=AE2,即E1E2=E1F2,∴四边形E1E2F1F2是菱形.当E,F分别为OB,OD的中点时,如图3所示,设DB=4,则DF2=DF=1,DE1=DE=3,∵∠ABD=60°,∴∠ADB=30°,∴AB=

BD=2,∴AD=

=2

,连接AE,AO,∵∠ABO=60°,BO=2=AB,∴△ABO是等边三角形,∵E为OB的中点,∴AE⊥OB,BE=1,∴AE=

=

.根据对称性可得AE1=AE=

.∵AD2=12,D

=9,A

=3,∴AD2=A

+D

,∴△DE1A是直角三角形,且∠E1=90°,∴四边形E1E2F1F2是矩形.当F,E分别与D,B重合时,如图4,易知△BE1D,△BDF1都是等

边三角形,则四边形E1E2F1F2是菱形.综上,在整个过程中,四边形E1E2F1F2形状的变化依次是菱形

→平行四边形→矩形→平行四边形→菱形,故选A.二、填空题(本大题共5小题,每小题3分,共15分)11.如图,三位同学分别站在一个直角三角形的三个顶点处做

投圈游戏,目标物放在斜边AC的中点O处,已知AC=6m,则点

B到目标物的距离是

m.

3解析∵∠ABC=90°,O是斜边AC的中点,∴BO=

AC=3m.12.(2024辽宁沈阳皇姑期末)如图,E为正方形ABCD的边BC

的延长线上的点,且CE=AC,连接AE,则∠E=

度.

22.5解析∵四边形ABCD是正方形,∴∠ACB=45°,∵CE=AC,∴∠CAE=∠E=

∠ACB=22.5°.13.(2022辽宁营口中考)如图,将△ABC沿着BC方向平移得到

△DEF,只需添加一个条件即可证明四边形ABED是菱形,这

个条件可以是

.(写出一个即可)

AB=AD(答案不唯一)解析这个条件可以是AB=AD,理由如下:由平移的性质得

AB∥DE,AB=DE,∴四边形ABED是平行四边形,添加AB=AD,

则平行四边形ABED是菱形,故答案为AB=AD(答案不唯一).14.(2022甘肃中考)如图,菱形ABCD中,对角线AC与BD相交

于点O,若AB=2

cm,AC=4cm,则BD的长为

cm.

8解析∵四边形ABCD是菱形,AC=4cm,∴AC⊥BD,BO=DO,

AO=CO=2cm,∵AB=2

cm,∴BO=

=4cm,∴DO=BO=4cm,∴BD=8cm.故答案为8.15.(一题多解)(2023河南省实验中学月考)如图,在边长为2

的正方形ABCD中,点E,F分别是边AB,BC的中点,连接EC,FD,

点G,H分别是EC,FD的中点,连接GH,则GH的长度为

.

1解析解法一:连接CH并延长交AD于P,连接PE,∵四边形ABCD是正方形,且边长为2

,∴∠A=90°,AD∥BC,AB=AD=BC=2

,∵E,F分别是边AB,BC的中点,∴AE=CF=

×2

=

,∵点H是FD的中点,∴DH=FH,∵AD∥BC,∴∠DPH=∠FCH,又∵∠DHP=∠FHC,∴△PDH≌△CFH

(AAS),∴PH=CH,PD=CF=

,∴AP=AD-PD=

,∴PE=

=

=2,∵点G,H分别是EC,CP的中点,∴GH=

EP=1.解法二:连接GF,可得GF=

BE=

,且GF∥BE,作GM⊥DC于M,可得四边形GFCM为矩形,所以CM=

,GM=

,延长GH交CD于N,可得△GHF≌△NHD,所以DN=GF=

,GH=HN=

GN,所以MN=

,由勾股定理可求出GN=2,从而GH=1.解法三:连接EH并延长,交CD于点M,连接FG并延长,交EH于

点O,交AD于点N.可知△OGH为等腰直角三角形,且OH=

AD=

,所以GH=1.解法四:连接FG并延长至点O,使OG=GF,连接BD,易知点O为

正方形对角线的交点,GH是△OFD的中位线,所以GH=

OD=

BD=1.

解法五:建立如图所示的平面直角坐标系.易知E(0,

),C(2

,0),F(

,0),D(2

,2

).所以G

,H

,所以GH=

=1.解法六:根据图形特性,将图形放在格点图中,小正方形的边长为

,观察可得GH=1.

三、解答题(共55分)16.(2023福建大田期末)(6分)如图,在菱形ABCD中,E,F分别

是AB,AD的中点,连接DE,BF.求证:DE=BF.

证明∵E,F分别是AB,AD的中点,∴AE=

AB,AF=

AD,∵四边形ABCD是菱形,∴AB=AD,∴AE=AF.在△DAE与△BAF中,

∴△DAE≌△BAF(SAS),∴DE=BF.17.(新考向·尺规作图)(2024河南省实验中学月考)(6分)如图,

在矩形ABCD中,BD是对角线.(1)作线段BD的垂直平分线(要求:尺规作图,保留作图痕迹,不

写作法).(2)设BD的垂直平分线交AD于点E,交BC于点F,连接BE,DF.

试判断四边形BEDF的形状,并说明理由.解析

(1)如图,直线MN就是线段BD的垂直平分线.

(2)四边形BEDF是菱形.理由:∵四边形ABCD是矩形,∴AD∥

BC,∴∠DEF=∠BFE,∵EF垂直平分BD,∴BE=DE,BF=DF,∠DEF=∠BEF,∴∠BEF=∠BFE,∴BE=BF,∴BE=ED=DF=BF,

∴四边形BEDF是菱形.18.(7分)如图,在正方形ABCD中,E是BC上的一点,F是CD延

长线上的一点,且BE=DF,连接AE,AF,EF.(1)求证:△ABE≌△ADF.(2)若AE=5,请求出EF的长.

解析

(1)证明:∵四边形ABCD是正方形,∴AB=AD,∠ABC=∠ADC=∠ADF=90°.在△ABE和△ADF中,

∴△ABE≌△ADF(SAS).(2)∵△ABE≌△ADF,∴AE=AF=5,∠BAE=∠DAF.∵∠BAE

+∠EAD=90°,∴∠DAF+∠EAD=90°,即∠EAF=90°.∴EF=

=5

.19.(7分)如图,在▱ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,△

ABO是等边三角形,AB=1.(1)求证:▱ABCD是矩形.(2)求矩形ABCD的面积.

解析

(1)证明:∵△ABO是等边三角形,∴OA=OB=AB,∵四

边形ABCD是平行四边形,∴OA=OC,OB=OD,∴OA=OC=OB

=OD,∴AC=BD,∴四边形ABCD是矩形.(2)∵四边形ABCD是矩形,∴∠ABC=90°,AC=2AO,∵AB=1,

∴AO=1,∴AC=2,由勾股定理得BC=

=

=

,∴矩形ABCD的面积=1×

=

.20.(8分)如图,将矩形ABCD沿着对角线BD折叠,使点C落在C'

处,BC'交AD于点E.(1)若∠DBC=25°,求∠ADC'的度数.(2)若AB=4,AD=8,求△BDE的面积.解析

(1)∵四边形ABCD是矩形,∴∠C=90°,AD∥BC,∴∠ADB=∠DBC=25°,由折叠可知∠BDC'=∠BDC=90°-25°=65°,∴∠ADC'=∠BDC'-∠ADB=65°-25°=40°.(2)由折叠可知∠CBD=∠EBD,∵AD∥BC,∴∠CBD=∠EDB,∴∠EBD=∠EDB,∴BE=DE,设DE=BE=x,则AE=8-x,在Rt△ABE中,由勾股定理得AB2+AE2=BE2,即42+(8-x)2=x2,解得x=5,∴DE=5,∴S△BDE=

DE·AB=

×5×4=10.21.(2023陕西西安经开五中三模)(10分)如图,已知四边形

ABCD为正方形,AB=2

,E为对角线AC上一动点,连接DE,过点E作EF⊥DE.交射线BC于点F,以DE、EF为邻边作矩形

DEFG,连接CG.(1)求证:矩形DEFG是正方形.(2)CE+CG的值是不是定值?若是,请求出这个值;若不是,请说

明理由.解析

(1)证明:如图,过E作EM⊥BC于M点,过E作EN⊥CD于

N点,∴∠EMC=∠ENC=90°,∵四边形ABCD为正方形,∴∠BCD=90°,∠ECN=45°,∴NE=NC,∴四边形EMCN为正方形,∴EM=EN,∵四边形

DEFG是矩形,∴∠DEN+∠NEF=∠MEF+∠NEF=90°,

∴∠DEN=∠MEF,又∵∠DNE=∠FME=90°,∴△DEN≌△FEM(ASA),∴ED=EF,∴矩形DEFG为正方形.

(2)CE+CG的值为定值.理由如下:∵矩形DEFG为正方形,∴DE=DG,∠EDC+∠CDG=90°,∵四边形ABCD是正方形,∴AD=DC,∠ADE+∠EDC=90°,∴∠ADE=∠CDG,在△ADE和△CDG中,

∴△ADE≌△CDG