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文档简介
2023-2024学年重庆市九龙坡区重点名校中考数学模试卷注意事项:1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚,将条形码准确粘贴在条形码区域内。2.答题时请按要求用笔。3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试卷上答题无效。4.作图可先使用铅笔画出,确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5.保持卡面清洁,不要折暴、不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题(每小题只有一个正确答案,每小题3分,满分30分)1.甲、乙两地相距300千米,一辆货车和一辆轿车分别从甲地开往乙地(轿车的平均速度大于货车的平均速度),如图线段OA和折线BCD分别表示两车离甲地的距离y(单位:千米)与时间x(单位:小时)之间的函数关系.则下列说法正确的是()A.两车同时到达乙地B.轿车在行驶过程中进行了提速C.货车出发3小时后,轿车追上货车D.两车在前80千米的速度相等2.若分式有意义,则x的取值范围是()A.x>3 B.x<3 C.x≠3 D.x=33.某体育用品商店一天中卖出某种品牌的运动鞋15双,其中各种尺码的鞋的销售量如表所示:鞋的尺码/cm2323.52424.525销售量/双13362则这15双鞋的尺码组成的一组数据中,众数和中位数分别为()A.24.5,24.5 B.24.5,24 C.24,24 D.23.5,244.下列运算正确的是()A.x3+x3=2x6 B.x6÷x2=x3 C.(﹣3x3)2=2x6 D.x2•x﹣3=x﹣15.下列图形中,可以看作是中心对称图形的是()A. B. C. D.6.计算1+2+22+23+…+22010的结果是()A.22011–1 B.22011+1C. D.7.下列运算正确的是()A.a2•a3=a6 B.()﹣1=﹣2 C.=±4 D.|﹣6|=68.如图所示,某办公大楼正前方有一根高度是15米的旗杆ED,从办公大楼顶端A测得旗杆顶端E的俯角α是45°,旗杆低端D到大楼前梯砍底边的距离DC是20米,梯坎坡长BC是12米,梯坎坡度i=1:,则大楼AB的高度约为()(精确到0.1米,参考数据:)A.30.6米 B.32.1米 C.37.9米 D.39.4米9.“射击运动员射击一次,命中靶心”这个事件是()A.确定事件B.必然事件C.不可能事件D.不确定事件10.在同一平面直角坐标系中,函数y=x+k与(k为常数,k≠0)的图象大致是()A. B.C. D.二、填空题(共7小题,每小题3分,满分21分)11.的算术平方根是_______.12.若分式方程有增根,则m的值为______.13.如图,半圆O的直径AB=7,两弦AC、BD相交于点E,弦CD=,且BD=5,则DE=_____.14.方程的根是________.15.如图,在平行四边ABCD中,AD=2AB,F是AD的中点,作CE⊥AB,垂足E在线段AB上,连接EF、CF,则下列结论中一定成立的是(把所有正确结论的序号都填在横线上)∠DCF=∠BCD,(2)EF=CF;(3)SΔBEC=2SΔCEF;(4)∠DFE=3∠AEF16.如图,在△ABC中,AB=AC=2,BC=1.点E为BC边上一动点,连接AE,作∠AEF=∠B,EF与△ABC的外角∠ACD的平分线交于点F.当EF⊥AC时,EF的长为_______.17.如图所示是一组有规律的图案,第l个图案由4个基础图形组成,第2个图案由7个基础图形组成,……,第n(n是正整数)个图案中的基础图形个数为_______(用含n的式子表示).三、解答题(共7小题,满分69分)18.(10分)我市某中学决定在八年级阳光体育“大课间”活动中开设A:实心球,B:立定跳远,C:跳绳,D:跑步四种活动项目.为了了解学生对四种项目的喜欢情况,随机抽取了部分学生进行调查,并将调查结果绘制成如图①②的统计图.请结合图中的信息解答下列问题:(1)在这项调查中,共调查了多少名学生?(2)将两个统计图补充完整;(3)若调查到喜欢“立定跳远”的5名学生中有3名男生,2名女生.现从这5名学生中任意抽取2名学生.请用画树状图或列表的方法,求出刚好抽到同性别学生的概率.19.(5分)如图,在平面直角坐标系中,等边三角形ABC的顶点B与原点O重合,点C在x轴上,点C坐标为(6,0),等边三角形ABC的三边上有三个动点D、E、F(不考虑与A、B、C重合),点D从A向B运动,点E从B向C运动,点F从C向A运动,三点同时运动,到终点结束,且速度均为1cm/s,设运动的时间为ts,解答下列问题:(1)求证:如图①,不论t如何变化,△DEF始终为等边三角形.(2)如图②过点E作EQ∥AB,交AC于点Q,设△AEQ的面积为S,求S与t的函数关系式及t为何值时△AEQ的面积最大?求出这个最大值.(3)在(2)的条件下,当△AEQ的面积最大时,平面内是否存在一点P,使A、D、Q、P构成的四边形是菱形,若存在请直接写出P坐标,若不存在请说明理由?20.(8分)如图,点O为Rt△ABC斜边AB上的一点,以OA为半径的⊙O与BC切于点D,与AC交于点E,连接AD.求证:AD平分∠BAC;若∠BAC=60∘,OA=4,求阴影部分的面积(结果保留π).21.(10分)某学校八、九两个年级各有学生180人,为了解这两个年级学生的体质健康情况,进行了抽样调查,具体过程如下:收集数据从八、九两个年级各随机抽取20名学生进行体质健康测试,测试成绩(百分制)如下:八年级7886748175768770759075798170748086698377九年级9373888172819483778380817081737882807040整理、描述数据将成绩按如下分段整理、描述这两组样本数据:成绩(x)40≤x≤4950≤x≤5960≤x≤6970≤x≤7980≤x≤8990≤x≤100八年级人数0011171九年级人数1007102(说明:成绩80分及以上为体质健康优秀,70~79分为体质健康良好,60~69分为体质健康合格,60分以下为体质健康不合格)分析数据两组样本数据的平均数、中位数、众数、方差如表所示:年级平均数中位数众数方差八年级78.377.57533.6九年级7880.5a52.1(1)表格中a的值为______;请你估计该校九年级体质健康优秀的学生人数为多少?根据以上信息,你认为哪个年级学生的体质健康情况更好一些?请说明理由.(请从两个不同的角度说明推断的合理性)22.(10分)一辆汽车行驶时的耗油量为0.1升/千米,如图是油箱剩余油量(升)关于加满油后已行驶的路程(千米)的函数图象.根据图象,直接写出汽车行驶400千米时,油箱内的剩余油量,并计算加满油时油箱的油量;求关于的函数关系式,并计算该汽车在剩余油量5升时,已行驶的路程.23.(12分)如图,已知在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC>BC,CD是Rt△ABC的高,E是AC的中点,ED的延长线与CB的延长线相交于点F.(1)求证:DF是BF和CF的比例中项;(2)在AB上取一点G,如果AE•AC=AG•AD,求证:EG•CF=ED•DF.24.(14分)如图①,AB是⊙O的直径,CD为弦,且AB⊥CD于E,点M为上一动点(不包括A,B两点),射线AM与射线EC交于点F.(1)如图②,当F在EC的延长线上时,求证:∠AMD=∠FMC.(2)已知,BE=2,CD=1.①求⊙O的半径;②若△CMF为等腰三角形,求AM的长(结果保留根号).
参考答案一、选择题(每小题只有一个正确答案,每小题3分,满分30分)1、B【解析】
①根据函数的图象即可直接得出结论;②求得直线OA和DC的解析式,求得交点坐标即可;③由图象无法求得B的横坐标;④分别进行运算即可得出结论.【详解】由题意和图可得,轿车先到达乙地,故选项A错误,轿车在行驶过程中进行了提速,故选项B正确,货车的速度是:300÷5=60千米/时,轿车在BC段对应的速度是:千米/时,故选项D错误,设货车对应的函数解析式为y=kx,5k=300,得k=60,即货车对应的函数解析式为y=60x,设CD段轿车对应的函数解析式为y=ax+b,,得,即CD段轿车对应的函数解析式为y=110x-195,令60x=110x-195,得x=3.9,即货车出发3.9小时后,轿车追上货车,故选项C错误,故选:B.【点睛】此题考查一次函数的应用,解题的关键在于利用题中信息列出函数解析式2、C【解析】
试题分析:∵分式有意义,∴x﹣3≠0,∴x≠3;故选C.考点:分式有意义的条件.3、A【解析】【分析】根据众数和中位数的定义进行求解即可得.【详解】这组数据中,24.5出现了6次,出现的次数最多,所以众数为24.5,这组数据一共有15个数,按从小到大排序后第8个数是24.5,所以中位数为24.5,故选A.【点睛】本题考查了众数、中位数,熟练掌握中位数、众数的定义以及求解方法是解题的关键.4、D【解析】分析:根据合并同类项法则,同底数幂相除,积的乘方的性质,同底数幂相乘的性质,逐一判断即可.详解:根据合并同类项法则,可知x3+x3=2x3,故不正确;根据同底数幂相除,底数不变指数相加,可知a6÷a2=a4,故不正确;根据积的乘方,等于各个因式分别乘方,可知(-3a3)2=9a6,故不正确;根据同底数幂相乘,底数不变指数相加,可得x2•x﹣3=x﹣1,故正确.故选D.点睛:此题主要考查了整式的相关运算,是一道综合性题目,熟练应用整式的相关性质和运算法则是解题关键.5、A【解析】分析:根据中心对称的定义,结合所给图形即可作出判断.详解:A、是中心对称图形,故本选项正确;B、不是中心对称图形,故本选项错误;C、不是中心对称图形,故本选项错误;D、不是中心对称图形,故本选项错误;故选:A.点睛:本题考查了中心对称图形的特点,属于基础题,判断中心对称图形的关键是旋转180°后能够重合.6、A【解析】
可设其和为S,则2S=2+22+23+24+…+22010+22011,两式相减可得答案.【详解】设S=1+2+22+23+…+22010①则2S=2+22+23+…+22010+22011②②-①得S=22011-1.故选A.【点睛】本题考查了因式分解的应用;设出和为S,并求出2S进行做差求解是解题关键.7、D【解析】
运用正确的运算法则即可得出答案.【详解】A、应该为a5,错误;B、为2,错误;C、为4,错误;D、正确,所以答案选择D项.【点睛】本题考查了四则运算法则,熟悉掌握是解决本题的关键.8、D【解析】解:延长AB交DC于H,作EG⊥AB于G,如图所示,则GH=DE=15米,EG=DH,∵梯坎坡度i=1:,∴BH:CH=1:,设BH=x米,则CH=x米,在Rt△BCH中,BC=12米,由勾股定理得:,解得:x=6,∴BH=6米,CH=米,∴BG=GH﹣BH=15﹣6=9(米),EG=DH=CH+CD=+20(米),∵∠α=45°,∴∠EAG=90°﹣45°=45°,∴△AEG是等腰直角三角形,∴AG=EG=+20(米),∴AB=AG+BG=+20+9≈39.4(米).故选D.9、D【解析】试题分析:“射击运动员射击一次,命中靶心”这个事件是随机事件,属于不确定事件,故选D.考点:随机事件.10、B【解析】
选项A中,由一次函数y=x+k的图象知k<0,由反比例函数y=的图象知k>0,矛盾,所以选项A错误;选项B中,由一次函数y=x+k的图象知k>0,由反比例函数y=的图象知k>0,正确,所以选项B正确;由一次函数y=x+k的图象知,函数图象从左到右上升,所以选项C、D错误.故选B.二、填空题(共7小题,每小题3分,满分21分)11、3【解析】
根据算术平方根定义,先化简,再求的算术平方根.【详解】因为=9所以的算术平方根是3故答案为3【点睛】此题主要考查了算术平方根的定义,解题需熟练掌握平方根和算术平方根的概念且区分清楚,才不容易出错.要熟悉特殊数字0,1,-1的特殊性质.12、-1【解析】
增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为0的根.把增根代入化为整式方程的方程即可求出m的值.【详解】方程两边都乘(x-1),得x-1(x-1)=-m∵原方程增根为x=1,∴把x=1代入整式方程,得m=-1,故答案为:-1.【点睛】本题考查了分式方程的增根,增根确定后可按如下步骤进行:化分式方程为整式方程;把增根代入整式方程即可求得相关字母的值.13、.【解析】
连接OD,OC,AD,由⊙O的直径AB=7可得出OD=OC,故可得出OD=CD=OC,所以∠DOC=60°,∠DAC=30°,根据勾股定理可求出AD的长,在Rt△ADE中,利用∠DAC的正切值求解即可.【详解】解:连接OD,OC,AD,∵半圆O的直径AB=7,∴OD=OC=,∵CD=,∴OD=CD=OC∴∠DOC=60°,∠DAC=30°又∵AB=7,BD=5,∴在Rt△ADE中,∵∠DAC=30°,∴DE=AD•tan30°故答案为【点睛】本题考查了圆周角定理、等边三角形的判定与性质,勾股定理的应用等知识;综合性比较强.14、x=2【解析】分析:解此方程首先要把它化为我们熟悉的方程(一元二次方程),解新方程,检验是否符合题意,即可求得原方程的解.详解:据题意得:2+2x=x2,∴x2﹣2x﹣2=0,∴(x﹣2)(x+1)=0,∴x1=2,x2=﹣1.∵≥0,∴x=2.故答案为:2.点睛:本题考查了学生综合应用能力,解方程时要注意解题方法的选择,在求值时要注意解的检验.15、①②④【解析】试题解析:①∵F是AD的中点,∴AF=FD,∵在▱ABCD中,AD=2AB,∴AF=FD=CD,∴∠DFC=∠DCF,∵AD∥BC,∴∠DFC=∠FCB,∴∠DCF=∠BCF,∴∠DCF=∠BCD,故此选项正确;延长EF,交CD延长线于M,∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥CD,∴∠A=∠MDF,∵F为AD中点,∴AF=FD,在△AEF和△DFM中,,∴△AEF≌△DMF(ASA),∴FE=MF,∠AEF=∠M,∵CE⊥AB,∴∠AEC=90°,∴∠AEC=∠ECD=90°,∵FM=EF,∴FC=FM,故②正确;③∵EF=FM,∴S△EFC=S△CFM,∵MC>BE,∴S△BEC<2S△EFC故S△BEC=2S△CEF错误;④设∠FEC=x,则∠FCE=x,∴∠DCF=∠DFC=90°-x,∴∠EFC=180°-2x,∴∠EFD=90°-x+180°-2x=270°-3x,∵∠AEF=90°-x,∴∠DFE=3∠AEF,故此选项正确.考点:1.平行四边形的性质;2.全等三角形的判定与性质;3.直角三角形斜边上的中线.16、1+【解析】
当AB=AC,∠AEF=∠B时,∠AEF=∠ACB,当EF⊥AC时,∠ACB+∠CEF=90°=∠AEF+∠CEF,即可得到AE⊥BC,依据Rt△CFG≌Rt△CFH,可得CH=CG=,再根据勾股定理即可得到EF的长.【详解】解:如图,当AB=AC,∠AEF=∠B时,∠AEF=∠ACB,当EF⊥AC时,∠ACB+∠CEF=90°=∠AEF+∠CEF,∴AE⊥BC,∴CE=BC=2,又∵AC=2,∴AE=1,EG==,∴CG==,作FH⊥CD于H,∵CF平分∠ACD,∴FG=FH,而CF=CF,∴Rt△CFG≌Rt△CFH,∴CH=CG=,设EF=x,则HF=GF=x-,∵Rt△EFH中,EH2+FH2=EF2,∴(2+)2+(x-)2=x2,解得x=1+,故答案为1+.【点睛】本题主要考查了角平分线的性质,勾股定理以及等腰三角形的性质的运用,解决问题的关键是掌握等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合.17、3n+1【解析】试题分析:由图可知每个图案一次增加3个基本图形,第一个图案有4个基本图形,则第n个图案的基础图形有4+3(n-1)=3n+1个考点:规律型三、解答题(共7小题,满分69分)18、(1)50名;(2)补图见解析;(3)刚好抽到同性别学生的概率是【解析】试题分析:(1)由题意可得本次调查的学生共有:15÷30%;(2)先求出C的人数,再求出C的百分比即可;
(2)首先根据题意画出树状图,然后由树状图求得所有等可能的结果与刚好抽到同性别学生的情况,再利用概率公式即可求得答案.试题解析:(1)根据题意得:15÷30%=50(名).答;在这项调查中,共调查了50名学生;(2)图如下:(3)用A表示男生,B表示女生,画图如下:共有20种情况,同性别学生的情况是8种,则刚好抽到同性别学生的概率是.19、(1)证明见解析;(2)当t=3时,△AEQ的面积最大为cm2;(3)(3,0)或(6,3)或(0,3)【解析】
(1)由三角形ABC为等边三角形,以及AD=BE=CF,进而得出三角形ADF与三角形CFE与三角形BED全等,利用全等三角形对应边相等得到BF=DF=DE,即可得证;(2)先表示出三角形AEC面积,根据EQ与AB平行,得到三角形CEQ与三角形ABC相似,利用相似三角形面积比等于相似比的平方表示出三角形CEQ面积,进而表示出AEQ面积,利用二次函数的性质求出面积最大值,并求出此时Q的坐标即可;(3)当△AEQ的面积最大时,D、E、F都是中点,分两种情形讨论即可解决问题;【详解】(1)如图①中,∵C(6,0),∴BC=6在等边三角形ABC中,AB=BC=AC=6,∠A=∠B=∠C=60°,由题意知,当0<t<6时,AD=BE=CF=t,∴BD=CE=AF=6﹣t,∴△ADF≌△CFE≌△BED(SAS),∴EF=DF=DE,∴△DEF是等边三角形,∴不论t如何变化,△DEF始终为等边三角形;(2)如图②中,作AH⊥BC于H,则AH=AB•sin60°=3,∴S△AEC=×3×(6﹣t)=,∵EQ∥AB,∴△CEQ∽△ABC,∴=()2=,即S△CEQ=S△ABC=×9=,∴S△AEQ=S△AEC﹣S△CEQ=﹣=﹣(t﹣3)2+,∵a=﹣<0,∴抛物线开口向下,有最大值,∴当t=3时,△AEQ的面积最大为cm2,(3)如图③中,由(2)知,E点为BC的中点,线段EQ为△ABC的中位线,当AD为菱形的边时,可得P1(3,0),P3(6,3),当AD为对角线时,P2(0,3),综上所述,满足条件的点P坐标为(3,0)或(6,3)或(0,3).【点睛】本题考查四边形综合题、等边三角形的性质和判定、菱形的判定和性质、二次函数的性质等知识,解题的关键是学会构建二次函数解决最值问题,学会用分类讨论的思想思考问题,属于中考压轴题.20、(1)见解析;(2)【解析】试题分析:(1)连接OD,则由已知易证OD∥AC,从而可得∠CAD=∠ODA,结合∠ODA=∠OAD,即可得到∠CAD=∠OAD,从而得到AD平分∠BAC;(2)连接OE、DE,由已知易证△AOE是等边三角形,由此可得∠ADE=∠AOE=30°,由AD平分∠BAC可得∠OAD=30°,从而可得∠ADE=∠OAD,由此可得DE∥AO,从而可得S阴影=S扇形ODE,这样只需根据已知条件求出扇形ODE的面积即可.试题解析:(1)连接OD.∵BC是⊙O的切线,D为切点,∴OD⊥BC.又∵AC⊥BC,∴OD∥AC,∴∠ADO=∠CAD.又∵OD=OA,∴∠ADO=∠OAD,∴∠CAD=∠OAD,即AD平分∠BAC.(2)连接OE,ED.∵∠BAC=60°,OE=OA,∴△OAE为等边三角形,∴∠AOE=60°,∴∠ADE=30°.又∵,∴∠ADE=∠OAD,∴ED∥AO,∴S△AED=S△OED,∴阴影部分的面积=S扇形ODE=.21、(1)81;(2)108人;(3)见解析.【解析】
(1)根据众数的概念解答;(2)求出九年级学生体质健康的优秀率,计算即可;(3)分别从不同的角度进行评价.【详解】解:(1)由测试成绩可知,81分出现的次数最多,∴a=81,故答案为:81;(2)九年级学生体质健康的优秀率为:,九年级体质健康优秀的学生人数为:180×60%=108(人),答:估计该校九年级体质健康优秀的学生人数为108人;(3)①因为八年级学生的平均成绩高于九年级的平均成绩,且八年级学生成绩的方差小于九年级的方差,所以八年级学生的体质健康情况更好一些.②因为九年级学生的优秀率(60%)高于八年级的优秀率(40%),且九年级学生成绩的众数或中位数高于八年级的众数或中位数,所以九年级学生的体质健康情况更好一些.【点睛】本题考查的是用样本估计总体、方差、平均数、众数和中位数的概念和性质,正确求出样本的众数、理解方差和平均数、众数、中位线的性质是解题的关键.22、(1)汽车行驶400千米,剩余油量30升,加满油时,油量为70升;(2)已行驶的路程为650千米.【解析】
(1)观察图象,即可得到油箱内的剩余油量,根据耗油量计算出加满油时油箱的油量;用待定系数法求出一次函数解析式,再代入进行运算即可.【详解】(1)汽车行驶400千米,剩余油量30升,即加满油时,油量为70升.(2)设,把点,坐标分别代入得,,∴,当时,,即已行驶的路程为650千米.【点睛】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式,一次函数图象上点的坐标特征等,关键是掌握待定系数法求函数解析式.23、证明见解析【解析】试题分析:(1)根据已知求得∠BDF=∠BCD,再根据∠BFD=∠DFC,证明△B
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