2024河南中考数学专题复习第四章 微专题 遇到角平分线如何添加辅助线 课件

遇到角平分线如何添加辅助线微专题一阶

方法训练方法解读情形1利用角平分线的性质“过角平分线上的点向角两边作垂线”构造全等三角形如图，点P是∠MON平分线上的一点．【结论】AP＝BP，Rt△AOP≌Rt△BOP.方法一构造对称图形方法解读情形2利用角平分线的性质截取“等线段”构造全等三角形如图，点P是∠MON的平分线上一点，点A是射线OM上任意一点，在ON上截取OB＝OA，连接PB，则△OPA≌△OPB.可记为“图中有角平分线，可将图形对折看，对称以后关系现”．例1

(北师八下P31例3改编)在△ABC中，AC＝BC，∠C＝90°，AD是△ABC的角平分线，若CD＝4cm，则AC的长为______________．例1题图(4＋4)cm例2题图例2如图，在△ABC中，CD是∠ACB的平分线，△ABC的面积是30，AC＝14，BC＝16，则点D到AC的距离为________．2例3

如图，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，∠D＝

∠B，AB＝4，BC＝2，则AD的长为________.例3题图一题多解法6方法解读角平分线结合平行线推出等腰三角形如图，点P是∠AOB的平分线上一点，过点P作PQ∥OB.结论：△OPQ为等腰三角形．知二推一：①点P为∠AOB(或其外角)平分线上一点；②PQ∥OB；③△POQ为等腰三角形．知道其中任意两个条件，均可推出第三条结论．方法二作平行线例4如图，在△ABC中，AB＝3，BC＝6，BD平分∠ABC，求

的值．一题多解法例4题图解法一：解：如图，过点D作DE∥AB交BC于点E，则∠ABD＝∠BDE，E∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC，∴∠BDE＝∠DBE，∴DE＝BE，设DE＝BE＝x，则CE＝6－x，∵DE∥AB，∴△CDE∽△CAB，∴

＝

，即

＝

，解得x＝2，∴CE＝4，∴

＝

＝

＝2.例4题图E解法二：解：如图，过点D作DF∥BC交AB于点F，∵BD为∠ABC的平分线，∴∠ABD＝∠CBD，∵DF∥BC，∴∠FDB＝∠DBC，∴∠FBD＝∠FDB，∴BF＝DF，∵

＝

，即

＝

，解得AF＝1，∴BF＝2，∴

＝

＝

＝2.例4题图F二阶

综合训练1.如图，在▱ABCD中，BG，AG

分别平分∠ABC与∠BAD，GH⊥AB，GH＝5，则AD与BC之间的距离为________．第1题图10

解题关键点过点G分别作BC，AD边的垂线．第2题图2.如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∠ADB的平分线DE交AB于点E.若AD＝6，AB＝8，则BE的长为________．5【解析】如图，过点E作EF⊥BD于点F，∵DE平分∠ADB，∴EF＝AE，∴BE＝AB－AE＝8－EF，在Rt△DAE和Rt△DFE中，

，∴Rt△DAE≌Rt△DFE(HL)，∴DF＝DA＝6，在Rt△ABD中，由勾股定理得，DB＝＝10，∴BF＝BD－DF＝10－6＝4，在Rt△BEF中，有EF2＋BF2＝BE2，即EF2＋42＝(8－EF)2，解得EF＝3，∴BE＝8－3＝5.∟F

解题关键点过点E作EF⊥BD于点F，利用△DAE≌△DFE和勾股定理求解．3.如图，在△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D，E是BD的中点，若AB＝2BC，AD＝5，求CE的长．第3题图解：如图，延长BC至点F，使得CF＝BC，连接DF，F∵AB＝2BC，∴BF＝BA，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠FBD，又∵BD＝BD，∴△BDF≌△BDA(SAS)，∴DF＝DA＝5，∵E为BD的中点，BC＝CF，∴CE为△BDF的中位线，∴CE＝

DF＝

.【解题思路】如解图，在AB上取一点G，使得BG＝BC，连接GE，易证△BCE≌△BGE，结合AB＝2BC，E为BD中点，得到G为AB中点，利用三角形中位线的性质求得EG的长，进而求得CE的长．第3题解图一题多解4.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，点E，F分别在AB，AC上，连接DE，DF，DE＝4，若∠BAC＋∠EDF＝180°，求DF的长．第4题图解：如图，在AB上截取AG＝AF，∵AD平分∠BAC，∴∠1＝∠2，在△ADG

与△ADF中，，∴△AGD≌△AFD(SAS)，G1234∴∠AGD

＝∠AFD

，DG＝

DF，又∵∠3＋∠EDF＋∠DFA＋

∠FAE＝360°，∠EDF

＋∠BAC＝180°，∴∠3＋∠AFD

＝180°，又∵∠4＋∠AGD

＝180°，∴∠4＝∠3，∴DE＝DG，∵DE＝4，∴DF＝DE＝4.第4题图G1234【解题思路】如解图，过点D分别作DM⊥AB于点M，DN⊥AC于点N，利用角平分线上的点到这个角两边距离相等得到DM＝DN，易证△EMD≌△FND，可得DF＝DE.第4题解图一题多解5.如图，在等腰直角△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，BD是∠ABC的平分线，且CE⊥BD交BD的延长线于点E.(1)若AD＝1，求DC的长；第5题图(1)解：如图，过点D作DH⊥BC于点H，∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠BCA＝45°，∴DH＝CH.∵BD是∠ABC的平分线，AD＝1，∴DH＝AD＝1，∴CH＝DH＝1，∴在Rt△CHD中，DC＝＝；∟H(2)求证：BD＝2CE.第5题图(2)证明：如图，延长CE，BA相交于点F，F∵∠EBF＋∠F＝90°，∠ACF＋∠F＝90°，∴∠EBF＝∠ACF，在△ABD和△ACF中，∴△ABD≌△ACF(ASA)，∴BD＝CF，∵BD平分∠ABC，∴∠EBC＝∠EBF，在△BCE和△BFE中，∴△BCE≌△BFE(ASA)，∴CE＝FE，∴CF＝2CE，∵BD＝CF，∴BD＝2CE.第5题图F6.下面是某数学兴趣小组学习有关角平分线问题时的讨论片段，请仔细阅读，并完成相应的任务：小聪：我遇到一个有关角平分线的问题，如图①，在△ABC中，∠A＝2∠B，CD平分∠ACB，AD＝2.2，AC＝3.6，求BC的长．小红：因为CD平分∠ACB，所以可在BC边上取点E，使EC＝AC，连接DE.这样很容易得到△DEC≌△DAC，经过推理能使问题得到解决(如图②).…第6题图任务：(1)求证：△BDE是等腰三角形；第6题图(1)证明：由题图②，得EC＝AC，CD平分∠ACB，∴∠ACD＝∠ECD，在△ACD与△ECD中，

，∴△ACD≌△ECD(SAS)，∴AD＝ED，∠A＝∠DEC，∵∠A＝2∠B，∴∠DEC＝2∠B，∵∠DEC＝∠B＋∠EDB，∴∠B＝∠EDB，∴△BDE是等腰三角形；第6题图(2)求BC的长；第6题图(2)解：由(1)知：AC＝CE＝3.6，DE＝BE＝AD＝2.2，∴BC＝BE＋CE＝2.2＋3.6＝5.8；(3)如图③，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠A＝20°，BD平分∠ABC，若BD＝4，BC＝3，参考小红解决问题的方法，求出线段AD的长．第6题图③(3)解：如解图，在BA边上取点E，使BE＝BC＝3，连接DE，在DA边上取点F，使DF＝DB，连接EF，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝20°，∴∠ABC＝∠C＝80°，∵BD平分∠ABC，∴∠1＝∠2＝40°，∠BDC＝60°，第6题解图在△DEB和△DCB中，，∴△DEB≌△DCB(SAS)，∴∠BED＝∠C＝80°，∴∠4＝60°，∴∠3＝60°