2024河南中考数学专题复习第四章 第五节 全等、相似三角形的常考模型 课件

全等、相似三角形的常考模型第五节考情及趋势分析一、一线三等角模型(9年3考)考情分析年份题号题型分值背景结合知识点涉及模型202222解答题10滚铁环切线的性质，平行线的性质或余角、补角或四边形的内角和证明两角之和为90°，利用三角函数求线段长一线三等角型同侧直角相似201915填空题3矩形的折叠相似，勾股定理，解一元二次方程，解一元一次方程，正方形的判定与性质，折叠的性质一线三等角型同侧直角相似201615填空题3图形不固定平行线的性质，勾股定理，相似，折叠的性质一线三等角型同侧直角相似考情及趋势分析二、手拉手模型(9年6考)年份题号题型分值背景旋转方式结合知识点设问202215填空题3等腰直角三角形旋转线段勾股定理角度为90°时求线段长202023解答题11正方形逆时针旋转线段相似(1)判断三角形形状，求线段比值；(2)证明(1)中的结论；(3)平行四边形存在时求线段比值201922解答题10等腰三角形逆时针旋转线段全等，相似(1)60°时线段比值和两条直线所成夹角；(2)90°时求(1)中的设问；(3)三点共线时求线段的比值年份题号题型分值背景旋转方式结合知识点设问201822解答题10等腰三角形和直角三角形三角形绕顶点旋转全等，相似，勾股定理(1)等腰三角形时线段比值和角的度数；(2)直角三角形时线段比值和角的度数；(3)两点重合时求线段长201722解答题10直角三角形三角形绕顶点旋转中位线的性质，全等，点圆最值(1)线段间的数量关系和位置关系；(2)判断三角形形状；(3)三角形面积的最大值202322解答题10直角三角形绕顶点顺时针旋转勾股定理，相似(1)(2)线段比值；(3)三点共线时求线段长考情及趋势分析三、十字模型(2020.14)考情分析年份题号题型分值背景设问结合知识点202014填空题3正方形求线段长中位线的性质，勾股定理考情及趋势分析四、对角互补模型考情分析年份题号题型分值题目背景结合知识点涉及模型类型201815填空题3角为背景作对称中位线的性质，30°直角三角形的性质，正方形的判定及性质两个90°一阶

认识模型一、一线三等角模型(9年3考)1.题干：(1)模型特点：一条线上有三个相等的角．(2)证明过程：①先找平角180°，②再找内角和180°，③结合条件中的等角，得到另一组等角．模型关键点2.结论：两角分别相等的两个三角形相似．3.变式：若一线三等角中有一条线段对应相等，则这两个三角形全等．模型链接一线三等角模型[模型应用]、[模型构造]、[综合提升]见重难题型突破微专题3

例1如图，已知线段AB上有一点P，C，D为线段AB外两点，连接AC，BD，CP，PD.若∠1＝∠2＝∠3，例1题图(1)请证明：△ACP∽△BPD，并写出依据；证明：∵∠APC＋∠2＋∠BPD＝180°(依据：平角是180°)，∠APC＋∠1＋∠ACP＝180°(依据：____________________)，∠1＝∠2(已知)，∴∠BPD＝∠ACP，∵∠1＝∠3(已知)，∴△ACP∽△BPD(依据：_____________________________)三角形内角和是180°两角分别相等的两个三角形相似(2)请添加一组条件，使得△ACP≌△BPD，并写出证明过程及依据．例1题图(2)解：添加条件：AP＝BD，由(1)得，∠ACP＝∠BPD，在△ACP和△BPD中，

，∴△ACP≌△BPD(AAS)(依据：两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等)(答案不唯一).二阶

模型应用1．如图，在等腰直角△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC.点D，E分别在边BC，AC上，连接AD，DE，且∠ADE＝45°.(1)求证：△BDA∽△CED；第1题图证明：(1)∵在等腰直角△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，∴∠B＝∠C＝45°，∵∠BDA＋∠ADE＋∠EDC＝180°，∠BDA＋∠B＋∠DAB＝180°，∠ADE＝∠B，∴∠EDC＝∠DAB，又∵∠B＝∠C＝45°，∴△BDA∽△CED；第1题图(2)若AB＝CD，求证：△BDA≌△CED.第1题图(2)由(1)知∠EDC＝∠DAB，∠B＝∠C，在△BDA和△CED中，

，∴△BDA≌△CED(ASA).二、手拉手模型(9年6考)一阶

认识模型模型关键点1.题干：(1)模型特点：共顶点的非等腰三角形旋转．(2)证明过程：①先确定共顶点，②再根据顶角找一对角相等，③再找等角的两边对应成比例．2.结论：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似．3.变式：若手拉手模型中等腰三角形绕顶角旋转，则这两个三角形全等．模型链接手拉手模型[模型应用]、[模型构造]、[综合提升]见重难题型突破微专题4

例1如图，在△ABC中，点D，E分别为AB，AC上的点，连接DE，将△ADE绕点A逆时针旋转得到△AD′E′，连接BD′，CE′.若DE∥BC.(1)请证明：△ABD′∽△ACE′，并写出依据；例1题图(1)证明：∵DE∥BC(已知)，∴

＝

(依据：平行线分线段成比例)，∵△ADE绕点A逆时针旋转得到△AD′E′，∴AD′＝AD，AE′＝AE，∠DAE＝∠D′AE′，(依据：旋转前后对应边相等，对应角相等)即

＝

，∴＝

，∵∠DAD′＋D′AE＝∠EAE′＋∠D′AE，∴∠DAD′＝∠EAE′，∴△ABD′∽△ACE′；(依据：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似)例1题图(2)请添加一组条件，使得△ABD′≌△ACE′，并写出证明过程及依据．例1题图(2)解：添加条件为AB＝AC，∵DE∥BC(已知)，∴AD＝AE(依据：平行线分线段成比例)，∴AD′＝AE′(依据：旋转前后对应边相等)，由(1)得∠DAD′＝∠EAE′，∴∠BAD′＝∠CAE′，在△ABD′和△ACE′中，

，∴△ABD′≌△ACE′(SAS)(依据：两边及其夹角分别相等的两个三角形全等)(答案不唯一).二阶

模型应用1．如图，△ABC是等腰三角形，其中AB＝BC，将△ABC绕顶点B逆时针旋转到△A1BC1的位置，AB与A1C1相交于点D，AC与A1C1，BC1分别相交于点E，F.求证：△BCF≌△BA1D.第1题图证明：∵AB＝BC，∴∠A＝∠C，∵△A1BC1是由△ABC绕顶点B逆时针旋转而得，∴∠A＝∠A1＝∠C，AB＝A1B＝BC，∵∠A1BD＋ABC1＝∠CBC1＋∠ABC1，∴∠A1BD＝∠CBF，在△BCF和△BA1D中，

，∴△BCF≌△BA1D(ASA).第1题图2．如图，在△ABC与△ADE中，∠ACB＝∠AED，∠ABC＝∠ADE，连接BD，CE，求证：△ACE∽△ABD.第2题图证明：∵∠ACB＝∠AED，∠ABC＝∠ADE，∴△ABC∽△ADE，∴∠BAC＝∠DAE，

＝

，∵∠BAC＋∠BAE＝∠DAE＋∠BAE，∴∠CAE＝∠BAD，又∵

＝

，∴△ACE∽△ABD.三、十字模型(2020.14；2023南阳模拟)一阶

认识模型模型关键点1.题干：(1)模型特点：矩形中有两条互相垂直的线．(2)证明过程：①根据互相垂直的两条线确定90°角，②再结合三角形内角和等于180°与矩形的四个角都是90°确定一组等角，③根据矩形的性质确定另外一组等角．2.结论：两角分别相等的两个三角形相似．3.变式：若十字模型中的矩形为正方形，则这两个三角形全等．模型链接十字模型[模型回顾]、[综合提升]见重难题型突破微专题7例1

如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，AE⊥BF交BF于点G.(1)请证明：△ABE∽△BCF，并写出依据；例1题图证明：(1)∵AE⊥BF(已知)，∴∠AGB＝90°，∴∠ABG＋∠BAG＝90°(依据：三角形内角和是180°)，∵四边形ABCD为矩形，∴∠ABG＋∠CBF＝90°，∠ABE＝∠BCF＝90°(依据：矩形的四个角均为90°)，∴∠BAG＝∠CBF，∴△ABE∽△BCF(依据：两角分别相等的两个三角形相似)；(2)若AB＝BC，请证明：△ABE≌△BCF，并写出依据．例1题图(2)由(1)得∠BAG＝∠CBF，∠ABE＝∠BCF，在△ABE和△BCF中，

，∴△ABE≌△BCF(ASA)(依据：两角及其夹边分别相等的两个三角形全等).二阶

模型应用1.如图，在四边形ABCD中，点E，F分别是AB，AD上的点，连接DE，CF，且DE⊥CF.(1)如图①，若四边形ABCD为正方形，求证：DE＝CF；第1题图(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝CD，∠A＝∠ADC＝90°，∴∠ADE＋∠CDE＝90°，∵DE⊥CF，∴∠DCF＋∠CDE＝90°，∴∠DCF＝∠ADE，∴△ADE≌△DCF(ASA)，∴DE＝CF；(2)如图②，若四边形ABCD为矩形，已知AD＝7，AB＝4，求

的值．第1题图(2)解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠ADC＝90°，AB＝CD＝4，∵∠ADE＋∠AED＝90°，∵CF⊥DE，∴∠ADE＋∠DFC＝90°，∴∠AED＝∠DFC，∴△DFC∽△AED，∴

＝

，∵AD＝7，CD＝4，∴

＝

.四、半角模型(2023许昌模拟)一阶

认识模型模型关键点1.题干：(1)模型特点：一个大角包含它的一半小角，共顶点且大角两边相等．(2)证明过程：①先确定旋转点(含半角的角的顶点)，②绕共顶点将大角和小角的一组邻边旋转一个大角，得到一对等角，一对等边和公共边．模型链接2.结论：两边及其夹角分别相等的两个三角形全等．半角模型[模型应用]、[综合提升]见重难题型突破微专题5例1

如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，点D，E分别为BC上两点，连接AD，AE，∠DAE＝

∠BAC＝α，将△ABD绕点A逆时针旋转2α得到△ACF，连接EF，求证：△ADE≌△AFE，并写出依据．例1题图证明：∵将△ABD绕点A逆时针旋转2α得到△ACF，∴AD＝AF，∠BAD＝∠CAF(依据：旋转前后对应边相等，对应角相等)，∵∠DAE＝

∠BAC＝α(已知)，∴∠BAD＋∠CAE