2024-2025学年高中数学 第1章 导数及其应用 1.4 生活中的优化问题举例（教师用书）教案 新人教A版选修2-2

2024-2025学年高中数学第1章导数及其应用1.4生活中的优化问题举例（教师用书）教案新人教A版选修2-2学校授课教师课时授课班级授课地点教具课程基本信息1.课程名称：高中数学——导数及其应用

2.教学年级和班级：高二年级（1）班

3.授课时间：2024年9月20日

4.教学时数：1课时（45分钟）

教案内容：

一、教学目标

1.理解导数在实际生活中的应用，能够运用导数解决一些优化问题。

2.通过实例，培养学生的数学建模能力，提高学生解决实际问题的能力。

3.渗透数学美和数学应用意识，激发学生学习数学的兴趣。

二、教学重难点

1.重点：导数在实际生活中的应用。

2.难点：如何运用导数解决优化问题。

三、教学方法

1.情境教学法：通过生活中的实例，引导学生理解导数在实际问题中的应用。

2.案例教学法：分析具体的优化问题，培养学生解决实际问题的能力。

四、教学过程

1.导入：以“跑步的最佳路线”为例，引出优化问题的概念。

2.新课导入：讲解导数的基本概念，引导学生理解导数在优化问题中的应用。

3.案例分析：分析“最小成本”和“最短路径”等问题，引导学生运用导数解决实际问题。

4.课堂练习：让学生独立解决一些生活中的优化问题，巩固所学知识。

5.总结：对本节课的内容进行总结，强调导数在实际生活中的应用。

五、课后作业

1.请学生总结本节课所学的知识点，并撰写一篇关于导数在实际生活中应用的小论文。

2.布置一些相关的优化问题，让学生课后思考。

六、教学反思

在课后，教师应认真反思本节课的教学效果，针对学生的掌握情况，调整教学策略，以提高学生对导数及其应用的理解和运用。核心素养目标本节课旨在培养学生以下核心素养：

1.逻辑推理：通过分析实际问题，引导学生运用逻辑推理能力，理解导数在优化问题中的应用。

2.数学建模：培养学生运用数学知识建立模型，解决实际问题的能力。

3.数据分析：引导学生观察、分析实际问题中的数据，提高数据处理和分析能力。

4.数学运算：培养学生运用导数知识进行运算，解决优化问题的能力。

5.数学应用：激发学生将数学知识应用于实际生活中的意识，提高解决实际问题的能力。

6.数学审美：通过欣赏数学美，提高学生对数学的热爱和兴趣。学情分析本节课的教学对象是高二年级（1）班的学生，他们已经学习了导数的基本概念和求导法则，对导数有了初步的认识。在学习过程中，学生的知识水平、能力素质和行为习惯存在以下特点：

1.知识水平：大部分学生掌握了导数的基本知识，但程度参差不齐。部分学生对导数的实际应用尚不了解，需要通过实例进行分析。

2.能力素质：学生在数学运算、逻辑推理方面有一定基础，但运用数学知识解决实际问题的能力较弱。此外，部分学生在数据分析、数学建模方面存在不足，需要加强训练。

3.行为习惯：学生在课堂上的参与度较高，善于提问和思考。但部分学生课后不愿花费时间进行复习和练习，导致知识掌握不扎实。

针对以上学情，本节课的教学应注重以下几点：

1.因材施教：针对学生知识水平的差异，采取分层次教学，对不同层次的学生提出不同的要求，使所有学生都能在课堂上得到锻炼和提高。

2.强化实践：通过具体的实例，让学生亲身体验导数在实际生活中的应用，提高运用数学知识解决实际问题的能力。

3.培养习惯：引导学生养成良好的学习习惯，课后勤于练习和复习，确保知识掌握牢固。

4.小组合作：鼓励学生进行小组讨论和合作，培养团队精神和沟通能力，提高解决实际问题的能力。

5.激励评价：关注学生的成长和进步，及时给予表扬和鼓励，增强学生学习数学的自信和兴趣。教学方法与策略1.教学方法：

针对本节课的内容，将采用讲授法、案例研究法和小组合作法进行教学。

讲授法：在课堂上，教师将运用清晰、简洁的语言，系统地讲授导数在实际生活中的应用，帮助学生建立知识体系。

案例研究法：通过分析具体的优化问题，引导学生运用逻辑推理能力，理解导数在实际问题中的应用。

小组合作法：鼓励学生进行小组讨论和合作，培养团队精神和沟通能力，提高解决实际问题的能力。

2.教学活动设计：

为了提高学生的参与度和互动，设计了以下教学活动：

（1）角色扮演：让学生扮演生活中的角色，如跑步者、司机等，结合导数知识，探讨如何优化行动路线。

（2）实验操作：引导学生动手实践，利用在线工具或软件，模拟优化问题的求解过程。

（3）游戏设计：将优化问题融入游戏中，让学生在轻松愉快的氛围中，加深对导数应用的理解。

3.教学媒体和资源：

为了提高教学效果，将充分利用现代教育技术，选用以下教学媒体和资源：

（1）PPT：制作精美的PPT，展示导数在实际生活中的应用实例，帮助学生直观地理解知识。

（2）视频：选取与课程内容相关的视频资料，让学生更直观地了解优化问题的实际应用。

（3）在线工具：利用互联网在线工具，让学生动手实践，提高解决实际问题的能力。

（4）课外阅读材料：推荐一些与课程相关的课外阅读材料，拓展学生的知识视野。教学过程设计1.导入新课（5分钟）

目标：引起学生对“生活中的优化问题”的兴趣，激发其探索欲望。

过程：

开场提问：“你们知道优化问题是什么吗？它与我们的生活有什么关系？”

展示一些关于优化问题的图片或视频片段，让学生初步感受优化问题的魅力或特点。

简短介绍优化问题的基本概念和重要性，为接下来的学习打下基础。

2.优化问题基础知识讲解（10分钟）

目标：让学生了解优化问题的基本概念、组成部分和原理。

过程：

讲解优化问题的定义，包括其主要组成元素或结构。

详细介绍优化问题的组成部分或功能，使用图表或示意图帮助学生理解。

3.优化问题案例分析（20分钟）

目标：通过具体案例，让学生深入了解优化问题的特性和重要性。

过程：

选择几个典型的优化问题案例进行分析。

详细介绍每个案例的背景、特点和意义，让学生全面了解优化问题的多样性或复杂性。

引导学生思考这些案例对实际生活或学习的影响，以及如何应用优化问题解决实际问题。

4.学生小组讨论（10分钟）

目标：培养学生的合作能力和解决问题的能力。

过程：

将学生分成若干小组，每组选择一个与优化问题相关的主题进行深入讨论。

小组内讨论该主题的现状、挑战以及可能的解决方案。

每组选出一名代表，准备向全班展示讨论成果。

5.课堂展示与点评（15分钟）

目标：锻炼学生的表达能力，同时加深全班对优化问题的认识和理解。

过程：

各组代表依次上台展示讨论成果，包括主题的现状、挑战及解决方案。

其他学生和教师对展示内容进行提问和点评，促进互动交流。

教师总结各组的亮点和不足，并提出进一步的建议和改进方向。

6.课堂小结（5分钟）

目标：回顾本节课的主要内容，强调优化问题的重要性和意义。

过程：

简要回顾本节课的学习内容，包括优化问题的基本概念、组成部分、案例分析等。

强调优化问题在现实生活或学习中的价值和作用，鼓励学生进一步探索和应用优化问题。

布置课后作业：让学生撰写一篇关于优化问题的短文或报告，以巩固学习效果。学生学习效果1.知识掌握：学生将深入理解导数的基本概念，掌握导数在实际生活中的应用，能够运用导数解决一些优化问题。

2.能力提升：学生将提高数学建模能力，能够运用数学知识建立模型，解决实际问题。同时，通过案例分析和小组讨论，学生的数据分析、数学运算和数学应用能力也将得到锻炼和提升。

3.素质培养：学生将培养数学审美意识，通过欣赏数学美，提高对数学的热爱和兴趣。同时，学生将学会团队合作，培养沟通能力和合作精神。

4.习惯养成：学生将养成良好的学习习惯，通过课后作业的练习和复习，加深对导数及其应用的理解和掌握。

5.应用拓展：学生将能够将所学的导数知识应用于实际生活中，提高解决实际问题的能力。通过小组讨论和案例分析，学生将学会如何运用导数解决优化问题，并将这种思维方式应用到其他学科和生活领域中。

6.思维培养：学生将培养批判性思维和创新思维能力。通过分析案例和讨论问题，学生将学会独立思考、提出自己的观点，并能够批判性地分析和解决问题。

7.情感态度：学生将培养积极的学习情感和态度，通过解决实际问题和团队合作，感受到数学的乐趣和应用价值，增强对数学学科的兴趣和自信心。课后作业为了巩固本节课所学的知识，布置以下课后作业：

1.请用简洁的语言描述导数的基本概念，并给出一个生活中的实例说明导数的应用。

2.选取一个优化问题，运用所学的导数知识，尝试解决该问题，并解释你的解题过程。

3.分析以下函数在某一点处的导数，并解释其物理意义：f(x)=x^2,在x=0处。

4.假设有一辆汽车从原点出发，以每小时60公里的速度行驶，请在t小时内找到该汽车行驶的最短路径。

5.某工厂生产一种产品，每件产品的成本为5元，售价为8元。若工厂每天生产x件产品，请找出使总利润最大化的生产数量x。

答案：

1.导数的基本概念：导数是函数在某一点处的瞬时变化率，表示函数图像在这一点处的切线斜率。生活中的实例：比如，一个人以每小时5公里的速度跑步，那么他在某一瞬间的瞬时速度就是他的导数。

2.优化问题解答：假设我们要找到从A点到B点最短的路径，我们可以利用导数的概念，求出在各个点处的最短路径。具体的解题过程可以结合具体问题进行说明。

3.函数f(x)=x^2在x=0处的导数是2x，其物理意义是速度。在这个例子中，当x=0时，速度为0，即汽车刚刚出发。

4.在t小时内，汽车行驶的最短路径是直线距离，可以使用勾股定理进行计算。具体的路径和距离可以根据具体问题进行说明。

5.总利润最大化的问题可以通过求导数来解决。具体的解答过程可以结合函数图像和切线斜率进行说明。教学反思与改进在课后，我对本节课的教学进行了反思，发现了一些需要改进的地方，并制定了相应的改进措施。

首先，我发现学生在课堂上的参与度较高，但部分学生在小组讨论时显得有些被动。为了提高学生的参与度，我计划在未来的教学中采用更多的互动式教学方法，如提问、讨论和小组合作等，鼓励学生积极参与课堂讨论。

其次，我发现部分学生在解决实际问题时，对导数的应用不够熟练。为了加强学生的实践能力，我计划在未来的教学中增加更多的案例分析和实际问题解决的机会，让学生在实际操作中学习和掌握导数的应用。

再次，我发现学生在课堂练习时，对一些概念和公式的理解不够深入。为了加深学生的理解，我计划在未来的教学中采用更多的解释和示例，帮助学生更好地理解和掌握导数的概念和公式。

最后，我发现学生在课堂展示时，表达能力有所欠缺。为了提高学生的表达能力，我计划在未来的教学中增加更多的口头表达和展示的机会，鼓励学生积极参与并展示他们的学习成果。课堂小结，当堂检测课堂小结：

在本节课中，我们学习了导数在实际生活中的应用，包括优化问题。通过案例分析，我们了解了导数在解决实际问题中的作用和重要性。我们还进行了小组讨论，培养了解决实际问题的能力。

1.导数的基本概念和性质

2.导数在实际生活中的应用，如优化问题

3.如何运用导数解决实际问题

当堂检测：

1.请用简洁的语言描述导数的基本概念，并给出一个生活中的实例说明导数的应用。

2.假设有一辆汽车以每小时60公里的速度行驶，请在t小时内找到该汽车行驶的最短路径。

3.分析以下函数在某一点处的导数，并解释其物理意义：f(x)=x^2,在x=0处。

4.某工厂生产一种产品，每件产品的成本为5元，售价为8元。若工厂每天生产x件产品，请找出使总利润最大化的生产数量x。

5.请解释以下函数的导数，并给出一个生活中的实例说明导数的应用：f(x)=√(1-x^2)，在x=0处。

答案：

1.导数的基本概念：导数是函数在某一点处的瞬时变化率，表示函数图像在这一点处的切线斜率。生活中的实例：比如，一个人以每小时5公里的速度跑步，那么他在某一瞬间的瞬时速度就是他的导数。

2.汽车行驶的最短路径是直线距离，可以使用勾股定理进行计算。具体的路径和距离可以根据具体问题进行说明。

3.函数f(x)=x^2在x=0处的导数是2x，其物理意义是速度。在这个例子中，当x=0时，速度为0，即汽车刚刚出发。

4.总利润最大化的问题可以通过求导数来解决。具体的解答过程可以结合函数图像和切线斜率进行说明。

5.函数f(x)=√(1-x