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文档简介
第一章特殊平行四边形2矩形的性质与判定(第一课时)
1.矩形具有而平行四边形不具有的性质是(
A
)A.对角线相等B.对角相等C.对边相等D.对角线互相平分A
A.
AF
=
CF
B.∠
FAC
=∠
EAC
C.
AB
=4D.
AC
=2
AB
(第2题图)D3.(2023·兰州)如图,在矩形
ABCD
中,点
E
为
BA
延长线上一
点,点
F
为
CE
的中点,以点
B
为圆心,
BF
长为半径的圆弧过
AD
与
CE
的交点
G
,连接
BG
.
若
AB
=4,
CE
=10,则
AG
=
(
C
)A.2B.2.5C.3D.3.5(第3题图)C4.(2023·湘西)如图,在矩形
ABCD
中,已知点
E
在边
BC
上,
点
F
是
AE
的中点,
AB
=8,
AD
=
DE
=10,则
BF
的长为
.2
5.(2023·内江)出入相补原理是我国古代数学的重要成就之一.
最早是由三国时期数学家刘徽创建.“将一个几何图形,任意切
成多块小图形,几何图形的总面积保持不变,等于所分割成的
小图形的面积之和”是该原理的重要内容之一.如图,在矩形
ABCD
中,
AB
=5,
AD
=12,对角线
AC
与
BD
交于点
O
,点
E
为
BC
边上的一个动点,
EF
⊥
AC
,
EG
⊥
BD
,垂足分别为
F
,
G
,则
EF
+
EG
=
.
(第5题图)6.如图,在矩形
ABCD
中,
AB
=2,
BC
=4,点
A
,
B
分别在
y
轴、
x
轴的正半轴上,点
C
在第一象限.若∠
OAB
=30°,则点
C
的坐标是
.(第6题图)
7.如图,在矩形
ABCD
中,已知点
E
在
DC
上,
AE
=2
BC
,
AE
=
AB
,求∠
CBE
的度数.
∴∠
CBE
=∠
ABC
-∠
ABE
=90°-75°=15°.8.如图,在矩形
ABCD
中,已知点
E
在
BC
上,
AE
=
AD
,
DF
⊥
AE
,垂足为
F
.
(1)求证:
DF
=
AB
;
(2)若∠
FDC
=30°,且
AB
=6,求
AD
的长.(2)解:∵∠
FAD
+∠
ADF
=90°,∠
FDC
+∠
ADF
=90°,∴∠
FAD
=∠
FDC
=30°.∴
AD
=2
DF
.
由(1),得
DF
=
AB
,∴
AD
=2
DF
=2
AB
=2×6=12.
9.如图,在矩形
ABCD
中,
AB
=3,
AD
=4,点
E
,
F
分别是边
BC
,
CD
上一点,连接
AE
,
EF
.
若
EF
⊥
AE
,将△
ECF
沿
EF
翻折得到△
EC
'
F
,连接
AC
',当
BE
=
时,△
AEC
'是
以
AE
为腰的等腰三角形.
(第9题图)
10.(2023·南通)如图,已知四边形
ABCD
的两条对角线
AC
,
BD
互相垂直,
AC
=4,
BD
=6,则
AD
+
BC
的最小值是
.(第10题图)2
11.如图,在矩形
ABCD
中,已知
AD
=
BC
=6,
AB
=
CD
=
10,点
E
为射线
DC
上的一个动点,△
ADE
与△
AD
'
E
关于直线
AE
对称,连接
BD
'.当△
AD
'
B
为直角三角形时,求
DE
的长.
②当点
E
在线段
DC
的延长线上,且
ED
″经过点
B
时,如图所示.∵∠
ABD
″+∠
CBE
=∠
ABD
″+∠
BAD
″=90°,∴∠
CBE
=∠
BAD
″.
∴△
ABD
″≌△
BEC
(ASA).∴
BE
=
AB
=10.
∴
DE
=
D
″
E
=
BD
″+
BE
=8+10=18.综上所述,
DE
的长为2或18.12.如图,在矩形
ABCD
中,已知∠
BAD
的平分线交
BC
于点
E
,
AE
=
AD
,过点
D
作
DF
⊥
AE
于点
F
.
(1)求证:
AB
=
AF
;证明:(1)∵四边形
ABCD
为矩形,∴
AD
∥
BC
,∠
DAB
=∠
ABE
=90°.∴∠
DAE
=∠
AEB
.
∵
AE
平分∠
BAD
,∴∠
BAE
=∠
DAE
=45°.∴∠
BAE
=∠
AEB
=45°.∴
AB
=
EB
.
(2)连接
BF
并延长交
DE
于点
G
,求证:
EG
=
DG
.
证明:(2)∵
AE
=
AD
,∠
EAD
=45°,∴∠
AED
=∠
ADE
=67.5°.又∵∠
FDA
=45°,∴∠
FDG
=∠
ADE
-∠
FDA
=22.5°.∵
AB
=
AF
,∠
BAF
=45°,∴∠
AFB
=67.5°.∴∠
EFG
=67.5°.∴∠
EFG
=∠
AED
.
∴
FG
=
EG
.
又∵∠
DFG
=∠90°-∠
EFG
=22.5°,∴∠
DFG
=∠
FDG
.
∴
FG
=
DG
.
∴
EG
=
DG
.
13.(选做)如图,在矩形
ABCD
中,已知
AB
=5,
AD
=3,点
P
是
AB
边上一点(不与点
A
,
B
重合),连接
CP
,过点
P
作
PQ
⊥
CP
交边
AD
于点
Q
,连接
CQ
.
(1)当△
CDQ
≌△
CPQ
时,求
AQ
的长;
(2)取
CQ
的中点
M
,连接
MD
,
MP
,若
MD
⊥
MP
,求
AQ
的长.
(方法二)∵点
M
是Rt△
CDQ
的斜边
CQ
的中点,∴
DM
=
CM
.
∴∠
DMQ
=2∠
DCQ
.
∵点
M
是Rt△
CPQ
的斜边的中点,∴
MP
=
CM
.
∴∠
PMQ
=2∠
PCQ
.
∵∠
DMP
=90°,∴2∠
DCQ
+2∠
PCQ
=90°.∴∠
PCD
=45°,∠
BCP
=9
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