北师版九上数学1.2矩形的性质与判定（第一课时）（课外培优课件）

第一章特殊平行四边形2矩形的性质与判定(第一课时)

1.矩形具有而平行四边形不具有的性质是（

A

）A.对角线相等B.对角相等C.对边相等D.对角线互相平分A

A.

AF

＝

CF

B.∠

FAC

＝∠

EAC

C.

AB

＝4D.

AC

＝2

AB

（第2题图）D3.（2023·兰州）如图，在矩形

ABCD

中，点

E

为

BA

延长线上一

点，点

F

为

CE

的中点，以点

B

为圆心，

BF

长为半径的圆弧过

AD

与

CE

的交点

G

，连接

BG

.

若

AB

＝4，

CE

＝10，则

AG

＝

（

C

）A.2B.2.5C.3D.3.5（第3题图）C4.（2023·湘西）如图，在矩形

ABCD

中，已知点

E

在边

BC

上，

点

F

是

AE

的中点，

AB

＝8，

AD

＝

DE

＝10，则

BF

的长为

⁠

⁠.2

5.（2023·内江）出入相补原理是我国古代数学的重要成就之一.

最早是由三国时期数学家刘徽创建.“将一个几何图形，任意切

成多块小图形，几何图形的总面积保持不变，等于所分割成的

小图形的面积之和”是该原理的重要内容之一.如图，在矩形

ABCD

中，

AB

＝5，

AD

＝12，对角线

AC

与

BD

交于点

O

，点

E

为

BC

边上的一个动点，

EF

⊥

AC

，

EG

⊥

BD

，垂足分别为

F

，

G

，则

EF

＋

EG

＝

⁠.

（第5题图）6.如图，在矩形

ABCD

中，

AB

＝2，

BC

＝4，点

A

，

B

分别在

y

轴、

x

轴的正半轴上，点

C

在第一象限.若∠

OAB

＝30°，则点

C

的坐标是

⁠.（第6题图）

7.如图，在矩形

ABCD

中，已知点

E

在

DC

上，

AE

＝2

BC

，

AE

＝

AB

，求∠

CBE

的度数.

∴∠

CBE

＝∠

ABC

－∠

ABE

＝90°－75°＝15°.8.如图，在矩形

ABCD

中，已知点

E

在

BC

上，

AE

＝

AD

，

DF

⊥

AE

，垂足为

F

.

（1）求证：

DF

＝

AB

；

（2）若∠

FDC

＝30°，且

AB

＝6，求

AD

的长.（2）解：∵∠

FAD

＋∠

ADF

＝90°，∠

FDC

＋∠

ADF

＝90°，∴∠

FAD

＝∠

FDC

＝30°.∴

AD

＝2

DF

.

由（1），得

DF

＝

AB

，∴

AD

＝2

DF

＝2

AB

＝2×6＝12.

9.如图，在矩形

ABCD

中，

AB

＝3，

AD

＝4，点

E

，

F

分别是边

BC

，

CD

上一点，连接

AE

，

EF

.

若

EF

⊥

AE

，将△

ECF

沿

EF

翻折得到△

EC

'

F

，连接

AC

'，当

BE

＝

时，△

AEC

'是

以

AE

为腰的等腰三角形.

（第9题图）

10.（2023·南通）如图，已知四边形

ABCD

的两条对角线

AC

，

BD

互相垂直，

AC

＝4，

BD

＝6，则

AD

＋

BC

的最小值是

⁠.（第10题图）2

11.如图，在矩形

ABCD

中，已知

AD

＝

BC

＝6，

AB

＝

CD

＝

10，点

E

为射线

DC

上的一个动点，△

ADE

与△

AD

'

E

关于直线

AE

对称，连接

BD

'.当△

AD

'

B

为直角三角形时，求

DE

的长.

②当点

E

在线段

DC

的延长线上，且

ED

″经过点

B

时，如图所示.∵∠

ABD

″＋∠

CBE

＝∠

ABD

″＋∠

BAD

″＝90°，∴∠

CBE

＝∠

BAD

″.

∴△

ABD

″≌△

BEC

（ASA）.∴

BE

＝

AB

＝10.

∴

DE

＝

D

″

E

＝

BD

″＋

BE

＝8＋10＝18.综上所述，

DE

的长为2或18.12.如图，在矩形

ABCD

中，已知∠

BAD

的平分线交

BC

于点

E

，

AE

＝

AD

，过点

D

作

DF

⊥

AE

于点

F

.

（1）求证：

AB

＝

AF

；证明：（1）∵四边形

ABCD

为矩形，∴

AD

∥

BC

，∠

DAB

＝∠

ABE

＝90°.∴∠

DAE

＝∠

AEB

.

∵

AE

平分∠

BAD

，∴∠

BAE

＝∠

DAE

＝45°.∴∠

BAE

＝∠

AEB

＝45°.∴

AB

＝

EB

.

（2）连接

BF

并延长交

DE

于点

G

，求证：

EG

＝

DG

.

证明：（2）∵

AE

＝

AD

，∠

EAD

＝45°，∴∠

AED

＝∠

ADE

＝67.5°.又∵∠

FDA

＝45°，∴∠

FDG

＝∠

ADE

－∠

FDA

＝22.5°.∵

AB

＝

AF

，∠

BAF

＝45°，∴∠

AFB

＝67.5°.∴∠

EFG

＝67.5°.∴∠

EFG

＝∠

AED

.

∴

FG

＝

EG

.

又∵∠

DFG

＝∠90°－∠

EFG

＝22.5°，∴∠

DFG

＝∠

FDG

.

∴

FG

＝

DG

.

∴

EG

＝

DG

.

13.（选做）如图，在矩形

ABCD

中，已知

AB

＝5，

AD

＝3，点

P

是

AB

边上一点（不与点

A

，

B

重合），连接

CP

，过点

P

作

PQ

⊥

CP

交边

AD

于点

Q

，连接

CQ

.

（1）当△

CDQ

≌△

CPQ

时，求

AQ

的长；

（2）取

CQ

的中点

M

，连接

MD

，

MP

，若

MD

⊥

MP

，求

AQ

的长.

（方法二）∵点

M

是Rt△

CDQ

的斜边

CQ

的中点，∴

DM

＝

CM

.

∴∠

DMQ

＝2∠

DCQ

.

∵点

M

是Rt△

CPQ

的斜边的中点，∴

MP

＝

CM

.

∴∠

PMQ

＝2∠

PCQ

.

∵∠

DMP

＝90°，∴2∠

DCQ

＋2∠

PCQ

＝90°.∴∠

PCD

＝45°，∠

BCP

＝9