新高考高中数学核心知识点全透视专题6.1概率(必修)(精讲精析篇)(原卷版+解析)VIP

专题6.1概率（必修）（精讲精析篇）一、核心素养1.结合随机事件发生的不确定性和频率的稳定性实验，考查对概率意义及基本性质的理解，凸显数据分析的核心素养．2．结合概率的意义及事件的概念，考查事件的关系及运算，凸显数学运算、逻辑推理的核心素养．3．理解古典概型及其概率计算公式，培养数学运算的核心素养．4．结合古典概型的概率公式及基本事件的概念，考查古典概型的概率计算公式，凸显数据分析、数学运算的核心素养．二、考试要求1.事件与概率(1)了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性,了解概率的意义,了解频率与概率的区别.(2)了解两个互斥事件的概率加法公式.2.古典概型(1)理解古典概型及其概率计算公式.(2)会计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率.

3.了解事件的独立性.三、主干知识梳理1．事件的分类确定事件必然事件在条件S下，一定会发生的事件叫相对于条件S的必然事件不可能事件在条件S下，一定不会发生的事件叫相对于条件S的不可能事件随机事件在条件S下，可能发生也可能不发生的事件叫做相对于条件S的随机事件2．频率与概率(1)在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数nA为事件A出现的频数，称事件A出现的比例fn(A)＝eq\f(nA,n)为事件A出现的频率．(2)对于给定的随机事件A，如果随着试验次数的增加，事件A发生的频率fn(A)稳定在某个常数上，把这个常数记作P(A)，称为事件A发生的概率，简称为A的概率．3．事件的关系与运算定义符号表示包含关系如果事件A发生，则事件B一定发生，这时称事件B包含事件A(或称事件A包含于事件B)B⊇A(或A⊆B)相等关系若B⊇A且A⊇BA＝B并事件(和事件)若某事件发生当且仅当事件A发生或事件B发生，称此事件为事件A与事件B的并事件(或和事件)A∪B(或A＋B)交事件(积事件)若某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的交事件(或积事件)A∩B(或AB)互斥事件若A∩B为不可能事件，则称事件A与事件B互斥A∩B＝∅对立事件若A∩B为不可能事件，A∪B为必然事件，那么称事件A与事件B互为对立事件A∩B＝∅，P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝14．事件与集合间的对应关系事件集合必然事件全集不可能事件空集(∅)事件B包含于事件A(B⊆A)集合B包含于集合A(B⊆A)事件B与事件A相等(B＝A)集合B与集合A相等(B＝A)事件B与事件A的并事件(B∪A)集合B与集合A的并集(B∪A)事件B与事件A的交事件(B∩A)集合B与集合A的交集(B∩A)事件B与事件A互斥(B∩A＝∅)集合B与集合A的交集为空集(B∩A＝∅)事件A的对立事件集合A的补集(∁UA)5．概率的几个基本性质(1)概率的取值范围：0≤P(A)≤1.(2)必然事件的概率为eq\a\vs4\al(1).(3)不可能事件的概率为eq\a\vs4\al(0).(4)概率的加法公式：如果事件A与事件B互斥，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．(5)对立事件的概率：若事件A与事件B互为对立事件，则A∪B为必然事件，P(A∪B)＝eq\a\vs4\al(1)，P(A)＝1－P(B)．(6)对于事件A与事件B,有P(A∪B)＝P(A)＋P(B)--P(A∩B)6．基本事件的特点(1)任何两个基本事件都是互斥的；(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和．7．古典概型(1)古典概型的特点①有限性：试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；②等可能性：每个基本事件出现的可能性相等．(2)古典概型的概率公式P(A)＝eq\f(A包含的基本事件的个数,基本事件的总数).8.事件的独立性(1)对于事件、，若的发生与的发生互不影响，则称、是相互独立事件．(2)若与相互独立，则与，与，与也都相互独立．(3)若，则与相互独立．二、真题展示1.（2023·江苏高考真题）逻辑表达式等于（）A． B． C． D．2.（2023·全国高考真题（文））将3个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（）A．0.3 B．0.5 C．0.6 D．0.8考点01随机事件间的关系

【典例1】（2023·全国高一课时练习）在200件产品中，192有件一级品，8件二级品，则下列事件：①在这200件产品中任意选出9件，全部是一级品；②在这200件产品中任意选出9件，全部是二级品；③在这200件产品中任意选出9件，不全是一级品；④在这200件产品中任意选出9件，至少一件是一级品．其中的随机事件有（）A．①③ B．③④ C．②④ D．①②【典例2】（2023·全国高一课时练习）把红、黄、蓝3张卡片随机分给甲、乙、丙三人，每人1张，事件：“甲得红卡”与事件：“乙得红卡”是（）A．不可能事件 B．必然事件C．对立事件 D．互斥且不对立事件【典例3】（2023·全国）有下列说法：（1）某人连续12次投掷一枚骰子，结果都是出现6点，他认为这枚骰子的质地是均匀的．（2）某地气象局预报，明天本地下雨概率为70%，由此认为明天本地有70%的区域下雨，30%的区域不下雨．（3）抛掷一枚质地均匀的硬币出现正面的概率为0.5，那么连续两次抛掷一枚质地均匀的硬币，都出现反面的概率是．（4）围棋盒里放有同样大小的9枚白棋子和1枚黑棋子，每次从中随机摸出1枚棋子后再放回，一共摸10次，认为一定有一次会摸到黑子．其中正确的个数为（）A．0 B．2 C．3 D．1【总结提升】1.判断一个事件是随机事件、必然事件还是不可能事件，首先一定要看条件，其次是看在该条件下所研究的事件是一定发生(必然事件)、不一定发生(随机事件)，还是一定不发生(不可能事件)．2.列举试验的所有可能结果的方法(1)结果是相对于条件而言的，要弄清试验的结果，必须首先明确试验的条件；(2)根据日常生活经验，按照一定的顺序列举所有可能的结果．可应用画树形图、列表等方法，这样才能不重不漏地列举出所有可能结果．3.判断互斥事件、对立事件的2种方法（1）定义法：判断互斥事件、对立事件一般用定义判断，不可能同时发生的两个事件为互斥事件；两个事件，若有且仅有一个发生，则这两事件为对立事件，对立事件一定是互斥事件（2）集合法：=1\*GB3①由各个事件所含的结果组成的集合彼此的交集为空集，则事件互斥．=2\*GB3②事件A的对立事件A所含的结果组成的集合，是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集考点02随机事件的频率与概率【典例4】（2023·全国）下列说法正确的是（）A．任何事件的概率总是在，之间B．频率是客观存在的，与试验次数无关C．随着试验次数的增加，事件发生的频率一般会稳定于概率D．概率是随机的，在试验前不能确定【典例5】（2023·全国高一课时练习）下列说法正确的是________.(填序号)①频率反映事件出现的频繁程度，概率反映事件发生的可能性大小；②做n次随机试验，事件A发生了m次，则事件A发生的概率P(A)＝；③含百分比的数是频率，但不是概率；④频率是不能脱离n次随机试验的试验值，而概率是脱离随机试验的客观值；⑤频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值.【总结提升】1.随机事件在一次试验中是否发生虽然不能事先确定，但是在大量重复试验的情况下，随机事件的发生呈现一定的规律性，因而，可以从统计的角度，通过计算事件发生的频率去估算概率．2.随机事件的频率与概率的常见题型及解题策略(1)补全或列出频率分布表．可直接依据已知条件，逐一计数，写出频率．(2)由频率估计概率．可以根据频率与概率的关系，由频率直接估计概率．(3)由频率估计某部分的数值．可由频率估计概率，再由概率估算某部分的数值．考点03互斥事件与对立事件的概率【典例6】(2023年全国卷Ⅲ文）若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15，则不用现金支付的概率为（）A.0.3B.0.4C.0.6D.0.7【典例7】【多选题】（2023·山东莱西·高一期末）甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，若甲的中靶概率为0.8，乙的中靶概率为0.9，则下列结论正确的为（）A．两人都中靶的概率为0.72B．恰好有一人中靶的概率为0.18C．两人都脱靶的概率为0.14D．恰好有一人脱靶的概率为0.26【典例8】（2023·天津一中高一期末）掷一枚骰子的试验中，出现各点的概率均为，事件表示“出现小于5的偶数点”，事件表示“出现小于5的点数”，则一次试验中，事件（表示事件的对立事件）发生的概率为______.【典例9】（2023·全国高一课时练习）某商场有奖销售活动中，购满100元商品得1张奖券，多购多得.1000张奖券为一个开奖单位，设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个．设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为，求：(1)；(2)1张奖券的中奖概率；(3)1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率．【总结提升】求复杂的互斥事件的概率的方法(1)直接法(2)间接法(正难则反)考点04古典概型

【典例10】（2023·山东高考真题）甲、乙、丙三位同窗打算利用假期外出游览，约定每人从泰山、孔府这两处景点中任选一处，那么甲、乙两位同窗恰好选取同一处景点的概率是（）A． B． C． D．【典例11】（2023年高考全国Ⅱ卷文）生物实验室有5只兔子，其中只有3只测量过某项指标，若从这5只兔子中随机取出3只，则恰有2只测量过该指标的概率为（）A． B．C． D．【规律方法】(1)一个试验是否为古典概型，在于是否具有两个特征：有限性和等可能性．(2)并不是所有的试验都是古典概型，下列三类试验都不是古典概型；①基本事件个数有限，但非等可能．②基本事件个数无限，但等可能．③基本事件个数无限，也不等可能．【易错提醒】确定基本事件空间可以采用“树图法”、“列表法”，要注意确定的基本事件不重不漏.考点05古典概型与统计相结合【典例12】(2023·天津高考)已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为240,160,160.现采用分层抽样的方法从中抽取7名同学去某敬老院参加献爱心活动．(1)应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人？(2)设抽出的7名同学分别用A，B，C，D，E，F，G表示，现从中随机抽取2名同学承担敬老院的卫生工作．①试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；②设M为事件“抽取的2名同学来自同一年级”，求事件M发生的概率．【典例13】(2023年文北京卷）电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表：电影类型第一类第二类第三类第四类第五类第六类电影部数14050300200800510好评率0.40.20.150.250.20.1好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值.（Ⅰ）从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率；（Ⅱ）随机选取1部电影，估计这部电影没有获得好评的概率；（Ⅲ）电影公司为增加投资回报，拟改变投资策略，这将导致不同类型电影的好评率发生变化.假设表格中只有两类电影的好评率数据发生变化，那么哪类电影的好评率增加0.1，哪类电影的好评率减少0.1，使得获得好评的电影总部数与样本中的电影总部数的比值达到最大？（只需写出结论）【典例14】(2023·北京文，17)某大学艺术专业400名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：[20,30)，[30,40)，…，[80,90]，并整理得到如下频率分布直方图：(1)从总体的400名学生中随机抽取一人，估计其分数小于70的概率；(2)已知样本中分数小于40的学生有5人，试估计总体中分数在区间[40,50)内的人数；(3)已知样本中有一半男生的分数不小于70，且样本中分数不小于70的男女生人数相等．试估计总体中男生和女生人数的比例．【典例15】（2023·天津高考真题（文））2019年，我国施行个人所得税专项附加扣除办法，涉及子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息或者住房租金、赡养老人等六项专项附加扣除.某单位老、中、青员工分别有人，现采用分层抽样的方法，从该单位上述员工中抽取人调查专项附加扣除的享受情况.（Ⅰ）应从老、中、青员工中分别抽取多少人？（Ⅱ）抽取的25人中，享受至少两项专项附加扣除的员工有6人，分别记为.享受情况如下表，其中“”表示享受，“×”表示不享受.现从这6人中随机抽取2人接受采访.员工项目ABCDEF子女教育○○×○×○继续教育××○×○○大病医疗×××○××住房贷款利息○○××○○住房租金××○×××赡养老人○○×××○（i）试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；（ii）设为事件“抽取的2人享受的专项附加扣除至少有一项相同”，求事件发生的概率.【典例16】（2023·湖北荆门外语学校）2020年1月底因新型冠状病毒感染的肺炎疫情形势严峻，避免外出是减少相互交叉感染最好的方式.全国大､中､小学生都开始了网上学习.为了了解某校学生网上学习的情况，从该校随机抽取了40位同学，记录了他们每周的学习时间，其频率分布直方图如下：（1）求的值并估计该班学生每周学习时间的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）.（2）在该样本中每周学习时间不少于50小时的同学中随机的抽取两人，其中这两人来自不同的组的概率是多少？1.（2023·全国）下列叙述随机事件的频率与概率的关系中哪个是正确的（）A．随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率B．频率是客观存在的，与试验次数无关C．概率是随机的，在试验前不能确定D．频率就是概率2．（2023·山东高考真题）现有5位老师，若每人随机进入两间教室中的任意一间听课，则恰好全都进入同一间教室的概率是（）A． B． C． D．3．（2023·福建高一期末）已知随机事件中，与互斥，与对立，且，则（）A.0.3 B.0.6 C.0.7 D.0.94.（2023·全国高一课时练习）甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中想一个数字，记为，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为，其中，若，就称“甲、乙心有灵犀”．现任意找两人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为（）A． B． C． D．5.（2023·山东高三其他）宁波古圣王阳明的《传习录》专门讲过易经八卦图，下图是易经八卦图（含乾、坤、巽、震、坎、离、艮、兑八卦），每一卦由三根线组成（“—”表示一根阳线，“——”表示一根阴线）．从八卦中任取两卦，这两卦的六根线中恰有四根阴线的概率为（）A． B． C． D．6．（2023·贵州高二学业考试）若A，B为对立事件，则下列式子中成立的是（）A． B． C． D．7．（2023·眉山市东坡区永寿高级中学高二期中（文））从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是（）A．“至少有1个白球”和“都是红球”B．“至少有2个白球”和“至多有1个红球”C．“恰有1个白球”和“恰有2个白球”D．“至多有1个白球”和“都是红球”8．（2023·山东高二期末）《易·系辞上》有“河出图，洛出书”之说，河图、洛书是中华文化，阴阳术数之源，其中河图的排列结构是一、六在后，二、七在前，三、八在左，四、九在右，五、十背中，如图，白圈为阳数，黑点为阴数，若从阴数和阳数中各取一数，则其差的绝对值为5的概率为A． B． C． D．9．（2023·河北高二月考）某学校需要从甲、乙两名学生中选一人参加数学竞赛，抽取了近期两人次数学考试的成绩，统计结果如下表：第一次第二次第三次第四次第五次甲的成绩(分)乙的成绩(分)(1)若从甲、乙两人中选出一人参加数学竞赛，你认为选谁合适?请说明理由.(2)若数学竞赛分初赛和复赛，在初赛中有两种答题方案：方案一：每人从道备选题中任意抽出道，若答对，则可参加复赛，否则被淘汰.方案二：每人从道备选题中任意抽出道，若至少答对其中道，则可参加复赛，否则被润汰.已知学生甲、乙都只会道备选题中的道，那么你推荐的选手选择哪种答题方条进人复赛的可能性更大?并说明理由.10．（2023·辽源市田家炳高级中学校高二期中（理））生产同一种产品,甲机床的废品率为0.04,乙机床的废品率为0.05,从甲,乙机床生产的产品中各任取1件,求:(1)至少有1件废品的概率;(2)恰有1件废品的概率.专题6.1概率（必修）（精讲精析篇）一、核心素养1.结合随机事件发生的不确定性和频率的稳定性实验，考查对概率意义及基本性质的理解，凸显数据分析的核心素养．2．结合概率的意义及事件的概念，考查事件的关系及运算，凸显数学运算、逻辑推理的核心素养．3．理解古典概型及其概率计算公式，培养数学运算的核心素养．4．结合古典概型的概率公式及基本事件的概念，考查古典概型的概率计算公式，凸显数据分析、数学运算的核心素养．二、考试要求1.事件与概率(1)了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性,了解概率的意义,了解频率与概率的区别.(2)了解两个互斥事件的概率加法公式.2.古典概型(1)理解古典概型及其概率计算公式.(2)会计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率.

3.了解事件的独立性.三、主干知识梳理1．事件的分类确定事件必然事件在条件S下，一定会发生的事件叫相对于条件S的必然事件不可能事件在条件S下，一定不会发生的事件叫相对于条件S的不可能事件随机事件在条件S下，可能发生也可能不发生的事件叫做相对于条件S的随机事件2．频率与概率(1)在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数nA为事件A出现的频数，称事件A出现的比例fn(A)＝eq\f(nA,n)为事件A出现的频率．(2)对于给定的随机事件A，如果随着试验次数的增加，事件A发生的频率fn(A)稳定在某个常数上，把这个常数记作P(A)，称为事件A发生的概率，简称为A的概率．3．事件的关系与运算定义符号表示包含关系如果事件A发生，则事件B一定发生，这时称事件B包含事件A(或称事件A包含于事件B)B⊇A(或A⊆B)相等关系若B⊇A且A⊇BA＝B并事件(和事件)若某事件发生当且仅当事件A发生或事件B发生，称此事件为事件A与事件B的并事件(或和事件)A∪B(或A＋B)交事件(积事件)若某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的交事件(或积事件)A∩B(或AB)互斥事件若A∩B为不可能事件，则称事件A与事件B互斥A∩B＝∅对立事件若A∩B为不可能事件，A∪B为必然事件，那么称事件A与事件B互为对立事件A∩B＝∅，P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝14．事件与集合间的对应关系事件集合必然事件全集不可能事件空集(∅)事件B包含于事件A(B⊆A)集合B包含于集合A(B⊆A)事件B与事件A相等(B＝A)集合B与集合A相等(B＝A)事件B与事件A的并事件(B∪A)集合B与集合A的并集(B∪A)事件B与事件A的交事件(B∩A)集合B与集合A的交集(B∩A)事件B与事件A互斥(B∩A＝∅)集合B与集合A的交集为空集(B∩A＝∅)事件A的对立事件集合A的补集(∁UA)5．概率的几个基本性质(1)概率的取值范围：0≤P(A)≤1.(2)必然事件的概率为eq\a\vs4\al(1).(3)不可能事件的概率为eq\a\vs4\al(0).(4)概率的加法公式：如果事件A与事件B互斥，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．(5)对立事件的概率：若事件A与事件B互为对立事件，则A∪B为必然事件，P(A∪B)＝eq\a\vs4\al(1)，P(A)＝1－P(B)．(6)对于事件A与事件B,有P(A∪B)＝P(A)＋P(B)--P(A∩B)6．基本事件的特点(1)任何两个基本事件都是互斥的；(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和．7．古典概型(1)古典概型的特点①有限性：试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；②等可能性：每个基本事件出现的可能性相等．(2)古典概型的概率公式P(A)＝eq\f(A包含的基本事件的个数,基本事件的总数).8.事件的独立性(1)对于事件、，若的发生与的发生互不影响，则称、是相互独立事件．(2)若与相互独立，则与，与，与也都相互独立．(3)若，则与相互独立．二、真题展示1.（2023·江苏高考真题）逻辑表达式等于（）A． B． C． D．答案：D分析：从集合角度去理解逻辑表达式【详解】如图，类似于，则类似于故选：D.2.（2023·全国高考真题（文））将3个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（）A．0.3 B．0.5 C．0.6 D．0.8答案：C分析：利用古典概型的概率公式可求概率.【详解】解：将3个1和2个0随机排成一行，可以是：，共10种排法，其中2个0不相邻的排列方法为：，共6种方法，故2个0不相邻的概率为，故选：C.考点01随机事件间的关系

【典例1】（2023·全国高一课时练习）在200件产品中，192有件一级品，8件二级品，则下列事件：①在这200件产品中任意选出9件，全部是一级品；②在这200件产品中任意选出9件，全部是二级品；③在这200件产品中任意选出9件，不全是一级品；④在这200件产品中任意选出9件，至少一件是一级品．其中的随机事件有（）A．①③ B．③④ C．②④ D．①②答案：A分析：按照随机事件、必然事件、不可能事件的定义一一判断.【详解】由于在200件产品中，192有件一级品，8件二级品，则①“在这200件产品中任意选出9件，全部是一级品”，这件事可能发生，也可能不发生，故是随机事件．②“在这200件产品中任意选出9件，全部是二级品”，这件事根本不可能发生，故是不可能事件．③“在这200件产品中任意选出9件，不全是一级品”，这件事可能发生，也可能不发生，故是随机事件．④“在这200件产品中任意选出9件，其中不是一级品的件数小于100”，是一定要发生的事件，故是必然事件故选：A．【典例2】（2023·全国高一课时练习）把红、黄、蓝3张卡片随机分给甲、乙、丙三人，每人1张，事件：“甲得红卡”与事件：“乙得红卡”是（）A．不可能事件 B．必然事件C．对立事件 D．互斥且不对立事件答案：D分析：利用互斥事件和对立事件的定义判断即可【详解】黑、红、白3张卡片分给甲、乙、丙三人，每人一张，事件“甲分得红卡”与“乙分得红卡”不可能同时发生，但事件“甲分得红卡”不发生时，事件“乙分得红卡”有可能发生，有可能不发生，事件“甲分得红牌卡”与“乙分得红卡”是互斥但不对立事件．故选：D．【典例3】（2023·全国）有下列说法：（1）某人连续12次投掷一枚骰子，结果都是出现6点，他认为这枚骰子的质地是均匀的．（2）某地气象局预报，明天本地下雨概率为70%，由此认为明天本地有70%的区域下雨，30%的区域不下雨．（3）抛掷一枚质地均匀的硬币出现正面的概率为0.5，那么连续两次抛掷一枚质地均匀的硬币，都出现反面的概率是．（4）围棋盒里放有同样大小的9枚白棋子和1枚黑棋子，每次从中随机摸出1枚棋子后再放回，一共摸10次，认为一定有一次会摸到黑子．其中正确的个数为（）A．0 B．2 C．3 D．1答案：D分析：某人连续12次投掷一枚骰子，结果都是一样，这枚骰子的质地可能是不均匀的；天气预报中下雨的概率是指要下雨的把握有多大；根据事件的随机性，围棋盒里棋子有放回抽样，不一定有一次会摸到黑子.【详解】由题意得：某人连续12次投掷一枚骰子，结果都是出现6点，这枚骰子的质地可能是不均匀的，故（1）不正确；某地气象局预报，明天本地下雨概率为，是指要下雨的把握有多大，故（2）不正确；抛掷一枚质地均匀的硬币出现正面的概率为0.5，那么连续两次抛掷一枚质地均匀的硬币，都出现反面的概率是．根据相互独立事件同时发生的概率知（3）正确；围棋盒里放有同样大小的9枚白棋子和1枚黑棋子，每次从中随机摸出1枚棋子后再放回，一共摸10次，不一定有一次会摸到黑子．（4）不正确．综上可知，有1个说法是正确的，故选：D．【总结提升】1.判断一个事件是随机事件、必然事件还是不可能事件，首先一定要看条件，其次是看在该条件下所研究的事件是一定发生(必然事件)、不一定发生(随机事件)，还是一定不发生(不可能事件)．2.列举试验的所有可能结果的方法(1)结果是相对于条件而言的，要弄清试验的结果，必须首先明确试验的条件；(2)根据日常生活经验，按照一定的顺序列举所有可能的结果．可应用画树形图、列表等方法，这样才能不重不漏地列举出所有可能结果．3.判断互斥事件、对立事件的2种方法（1）定义法：判断互斥事件、对立事件一般用定义判断，不可能同时发生的两个事件为互斥事件；两个事件，若有且仅有一个发生，则这两事件为对立事件，对立事件一定是互斥事件（2）集合法：=1\*GB3①由各个事件所含的结果组成的集合彼此的交集为空集，则事件互斥．=2\*GB3②事件A的对立事件A所含的结果组成的集合，是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集考点02随机事件的频率与概率【典例4】（2023·全国）下列说法正确的是（）A．任何事件的概率总是在，之间B．频率是客观存在的，与试验次数无关C．随着试验次数的增加，事件发生的频率一般会稳定于概率D．概率是随机的，在试验前不能确定答案：C分析：由概率和频率的有关概念求出结果.【详解】：任何事件的概率总是在，之间，故错误；：频率是客观存在的，与试验次数有关，试验次数越多，频率越稳定，故错误；：由频率的性质知：随着试验次数的增加，事件发生的频率一般会稳定于概率，故正确；：概率是客观的，在试验前能确定，故错误．故选：C．【典例5】（2023·全国高一课时练习）下列说法正确的是________.(填序号)①频率反映事件出现的频繁程度，概率反映事件发生的可能性大小；②做n次随机试验，事件A发生了m次，则事件A发生的概率P(A)＝；③含百分比的数是频率，但不是概率；④频率是不能脱离n次随机试验的试验值，而概率是脱离随机试验的客观值；⑤频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值.答案：①④⑤．分析：①根据频率和概率的定义可以判断．②根据实验时频率和概率的关系判断．③利用频率和概率的关系判断．④根据频率和概率的关系判断⑤由频率和概率的关系判断．【详解】解：①频率是反映事件发生的频繁程度，概率反映事件发生的可能性的大小所以①正确；②频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值，所以他们并不是一个值，所以②错误；③理论上的百分率是概率，所以③错误；④频率是不能脱离次试验的实验值，而概率是具有确定性的不依赖于试验次数的理论值，所以④正确；⑤频率的数值是通过实验完成的，是概率的近似值，概率是频率的稳定值．所以⑤正确．所以正确的说法是①④⑤．故答案为：①④⑤．【总结提升】1.随机事件在一次试验中是否发生虽然不能事先确定，但是在大量重复试验的情况下，随机事件的发生呈现一定的规律性，因而，可以从统计的角度，通过计算事件发生的频率去估算概率．2.随机事件的频率与概率的常见题型及解题策略(1)补全或列出频率分布表．可直接依据已知条件，逐一计数，写出频率．(2)由频率估计概率．可以根据频率与概率的关系，由频率直接估计概率．(3)由频率估计某部分的数值．可由频率估计概率，再由概率估算某部分的数值．考点03互斥事件与对立事件的概率【典例6】(2023年全国卷Ⅲ文）若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15，则不用现金支付的概率为（）A.0.3B.0.4C.0.6D.0.7答案：B【解析】设设事件A为只用现金支付，事件B为只用非现金支付，则，因为，所以，故选B.【典例7】【多选题】（2023·山东莱西·高一期末）甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，若甲的中靶概率为0.8，乙的中靶概率为0.9，则下列结论正确的为（）A．两人都中靶的概率为0.72B．恰好有一人中靶的概率为0.18C．两人都脱靶的概率为0.14D．恰好有一人脱靶的概率为0.26答案：AD分析：由积事件的概率判断A，由和事件及互斥事件的概率判断B；由对立事件的概率判断C，由互斥事件的和判断D.【详解】记“甲中靶”，“乙中靶”，“甲不中靶”，“乙不中靶”，则两两独立.因为，，所以，.对于选项A：“两人都中靶”，，故A正确；对于选项B：“恰好有一人中靶”，，故B不正确；对于选项C：“两人不都中靶”与“两人都中靶”是对立事件，由选项A可知，“两人不都中靶”的概率是，故C错误；对于选项D：“恰好有一人脱靶”，由B知，概率为0.26，故D正确.故选：AD【典例8】（2023·天津一中高一期末）掷一枚骰子的试验中，出现各点的概率均为，事件表示“出现小于5的偶数点”，事件表示“出现小于5的点数”，则一次试验中，事件（表示事件的对立事件）发生的概率为______.答案：【解析】依题意可知，事件与事件为互斥事件，且，，所以.故答案为：.【典例9】（2023·全国高一课时练习）某商场有奖销售活动中，购满100元商品得1张奖券，多购多得.1000张奖券为一个开奖单位，设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个．设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为，求：(1)；(2)1张奖券的中奖概率；(3)1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率．答案：（1）；（2）；（3）.【解析】(1)∵每1000张奖券中设特等奖1个,一等奖10个,二等奖50个,∴.(2)设“抽取1张奖券中奖”为事件D,则P(D)=P(A)+P(B)+P(C)=.(3)设“抽取1张奖券不中特等奖和一等奖”为事件E,则P(E)=1-P(A)-P(B)=1-.点睛：求复杂的互斥事件的概率一般有两种方法：一是直接求解法，将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和，运用互斥事件的求和公式计算．二是间接求法，先求此事件的对立事件的概率，再用公式P(A)＝1－P()，即运用逆向思维(正难则反)，特别是“至多”，“至少”型题目，用间接求法就显得较简便．【总结提升】求复杂的互斥事件的概率的方法(1)直接法(2)间接法(正难则反)考点04古典概型

【典例10】（2023·山东高考真题）甲、乙、丙三位同窗打算利用假期外出游览，约定每人从泰山、孔府这两处景点中任选一处，那么甲、乙两位同窗恰好选取同一处景点的概率是（）A． B． C． D．答案：D分析：应用古典概型的概率求法，求甲、乙两位同窗恰好选取同一处景点的概率即可.【详解】甲、乙两位同窗选取景点的种数为，其中甲、乙两位同窗恰好选取同一处景点的种数为2，∴甲、乙两位同窗恰好选取同一处景点的概率为．故选：D【典例11】（2023年高考全国Ⅱ卷文）生物实验室有5只兔子，其中只有3只测量过某项指标，若从这5只兔子中随机取出3只，则恰有2只测量过该指标的概率为（）A． B．C． D．答案：B【解析】设其中做过测试的3只兔子为，剩余的2只为，则从这5只中任取3只的所有取法有，，共10种．其中恰有2只做过测试的取法有，共6种，所以恰有2只做过测试的概率为，故选B．【规律方法】(1)一个试验是否为古典概型，在于是否具有两个特征：有限性和等可能性．(2)并不是所有的试验都是古典概型，下列三类试验都不是古典概型；①基本事件个数有限，但非等可能．②基本事件个数无限，但等可能．③基本事件个数无限，也不等可能．【易错提醒】确定基本事件空间可以采用“树图法”、“列表法”，要注意确定的基本事件不重不漏.考点05古典概型与统计相结合【典例12】(2023·天津高考)已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为240,160,160.现采用分层抽样的方法从中抽取7名同学去某敬老院参加献爱心活动．(1)应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人？(2)设抽出的7名同学分别用A，B，C，D，E，F，G表示，现从中随机抽取2名同学承担敬老院的卫生工作．①试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；②设M为事件“抽取的2名同学来自同一年级”，求事件M发生的概率．答案：(1)分别抽取3人，2人，2人．(2)①{A，B}，{A，C}，{A，D}，{A，E}，{A，F}，{A，G}，{B，C}，{B，D}，{B，E}，{B，F}，{B，G}，{C，D}，{C，E}，{C，F}，{C，G}，{D，E}，{D，F}，{D，G}，{E，F}，{E，G}，{F，G}，共21种．②P(M)＝.【解析】(1)因为甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数之比为3∶2∶2，由于采用分层抽样的方法从中抽取7名同学，所以应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取3人，2人，2人．(2)①从抽取的7名同学中随机抽取2名同学的所有可能结果为{A，B}，{A，C}，{A，D}，{A，E}，{A，F}，{A，G}，{B，C}，{B，D}，{B，E}，{B，F}，{B，G}，{C，D}，{C，E}，{C，F}，{C，G}，{D，E}，{D，F}，{D，G}，{E，F}，{E，G}，{F，G}，共21种．②不妨设抽出的7名同学中，来自甲年级的是A，B，C，来自乙年级的是D，E，来自丙年级的是F，G，则从抽出的7名同学中随机抽取的2名同学来自同一年级的所有可能结果为{A，B}，{A，C}，{B，C}，{D，E}，{F，G}，共5种．所以事件M发生的概率P(M)＝eq\f(5,21).【典例13】(2023年文北京卷）电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表：电影类型第一类第二类第三类第四类第五类第六类电影部数14050300200800510好评率0.40.20.150.250.20.1好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值.（Ⅰ）从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率；（Ⅱ）随机选取1部电影，估计这部电影没有获得好评的概率；（Ⅲ）电影公司为增加投资回报，拟改变投资策略，这将导致不同类型电影的好评率发生变化.假设表格中只有两类电影的好评率数据发生变化，那么哪类电影的好评率增加0.1，哪类电影的好评率减少0.1，使得获得好评的电影总部数与样本中的电影总部数的比值达到最大？（只需写出结论）答案：（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）增加第五类电影的好评率,

减少第二类电影的好评率.【解析】（Ⅰ）由题意知，样本中电影的总部数是140+50+300+200+800+510=2000.第四类电影中获得好评的电影部数是200×0.25=50，故所求概率为.（Ⅱ）设“随机选取1部电影,这部电影没有获得好评”为事件B.没有获得好评的电影共有140×0.6+50×0.8+300×0.85+200×0.75+800×0.8+510×0.9=1628部.由古典概型概率公式得.（Ⅲ）增加第五类电影的好评率,减少第二类电影的好评率.【典例14】(2023·北京文，17)某大学艺术专业400名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：[20,30)，[30,40)，…，[80,90]，并整理得到如下频率分布直方图：(1)从总体的400名学生中随机抽取一人，估计其分数小于70的概率；(2)已知样本中分数小于40的学生有5人，试估计总体中分数在区间[40,50)内的人数；(3)已知样本中有一半男生的分数不小于70，且样本中分数不小于70的男女生人数相等．试估计总体中男生和女生人数的比例．答案：【解析】分析：(1)根据频率分布直方图求出样本中分数小于70的频率，然后利用频率估计概率；(2)计算出样本中分数在[40,50)内的人数，然后按比例求出总体中分数在此范围内的人数；(3)先求出样本中男女生人数，然后利用样本比例估计总体比例．详解：(1)根据频率分布直方图可知，样本中分数不小于70的频率为(0.02＋0.04)×10＝0.6，所以样本中分数小于70的频率为1－0.6＝0.4，所以从总体的400名学生中随机抽取一人，其分数小于70的概率估计为0.4.(2)根据题意，样本中分数不小于50的频率为(0.01＋0.02＋0.04＋0.02)×10＝0.9，分数在区间[40,50)内的人数为100－100×0.9－5＝5，所以总体中分数在区间[40,50)内的人数估计为400×eq\f(5,100)＝20.(3)由题意可知，样本中分数不小于70的学生人数为(0.02＋0.04)×10×100＝60，所以样本中分数不小于70的男生人数为60×eq\f(1,2)＝30，所以样本中的男生人数为30×2＝60，女生人数为100－60＝40，所以样本中男生和女生人数的比例为60：40＝3：2，所以根据分层抽样原理，估计总体中男生和女生人数的比例为3：2.【典例15】（2023·天津高考真题（文））2019年，我国施行个人所得税专项附加扣除办法，涉及子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息或者住房租金、赡养老人等六项专项附加扣除.某单位老、中、青员工分别有人，现采用分层抽样的方法，从该单位上述员工中抽取人调查专项附加扣除的享受情况.（Ⅰ）应从老、中、青员工中分别抽取多少人？（Ⅱ）抽取的25人中，享受至少两项专项附加扣除的员工有6人，分别记为.享受情况如下表，其中“”表示享受，“×”表示不享受.现从这6人中随机抽取2人接受采访.员工项目ABCDEF子女教育○○×○×○继续教育××○×○○大病医疗×××○××住房贷款利息○○××○○住房租金××○×××赡养老人○○×××○（i）试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；（ii）设为事件“抽取的2人享受的专项附加扣除至少有一项相同”，求事件发生的概率.答案：（I）6人，9人，10人；（II）（i）见解析；（ii）.【解析】（I）由已知，老、中、青员工人数之比为，由于采取分层抽样的方法从中抽取25位员工，因此应从老、中、青员工中分别抽取6人，9人，10人.（II）（i）从已知的6人中随机抽取2人的所有可能结果为,,,,共15种；（ii）由表格知，符合题意的所有可能结果为,,,,共11种，所以，事件M发生的概率.【典例16】（2023·湖北荆门外语学校）2020年1月底因新型冠状病毒感染的肺炎疫情形势严峻，避免外出是减少相互交叉感染最好的方式.全国大､中､小学生都开始了网上学习.为了了解某校学生网上学习的情况，从该校随机抽取了40位同学，记录了他们每周的学习时间，其频率分布直方图如下：（1）求的值并估计该班学生每周学习时间的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）.（2）在该样本中每周学习时间不少于50小时的同学中随机的抽取两人，其中这两人来自不同的组的概率是多少？答案：（1），平均数：；（2）.分析：（1）根据小矩形面积之和为1求出a，进而用每个小矩形面积乘以对应底边的中点值，最后求和得到平均数；（2）先分别算出组与组中抽取的人数，进而列举出所有情况，最后由古典概型公式算出答案.【详解】（1）解得：平均数为：=（2）组：人，记为组：人，记为从6人中任取两人：基本事件总数为15种来自不同的组：共8种所以这两人来自不同组的概率.1.（2023·全国）下列叙述随机事件的频率与概率的关系中哪个是正确的（）A．随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率B．频率是客观存在的，与试验次数无关C．概率是随机的，在试验前不能确定D．频率就是概率答案：A分析：因为概率是在大量重复试验后，事件发生的频率逐渐接近的值，所以就可得到正确答案．【详解】事件的频率是指事件发生的频数与次事件中事件出现的次数比，一般来说，随机事件在每次实验中是否会发生是不能预料的，但在大量重复试验后，随着试验次数的增加，事件发生的频率会逐渐稳定在区间，中的某个常数上，这个常数就是事件的概率．随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率．故选：A．2．（2023·山东高考真题）现有5位老师，若每人随机进入两间教室中的任意一间听课，则恰好全都进入同一间教室的概率是（）A． B． C． D．答案：B分析：利用古典概型概率公式，结合分步计数原理，计算结果.【详解】5位老师，每人随机进入两间教室中的任意一间听课，共有种方法，其中恰好全都进入同一间教室，共有2种方法，所以.故选：B3．（2023·福建高一期末）已知随机事件中，与互斥，与对立，且，则（）A.0.3 B.0.6 C.0.7 D.0.9答案：C【解析】因为，事件B与C对立，所以，又，A与B互斥，所以，故选C.4.（2023·全国高一课时练习）甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中想一个数字，记为，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为，其中，若，就称“甲、乙心有灵犀”．现任意找两人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为（）A． B． C． D．答案：D分析：由题意，样本点总数为36，可列举出满足条件的样本点共16个，由古典概型的概率公式，即得解【详解】记“|a－b|≤1”为事件A，由于a，b∈{1,2,3,4,5,6}，则事件A包含的样本点有(1,1)，(1,2)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,2)，