高考数学一轮复习考点微专题(新高考地区专用)考向10指数与指数函数(重点)(原卷版+解析)

考向10指数与指数函数【2022·北京·高考真题】已知函数，则对任意实数x，有（

）A． B．C． D．答案：C【解析】分析：直接代入计算，注意通分不要计算错误．【详解】，故A错误，C正确；，不是常数，故BD错误；故选：C．【2022·全国·高考真题（文）】已知，则（

）A． B． C． D．答案：A【解析】分析：根据指对互化以及对数函数的单调性即可知，再利用基本不等式，换底公式可得，，然后由指数函数的单调性即可解出．【详解】由可得，而，所以，即，所以．又，所以，即，所以．综上，．故选：A.1.指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，但应注意：(1)必须同底数幂相乘，指数才能相加；(2)运算的先后顺序.2.当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数.3.运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数.4.有关指数函数图象问题的解题思路(1)已知函数解析式判断其图象，一般是取特殊点，判断选项中的图象是否过这些点，若不满足则排除．(2)对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到．特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．(3)有关指数方程、不等式问题的求解，往往是利用相应的指数型函数图象，数形结合求解．(4)根据指数函数图象判断底数大小的问题，可以通过直线x＝1与图象的交点进行判断．5.利用指数函数的性质比较幂值的大小，先看能否化成同底数，能化成同底数的先化成同底数幂，再利用函数单调性比较大小，不能化成同底数的，一般引入“1”等中间量比较大小；6.利用指数函数的性质解简单的指数方程或不等式，先利用幂的运算性质化为同底数幂，再利用函数单调性转化为一般不等式求解；7.解答指数函数性质的综合应用，首先判断指数型函数的性质，再利用其性质求解。1.画指数函数，且的图象，应抓住三个关键点:2.在第一象限内，指数函数且的图象越高，底数越大.3.有关指数型函数的性质(1)求复合函数的定义域与值域形如的函数的定义域就是的定义域.求形如的函数的值域，应先求出的值域，再由单调性求出的值域.若的范围不确定，则需对进行讨论.求形如的函数的值域，要先求出的值域，再结合的性质确定出的值域.(2)判断复合函数的单调性令，如果复合的两个函数与的单调性相同，那么复合后的函数在上是增函数；如果两者的单调性相异(即一增一减)，那么复合函数在上是减函数.(3)研究函数的奇偶性一是定义法，即首先是定义域关于原点对称，然后分析式子与的关系，最后确定函数的奇偶性.二是图象法，作出函数的图象或从已知函数图象观察，若图象关于坐标原点或轴对称，则函数具有奇偶性.1.指数及指数运算(1)根式的定义：一般地，如果，那么叫做的次方根，其中，，记为，称为根指数，称为根底数．(2)根式的性质：当为奇数时，正数的次方根是一个正数，负数的次方根是一个负数.当为偶数时，正数的次方根有两个，它们互为相反数.(3)指数的概念：指数是幂运算中的一个参数，为底数，为指数，指数位于底数的右上角，幂运算表示指数个底数相乘.(4)有理数指数幂的分类①正整数指数幂；②零指数幂；③负整数指数幂，；④的正分数指数幂等于，的负分数指数幂没有意义．(5)有理数指数幂的性质①，，；②，，；③，，；④，，．2.指数函数图象性质①定义域，值域②，即时，，图象都经过点③，即时，等于底数④在定义域上是单调减函数在定义域上是单调增函数⑤时，；时，时，；时，⑥既不是奇函数，也不是偶函数1．(2023·甘肃·高台县第一中学模拟预测（文））设，且，则=（

）A．4 B．5 C．6 D．72．(2023·青海·大通回族土族自治县教学研究室三模（文））已知，，，则正数，，的大小关系为（

）A． B． C． D．3．(2023·上海交大附中模拟预测）设实数且，已知函数，则__________．4．(2023·全国·模拟预测（理））已知函数为偶函数，则______．5．(2023·上海市七宝中学模拟预测）已知集合，，则_______.6．(2023·湖北·黄冈中学三模）已知函数，则________.1．(2023·河南·通许县第一高级中学模拟预测（文））定义：设函数的定义域为，如果，使得在上的值域为，则称函数在上为“等域函数”，若定义域为的函数（，）在定义域的某个闭区间上为“等域函数”，则的取值范围为（

）A． B． C． D．2．(2023·全国·郑州一中模拟预测（理））在科学研究中，常用高德纳箭头来表示很大的数.对正整数a，b，c，把记作，并规定，，则的数量级为（

）（参考数据：）A． B． C． D．3．(2023·山东师范大学附中模拟预测）已知某电子产品电池充满时的电量为3000毫安时，且在待机状态下有两种不同的耗电模式可供选择.模式A：电量呈线性衰减，每小时耗电300毫安时；模式B：电量呈指数衰减，即：从当前时刻算起，t小时后的电量为当前电量的倍.现使该电子产品处于满电量待机状态时开启A模式，并在x小时后，切换为B模式，若使其在待机10小时后有超过5％的电量，则x的取值范围是（

）A． B． C． D．4．(2023·江西·上饶市第一中学模拟预测（理））已知，若，则n的最大值为（

）A．9 B．10 C．11 D．125．(2023·江西·临川一中模拟预测（理））已知函数，设为实数，且．下列结论正确的是（

）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则6．(2023·安徽·肥东县第二中学模拟预测（文））若，，，，则，，这三个数的大小关系为（

）A． B．C． D．7．(2023·安徽·合肥一中模拟预测（理））设函数（），若，则x的取值范围是（

）A． B． C． D．8．(2023·上海交大附中模拟预测）设实数且，已知函数，则__________．9．(2023·四川·成都市锦江区嘉祥外国语高级中学模拟预测（理））已知函数，，记与图像的交点横，纵坐标之和分别为与，则的值为________.10．(2023·河南·模拟预测（文））函数在的值域为______．11．(2023·新疆阿勒泰·三模（理））函数图象过定点，点在直线上，则最小值为___________.12．(2023·山西·二模（理））已知函数给出下列结论：①是偶函数；②在上是增函数；③若，则点与原点连线的斜率恒为正．其中正确结论的序号为______．13．(2023·江苏南通·模拟预测）若，则的最小值为_________．14．(2023·北京·一模）若函数的值域为，则实数的一个取值可以为___________.15．(2023·河北邯郸·一模）不等式的解集为___________.16．(2023··模拟预测（理））已知函数，则不等式的解集为___________.17．(2023·辽宁实验中学模拟预测）偶函数的值域为______．18．(2023·福建龙岩·一模）已知函数，若方程有解，则实数的取值范围是_________．19．(2023·山东临沂·一模）已知函数，则不等式的解集是______.20．(2023·上海市七宝中学模拟预测）已知不等式，对于恒成立，则实数的取值范围是_________．1．(2023·北京·高考真题）己知函数，则对任意实数x，有（

）A． B．C． D．2．(2023·全国·高考真题（文））已知，则（

）A． B． C． D．3．（2023·全国·高考真题（理））若，则（

）A． B． C． D．4．（2023·全国·高考真题（文））设，则（

）A． B． C． D．5．(2023·全国·高考真题（理））已知，，，则A． B．C． D．6．(2023·江西·高考真题（文））已知函数f(x)=(a∈R)，若，则a=（

）A． B． C．1 D．27．(2023·全国·高考真题（文））已知，则A． B．C． D．8．(2023·山东·高考真题（文））设则的大小关系是A． B． C． D．9．(2023·山东·高考真题（理））若点在函数的图象上，则的值为A．0 B． C．1 D．10．(2023·全国·高考真题（理））设函数则满足的x的取值范围是____________.11．(2023·山东·高考真题（理））已知函数的定义域和值域都是，则_____________.12．(2023·福建·高考真题（文））若函数满足，且在单调递增，则实数的最小值等于_______．13．(2023·上海·高考真题（理））方程的实数解为_________.1．答案：B【解析】由题意，函数，因为，可得，解得，即，所以.故选：B.2．答案：A【解析】由，得，由，得，因此，，即，由，得，于是得，所以正数，，的大小关系为.故选：A3．答案：1【解析】，而，则；故答案为：14．答案：1【解析】函数为偶函数，则有，即恒成立则恒成立即恒成立则，经检验符合题意.故答案为：15．答案：.【解析】，；，；.故答案为：.6．答案：【解析】因为，则.故答案为：.1．答案：C【解析】当时，函数在上为减函数，若在其定义域的某个闭区间上为“等域函数”，则存在，（）使得，所以，消去，得，令，则，当时，，所以在上是单调增函数，所以符合条件的，不存在.当时，函数在上为增函数，若在其定义域的某个闭区间上为“等域函数”，则存在，（）使得，，即方程在上有两个不等实根，即在上有两个不等实根，设函数（），则，当时，；当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，所以在处取得极大值，也是最大值，所以，又，，故，即.故选：C.2．答案：C【解析】由题意可得，，∴.∵，∴.故选:C.3．答案：C【解析】由题意得，小时后的电量为毫安，此时转为B模式，可得10小时后的电量为，则由题意可得，化简得，即令，则，由题意得，则，令分别为1，2时，这个不等式左右两边大小相等，由函数和的图象可知，该不等式的解集为，所以，得，故选：C4．答案：B【解析】因为当时，，所以，又，所以，所以，，，所以若，则n的最大值为10，故选：B.5．答案：D【解析】，因为，均为增函数，所以为增函数，易求值域为；又，所以是奇函数，图像关于对称.因为，，不妨设；作出简图如下:设点，此时直线的方程为，由图可知，两式相加可得；因为所以，即.故选：D.6．答案：C【解析】因为，所以取，则，，，所以.故选：C.7．答案：A【解析】函数，，定义域关于原点对称，且，所以是奇函数，当时，，，则，，所以，即，所以函数单调递增，所以当时，函数单调递增，所以函数当单调递增所以令，，解得，令，则在上单调递增，原不等式可化为，而，所以，解得，则，即解集为．故选：A．8．答案：1【解析】，而，则；故答案为：19．答案：.【解析】在和上都单调递减，且关于点成中心对称，在上单调递增，，所以的图像也关于点成中心对称，所以与图像有两个交点且关于点对称，设这两个交点为、，则，，所以，，所以.故答案为：.10．答案：【解析】解：，设，当时，，所以，所以在的值域为．故答案为：．11．答案：##4.5【解析】当时，，过定点，又点在直线上，，即，，，，（当且仅当，即，时取等号），的最小值为.故答案为：.12．答案：①③【解析】函数的定义域为.对于①：因为，所以是偶函数.故①正确；对于②：取特殊值：由，，得到，不符合增函数，可得②错误；对于③：当时，点与原点连线的斜率为.因为，所以，所以，所以.故③正确；所以正确结论的序号为①③．故答案为：①③13．答案：【解析】依题意，，，则，当且仅当，即时取“=”，此时，，所以，当时，取最小值.故答案为：14．答案：1【解析】如果，，其值域为，，不符合题意；如果，当时，，就是把函数的部分以x轴为对称轴翻折上去，∴此时的最小值为0，的最小值为-1，值域为，所以，不妨取；故答案为：1.15．答案：【解析】由，可得.令，因为均为上单调递减函数则在上单调逆减，且，，故不等式的解集为.故答案为：.16．答案：【解析】函数的定义域为，，所以，函数为偶函数，当时，为增函数，因为，则，所以，，所以，，所以，，因为，故恒成立，由可得，解得.因此，原不等式的解集为.故答案为：.17．答案：【解析】由题设，，故，所以，当且仅当时等号成立，又，所以的值域为.故答案为：.18．答案：【解析】由题意得：有解令有解，即有解，显然无意义,当且仅当，即时取等，故答案为：.19．答案：，【解析】构造函数，那么是单调递增函数，且向左移动一个单位得到，的定义域为，且，所以为奇函数，图象关于原点对称，所以图象关于对称．不等式等价于，等价于结合单调递增可知，所以不等式的解集是，．故答案为：，．20．答案：，，【解析】设，，则，对于，恒成立，即，对于，恒成立，∴，即，解得或，即或，解得或，综上，的取值范围为，，．故答案为：，，﹒1．答案：C【解析】，故A错误，C正确；，不是常数，故BD错误；故选：C．2．答案：A【解析】由可得，而，所以，即，所以．又，所以，即，所以．综上，．故选：A.3．答案：A【解析】由得：，令，为上的增函数，为上的减函数，为上的增函数，，，，，则A正确，B错误；与的大小不确定，故CD无法确定.故选：A.4．答案：B【解析】由可得，所以，所以有，故选：B.5．答案：A【解析】【详解】因为，，，因为幂函数在R上单调递增，所以，因为指数函数在R上单调递增，所以，即b<a<c.故选：A.6．答案：A【解析】解：由题意得，所以，解得a=.故选：A7．答案：A【解析】【详解】因为，且幂函数在上单调递增，所以b<a<c.故选A.8．答案：C【解析】【详解】由在区间是单调减函数可知，，又，故选.考点：1.指数函数的性质；2.函数值比较大小.9．答案：D【解析】【详解】由题意知:9=，解得=2，所以，故选D.10．答案：【解析】【详解】由题意得：当时，恒成立，即；当时，恒成立，即；当时，，即.综上，x的取值范围是.11．答案：【解析】【详解】若，则在上为增函数，所以，此方程组无解；若，则在上为减函数，所以，解得，所以.考点：指数函数的性质.12．答案：【解析】【详解】试题分析：根据可知函数的图像关于直线对称，可知，从而可以确定函数在上是增函数，从而有，所以，故的最小值等于1.13．答案：【解析】【详解】试题分析：由题意有，令（），则，即.考点：1.换元法；2.指数，对数的运算.考向10指数与指数函数【2022·北京·高考真题】已知函数，则对任意实数x，有（

）A． B．C． D．答案：C【解析】分析：直接代入计算，注意通分不要计算错误．【详解】，故A错误，C正确；，不是常数，故BD错误；故选：C．【2022·全国·高考真题（文）】已知，则（

）A． B． C． D．答案：A【解析】分析：根据指对互化以及对数函数的单调性即可知，再利用基本不等式，换底公式可得，，然后由指数函数的单调性即可解出．【详解】由可得，而，所以，即，所以．又，所以，即，所以．综上，．故选：A.1.指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，但应注意：(1)必须同底数幂相乘，指数才能相加；(2)运算的先后顺序.2.当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数.3.运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数.4.有关指数函数图象问题的解题思路(1)已知函数解析式判断其图象，一般是取特殊点，判断选项中的图象是否过这些点，若不满足则排除．(2)对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到．特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．(3)有关指数方程、不等式问题的求解，往往是利用相应的指数型函数图象，数形结合求解．(4)根据指数函数图象判断底数大小的问题，可以通过直线x＝1与图象的交点进行判断．5.利用指数函数的性质比较幂值的大小，先看能否化成同底数，能化成同底数的先化成同底数幂，再利用函数单调性比较大小，不能化成同底数的，一般引入“1”等中间量比较大小；6.利用指数函数的性质解简单的指数方程或不等式，先利用幂的运算性质化为同底数幂，再利用函数单调性转化为一般不等式求解；7.解答指数函数性质的综合应用，首先判断指数型函数的性质，再利用其性质求解。1.画指数函数，且的图象，应抓住三个关键点:2.在第一象限内，指数函数且的图象越高，底数越大.3.有关指数型函数的性质(1)求复合函数的定义域与值域形如的函数的定义域就是的定义域.求形如的函数的值域，应先求出的值域，再由单调性求出的值域.若的范围不确定，则需对进行讨论.求形如的函数的值域，要先求出的值域，再结合的性质确定出的值域.(2)判断复合函数的单调性令，如果复合的两个函数与的单调性相同，那么复合后的函数在上是增函数；如果两者的单调性相异(即一增一减)，那么复合函数在上是减函数.(3)研究函数的奇偶性一是定义法，即首先是定义域关于原点对称，然后分析式子与的关系，最后确定函数的奇偶性.二是图象法，作出函数的图象或从已知函数图象观察，若图象关于坐标原点或轴对称，则函数具有奇偶性.1.指数及指数运算(1)根式的定义：一般地，如果，那么叫做的次方根，其中，，记为，称为根指数，称为根底数．(2)根式的性质：当为奇数时，正数的次方根是一个正数，负数的次方根是一个负数.当为偶数时，正数的次方根有两个，它们互为相反数.(3)指数的概念：指数是幂运算中的一个参数，为底数，为指数，指数位于底数的右上角，幂运算表示指数个底数相乘.(4)有理数指数幂的分类①正整数指数幂；②零指数幂；③负整数指数幂，；④的正分数指数幂等于，的负分数指数幂没有意义．(5)有理数指数幂的性质①，，；②，，；③，，；④，，．2.指数函数图象性质①定义域，值域②，即时，，图象都经过点③，即时，等于底数④在定义域上是单调减函数在定义域上是单调增函数⑤时，；时，时，；时，⑥既不是奇函数，也不是偶函数1．(2023·甘肃·高台县第一中学模拟预测（文））设，且，则=（

）A．4 B．5 C．6 D．7答案：B【解析】分析：根据题意求得函数，结合指数幂的运算，即可求解.【详解】由题意，函数，因为，可得，解得，即，所以.故选：B.2．(2023·青海·大通回族土族自治县教学研究室三模（文））已知，，，则正数，，的大小关系为（

）A． B． C． D．答案：A【解析】分析：由已知求出m，n，p，再借助商值比较法及“媒介”数推理判断作答.【详解】由，得，由，得，因此，，即，由，得，于是得，所以正数，，的大小关系为.故选：A3．(2023·上海交大附中模拟预测）设实数且，已知函数，则__________．答案：1【解析】分析：根据题意计算，进而根据求解即可【详解】，而，则；故答案为：14．(2023·全国·模拟预测（理））已知函数为偶函数，则______．答案：1【解析】分析：利用偶函数定义列出关于的方程，解之即可求得实数的值【详解】函数为偶函数，则有，即恒成立则恒成立即恒成立则，经检验符合题意.故答案为：15．(2023·上海市七宝中学模拟预测）已知集合，，则_______.答案：.【解析】分析：由二次函数和指数函数值域可求得集合，由交集定义可得结果.【详解】，；，；.故答案为：.6．(2023·湖北·黄冈中学三模）已知函数，则________.答案：【解析】分析：利用函数的解析式可求得的值.【详解】因为，则.故答案为：.1．(2023·河南·通许县第一高级中学模拟预测（文））定义：设函数的定义域为，如果，使得在上的值域为，则称函数在上为“等域函数”，若定义域为的函数（，）在定义域的某个闭区间上为“等域函数”，则的取值范围为（

）A． B． C． D．答案：C【解析】分析：当时，根据单调性，可得，化简整理，可得，令，利用导数求得的单调性，分析即可得答案；当时，根据单调性，可得在上有两个不等实根，利用导数求得的单调性及最值，结合题意，分析计算，即可得答案.【详解】当时，函数在上为减函数，若在其定义域的某个闭区间上为“等域函数”，则存在，（）使得，所以，消去，得，令，则，当时，，所以在上是单调增函数，所以符合条件的，不存在.当时，函数在上为增函数，若在其定义域的某个闭区间上为“等域函数”，则存在，（）使得，，即方程在上有两个不等实根，即在上有两个不等实根，设函数（），则，当时，；当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，所以在处取得极大值，也是最大值，所以，又，，故，即.故选：C.【点睛】解题的关键是讨论的单调性，根据题意，整理化简得到新的函数，利用导数求得新函数的单调性和最值，分析即可得答案，考查分析理解，计算求值的能力，属中档题.2．(2023·全国·郑州一中模拟预测（理））在科学研究中，常用高德纳箭头来表示很大的数.对正整数a，b，c，把记作，并规定，，则的数量级为（

）（参考数据：）A． B． C． D．答案：C【解析】分析：先求出，再判断出的范围，即可得到答案.【详解】由题意可得，，∴.∵，∴.故选:C.3．(2023·山东师范大学附中模拟预测）已知某电子产品电池充满时的电量为3000毫安时，且在待机状态下有两种不同的耗电模式可供选择.模式A：电量呈线性衰减，每小时耗电300毫安时；模式B：电量呈指数衰减，即：从当前时刻算起，t小时后的电量为当前电量的倍.现使该电子产品处于满电量待机状态时开启A模式，并在x小时后，切换为B模式，若使其在待机10小时后有超过5％的电量，则x的取值范围是（

）A． B． C． D．答案：C【解析】分析：由题意可得，化简后利用换元法解此不等式可求得结果【详解】由题意得，小时后的电量为毫安，此时转为B模式，可得10小时后的电量为，则由题意可得，化简得，即令，则，由题意得，则，令分别为1，2时，这个不等式左右两边大小相等，由函数和的图象可知，该不等式的解集为，所以，得，故选：C4．(2023·江西·上饶市第一中学模拟预测（理））已知，若，则n的最大值为（

）A．9 B．10 C．11 D．12答案：B【解析】分析：根据分段函数的解析式依次求，，，即可.【详解】因为当时，，所以，又，所以，所以，，，所以若，则n的最大值为10，故选：B.5．(2023·江西·临川一中模拟预测（理））已知函数，设为实数，且．下列结论正确的是（

）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则答案：D【解析】分析：先根据函数解析式探究性质，作出简图，结合图像特点进行判断.【详解】，因为，均为增函数，所以为增函数，易求值域为；又，所以是奇函数，图像关于对称.因为，，不妨设；作出简图如下:设点，此时直线的方程为，由图可知，两式相加可得；因为所以，即.故选：D.6．(2023·安徽·肥东县第二中学模拟预测（文））若，，，，则，，这三个数的大小关系为（

）A． B．C． D．答案：C【解析】分析：取，可得出，，这三个数的大小，即可得出答案.【详解】因为，所以取，则，，，所以.故选：C.7．(2023·安徽·合肥一中模拟预测（理））设函数（），若，则x的取值范围是（

）A． B． C． D．答案：A【解析】分析：确定函数为奇函数，证明函数为增函数，构造函数，确定其单调性，而不等式化为，利用单调性解不等式．注意函数的定义域．【详解】函数，，定义域关于原点对称，且，所以是奇函数，当时，，，则，，所以，即，所以函数单调递增，所以当时，函数单调递增，所以函数当单调递增所以令，，解得，令，则在上单调递增，原不等式可化为，而，所以，解得，则，即解集为．故选：A．8．(2023·上海交大附中模拟预测）设实数且，已知函数，则__________．答案：1【解析】分析：根据题意计算，进而根据求解即可【详解】，而，则；故答案为：19．(2023·四川·成都市锦江区嘉祥外国语高级中学模拟预测（理））已知函数，，记与图像的交点横，纵坐标之和分别为与，则的值为________.答案：.【解析】分析：先分析两个函数的单调性和对称性，判断出两个函数图像的交点个数，再根据对称性计算可得结果.【详解】在和上都单调递减，且关于点成中心对称，在上单调递增，，所以的图像也关于点成中心对称，所以与图像有两个交点且关于点对称，设这两个交点为、，则，，所以，，所以.故答案为：.10．(2023·河南·模拟预测（文））函数在的值域为______．答案：【解析】分析：令，结合二次函数的性质即可得出答案.【详解】解：，设，当时，，所以，所以在的值域为．故答案为：．11．(2023·新疆阿勒泰·三模（理））函数图象过定点，点在直线上，则最小值为___________.答案：##4.5【解析】分析：根据指数函数过定点的求法可求得，代入直线方程可得，根据，利用基本不等式可求得最小值.【详解】当时，，过定点，又点在直线上，，即，，，，（当且仅当，即，时取等号），的最小值为.故答案为：.12．(2023·山西·二模（理））已知函数给出下列结论：①是偶函数；②在上是增函数；③若，则点与原点连线的斜率恒为正．其中正确结论的序号为______．答案：①③【解析】分析：对于①：利用偶函数的定义进行证明；对于②：取特殊值：，否定结论；对于③：直接表示出点与原点连线的斜率为，并判断.【详解】函数的定义域为.对于①：因为，所以是偶函数.故①正确；对于②：取特殊值：由，，得到，不符合增函数，可得②错误；对于③：当时，点与原点连线的斜率为.因为，所以，所以，所以.故③正确；所以正确结论的序号为①③．故答案为：①③13．(2023·江苏南通·模拟预测）若，则的最小值为_________．答案：【解析】分析：把表示成的函数，再借助均值不等式求解作答.【详解】依题意，，，则，当且仅当，即时取“=”，此时，，所以，当时，取最小值.故答案为：14．(2023·北京·一模）若函数的值域为，则实数的一个取值可以为___________.答案：1【解析】分析：考察函数的图像，就是先把向上或向下平移个单位（取决于的符号），如果图像存在小于零的部分，则再把小于零的部分以x轴为对称轴翻折上去，最后再把整个图像向下平移一个单位.【详解】如果，，其值域为，，不符合题意；如果，当时，，就是把函数的部分以x轴为对称轴翻折上去，∴此时的最小值为0，的最小值为-1，值域为，所以，不妨取；故答案为：1.15．(2023·河北邯郸·一模）不等式的解集为___________.答案：【解析】分析：将原不等式变为，设，然后利用函数的单调性解不等式.【详解】由，可得.令，因为均为上单调递减函数则在上单调逆减，且，，故不等式的解集为.故答案为：.16．(2023··模拟预测（理））已知函数，则不等式的解集为___________.答案：【解析】分析：分析出函数为偶函数，且在上为增函数，将所求不等式变形为，可得出关于的不等式，解之即可.【详解】函数的定义域为，，所以，函数为偶函数，当时，为增函数，因为，则，所以，，所以，，所以，，因为，故恒成立，由可得，解得.因此，原不等式的解集为.故答案为：.17．(2023·辽宁实验中学模拟预测）偶函数的值域为______．答案：【解析】分析：由偶函数求得，再由对勾函数及指数函数的性质求的值域即可.【详解】由题设，，故，所以，当且仅当时等号成立，又，所以的值域为.故答案为：.18．(2023·福建龙岩·一模）已知函数，若方程有解，则实数的取值范围是_________．答案：【解析】分析：换元后利用参变分离，最后用基本不等式进行求解.【详解】由题意得：有解令有解，即有解，显然无意义,当且仅当，即时取等，故答案为：.19．(2023·山东临沂·一模）已知函数，则不等式的解集是______.答案：，【解析】分析：先构造函数，得到关于对称，且单调递增，再结合对称性与单调性将不等式转化为即可求解．【详解】构造函数，那么是单调递增函数，且向左移动一个单位得到，的定义域为，且，所以为奇函数，图象关于原点对称，所以图象关于对称．不等式等价于，等价于结合单调递增可知，所以不等式的解集是，．故答案为：，．20．(2023·上海市七宝中学模拟预测）已知不等式，对于恒成立，则实数的取值范围是_________．答案：，，【解析】分析：设，，则，对于，恒成立，问题转化为，于，恒成立，即，即可解得答案．【详解】设，，则，对于，恒成立，即，对于，恒成立，∴，即，解得或，即或，解得或，综上，的取值范围为，，．故答案为：，，﹒1．(2023·北京·高考真题）己知函数，则对任意实数x，有（

）A． B．C． D．答案：C【解析】分析：直接代入计算，注意通分不要计算错误．【详解】，故A错误，C正确；，不是常数，故BD错误；故选：C．2．(2023·全国·高考真题（文））已知，则（

）A． B． C． D．答案：A【解析】分析：根据指对互化以及对数函数的单调性即可知，再利用基本不等式，换底公式可得，，然后由指数函数的单调性即可解出．【详解】由可得，而，所以，即，所以．又，所以，即，所以．综上，．故选：A.3．（2023·全国·高考真题（理））若，则（

）A． B． C． D．答案：A【解析】分析：将不等式变为，根据的单调性知，以此去判断各个选项中真数与的大小关系，进而得到结果.【详解】由得：，令，为上的增函数，为上的减函数，为上的增函数，，，，，则A正确，B错误；与的大小不确定，故CD无法确定.故选：A.【点睛】本题考查对数式的大小的判断问题，解题关键是能够通过构造函数的方式，利用函数的单调性得到的大小关系，考查了转化与化归的数学思想.4．（2023·全国·高考真题（