高考数学一轮复习(提升版)(新高考地区专用)4.1切线方程(精讲)(提升版)(原卷版+解析)

4.1切线方程（精讲）（提升版）思维导图思维导图考点呈现考点呈现例题剖析例题剖析考点一斜率和倾斜角【例1-1】(2023·江苏淮安）已知函数在处的切线斜率为，则（

）A． B． C． D．【例1-2】(2023·重庆一中）已知偶函数，当时，，则的图象在点处的切线的斜率为（

）A． B． C． D．【一隅三反】1．(2023·辽宁）已知曲线在点处的切线与直线垂直，则实数a的值为______．2．(2023·湖南·长沙县第一中学模拟预测）函数的图象在处的切线对应的倾斜角为，则sin2=（

）A． B．± C． D．±3．(2023·湖南）已知P是曲线上的一动点，曲线C在P点处的切线的倾斜角为，若，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．考点二“在型”的切线方程【例2-1】(2023·广西）曲线在点处的切线方程为（

）A． B． C． D．【例2-2】(2023·广西·贵港市）已知曲线在点处的切线方程为，则（

）A．， B．，C．， D．，【一隅三反】1．(2023·河南）已知函数的图象经过坐标原点，则曲线在点处的切线方程是（

）A． B．C． D．2．(2023·安徽）已知为奇函数，且当时，则曲线在点处的切线方程为（

）A． B．C． D．3．(2023·安徽·巢湖市）曲线在点处的切线方程为，则的值为（

）A． B． C． D．14．(2023·湖北·武汉二中模拟预测）已知函数，直线是曲线的一条切线，则的取值范围是（

）A． B．C． D．考点三“过型”的切线方程【例3】(2023·河南洛阳）已知函数，则曲线过坐标原点的切线方程为（

）A． B． C． D．【一隅三反】1．(2023·广东·新会陈经纶中学）（多选）已知曲线.则曲线过点P（1，3）的切线方程为.（

）A． B． C． D．2(2023·北京·汇文中学）过点的切线方程是__________.3．(2023·四川·广安二中）函数过点的切线方程为考点四切线或切点数量问题【例4-1】(2023·河南洛阳）若过点作曲线的切线，则这样的切线共有（

）A．0条 B．1条 C．2条 D．3条【例4-2】(2023·全国·高三专题练习）若过点可以作曲线的两条切线，则（

）A． B． C． D．【一隅三反】1．(2023·河南洛阳）若过点作曲线的切线，则这样的切线共有（

）A．0条 B．1条 C．2条 D．3条2．(2023·湖北·宜城市第一中学）若过点可以作曲线的两条切线，则（

）A． B．C． D．且3．(2023·河南洛阳）若过点可作出曲线的三条切线，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．4．(2023·全国·高考真题）若曲线有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是________________．考点五公切线【例5-1】(2023·安徽省舒城中学）已知直线l是曲线与的公共切线，则l的方程为_____.【例5-2】(2023·江苏·南京外国语学校模拟预测）若两曲线y=x2-1与y=alnx-1存在公切线，则正实数a的取值范围为（

）A． B． C． D．【一隅三反】1．(2023·全国·模拟预测）若直线与曲线和都相切，则的斜率为______．2．(2023·河北保定·二模）（多选）若直线是曲线与曲线的公切线，则（

）A． B． C． D．3．(2023·安徽·合肥一六八中学）若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则__________.考点六切线与其他知识的运用【例6-1】(2023·湖北·黄冈中学）已知a，b为正实数，直线与曲线相切，则的最小值为（

）A．8 B．9 C．10 D．13【例6-2】(2023·广东·深圳市光明区高级中学）已知函数，则曲线在点处的切线恒过定点_____________.【一隅三反】1．(2023·河北衡水）已知函数在处的切线为l，第一象限内的点在切线l上，则的最小值为（

）A． B． C． D．2．(2023·安徽）对于三次函数，若曲线在点处的切线与曲线在点处点的切线重合，则（

）A． B． C． D．3．(2023·黑龙江·哈尔滨三中）若曲线过点的切线恒在函数的图象的上方，则实数a的取值范围是__________．考点七切线方程的运用【例7-1】(2023·全国·高三专题练习）设点P在曲线上，点Q在曲线上，则的最小值为（

）A． B． C． D．【例7-2】(2023·山东烟台·三模）已知函数，若方程有且仅有三个实数解，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．【一隅三反】1．(2023·江苏徐州）过平面内一点P作曲线的两条互相垂直的切线，切点分别为（不重合），设直线分别与y轴交于点A，B，则面积的取值范围为（

）A． B． C． D．2．(2023·全国·高三专题练习）已知函数有两个零点，则实数a的取值范围是______．3．(2023·云南曲靖·二模）设是函数的导函数，是函数的导函数，若对任意恒成立，则下列选项正确的是（

）A． B．C． D．4．(2023·江西·新余市）若点在曲线上运动，点在直线上运动，两点距离的最小值为_______4.1切线方程（精讲）（提升版）思维导图思维导图考点呈现考点呈现例题剖析例题剖析考点一斜率和倾斜角【例1-1】(2023·江苏淮安）已知函数在处的切线斜率为，则（

）A． B． C． D．答案：D【解析】由题意得，则，，而，故，，故选：D【例1-2】(2023·重庆一中）已知偶函数，当时，，则的图象在点处的切线的斜率为（

）A． B． C． D．答案：A【解析】当时，，，解得：，当时，；当时，，，又为偶函数，，即时，，则，.故选：A.【一隅三反】1．(2023·辽宁）已知曲线在点处的切线与直线垂直，则实数a的值为______．答案：【解析】由题得，所以，所以曲线在点处的切线斜率为3，又曲线在点处的切线与直线垂直，所以，解得．故答案为：.2．(2023·湖南·长沙县第一中学模拟预测）函数的图象在处的切线对应的倾斜角为，则sin2=（

）A． B．± C． D．±答案：C【解析】因为所以当时，，此时，∴．故选：C.3．(2023·湖南）已知P是曲线上的一动点，曲线C在P点处的切线的倾斜角为，若，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．答案：D【解析】因为，所以，因为曲线在M处的切线的倾斜角，所以对于任意的恒成立，即对任意恒成立，即，又，当且仅当，即时，等号成立，故，所以a的取值范围是．故选：D．考点二“在型”的切线方程【例2-1】(2023·广西）曲线在点处的切线方程为（

）A． B． C． D．答案：A【解析】∵∴，所以，又当时，，所以在点处的切线方程为：，即.故选：A.【例2-2】(2023·广西·贵港市）已知曲线在点处的切线方程为，则（

）A．， B．，C．， D．，答案：C【解析】，，∴，∴．将代入得，∴．故选：C．【一隅三反】1．(2023·河南）已知函数的图象经过坐标原点，则曲线在点处的切线方程是（

）A． B．C． D．答案：A【解析】因为函数的图象经过坐标原点，所以，所以，所以所以．因为，所以．所以所求切线方程为，即．故选：A.2．(2023·安徽）已知为奇函数，且当时，则曲线在点处的切线方程为（

）A． B．C． D．答案：A【解析】当时，，则，所以，又，故切线方程为，即.故选：A3．(2023·安徽·巢湖市）曲线在点处的切线方程为，则的值为（

）A． B． C． D．1答案：A【解析】由切点在曲线上，得①；由切点在切线上，得②；对曲线求导得，∴，即③，联立①②③，解之得故选：A.4．(2023·湖北·武汉二中模拟预测）已知函数，直线是曲线的一条切线，则的取值范围是（

）A． B．C． D．答案：C【解析】设切点为，，曲线在切点处的切线方程为，整理得，所以．令，则．当时，，单调递减；当时，，单调递增．故，则的取值范围是．故选：C.考点三“过型”的切线方程【例3】(2023·河南洛阳）已知函数，则曲线过坐标原点的切线方程为（

）A． B． C． D．答案：C【解析】设切点为，，则切线斜率为，所以，所求切线方程为，将原点坐标代入所求切线方程可得，即，解得，因此，所求切线方程为.故选：C.【一隅三反】1．(2023·广东·新会陈经纶中学）（多选）已知曲线.则曲线过点P（1，3）的切线方程为.（

）A． B． C． D．答案：AB【解析】设切点为，则，所以，所以切线方程为，因为切线过点（1，3），所以，即，即，解得或，所以切线方程为或，故选：AB2(2023·北京·汇文中学）过点的切线方程是__________.答案：或【解析】由题，设切点为，，所以，切线方程为：因为点在切线上，所以，，即，解得或.所以，当时，切线方程为：；当时，切线方程为：；综上，所求切线方程为：或故答案为:或3．(2023·四川·广安二中）函数过点的切线方程为答案：或【解析】由题设，若切点为，则，所以切线方程为，又切线过，则，可得或，当时，切线为；当时，切线为，整理得.故选：C考点四切线或切点数量问题【例4-1】(2023·河南洛阳）若过点作曲线的切线，则这样的切线共有（

）A．0条 B．1条 C．2条 D．3条答案：C【解析】设切点为，由，所以，所以，所以切线方程为，即，因为切线过点，所以，解得或，所以过点作曲线的切线可以作2条，故选：C【例4-2】(2023·全国·高三专题练习）若过点可以作曲线的两条切线，则（

）A． B． C． D．答案：D【解析】设切点坐标为，由于，因此切线方程为，又切线过点，则，，设，函数定义域是，则直线与曲线有两个不同的交点，，当时，恒成立，在定义域内单调递增，不合题意；当时，时，，单调递减，时，，单调递增，所以，结合图像知，即.故选：D.【一隅三反】1．(2023·河南洛阳）若过点作曲线的切线，则这样的切线共有（

）A．0条 B．1条 C．2条 D．3条答案：C【解析】设切点为，由，所以，所以，所以切线方程为，即，因为切线过点，所以，解得或，所以过点作曲线的切线可以作2条，故选：C2．(2023·湖北·宜城市第一中学）若过点可以作曲线的两条切线，则（

）A． B．C． D．且答案：D【解析】作出的图象，由图可知，若过点可以作曲线的两条切线，点应在曲线外，设切点为，所以，，所以切线斜率为，整理得，即方程在上有两个不同的解，所以，，所以且.故选：D．3．(2023·河南洛阳）若过点可作出曲线的三条切线，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．答案：C【解析】由已知，曲线，即令，则，设切点为，切线方程的斜率为，所以切线方程为：，将点代入方程得：，整理得，设函数，过点可作出曲线的三条切线，可知两个函数图像与有三个不同的交点，又因为，由，可得或，所以函数在，上单调递减，在上单调递增，所以函数的极大值为，函数的极小值为，如图所示，当时，两个函数图像有三个不同的交点.故选：C.4．(2023·全国·高考真题）若曲线有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是________________．答案：【解析】∵，∴，设切点为,则,切线斜率,切线方程为：,∵切线过原点，∴,整理得：,∵切线有两条，∴,解得或,∴的取值范围是,故答案为：考点五公切线【例5-1】(2023·安徽省舒城中学）已知直线l是曲线与的公共切线，则l的方程为_____.答案：或【解析】设与曲线相切于点，与曲线相切于点1），则，整理得，解得或，当时，的方程为；当时，的方程为.故答案为：或.【例5-2】(2023·江苏·南京外国语学校模拟预测）若两曲线y=x2-1与y=alnx-1存在公切线，则正实数a的取值范围为（

）A． B． C． D．答案：A【解析】设切线：，即切线：，即，令在上单调递增，在上单调递减，所以故选：A．【一隅三反】1．(2023·全国·模拟预测）若直线与曲线和都相切，则的斜率为______．答案：【解析】设的切点为，，故，则切线方程为：，即圆心到圆的距离为，即，解得：或（舍去）所以，则的斜率为故答案为：2．(2023·河北保定·二模）（多选）若直线是曲线与曲线的公切线，则（

）A． B． C． D．答案：AD【解析】设直线与曲线相切于点，与曲线相切于点，对于函数，，则，解得，所以，即.对于函数，，则，又，所以，又，所以，.故选：AD3．(2023·安徽·合肥一六八中学）若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则__________.答案：1或【解析】设与和的切点分别为；由导数的几何意义可得，即，∴，∴∴当时，，当时，∴或.故答案为：1或.考点六切线与其他知识的运用【例6-1】(2023·湖北·黄冈中学）已知a，b为正实数，直线与曲线相切，则的最小值为（

）A．8 B．9 C．10 D．13答案：B【解析】设切点为，的导数为，由切线的方程可得切线的斜率为1，令，则，故切点为，代入，得，、为正实数，则，当且仅当，时，取得最小值9，故选：B【例6-2】(2023·广东·深圳市光明区高级中学）已知函数，则曲线在点处的切线恒过定点_____________.答案：【解析】函数的定义域为，由，得，则．又，则曲线在点处的切线的方程为，即，由可得，所以直线恒过定点．故答案为：．【一隅三反】1．(2023·河北衡水）已知函数在处的切线为l，第一象限内的点在切线l上，则的最小值为（

）A． B． C． D．答案：C【解析】函数，，，，由点斜式直线方程得：切线l的方程为，，由于点P在直线l上，则且，即，则，当且仅当，即时取等号；2．(2023·安徽）对于三次函数，若曲线在点处的切线与曲线在点处点的切线重合，则（

）A． B． C． D．答案：B【解析】设，，设，则，即……①又，即……②由①②可得，.故选：B.3．(2023·黑龙江·哈尔滨三中）若曲线过点的切线恒在函数的图象的上方，则实数a的取值范围是__________．答案：【解析】设曲线过点的切线的切点为，则切线的斜率，所以，，切线方程为，所以恒成立，所以恒成立，令，则因为当，，，，所以为的极小值点，又因为时，，所以，所以.故答案为：.考点七切线方程的运用【例7-1】(2023·全国·高三专题练习）设点P在曲线上，点Q在曲线上，则的最小值为（

）A． B． C． D．答案：B【解析】，，令，解得，所以，故的最小值为到的距离，．故选：B．【例7-2】(2023·山东烟台·三模）已知函数，若方程有且仅有三个实数解，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．答案：B【解析】作出函数的图象如图：依题意方程有且仅