解三角形中线角平分线高线知识点及类型题专练 高三数学一轮复习

解三角形中角平分线、中线、高线问题一、中线:在∆ABC中，AD是边BC上的中线1、长度关系：2、中线长定理：推导过程：3、向量法：推导过程：二、角平分线：在∆ABC中，AD为∆ABC的内角∠BAC的平分线1、角度关系：2、内角平分线定理：推导过程：3、等面积法：三、垂线1、垂线的作用：2、h1，h2，h3、求高一般采用法例：在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足∠BAC=120°，AB=2，AC=1（1）若AD为角平分线，求AD的长.DACB【方法一】∵AD为∆ABCDACB∴∠∵S∆ABD+S∴12∴b+c整理的：AD=2bccosA2由已知可得：AD【方法二】在ΔABD中，ABsin在ΔACD中，ACsin∵AD为∆ABC的内角∠BAC的平分线，∠BAD=∴ABAC=BDCD，即由已知可得：SΔABD∴SΔACD∴12×DDACB(2)若AD为中线，求AD的长.【方法一】∵AD=∴AD∴AD2=14由已知可得：AD【方法二】在∆ABD中，cosB在∆ABC中，cos联立两个方程可得：AB2+AC2=2(BD2+AD2由已知可得：在∆ABC中，BC2=AB由AB2+AC2=2((3)若AD为边BC的高，求AD的长.DACB【方法一】在∆ABC中，BCDACB由SΔABC=12【方法二】在∆ABC中，BC2=AB在ΔABC中，ABsin∠ACB=BC在RtΔABC中,sin练习：一、单选题：1.在△ABC中，A，B，C的对边分别是a，b，c，且b=3，c=33，B=30°，a>b，则AC边上的高线的长为A.33 B.32 C.92.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a,b,c，D是AB的中点，若CD=1，且(a-12b)sinA=(c+b)(sinA.33 B.155 C.3.ΔABC中，已知b+csinA+C=a+csinA-sinC，设D是BC边的中点，且ΔABCA.2 B.4 C.-4 D.-24.ΔABC中B=π3，AB=2，D为AB的中点，ΔBCD的面积为3​34，则A.2 B.​7 C.​10 5.在△ABC中，角A，B，C所对应的长分别为a，b，c，且c=2，若AD为BC边上的高，∠ACB的平分线交AD于E，且AE=2DE，则△ABC的外接圆的面积为(

)A.23π B.43π C.6.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若c=4，b=2，∠BAC的平分线AD的长为6，则BC边上的高AH的长为(

)A.352 B.5 C.二、多选题：7.在▵ABC中，AB=7，AC=5，BC=3，点D在线段AB上，下列结论正确的是(

)A.若CD是高，则CD=1514

B.若CD是中线，则CD=192

C.若CD是角平分线，则CD=158

D.8.已知▵ABC中，AB=1,AC=4,BC=13,D在BC上，AD为∠BAC的角平分线，E为AC中点，下列结论正确的是A.▵ABC的面积为3B.BE=3

C.D.AD=9.如图所示，△ABC中，AB=1，AC=4，BC=13，D在BC边上，E在AC边上，且AD为∠BAC的角平分线，∠ABE=90∘，则(

)A.BE=2

B.△ABC的面积为3

C.AD=435

D.若点P在三、填空题：10.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若c=3，b=2，∠BAC的平分线AD的长为465，则BC边上的高线AH11.(1)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∠ABC=120°，∠ABC的平分线交AC于点D，且BD=1，则4a+c的最小值为________．(2)在△ABC中，∠B=60°，AB=2，M是BC的中点，AM=23，则AC=________，(3)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且5bcosA+4a=5c①求cosB；②记边AC上的高为h，求hb的最大值．四、解答题：12.锐角ΔABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知3bcosA+asinB=(1)求B；(2)若c=23，_______，求从①BD为边AC的中线，②BD为角B的平分线，③BD为ΔABC在边AC上的高这三个条件中任选一个，补充在上面的问题中并解答．

13.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知(a+c)(a-c)=b(b+c)．

(1)求角A的大小；

(2)在下列三个条件中任选一个，补充在下面问题中的横线上，并解答．

若b=3，c=4，点D是BC边上的一点，且_____.求线段AD的长．

①AD是△ABC的高；②AD是△ABC的中线；③AD是△ABC的角平分线．

注：如果选择多个方案分别解答，按第一个方案解答计分．

14.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知(a+c)(a-c)=b(b+c)．

(Ⅰ)求A；

(Ⅱ)在①AD是△ABC的高；②AD是△ABC的中线；③AD是△ABC的角平分线，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中的横线上