2022-2023学年北京一零某中学学九年级上学期数学期末考试模拟试卷含详解

初三数学课后服务（15）

一、选择题（共16分，每题2分）第1一8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个.

1.在平面直角坐标系xO.y中，下列函数的图象经过点（°，°）的是（）

A.y=x+lB.y=x2C.y=（x-4）2

2.古典园林中的窗户是中国传统建筑装饰的重要组成部分，一窗一姿容,一窗一景致.下列窗户图案中，是中心

对称图形的是（）

D.

3.如图，点A、B、C在。。上，八。48为等边三角形，则NACB的度数是（）

C.40°D.30°

4.在AABC中，C4=CB,点。为A8中点.以点C为圆心，CO长为半径作。C,则。C与AB的位置关系是

()

A相交B.相切

C.相离D.不确定

5.如图，是正方形ABC。的外接圆，若。。的半径为4,则正方形ABQ9的边长为（）

B.8C.272D.472

6.中国象棋文化历史久远.在图中所示的部分棋盘中，“，患”的位置在“一一一"（图中虚线）的下方，“焉”移

动一次能够到达的所有位置已用“・"标记，则“焉”随机移动一次，到达的位置在“一一」上方的概率是（）

7.如图，A,B,C是某社区的三栋楼，若在4c中点。处建一个5G基站，其覆盖半径为300m,则这三栋楼中在

该5G基站覆盖范围内的是（）

A.A,B,C都不B.只有B

C.只有4,CD.A,B,C

8.抛物线y=+法+。的顶点为A（2,〃Z）,且经过点3（5,（））,其部分图象如图所示.对于此抛物线有如下四个

结论：@ac<0；@a-b+c>0；③加+9a=0；④若此抛物线经过点，贝h+4一定是方程

以2+笈+。=〃的一个根.其中所有正确结论的序号是（）

A.①②B.①③C.③④D.①④

二、填空题（共16分，每题2分）

9.已知y是x的函数，且当x>0时，），随x的增大而减小.则这个函数的表达式可以是.（写出一个符合

题意的答案即可）

10.关于工的一元二次方程/+的+4=0有一个根为1,则加的值为.

11.点A（T,y）,8（2,%）在抛物线y=2d上，则%,为的大小关系为：%%（填“>"，"="或

12.如图，在平面直角坐标系xOy中，点A"2,0）,点B（0,1）.将线段绕点B旋转180。得到线段BC,则点

C的坐标为.

13.2021年是中国共产党建党100周年，全国各地积极开展“弘扬红色文化，重走长征路”主题教育活动.据了

解，某展览中心3月份的参观人数为10万人，5月份的参观人数增加到12.1万人.设参观人数的月平均增长率为

x,则可列方程为.

14.如图所示，边长为1的正方形网格中，。，A,B,C,。是网格线交点，若AB与CO所在圆的圆心都为

点。，那么阴影部分的面积为.

15.做随机抛掷一枚纪念币的试验，得到的结果如下表所示:

抛掷次数m5001000150020002500300040005(XX)

“正面向上''的次数"26551279310341306155820832598

n

“正面向上”的频率一0.5300.5120.5290.5170.5220.5190.5210.520

m

下面有3个推断：

①当抛掷次数是1000时，“正面向上”的频率是0.512,所以“正面向上”的概率是0.512；

②随着试验次数的增加，“正面向上”的频率总在0.520附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“正面向

上”的概率是0.52()；

③若再次做随机抛掷该纪念币的试验，则当抛掷次数为3000时，出现“正面向上”的次数不一定是1558次.

其中所有合理推断的序号是.

16.如图，在RtZXABC中，ZACfi=90°,。是“RC内的一个动点，满足AC?一人。2=.若

AB=2V13.BC=4,则3。长的最小值为.

三、解答题(共68分，第17—21题，每题5分，第22题6分，第23题5分，第24—26题，每题

6分，第27—28题，每题7分)解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.

17.解方程：X2-2X-2=0.

18.问题：如图，A3是。。的直径，点C在。。内，请仅用无刻度的直尺，作出&48C中边上的高.

小芸解决这个问题时，结合圆以及三角形高线的相关知识，设计了如下作图过程.

作法：如图，

①延长AC交。。于点Q,延长8c交于点展

②分别连接AE，8。并延长相交于点F；

③连接FC并延长交AB于点H.

所以线段C”即为AABC中A8边上的高.

(1)根据小芸的作法，补全图形；

(2)完成下面的证明.

证明：•.•43是O。的直径，点。，E在。。上，

：,ZADB=ZAEB=°.()(填推理的依据)

.-.AELBE,BDLAD.

.-.AE，是AABC的两条高线.

•.•AE，6。所在直线交于点F，

，直线FC也是的高所在直线.

：.CH是AABC中AB边上的高.

19.如图，是。。的直径，CO是。。的一条弦，且CDLAB于点E.

CZ—-----\5

(1)求证：/BCO=/D；

(2)若C£>=4&，OE=l,求。。的半径.

20.如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y="2+2r+c部分图象经过点A(0,—3),5(1,0).

(1)求该抛物线解析式；

(2)结合函数图象，直接写出y<0时，x的取值范围.

21.如图，在R/ZV1BC中，ZACB=90°,ZBAC=30°,将线段。绕点C逆时针旋转60。，得到线段CC,连接

AD,BD.

（1）依题意补全图形；

（2）若BC=1,求线段80的长.

22.一个不透明的袋中装有2个红球、1个白球，这些球除颜色外，没有任何其他区别.有如下两个活动：

活动1：从袋中随机摸出一个球，记录下颜色，然后从袋中剩余球中再随机摸出一个球，摸出的两个球都是红球

的概率记为片；

活动2：从袋中随机摸出一个球，记录下颜色，然后把这个球放回袋中并摇匀，重新从袋中随机摸出一个球，两次

摸出的球都是红球的概率记为P2.

请你猜想《，「2的大小关系，并用画树状图或列表的方法列出所有可能的结果，验证你的猜想.

23.己知关于x的一元二次方程/一（左+4）x+4攵=0.

（1）求证：该方程总有两个实数根；

（2）若该方程有一个根小于2,求攵的取值范围.

24.某篮球队员的一次投篮命中，篮球从出手到命中行进的轨迹可以近似看作抛物线的一部分，表示篮球距地面的

高度了（单位：m）与行进的水平距离x（单位：m）之间关系的图象如图所示.已知篮球出手位置A与篮筐的水

平距离为4.5m,篮筐距地面的高度为3.05m；当篮球行进的水平距离为3m时，篮球距地面的高度达到最大为

3.3m.

(1)图中点8表示篮筐，其坐标为,篮球行进的最高点。的坐标为;

(2)求篮球出手时距地面的高度.

25.已知：如图，在AABC中，AB^AC,。是的中点.以2。为直径作OO,交边A8于点尸，连接PC,

交AO于点E.

(1)求证：A。是。。的切线；

(2)若PC是。。的切线，8c=8,求尸C的长.

26.在平面直角坐标系xOy中，点(4,3)在抛物线〉=⑪2+区+3(。>0)上.

(1)求该抛物线的对称轴；

(2)已知〃2>0,当2-/nVxM2+2,〃时，y的取值范围是一1«yW3.求。、团的值；

(3)在(2)的条件下，是否存在实数“，当〃—2<x<〃时，y的取值范围是3"-3<y<3〃+5.若存在，求出"的

值；若不存在，请说明理由.

27.如图1,在中，ZACB=90°,CA=CB,点、D,E分别在边C4,CB上，CD=CE,连接E>E,

AE，3。.点尸在线段80上，连接CF交AE于点H.

(1)①比较/C4E与NCB。的大小，并证明；

②若CFJ_AE,求证：AE=2CF；

(2)将图1中的△(?£>£绕点C逆时针旋转。(0°<a<90。)，如图2.若尸是BD的中点，判断AE=2CE是否

仍然成立.如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由.

28.在平面直角坐标系xOy中，。。的半径为1,点A在。。上，点P在。。内，给出如下定义：连接AP并延长

交于点B,若AP=,则称点P是点A关于Q0的左倍特征点.

(1)点A的坐标为(L0).

①若点P的坐标为［-pOj,则点P是点A关于的一倍特征点;

②在G（O,g）,%,0(；,一；)这三个点中，点—是点A关于OO的g倍特征点；

③直线/经过点A,与V轴交于点。，NZMO=60°.点E在直线/上，且点E是点A关于。。的g倍特征点，求

点E的坐标；

（2）若当々取某个值时，对于函数y=-x+l（°<x<D的图像上任意一点“，在上都存在点N,使得点M

是点N关于0°的k倍特征点，直接写出k的最大值和最小值.

初三数学课后服务(15)

一、选择题(共16分，每题2分)第1一8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个.

1.在平面直角坐标系xO.y中，下列函数的图象经过点(°，°)的是()

,,1

A.y=x+lB.y=xC.y=(x-4)D.y=-

x

【答案】B

【分析】利用x=0时，求函数值进行一一检验是否为0即可.

【详解】A.当尤=0时，y=O+l=l,y=x+l图象过点(0,1),选项A不合题意；

B.当x=()时，y=02=0,y=X)图象过点(0,0),选项B合题意；

C.当x=()时，y=(0—4)2=16,y=(x—4)2图象过点(0,16),选项C不合题意；

D.当x=()时，y=!无意义,选项D不合题意.

X

故选：B.

【点睛】本题考查求函数值，识别函数经过点，掌握求函数值的方法，点在函数图像上点的坐标满足函数解析式

是解题关键.

2.古典园林中的窗户是中国传统建筑装饰的重要组成部分，一窗一姿容，一窗一景致.下列窗户图案中，是中心

对称图形的是()

【答案】C

【分析】根据中心对称图形的概念求解.

【详解】解：A、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项不符合题意；

B、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项符合题意；

C.既是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项不符合题意；

D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意.

故选：C.

【点睛】本题考查了中心对称的知识，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合.

3.如图，点A、B、C在上，八。43为等边三角形，则/ACB的度数是()

A.60°B.50°C.400D.30°

【答案】D

【分析】由△。钻为等边三角形，得：NAOB=60。，再根据圆周角定理，即可求解.

【详解】：AOA6为等边三角形，

AZAOB=60°,

AZACB=-ZAOB=-x60°=30。.

22

故选D.

【点睛】本题主要考查圆周角定理，掌握同弧所对的圆周角是圆心角的一半，是解题的关键.

4.在AABC中，C4=C3,点。为AB中点.以点C为圆心，C。长为半径作。C,则。C与AB的位置关系是

()

A.相交B.相切

C.相离D.不确定

【答案】B

【分析】根据等腰三角形的性质，三线合一即可得COJLA3,根据三角形切线的判定即可判断A8是0c的切

线，进而可得。C与A5的位置关系

【详解】解：连接CO,

CA=CB,点0为A8中点.

:.CO±AB

••・C。为。C的半径，

.•.AB是OC的切线，

・•.OC与AB的位置关系是相切

故选B

【点睛】本题考查了三线合一，切线的判定，直线与圆的位置关系，掌握切线判定定理是解题的关键.

5.如图，是正方形ABCQ的外接圆，若的半径为4,则正方形A8CQ的边长为()

B.8C.2V2D.472

【答案】D

【分析】连接。B,0C,过点。作。ELBC于点E,由等腰直角三角形的性质可知0E=8E,由垂径定理可知

BC=2BE,故可得出结论.

【详解】解：连接0C,过点。作OELBC于点E,

AOB=OC,ZBOC=90°,

：.ZOBE=45Q,ZBOE=45°

OE=BE,

'：OE^B^OB2,

OB242

•••BE2叵,

2

:.BC=2BE=40,即正方形ABCD的边长是4行.

故选：D

【点睛】本题考查的是圆周角定理、垂径定理及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出等腰直角三角形是解答

此题的关键.

6.中国象棋文化历史久远.在图中所示的部分棋盘中，“焉”的位置在‘'一一（图中虚线）的下方，“焉”移

动一次能够到达的所有位置已用“・"标记，则“焉”随机移动一次，到达的位置在“一-一”上方的概率是（）

1

C.一D-

864

【答案】c

【分析】用“一”（图中虚线）的上方的黑点个数除以所有黑点的个数即可求得答案.

【详解】解：观察“焉”移动一次能够到达的所有位置，即用“・”标记的有8处,

位于“一”（图中虚线）的上方的有2处,

21

所以“焉”随机移动一次，到达的位置在“一”上方的概率是一=一，

84

故选：C.

【点睛】本题考查概率的求法与运用，一般方法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中

m

事件A出现机种结果，那么事件A的概率尸（A）=—.

n

7.如图，A,B,C是某社区的三栋楼，若在4c中点。处建一个5G基站，其覆盖半径为300m,则这三栋楼中在

该5G基站覆盖范围内的是（）

A.A,B,C都不在B.只有B

C.只有A,CD.A,B,C

【答案】D

【分析】根据三角形边长然后利用勾股定理逆定理可得AA3C为直角三角形，由直角三角形斜边上的中线性质即

可得.

【详解】解：如图所示：连接B。，

•••AB=300，8c=400,AC=500,

•••AC2=AB2+BC2，

••.AABC为直角三角形，

为AC中点，

■■■AD=CD^BD=250,

,••覆盖半径为300,

•••A、B、C三个点都被覆盖，

故选：D.

【点睛】题目主要考查勾股定理逆定理，直角三角形斜边中线的性质等，理解题意，综合运用两个定理是解题关

键.

8.抛物线y=o?+匕x+c的顶点为A（2,，〃），且经过点8（5,0）,其部分图象如图所示.对于此抛物线有如下四个

结论：①ac<0；©a-h+c>0；③加+9a=0；④若此抛物线经过点，贝卜+4一定是方程

a/+法+。=〃的一个根.其中所有正确结论的序号是（）

A.①②B.①③C.③④D.@@

【答案】B

【分析】利由抛物线的开口方向和位置可对①进行判断；利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的一个交点坐标

为（-1,0）,代入解析式则可对②进行判断；由抛物线的顶点坐标以及对称轴可对③进行判断；抛物线的对称性得

出点的对称点是C（4一/,〃），则可对④进行判断.

【详解】解：•••抛物线开口向下，

••ci0,

・.,抛物线与y轴交于正半轴，

/.c>0,

ac<0,故①正确；

・・•抛物线y=of+灰+°的顶点为A（2,m）,且经过点B（5,0）,

，抛物线y=以2+加;+c与无轴的另一个交点坐标为（-1,0）,

/.a-b+c=0f故②错误；

・・,抛物线的对称轴为直线产2,

b

:.----=2,即：b=-4a,

2a

,**a—/?+c=0,

/.c=b-a=-5af

•.•顶点A（2,m），

acb

/.^-\m,即：4a.（-5a）一（一甸二

m，

4a4a

/.m=-9a,即：相+9。=0,故③正确;

•••若此抛物线经过点C（r,n）,抛物线的对称轴为直线x=2,

...此抛物线经过点C（4—f,〃），

+0（4T）+C=〃,

4-t—•定是方程办2+bx+c=n的一个根，故④错误.

故选B.

【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数），="2+法+。（。0）,二次项系数a决定抛物线的

开口方向和大小：当。>0时，抛物线向上开口；当a<0时，抛物线向下开口；一次项系数6和二次项系数a共同

决定对称轴的位置：当a与b同号时（即时>0）,对称轴在y轴左；当a与6异号时（即HV0）,对称轴在y轴

右；常数项c决定抛物线与y轴交点位置.

二、填空题（共16分，每题2分）

9.已知y是x的函数，且当x>0时，y随x的增大而减小.则这个函数的表达式可以是.（写出一个符合

题意的答案即可）

【答案】）'=—（x>0）

x

【分析】反比例函数的图象在每个象限内，函数值y随自变量x的增大而增大，则反比例函数的反比例系数

0；反之，只要k<0,则反比例函数在每个象限内，函数值y随自变量x的增大而增大.

【详解】解：只要使反比例系数大于0即可.如广工（x>0）,答案不唯一.

X

故答案为：y=—（x>0）.

x

【点睛】本题主要考查了反比例函数产工（七0）的性质：①%>0时;函数图象在第一，三象限.在每个象限内y

x

随X的增大而减小；②&<0时，函数图象在第二，四象限.在每个象限内y随X的增大而增大.

10.关于x的一元二次方程*2+/加+4=0有一个根为1，则加的值为.

【答案】-5

【分析】直接利用一元二次方程的解的意义将代入求出答案.

【详解】解：•关于x的一元二次方程/+如+4=0的一个根是1,

,12+〃]+4=0,

解得：，“=-5.

故答案是：-5.

【点睛】此题主要考查了一元二次方程的解，正确理解一元二次方程解的意义是解题关键.

11.点A（-l,y）,8（2,%）在抛物线y=2d上，则弘，力的大小关系为：/%（填+'，"=”或

【答案】<

【分析】由抛物线开口向上可得距离对称轴越远的点y值越大，从而求解.

【详解】解：由y=2/可得抛物线开口向上，对称轴为y轴，

:卜1-0|<|2-0],

点A离y轴的距离小于B离y轴的距离，

%<%，

故答案：<.

【点睛】本题考查二次函数的性质，解题的关键是掌握二次函数的性质及比较函数值大小的方法.

12.如图，在平面直角坐标系xOy中，点A(-2,0),点将线段5A绕点B旋转180。得到线段2C,则点

C的坐标为.

【答案】(2,2)

【分析】根据旋转性质可得出点B是4、C的中点，过点C作COLx轴于D,利用相似三角形的判定与性质求得

0。和CO即可求解.

【详解】解：..•点A(-2,0),点B(0,1),

OA=2,OB=\,

由旋转性质得：AB=BC,即点B是A、C的中点，

过点C作CZ)_Lx轴于D,则CQ〃08,

，AAOB^/\ADC,

.OAOBAB

--

"75CDAC-2)

AOD=2,CD=2,

...点C坐标为(2,2),

【点睛】本题考查旋转性质、相似三角形的判定与性质，坐标与图形，熟练掌握旋转性质和相似三角形的判定与

性质是解答的关键.

13.2021年是中国共产党建党100周年，全国各地积极开展“弘扬红色文化，重走长征路”主题教育活动.据了

解，某展览中心3月份的参观人数为10万人，5月份的参观人数增加到12.1万人.设参观人数的月平均增长率为

x,则可列方程为.

【答案】10(l+x)2=12.1

【分析】根据题意可得4月份的参观人数为10(x+l)人，则5月份的人数为10(1+x)2,根据5月份的参观人数增

加到12.1万人，列一元二次方程即可.

【详解】根据题意设参观人数的月平均增长率为x,则可列方程为10(l+x)2=12.1

故答案为：10(1+x)2=12.1

【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据增长率问题列一元二次方程是解题的关键.

14.如图所示，边长为1的正方形网格中，。，A,B,C.。是网格线交点，若A8与CO所在圆的圆心都为

点。，那么阴影部分的面积为.

【分析】根据勾股定理分别求出。C、0D,根据勾股定理的逆定理得到NC8=90°,根据弧长公式计算，得到

答案.

【详解】解：由勾股定理得，0C=0D=12?+2?=2也，

贝ljOC-+OD2=CD2,

：.ZCOD=90°,

•.•四边形。4cB是正方形，

/.ZCOB=45°,

.。_90乃x(2加/045]x221_°

••S扇形08丽一2万，s扇形0SE—————万万，^^OBD_22X2-2,

13

阴影部分的面积为2万一一万一2=—不一2.

22

3

故答案为：一万—2.

2

【点睛】本题考查的是扇形面积的计算，掌握扇形面积公式，求出对应的圆心角和半径是解题的关键.

15.做随机抛掷一枚纪念币的试验，得到的结果如下表所示：

抛掷次数m5001000150020002500300040005000

“正面向上''的次数〃26551279310341306155820832598

“正面向上”的频率一().5300.5120.5290.5170.5220.5190.5210.520

m

下面有3个推断：

①当抛掷次数是1000时，“正面向上”的频率是0.512,所以“正面向上”的概率是0.512；

②随着试验次数的增加，“正面向上”的频率总在0.520附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“正面向

上”的概率是0.52()；

③若再次做随机抛掷该纪念币的试验，则当抛掷次数为3000时，出现“正面向上”的次数不一定是1558次.

其中所有合理推断的序号是.

【答案】②③

【分析】根据用频率估计概率以及频率和概率的概念判断即可得到答案.

【详解】解：当抛掷次数是1000时，“正面向上”的频率是0.512,所以“正面向上”的概率不一定是0.512,

故①错误：

随着试验次数的增加，“正面向上”的频率总在0.52()附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“正面向上”

的概率是0.520,故②正确；

若再次做随机抛掷该纪念币的试验，则当抛掷次数为3000时，出现“正面向上”的次数不一定是1558次，故③

正确；

故答案为：②③.

【点睛】本题考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的

幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件

的概率.

16.如图，在RtZXABC中，ZACB=90°,。是AABC内的一个动点，满足4^一斗。2=若

AB=2屈,BC=4,则3。长的最小值为.

【答案】2

【分析】取AC中点。，由勾股定理的逆定理可知NAOC=90。，则点。在以。为圆心，以AC为直径的圆上，作

△4"外接圆，连接80,交圆。于。一则8。长的最小值即为B0,由此求解即可.

【详解】解：如图所示，取AC中点O,

•:AC2-AD2=CD2，即AC2=AD2+CD2，

ZADC=90°,

...点。在以。为圆心，以AC为直径的圆上，

作AADC外接圆，连接BO,交圆。于。一则80长的最小值即为BA，

AB=270，BC=4,ZACB=90°,

AC=JAB2—BC2=6,

OC=OD.=-AC=3,

12

-OB^yJoC2-BC2=5-

BD】=OB-ODi=2,

故答案为：2.

【点睛】本题主要考查了一点到圆上一点的最短距离，勾股定理的逆定理，勾股定理，解题的关键在于确定点。

的运动轨迹.

三、解答题(共68分，第17—21题，每题5分，第22题6分，第23题5分，第24—26题，每题

6分，第27—28题，每题7分)解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.

17.解方程：X2-2X-2=0.

【答案】为=1+百,£=1—百

【分析】把方程化成/=〃的形式，再直接开平方，即可得到方程的解.

【详解】x2-2x—2=0

X2-2X+1-1-2=0

x2-2x+l=3

(X-1)2=3

X=1±百

...原方程的解为王=1+V3,x2=1-73

【点睛】考查了用配方法解一元二次方程，用配方法解一元二次方程的步骤：①把原方程化为一般形式；②方程

两边同除以二次项系数，使二次项系数为1,并把常数项移到方程右边；③方程两边同时加上一次项系数一半的平

方；④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；⑤进一步通过直接开平方法求出方程的解，如果右边是

非负数，则方程有两个实根；如果右边是一个负数，则方程无实数根.

18.问题：如图，A3是。。的直径，点C在。。内，请仅用无刻度的直尺，作出AABC中AB边上的高.

小芸解决这个问题时，结合圆以及三角形高线的相关知识，设计了如下作图过程.

作法：如图，

①延长AC交。。于点£>,延长8c交0。于点E；

②分别连接AE，并延长相交于点F；

③连接FC并延长交AB于点H.

所以线段CH即为44BC中AB边上的高.

（1）根据小芸的作法，补全图形；

（2）完成下面的证明.

证明：♦.•43是O。的直径，点。，E在上，

：.ZADB=ZAEB=0.（）（填推理的依据）

:.AELBE,BDVAD.

.-.AE,是AABC的两条高线.

•.•4E，8。所在直线交于点F，

■■■直线FC也是&48C的高所在直线.

：.CH是AABC中AB边上的高.

【答案】（1）见解析（2）90,直径所对的圆周角是直角，BD

【分析】（1）根据所给作图步骤作图即可；

（2）根据圆周角定理可知NAD8=NAEB=90。，进而可得AE，3。是&4BC的两条高线，再根据三角形的

三条高线所在直线交于一点即可证明.

【小问1详解】

解：补全后图形如下所示：

证明：•.•43是O。的直径，点、D,E在上，

:.ZADB=ZAEB=90。.（直径所对的圆周角是直角）

AEA,BE,BDA.AD.

.-.AE，3。是“U5C的两条高线.

-.-AE，所在直线交于点F,

，直线尸C也是&4BC的高所在直线.

：.CH是“WC中边上高.

故答案为：90,直径所对的圆周角是直角，BD.

【点睛】本题考查圆周角定理以及三角形高线的特点，解题的关键是掌握直径所对的圆周角是直角，以及三角形

的三条高线所在直线交于一点.

19.如图，A8是。。的直径，CO是。。的一条弦，且于点£

D

(1)求证：NBCO=ND；

(2)若也，OE=\,求。。的半径.

【答案】(1)见详解(2)3

【分析】(1)根据同弧所对圆周角相等及等腰三角形两底角相等即可得到答案；

(2)连接0。，根据垂径定理得到££>,根据勾股定理即可得到答案.

【小问1详解】

证明：<OC=OB=r,

/.ZBCO=ZCBO,

ZCDA与ZCBO都是弧AC所对圆周角，

/CDA=/CBO,

：.NBCO=ND；

【小问2详解】

解：连接。。，

VCD±AB,CD=4\/2>

•*-CE=DE=2&

在RtAODE中，根据勾股定理可得，

r=OD=y/OE2+DE2=3-

【点睛】本题考查圆周角定理，垂径定理及勾股定理，解题的关键是知道同弧所对圆周角相等.

20.如图，在平面直角坐标系xQy中，抛物线y=ar2+2v+c的部分图象经过点A(0,-3),8(1,0).

(1)求该抛物线的解析式；

(2)结合函数图象，直接写出y<0时，x的取值范围.

【答案】(1)y=f+2x—3；(2)-3<x<l

c=-3

【分析】(1)利用待定系数法求抛物线解析式，将坐标代入解析式得出｛cc解方程组即可;

a+2+c=Q

(2)先求抛物线与x轴交点，转化求方程f+2x—3=0的解，再根据函数y<0,函数图像位于x轴下方，在

两根之间即可.

【详解】解：(1)抛物线,=⑪2+2彳+。经过点4(0,-3),8(1,0)代入坐标得：

c--3

。+2+c=0'

c=-3

解得《

Q=1

所求抛物线的解析式是J=X2+2X-3.

(2)当y=0时，X?+2%—3=0，

因式分解得：(x+3)(x—1)=0,

：.x+3=0,x—1=0,

X[=-3,x2=l,

当yVO时，函数图像在x轴下方，

时，x的取值范围为

【点睛】本题考查待定系数法求抛物线解析式，利用图像法解不等式，解一元二次方程，方程组，掌握待定系数

法求抛物线解析式，利用图像法解不等式，解一元二次方程，方程组是解题关键.

21.如图，在心ZVIBC中，ZACB=90°,/B4C=30。，将线段CA绕点C逆时针旋转60。，得到线段CC,连接

AD,BD.

(1)依题意补全图形；

(2)若BC=1,求线段8。的长.

CB

【答案】(1)见解析；(2)BD=#i

【分析】(1)根据线段旋转的方法，得出Z4CD=60。，然后连接4。，B。即可得；

(2)根据3()°角的直角三角形的性质和勾股定理可得AC=6，由旋转的性质可得AAaD是等边三角形，再利

用勾股定理求解即可.

【详解】解：(1)根据线段旋转方法，ZACD=60°,如图所示即为所求；

(2)NACB=90。，N84C=30。，BC=1,

：.AB=2BC=2,

AC=^AB1-BC1=V3>

V线段CA绕点C逆时针旋转60。得到线段CD,

：.。1=8且448=60。，

.••△AC。是等边三角形，

/.A0=AC=VLZZMC=60°,

ZDAB=ZDAC+ZCAB=90°,

:.在R〃AB£>中，

BD=^AB2+AD2-

【点睛】题目主要考查旋转图形的作法及性质，勾股定理，30°角的直角三角形的性质，等边三角形的性质等，

理解题意，作出图形，综合运用各个定理性质是解题关键.

22.一个不透明的袋中装有2个红球、1个白球，这些球除颜色外，没有任何其他区别.有如下两个活动：

活动1：从袋中随机摸出一个球，记录下颜色，然后从袋中剩余的球中再随机摸出一个球，摸出的两个球都是红球

的概率记为P1；

活动2：从袋中随机摸出一个球，记录下颜色，然后把这个球放回袋中并摇匀，重新从袋中随机摸出一个球，两次

摸出的球都是红球的概率记为p2.

请你猜想片，8的大小关系，并用画树状图或列表的方法列出所有可能的结果，验证你的猜想.

【答案】6<6，验证过程见解析

【分析】首先根据题意分别根据列表法列出两个活动所有情况，再利用概率公式即可求得答案.

【详解】活动1:

红球1红球2白球

红球1（红1,红2）（红1,白）

红球2（红2,红1）（红2,白）

白球（白，红1）（白,红2）

•共有6种等可能的结果，摸到两个红球的有2种情况,

:.摸出的两个球都是红球的概率记为片=2=!

63

活动2：

红球1红球2白球

红球1（红1,红1）（红1,红2）（红1,白）

红球2（红2,红1）（红2,红2）（红2,白）

白球（白，红1）（白,红2）（白，白）

•.•共有9种等可能的结果，摸到两个红球的有4种情况，

4

...摸出的两个球都是红球的概率记为鸟

Pi<P2

【点睛】此题考查了列表法或树状图法求概率.用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比.重点需要注

意球放回与不放回的区别.

23.已知关于x的一元二次方程/—（左+4）X+4A=0.

（1）求证：该方程总有两个实数根；

（2）若该方程有一个根小于2,求人的取值范围.

【答案】（1）证明见解析；（2）k<2.

【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，可得△=（W）220,由此可证出方程总有两个实数根；

（2）利用分解因式法解一元二次方程，可得出为=4,X2=Z,根据方程有一根小于2,即可得出左的取值范围.

【详解】（1）Vx2-（k+4）x+4k^0,

[-（k+4）]2-4x4*=-8*+16=（*-4）2>0,

二方程总有两个实数根.

（2）~{k+4）x+4A=0,

(x-4)(x-k)=0,

解得：％=4,X2—k,

•••该方程有一个根小于2,

：.k<2.

【点睛】本题考查了根的判别式、因式分解法解一元二次方程，利用因式分解法解一元二次方程表示出方程的两

个根，熟练掌握当△》()时，方程有两个实数根是解题关键.

24.某篮球队员的一次投篮命中，篮球从出手到命中行进的轨迹可以近似看作抛物线的一部分，表示篮球距地面的

高度V(单位：m)与行进的水平距离x(单位：m)之间关系的图象如图所示.已知篮球出手位置A与篮筐的水

平距离为4.5m,篮筐距地面的高度为3.05m；当篮球行进的水平距离为3m时，篮球距地面的高度达到最大为

3.3m.

(1)图中点B表示篮筐，其坐标为,篮球行进的最高点C的坐标为;

(2)求篮球出手时距地面的高度.

【答案】(1)(4.5,3.05),(3,3.3)；(2)2.3米

【分析】(1)根据题意，直接写出坐标即可；

(2)设抛物线的解析式为：y=a(x-3丫+3.3(aN0),从而求出。的值，再把x=0代入解析式，即可求

解.

【详解】(1)由题意得：点8坐标为(4.5,3.05),。的坐标为(3,3.3),

故答案是：(4.5,3.05),(3,3.3)；

(2)设抛物线的解析式为：y=a(x-3)2+3.3(aN0),

把点8坐标(4.5,3.05),代入y=a(x-3丫+3,3得3.05=a(4.5-3丫+3.3，

解得：a=—，

9

y=-§(x-3)+3.3

12

当尸0时，y=--(0-3)+3.3=2.3,

答：篮球出手时距地面的高度为2.3米.

【点睛】考查了二次函数的应用，利用二次函数的顶点式，求出函数解析式是解题的关键.

25.己知：如图，在“WC中，AB^AC,。是BC的中点.以8。为直径作。。，交边4B于点P,连接PC,

交AO于点E.

A

（1）求证：AO是0O的切线；

（2）若PC是。。的切线，3c=8,求PC的长.

【答案】（1）见解析；（2）PC=4夜

【分析】（1）要证明AO是圆。的切线，只要证明/BD4=90。即可；

（2）连接。尸，根据等腰三角形的性质求得QC的长，再求出。。的长，根据切线的性质求得NOPC=90。，最

后利用勾股定理求出PC的长.

【详解】（1）证明：=AC,

。是BC的中点，

J.ADLBD.

又是。。直径，

.♦.A。是。。的切线.

;点。是边BC的中点，BC=8,AB=AC,

：.BD-DC=4,

•••OD=OP=2.

...OC=6.

是。。的切线，。为圆心，

/.NOPC=90。.

在Rtaopc中，

由勾股定理，得

OC1=0P2+PC2

J.PC2=OC^-OP2

=62—22

=32

PC=472.

【点睛】本题是圆的综合问题，考查了圆的切线的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的性质，掌握这些性质是

解决本题的关键.

26.在平面直角坐标系xOy中，点(4,3)在抛物线〉=公2+笈+3(。>0)上.

(1)求该抛物线的对称轴；

(2)已知加>(),当2-/M4XW2+2小时，y的取值范围是-1«y«3.求。、团的值；

(3)在(2)的条件下，是否存在实数〃，当〃-2<x<〃时，y的取值范围是为-3<y<3〃+5.若存在，求出〃的

值；若不存在，请说明理由.

【答案】(1)直线x=2

(2)a=l>m=l

(3)〃=1

【分析】(1)把已知点坐标代入抛物线解析式中，可求得8=即可求得抛物线的对称轴；

(2)由(1)可得函数的解析式，可求得函数的最小值，由条件可得点(2-，〃,0)到对称轴的距离小于点(2+2相,0)

到对称轴的距离，从而可确定2-+2加时的函数值范围，再结合已知的函数值范围，可得关于〃与，"的方

程，解方程即可求得〃、机的值；

(3)由抛物线开口向上，对称轴为直线x=2,分情况考虑：n<2；n-2>2；n-2<2<n三种情况讨论即可.

【小问1详解】

♦:点(4,3)在抛物线y=加+瓜+3(。>0)上，

.\16a+4Z?+3=3,

即Z?=-4a，

,b-4a-

而----=------=2，

2a2a

即抛物线的对称轴为直线x=2；

【小问2详解】

t.•y=ax2-4or+3,且a>0,

•.・抛物线的开口向上，函数当x=2时取得最小值4。一8々+3=~+3；

•.•2-m<2<2+2m,m>0,且2—(2—加)=m，2+2m-2=2m>m

(2—m,0)到对称轴的距离小于点(2+2m,0)到对称轴的距离，

.•.x=2—时的函数值y=a(2-m)2-4。(2-m)+3小于x=2+2加时的函数值

y=a(2+2tn)2-4a(2+2m)+3,

即当2-加<％<2+2〃7时，一4Q+3<y<a(2+2m)2—4Q(2+2/%)+3,

v-l<y<3,

/.—4a+3=—1,。(2+2/%)~-4Q(2+2/%)+3=