四川省眉山市东坡区2023-2024学年高二下学期6月期末联合考试数学试题【含答案】

东坡区22级高二期末联合考试数学试卷时间120分钟满分：150分一、单选题1．从中任取两个不同数字组成平面直角坐标系中一个点的坐标，则组成不同点的个数为（

）A．2 B．4 C．12 D．242．设在处可导，的值是（

）A． B． C． D．不一定存在3．已知n，m为正整数，且，则在下列各式中错误的是（

）A．； B．； C．； D．4．已知函数，则的大小关系为（

）A． B．C． D．5．在二项式的展开式中，含项的二项式系数为（

）A．5 B． C．10 D．6．已知函数的图象如图所示（其中是函数的导函数），则下面四个图象中，的图象大致是（

）A． B．C． D．7．某产品的销售收入（万元）是产量x（千台）的函数，且函数解析式，生产成本（万元）是产量x（千台）的函数，且函数解析式，要使利润最大，则该产品应生产（

）A．6千台 B．7千台 C．8千台 D．9千台8．2020年4月22日是第51个世界地球日，今年的活动主题是“珍爱地球，人与自然和谐共生”．某校4名大学生到三个社区做宣传，每个社区至少分配一人，每人只能去一个社区宣传，若大学生甲不去社区，则不同的安排方案共有（

）A．24种 B．36种 C．48种 D．72种二、多选题9．设函数，则（

）A．在上单调递增B．当时，取得极小值C．当只有一个零点时，的取值范围是D．当时，有三个零点10．若，则（

）A．可以被整除B．可以被整除C．被27除的余数为6D．的个位数为611．已知，且，其中e为自然对数的底数，则下列选项中一定成立的是（）A． B．C． D．三、填空题12．已知，若，则．13．已知函数，，若使不等式成立，的取值范围是．14．若函数在上存在最小值，则实数的取值可以是.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（1）将个不同的小球放入个不同的盒子中，没有空盒子，共有多少种不同的放法?（2）将个不同的小球放入个不同的盒子中，盒子可空，共有多少种不同的放法?（3）将个相同的小球放入个不同的盒子中，没有空盒子，共有多少种不同的放法?（4）将个相同的小球放入个不同的盒子中，盒子可空，共有多少种不同的放法?（注：要写出算式，结果用数字表示）16．已知(1+3x2)n的展开式中，各项系数和比它的二项式系数和大992.求：(1)展开式中二项式系数最大的项；(2)展开式中系数最大的项．17．某企业拟建造如图所示的容器（不计厚度，长度单位：），其中容器的中间为圆柱形，左、右两端均为半球形，按照设计要求容器的容积为，且，假设该容器的建造费用仅与其表面积有关，已知圆柱形部分每平方米的建造费用为3万元，半球形部分每平方米的建造费用为（）万元，该容器的总建造费用为万元.（1）写出关于的函数表达式，并求该函数的定义域；（2）求该容器的总建造费用最少时的的值.18．已知函数．(1)求在点处的切线方程；(2)求证：；(3)若函数无零点，求实数a的取值范围．19．已知函数．（注：是自然对数的底数）．(1)当时，求曲线在点处的切线方程；(2)当时，函数在区间内有唯一的极值点．①求实数的取值范围；②求证：在区间内有唯一的零点，且．

1．C【分析】利用排列的知识求得正确答案.【详解】从中任取两个不同数字组成平面直角坐标系中一个点的坐标，不同的点的个数是种.故选：C2．C【分析】根据极限的运算性质计算即可.【详解】．故选：C．3．C【分析】据组合数的性质及排列数公式计算可得【详解】解：对于A，，故正确；对于B，因为，所以，故正确；对于C，因为n，m为正整数，且，所以令，则，，此时，故错误；对于D，，故正确；故选：C4．C【分析】画出函数的图象，观察与连线的斜率即得.【详解】作出函数的图象，如图所示.

由图可知曲线上各点与坐标原点的连线的斜率随着的增大而减小.由，得，即.故选：C.5．A【分析】由二项式定理可得展开式通项为，即可求含项的二项式系数.【详解】解：由题设，，∴当时，.∴含项的二项式系数.故选：A.6．C【分析】先利用函数的图象求得函数的单调区间，进而得到正确选项.【详解】由题给函数的图象，可得当时，，则，则单调递增；当时，，则，则单调递减；当时，，则，则单调递减；当时，，则，则单调递增；则单调递增区间为，；单调递减区间为故仅选项C符合要求.故选：C7．B【分析】先得到利润解析式，在去求利润最大值即可解决.【详解】该产品的的利润则由得；由得则当时，取得最大值.即要使利润最大，则该产品应生产7千台.故选：B8．A【分析】根据题意甲不去社区，则对甲有2种不同的分配方法，进而对剩余的三人分情况讨论，①其中有一个人与甲在同一个社区，②没有人与甲在同一个社区，易得其情况数目，最后由分步计数原理计算即可．【详解】根据题意，首先分配甲，甲不去社区，则对甲有种分配方法;对于剩下的三人，分两种情况讨论：①其中有一人与甲在同一个社区，则三名学生分配到三个社区，每个社区一人，有种情况;②没有人与甲在同一个社区，则三人中有两人一组，另外一人单独一组，两组分配到除甲以外的另外两个地方，有种情况;所以若甲不去社区，不同的安排方案有种.故选：A.9．AD【分析】求出函数的导数，解关于导函数的方程，求出函数的单调区间，结合函数图像判断答案即可．【详解】解：，，令解得：或，当，，时，，则在，上单调递增，当时，，则在递减，故正确，错误，画出函数的大致图像，如图示：且结合极大值，当只有一个零点时，的取值范围是；当时，有三个零点．故错误，正确；故选：AD10．AB【分析】根据二项式定理的展开式逆用知，据此可判断AB，由可判断C，由可判断D.【详解】，可以被整除，故A正确；，可以被整除，故B正确；被27除的余数为5，故C错误；，个位数为，故D错误.故选：AB11．AC【分析】构造函数，求导，计算出其单调性即可判断.【详解】构造函数，，当时，，时，，时，，在处取最大值，，，函数图像如下：，，A正确；B错误；，，，C正确，D错误；故选：AC.12．4【分析】利用赋值法，令，结合等比数列求和公式可得，运算求解即可.【详解】因为，令，可得，即，解得.故答案为：4.13．．【分析】将不等式恒成立转化为，构造函数并求出函数的最大值，即可得.【详解】因为，使不等式成立，则，即，则问题转化为．设，由，令，得．当在区间内变化时，，随的变化情况如下表：＋0－单调递增极大值单调递减由上表可知，当时，函数有极大值，即最大值为，所以．故的取值范围是．故答案为：14．（答案不唯一）【分析】根据题意，函数的极小值在内，即可求出实数的取值范围.【详解】因为，所以，令得，，当时，，单调递减，当时，，单调递增，当时，，单调递减，所以当，有极小值，因为函数在上存在最小值，又，所以，解得，故答案为：内任一值均可.15．（1）；（2）；（3）；（4）.【分析】（1）先将个不同的小球分为三组，确定每组小球的数量，然后将三组小球放入三个盒子，结合分步计数原理可得结果；（2）确定每个小球的放法种数，利用分步乘法计数原理可得结果；（3）只需在个相同的小球中间所形成的个空位中插入块板即可，利用隔板法可求得结果；（4）问题等价于在个相同的小球中间所形成的个空位中插入块板即可，利用隔板法可求得结果.【详解】解：（1）将个不同的小球分为三组，每组的小球数量分别为、、或、、，然后再将这三组小球放入三个盒子中，因此，不同的放法种数为种；（2）每个小球有种方法，由分步乘法计数原理可知，将个不同的小球放入个不同的盒子中，盒子可空，不同的放法种数为种；（3）将个相同的小球放入个不同的盒子中，没有空盒子，只需在个相同的小球中间所形成的个空位中插入块板即可，所以，不同的放法种数为种；（4）将个相同的小球放入个不同的盒子中，盒子可空，等价于将个相同的小球放入个不同的盒子中，每个盒子不空，只需在个相同的小球中间所形成的个空位中插入块板即可，所以，不同的放法种数为种.16．(1)，(2)【分析】（1）求出展开式中各项系数和，二项式系数和可求出，即可得出二项式系数最大的项为第三、四两项，求出即可；（2）求出展开式通项，即可得出系数最大的项.【详解】（1）令x=1，则展开式中各项系数和为，又∵展开式中二项式系数和为，，即n=5，展开式共6项，二项式系数最大的项为第三、四两项，∴，；（2）展开式为，，设展开式中第r+1项系数最大，则，即，解得，因此r=4，即展开式中第5项系数最大，.17．（1），定义域为；（2）当时，；当时，.【分析】（1）利用，可得，则可得关于的函数表达式，，代入即得解；（2）求导，分，两种情况讨论，即得解【详解】（1）设容器的容积为，由题意，知.又，故.由于，解得，所以，其定义域为.（2）由（1）得，.由于，所以.当时，.令，则，所以.①当，即时，若，则；若，则；若，则.所以是该函数的极小值点，也是最小值点.②当，即时，若，则（仅当时，），所以函数单调递减.所以是该函数的最小值点.综上所述，当时，总建造费用最少时；当时，总建造费用最少时.18．(1)(2)证明见解析(3)【分析】（1）利用导数的几何意义及函数值的定义，结合直线的点斜式方程即可求解；（2）利用导数法求函数的最大值的步骤即可求解；（3）根据（2）的结论及利用导数法求函数的最值，结合函数的零点的定义即可求解.【详解】（1）因为，所以，所以，所以在点处的切线的斜率为，故在点处的切线方程为，即.（2）依题意知，函数的定义域为，，令，则，解得；令，则，解得或；所以函数在上单调递增，在上单调递减.当时，取得最大值为，所以.（3）依题意得，，当时，，在定义域上无零点；满足题意.当时，，所以，令，得；令，得；所以在上单调递增，在上单调递减.当时，取得最大值为，因为无零点,所以，解得；当时，因为，所以，即，所以在定义域上无零点；满足题意.综上所述，实数a的取值范围19．(1)(2)①；②证明见解析【分析】（1）由导数的几何意义，求切点处的切线方程；（2）利用导数研究单调性得到极值的个数，利用函数单调性并通过构造新函数比较零点和极值点的大小关系.【详解】（1）当时，，，切线的斜率，又，所以切点为，所以，切线方程为（2）①.函数，，（ⅰ）当时，当时，，，，则在上单调递增，没有极值点，不合题意，舍去；（ⅱ）当时，设，则在上恒成立，所以在上递增，即在上递增，又，，所以在上有唯一零点，当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增，所以函数在区间内有唯一极值点，符合题意，综上，的取值范围是．②.由①知，当时，，当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增；所以时，，则，又因为，所以在上有唯一零点，即在上有唯一零点．因为，由①知，所以，则，设，，则，，，所以在为单调递增，又，所以，又时，，所以．所以．由前面讨论知，，在单调递增，所以．【点睛】思路