上海市民办尚德实验学校2023-2024学年高二下学期期末考试数学试卷

2023-2024学年上海市民办上海市浦东新区民办尚德实验学校高二（下）期末数学试卷一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）1．（4分）已知集合A＝（﹣1，2），B＝（0，3），则A∩B＝．2．（4分）函数f（x）＝的定义域是．3．（4分）若f（x）＝x2+x，则＝．4．（4分）关于x的方程|2x﹣3|+|﹣x+2|＝|x﹣1|的解集为．5．（4分）设lg2＝a，lg3＝b，则log512＝．（用a，b表示）6．（4分）已知，且且x1≠x2，则x1•x2＝．7．（5分）设，则满足y＜0的x的取值范围为．8．（5分）已知曲线上一点，则点P处的切线方程是．9．（5分）已知f（x）＝x3+2023x，若实数a，b∈（0，+∞）且，则．10．（5分）采矿、采石或取土时，常用炸药包进行爆破，部分爆破呈圆锥漏斗形状（如图），若要使爆破体积最大，则炸药包埋的深度为．11．（5分）已知函数与g（x）＝x2﹣2ax+4（a＞0），若对任意的x1∈（0，1），存在x2∈[0，2]，使得f（x1）＝g（x2），则实数a的取值范围是．12．（5分）已知函数有三个不同的零点x1，x2，x3，其中x1＜x2＜x3，则的值为．二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13～14题每题4分，第15～16题每题5分）13．（4分）设a，b∈R，则“a＞1且b＞1”是“ab＞1”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件14．（4分）下列求导计算正确的是（）A．（xex）′＝ex B． C．[（2x+1）﹣1]′＝﹣（2x+1）﹣2 D．（x+cosx）′＝1+sinx15．（5分）已知函数f（x），其导函数f′（x）的图象如图所示，则（）A．f（x）有2个极值点 B．f（x）在x＝1处取得极小值 C．f（x）有极大值，没有极小值 D．f（x）在（﹣∞，1）上单调递减16．（5分）设非空集合S＝{x|m≤x≤l}满足：当x∈S时，有x2∈S．给出以下三个命题：①若m＝1，则S＝{1}；②若，则，则．其中正确的命题个数是（）A．1 B．2 C．3 D．0三、解答题（本大题共有5题，满分78分），解答下列各题必须在答题纸的规定区域（对应的题号）内写出必要的步骤．17．（15分）已知f（x）＝lnx+x2﹣3x．求：（1）函数y＝f（x）的单调区间及极值；（2）函数y＝f（x）在区间上的最大值与最小值．18．（15分）已知f（x）＝ax+，a∈R．（1）当a＝1时，求不等式f（x）+1＜f（x+1）；（2）若f（x）在x∈[1，2]时有零点19．（15分）随着环保意识的增强，电动汽车正成为人们购车的热门选择．某型号的电动汽车经高速路段（汽车行驶速度不低于60km/h）测试发现：①汽车每小时耗电量P（单位：KWh）（单位：km/h）的关系满足P（v）＝0.002v2﹣0.04v+5（60≤v≤120）；②相同路程内变速行驶比匀速行驶耗电量更大．现有一辆同型号电动汽车从A地经高速公路（最低限速60km/h，最高限速120km/h）驶到距离为500km的B地，汽车到达B地后至少要保留5KWh的保障电量．（假设该电动汽车从静止加速到速度为v的过程中消耗的电量与路程都忽略不计）．（1）判断该车是否可以在不充电的情况下到达B地，并说明理由；（2）若途径服务区充电桩功率为15kw（充电量＝充电功率×时间），求到达B地的最少用时（行驶时间与充电时间总和）．20．（15分）已知函数．（b＞0且b≠1）（1）若a＝b＝2，求函数的值域；（2）若a＝0，是否存在正数b，使得函数是偶函数（3）若a＞0，b＝4，且函数在[﹣1，求实数a的取值范围．21．（18分）对于在某个区间[a，+∞）上有意义的函数f（x），如果存在一次函数g（x），+∞），有|f（x）（x）|≤1恒成立，则称函数g（x）（x）在区间[a，+∞）上的弱渐近函数．（1）判断g（x）＝x是否是函数在区间[1，并说明理由．（2）若函数g（x）＝3x+1是函数在区间[4，求实数m的取值范围；（3）是否存在函数g（x）＝kx，使得g（x）在区间[1，+∞）上的弱渐近函数？若存在；若不存在，说明理由．2023-2024学年上海市民办上海市浦东新区民办尚德实验学校高二（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）1．（4分）已知集合A＝（﹣1，2），B＝（0，3），则A∩B＝（0，2）．【分析】根据已知条件，结合交集的定义，即可求解．【解答】解：A＝（﹣1，2），4），则A∩B＝（0，2）．故答案为：（3，2）．【点评】本题主要考查交集及其运算，属于基础题．2．（4分）函数f（x）＝的定义域是[﹣2，1]．【分析】由根式内部的代数式大于等于0，求解绝对值的不等式得答案．【解答】解：要使原函数有意义，则3﹣|2x+7|≥0，∴﹣3≤3x+1≤3，解得﹣4≤x≤1．∴函数f（x）＝的定义域是[﹣2．故答案为：[﹣2，1]．【点评】本题考查函数的定义域及其求法，考查绝对值不等式的解法，是基础题．3．（4分）若f（x）＝x2+x，则＝3．【分析】先对f（x）求导，再结合导数的几何意义，即可求解．【解答】解：f（x）＝x2+x，则f'（x）＝2x+6，故＝f'（1）＝8+1＝3．故答案为：7．【点评】本题主要考查导数的运算，属于基础题．4．（4分）关于x的方程|2x﹣3|+|﹣x+2|＝|x﹣1|的解集为．【分析】先求出每个绝对值对应的零点，然后利用零点分区间法求解．【解答】解：易知方程中三个绝对值对应的零点分别为：1，，2，则：①x≤1时，原方程可化为7﹣2x+2﹣x＝7﹣x，不符合题意；②时，原方程可化为3﹣2x+6﹣x＝x﹣1，符合题意；③时，原方程可化为2x﹣3+7﹣x＝x﹣1，故符合题意；④x＞2时，原方程可化为4x﹣3+x﹣2＝x﹣3，此时不符合题意，综上可知，原方程的解集为{x|}．故答案为：[]．【点评】本题考查零点分区间法解含绝对值的方程，考查学生的逻辑推理、数学运算等核心素养，属于中档题．5．（4分）设lg2＝a，lg3＝b，则log512＝．（用a，b表示）【分析】利用换底公式进行转化求解是解决本题的关键，然后将所得分式的分子与分母的真数化为2，3的乘积的形式进行代入计算出结果．【解答】解：log512＝＝．故答案为：．【点评】本题考查对数换底公式的运用，考查对数运算性质的应用，考查学生等价转化的能力和运算化简得能力．6．（4分）已知，且且x1≠x2，则x1•x2＝1．【分析】依题意x1，x2是x2+nx+1＝0的两根，再根据韦达定理求解即可．【解答】解：依题意n2﹣4＞6，故x1，x2是x7+nx+1＝0的两根，故x8•x2＝1．故答案为：8．【点评】本题主要考查韦达定理的应用，属于基础题．7．（5分）设，则满足y＜0的x的取值范围为{x|x＞1}．【分析】直接解不等式即可．【解答】解：由题意可得y＝﹣x3＜0，可得，解得x＞1，故答案为：{x|x＞5}．【点评】本题考查了指数运算，不等式的解法，是基础题．8．（5分）已知曲线上一点，则点P处的切线方程是．【分析】先求出y′，把x＝2代入y′即可求出切线的斜率，然后根据P点坐标和斜率写出切线的方程即可．【解答】解：由曲线求得y′＝x2，把x＝2代入y′中求得切线的斜率k＝7，又切点为P（2，）则切线方程为y﹣＝7（x﹣2）故答案为：y＝4x﹣【点评】此题要求学生会根据导数求曲线上过某点切线的斜率，以及会根据切点和斜率写出切线的方程．是一道基础题．9．（5分）已知f（x）＝x3+2023x，若实数a，b∈（0，+∞）且，则．【分析】利用奇函数得到等量关系，用基本不等式‘1’的代换处理即可．【解答】解：易知f（﹣x）＝﹣x3﹣2023x，且f（x）+f（﹣x）＝0，故f（x）是奇函数，因为f（x）在R上单调递增，若，则，化简得6a+b＝1，则，当且仅当，即时取等，则．故答案为：．【点评】本题主要考查了函数的奇偶性及单调性的应用，还考查了基本不等式求解最值，属于中档题．10．（5分）采矿、采石或取土时，常用炸药包进行爆破，部分爆破呈圆锥漏斗形状（如图），若要使爆破体积最大，则炸药包埋的深度为．【分析】根据题意可得：r2+h2＝R2，又圆锥漏斗形状的爆破体积V＝，从而可得V2＝，再根据基本不等式，即可求解．【解答】解：∵r2+h2＝R7，又圆锥漏斗形状的爆破体积V＝，∴V2＝≤＝，当且仅当r2＝2h6，又r2+h2＝R6，即3h2＝R3，即时，等号成立，∴爆破体积最大时，炸药包埋的深度为．故答案为：．【点评】本题考查圆锥的体积的最值的求解，基本不等式的应用，属中档题．11．（5分）已知函数与g（x）＝x2﹣2ax+4（a＞0），若对任意的x1∈（0，1），存在x2∈[0，2]，使得f（x1）＝g（x2），则实数a的取值范围是[，+∞）．【分析】由题意可得A⊆B，（A为f（x）在（0，1）上的值域，B为g（x）在[0，2]上的值域），根据指数函数及二次函数的性质，求出两函数的值域，再根据集合间的包含关系求解即可．【解答】解：因为当x∈（0，1）时，，1）．令A＝（，1），2]上的值域，由题意可得A⊆B，因为g（x）＝x8﹣2ax+4（a＞2），开口向上，对称轴为x＝a＞0，当0＜a＜8时，g（x）min＝g（a）＝4﹣a2，由7﹣a2≤，解得：，此时g（x）max＝g（0）＝4＞6；当a≥2时，函数y＝g（x）在[0，所以g（x）max＝g（0）＝5＞1，g（x）min＝g（2）＝8﹣4a，由8﹣4a≤，解得a≥，所以a≥2；综上，a的取值范围为：[．故答案为：[，+∞）．【点评】本题考查了指数函数、二次函数的性质，考查了分类讨论思想及集合间的包含关系，属于中档题．12．（5分）已知函数有三个不同的零点x1，x2，x3，其中x1＜x2＜x3，则的值为1．【分析】设t＝，求得导数和单调性、最值，画出图象，设f（x）＝0，可得方程3t2+（a2﹣1）t+1﹣a2＝0有两个不等的实根，一个正的，一个负的，运用韦达定理，化简整理可得所求值．【解答】解：函数，设f（x）＝0，t＝，可得3t3+（a2﹣1）t+8﹣a2＝0，又t′＝，可得x＜1时，函数t递增，t′＜0，即有x＝3时，函数t取得最大值，且x＞0时，t＞4，t＜0，则方程3t4+（a2﹣1）t+7﹣a2＝0有两个不等的实根，一个正的，可得t6+t2＝，t1t3＝，t1＜0，t7＞0，t1＝，t2＝＝，则＝（1﹣t6）2（1﹣t2）2＝[1+t4t2﹣（t1+t8）]2＝（1+﹣）5＝1．故答案为：1．【点评】本题考查函数的零点与导数的运用，考查方程思想和运算能力，属于中档题．二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13～14题每题4分，第15～16题每题5分）13．（4分）设a，b∈R，则“a＞1且b＞1”是“ab＞1”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【分析】由题意看命题“a＞1且b＞1”与命题“ab＞1”否能互推，然后根据必要条件、充分条件和充要条件的定义进行判断．【解答】解：∵a＞1且b＞1，∴ab＞5，若已知ab＞1，可取a＝，也满足已知．∴“a＞1且b＞1”是“ab＞4”的充分不必要条件，故选：A．【点评】本小题主要考查了命题的基本关系，题中的设问通过对不等关系的分析，考查了命题的概念和对于命题概念的理解程度．14．（4分）下列求导计算正确的是（）A．（xex）′＝ex B． C．[（2x+1）﹣1]′＝﹣（2x+1）﹣2 D．（x+cosx）′＝1+sinx【分析】根据题意，由导数的计算公式依次分析选项，综合可得答案．【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A，（xex）′＝（x）′ex+x（ex）′＝ex+xex，A错误；对于B，（）′＝＝；对于C，[（2x+1）﹣6]′＝（）′＝﹣2，C错误；对于D，（x+cosx）′＝6﹣sinx．故选：B．【点评】本题考查导数的计算，注意导数的计算公式，属于基础题．15．（5分）已知函数f（x），其导函数f′（x）的图象如图所示，则（）A．f（x）有2个极值点 B．f（x）在x＝1处取得极小值 C．f（x）有极大值，没有极小值 D．f（x）在（﹣∞，1）上单调递减【分析】通过导函数图象分析函数的单调性即可得出结论．【解答】解：由题意及图得，f（x）在（﹣∞，3）上单调递增，+∞）上单调递减，∴f（x）有一个极大值，没有极小值，∴A，B，D错误，故选：C．【点评】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性和极值，属于基础题．16．（5分）设非空集合S＝{x|m≤x≤l}满足：当x∈S时，有x2∈S．给出以下三个命题：①若m＝1，则S＝{1}；②若，则，则．其中正确的命题个数是（）A．1 B．2 C．3 D．0【分析】根据元素与集合的关系进行判断【解答】解：非空集合S＝{x|m≤x≤l}满足：当x∈S时，有x2∈S．对于①若m＝1，可得x＝2；12∈S，∴①对；对于②若，满足x∈S时2∈S，则．，∴②对；对于③若，x2∈，可得，要使x∈S，则．故选：C．【点评】本题主要考查元素与集合的关系，对题目的理解，属于基础题．三、解答题（本大题共有5题，满分78分），解答下列各题必须在答题纸的规定区域（对应的题号）内写出必要的步骤．17．（15分）已知f（x）＝lnx+x2﹣3x．求：（1）函数y＝f（x）的单调区间及极值；（2）函数y＝f（x）在区间上的最大值与最小值．【分析】（1）求导数，令f′（x）＞0，得函数f（x）的单调增区间，令f′（x）＜0，得单调减区间，进而可得函数的极值；（2）结合（1）中单调性，求出端点值，比较大小即可得解．【解答】解：（1）f（x）的定义域为（0，+∞），，令f′（x）＞0，得或x＞5，得，∴函数f（x）的单调增区间为和（1，函数f（x）的单调减区间为，当时，函数取得极大值，函数取到极小值，∴函数f（x）极大值为＝，极小值为f（1）＝﹣2．（2）由（1）可知f（x）在[，）上单调递增，1）上单调递减，6]上单调递增，＝，f（1）＝﹣2．又f（）＝﹣2ln2﹣＝﹣6.0735＜﹣2，∴函数y＝f（x）在区间上的最大值为2ln5+4．【点评】本题主要考查利用导数研究函数的单调性、极值与最值，考查运算求解能力，属于中档题．18．（15分）已知f（x）＝ax+，a∈R．（1）当a＝1时，求不等式f（x）+1＜f（x+1）；（2）若f（x）在x∈[1，2]时有零点【分析】（1）直接利用转换关系，解分式不等式即可．（2）利用分离参数法和函数的值域的应用求出参数的范围．【解答】解：（1）f（x）＝ax+（a∈R）．当a＝4时，f（x）＝x+．所以：f（x）+7＜f（x+1）转换为：x++1，即：，解得：﹣3＜x＜﹣1．故：{x|﹣2＜x＜﹣5}．（2）函数f（x）＝ax+在x∈[3，f（x）有零点，即函数在该区间上有解，即：，即求函数g（x）在x∈[8，2]上的值域，由于：x（x+1）在x∈[6，2]上单调递减，故：x（x+1）∈[3，6]，所以：，故：【点评】本题考查的知识要点：分式不等式的解法及应用，分离参数法的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力，属于基础题．19．（15分）随着环保意识的增强，电动汽车正成为人们购车的热门选择．某型号的电动汽车经高速路段（汽车行驶速度不低于60km/h）测试发现：①汽车每小时耗电量P（单位：KWh）（单位：km/h）的关系满足P（v）＝0.002v2﹣0.04v+5（60≤v≤120）；②相同路程内变速行驶比匀速行驶耗电量更大．现有一辆同型号电动汽车从A地经高速公路（最低限速60km/h，最高限速120km/h）驶到距离为500km的B地，汽车到达B地后至少要保留5KWh的保障电量．（假设该电动汽车从静止加速到速度为v的过程中消耗的电量与路程都忽略不计）．（1）判断该车是否可以在不充电的情况下到达B地，并说明理由；（2）若途径服务区充电桩功率为15kw（充电量＝充电功率×时间），求到达B地的最少用时（行驶时间与充电时间总和）．【分析】（1）假设该车匀速行驶至B地，列出耗电量的表达式并利用单调性即可求得最小耗电量，可得出结论；（2）根据耗电量与充电量、保障电量之间的关系，列出不等关系，由基本不等式即可求得结果．【解答】解：（1）设匀速行驶速度为v，耗电量为f（v），则，由对勾函数性质可知函数f（v）在区间[60，120]单调递增，∴，即最小耗电量大于电池存量减去保障电量，所以该车不能在不充电的情况下到达B地；（2）设匀速行驶速度为v，总时间为t3，t2，若能到达B地，则初始电量+充电电量﹣消耗电量≥保障电量，即75+15t2﹣f（v）≥7，解得，∴，当且仅当，即v＝100时取到等号，所以该汽车到达B地的最少用时为h．【点评】本题主要考查了函数的实际应用，考查了利用基本不等式求最值，属于中档题．20．（15分）已知函数．（b＞0且b≠1）（1）若a＝b＝2，求函数的值域；（2）若a＝0，是否存在正数b，使得函数是偶函数（3）若a＞0，b＝4，且函数在[﹣1，求实数a的取值范围．【分析】（1）利用分离常数法由指数函数值域即可求出该函数值域为．（2）由函数奇偶性定义即可解得b＝4．（3）利用函数单调性定义并根据基本不等式计算即可求得实数a的取值范围是．【解答】解：（1）若a＝b＝2可得函数，由指数函数值域易知4x+2∈（2，+∞），因此可得．（2）若a＝0，则函数，假设存在正数b，使得函数是偶函数，又易知，即可得x＝4x，解得b＝5，此时为偶函数，所以存在正数b＝4，使得函数是偶函数．（3）若a＞0，b＝2，则，取∀x1，x2∈[﹣6，+∞）1＜x2则，若函数在[﹣1，+∞）上是严格增函数1﹣y4＜0，由于a＞0，所以，又易知，所以，+∞）上恒成立即可，即，因此求得，因此可不予考虑时成立即可；当，易知为减函数；当且仅当x2＝x2＝﹣1时，等号才成立，因此．即实数a的取值范围为．【