2021-2022学年上海市奉城某中学高三冲刺模拟数学试卷含解析

2021-2022高考数学模拟试卷

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）

填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角〃条形码粘贴处〃o

2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦

干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。

3,非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先

划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。

4.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

V-22

1.已知椭圆:+gv=1（4＞。＞0）的左、右焦点分别为入、区,过士的直线交椭圆于A,8两点，交y轴于点

若片、M是线段A8的三等分点，则椭圆的离心率为（）

A1R^3「2后nV5

A.—B.C.-------D.——

2255

2.明代数学家程大位（1533~1606年），有感于当时筹算方法的不便，用其毕生心血写出《算法统宗》，可谓集成计算

的鼻祖.如图所示的程序框图的算法思路源于其著作中的“李白沽酒”问题.执行该程序框图，若输出的y的值为2,

则输入的X的值为（）

IWI

/输出y/

3.下列函数中，值域为K且为奇函数的是（）

A.y=x+2B.y=sinxC.y=x-dD.y=2x

（TTTT\

4.已知a、La"则下列是等式sina—sin4=a-2万成立的必要不充分条件的是（）

A.sina>sin£B.sinavsinA

C.cosa>cos/?D.cosa<cos/?

5.下图所示函数图象经过何种变换可以得到y=sin2x的图象（）

A.向左平移?个单位B.向右平移"个单位

C.向左平移B个单位D.向右平移?个单位

66

6.已知曲线c：y=cos（2x+0（|0]<]]的一条对称轴方程为X=（,曲线。向左平移。（。>0）个单位长度，得到

曲线£的一个对称中心的坐标为则。的最小值是（）

九八兀八兀°71

A.-B.—C.—D.—

64312

7.如图所示，三国时代数学家在《周脾算经》中利用弦图，给出了勾股定理的绝妙证明.图中包含四个全等的直角三

角形及一个小正方形（阴影），设直角三角形有一个内角为30。，若向弦图内随机抛掷200颗米粒（大小忽略不计，取

6^1.732）,则落在小正方形（阴影）内的米粒数大约为（）

A.20B.27C.54D.64

8.若干年前，某教师刚退休的月退休金为6000元，月退休金各种用途占比统计图如下面的条形图.该教师退休后加强

了体育锻炼，目前月退休金的各种用途占比统计图如下面的折线图.已知目前的月就医费比刚退休时少100元，则目前

该教师的月退休金为（）.

2y2

9.过双曲线与=1（a>0,b>0）的左焦点F作直线交双曲线的两天渐近线于A,B两点，若B为线段E4的中

a

点，且（。为坐标原点），则双曲线的离心率为（）

11.已知直线％+》=/与圆x2+y2=2f-『（rwR）有公共点，则《4一。的最大值为（)

(aTCI1

12.已知sin[f+ij=3，贝！]sina的值等于()

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

x+y>3

13.已知实数x,)‘满足约束条件则z=2的最小值为.

八%

x<2

14.给出下列等式：^=2cos-,72+V2=2cos-,伞+彼+⑦=2cos),…请从中归纳出第〃个等式:

4816

,2+.・.+《2+"=

吊

15.直线xslna+j+2=0的倾斜角的取值范围是.

16.在AABC1中，内角的对边分别是4c,若/-户=标°,sinC=2百sinB，则A=.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(12分)已知数列｛4｝的前”项和为S“，且满足2S“=〃一/("N*).

(1)求数列｛4｝的通项公式;

(〃=21)

(2)设2(AGN*),数列也｝的前〃项和1.若一一5一+6对

(〃=2k)2〃+2

〃eN*恒成立，求实数。，〃的值.

,1121

18.(12分)已知数列｛对｝满足--=—且q=力

4+1an2

(1)求数列｛"“｝的通项公式；

(2)求数列2nl的前〃项和S”.

tanJ

19.(12分)如图，在直三棱柱ABC—AB|G中，AB=BC=AAi=1,AC=6,点D,E分别为AC和5cl的中点.

(I)棱A4上是否存在点P使得平面平面ME?若存在，写出力的长并证明你的结论；若不存在，请说

明理由.

(H)求二面角A—BE—O的余弦值.

20.（12分）数列｛%｝满足q=1,。“是—1与4+1的等差中项.

（1）证明：数列｛。“+1｝为等比数列，并求数列｛%｝的通项公式;

（2）求数列｛an+2n｝的前n项和S”.

21.（12分）已知等差数列,［二的前〃项和为二」且二：+二；=4,二=%•

::求数列｛二T的通项公式；

，一求数列.的前〃项和-.

⑸-口

22.（10分）已知数列伍“｝满足：x.+i=x.2-6,nwN*,且对任意的〃wN*都有迎〈”二1,

（I）证明：对任意〃eN*,都有一34当4上兴；

（II）证明：对任意〃eN*,都有|X向+2|22|七+2|；

（印）证明:%=-2.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.D

【解析】

根据题意，求得AM,8的坐标，根据点在椭圆上，点的坐标满足椭圆方程，即可求得结果.

【详解】

由已知可知，M点为A”中点，E为3M中点，

故可得。+%=2加=（）,故可得4=c；

222

Mvhh

代入椭圆方程可得三■+2r=1,解得y=±L,不妨取以=2，

abaa

故可得A点的坐标为c,一,

Ia）

rb2}（b2}

则M0,—,易知3点坐标一2G-，

I2"I2a）

将8点坐标代入椭圆方程得储=5。2,所以离心率为好，

5

故选：D.

【点睛】

本题考查椭圆离心率的求解，难点在于根据题意求得点的坐标，属中档题.

2.C

【解析】

根据程序框图依次计算得到答案.

【详解】

y=3x-4,i=l；y=3y-4=9x-16,i-2；y=3y—4=27x-52,i=3；

y=3y—4=81%—160,i=4；y=3y—4=243x—484,此时不满足i43,跳出循环,

输出结果为243x—484,由题意y=243x—484=2,得x=2.

故选:C

【点睛】

本题考查了程序框图的计算，意在考查学生的理解能力和计算能力.

3.C

【解析】

依次判断函数的值域和奇偶性得到答案.

【详解】

A.y=x+2,值域为R,非奇非偶函数，排除；

B.y=sinx,值域为[-1,1],奇函数，排除；

C.y^x-x3,值域为R,奇函数，满足；

D.y=2\值域为（0,+。），非奇非偶函数，排除；

故选：C.

【点睛】

本题考查了函数的值域和奇偶性，意在考查学生对于函数知识的综合应用.

4.D

【解析】

构造函数〃(x)=sinx-x,"x)=sinx-2x,利用导数分析出这两个函数在区间［带e)上均为减函数，由

JTTT

sina-sin/=a-2〃得出sina-a=sin/7-2£,分a=0、<cz<0,0<。<不三种情况讨论，利用放缩

法结合函数y=h(x)的单调性推导出-3<。<，<0或0<小<。<］，再利用余弦函数的单调性可得出结论.

【详解】

构造函数〃(x)=sinx-x,/(x)=sinx-2x,

则/?,(x)=cosx-l<0,/z(x)=cosx-2<0,

所以，函数y=/(x)、y=/z(x)在区间(-nJ上均为减函数，

当一工<x<0时，贝iJ〃(x)>〃(0)=0,〃x)>/(0)=0；当0<x<三时，/z(x)<0,/(x)<0.

22

由sina—sin,=a-2,得sina—a=sin—2月.

①若a=0,则sin£-26=0,即/(4)=()n/?=0,不合乎题意；

②若一会<a<0,则-叁〈尸<0,则%(a)=sina-a=sin/7—24>sin/?—尸=〃(/),

TT

此时，——<a<0<0,

2

由于函数y=cosx在区间(-］()］上单调递增，函数y=sinx在区间［-］())上单调递增，则sina<sin/?,

cosa<cos0；

③若0<a<、，则则/z(a)=sina-a=sinA—2/?<sin夕一/?="(/?),

TT

此时0<—,

由于函数y=cosx在区间(o,1^上单调递减，函数.V=sinX在区间上单调递增，则sina>sin4，

cosa<cosP.

综上所述，cosa<cos/7.

故选：D.

【点睛】

本题考查函数单调性的应用，构造新函数是解本题的关键，解题时要注意对a的取值范围进行分类讨论，考查推理能

力，属于中等题.

5.D

【解析】

根据函数图像得到函数的一个解析式为/(无)=sin2x+?,再根据平移法则得到答案.

\3)

【详解】

设函数解析式为/(%)=Asin®x+°)+。,

T7CTC

根据图像：A=l,b=O,-=故T=万，即0=2,

43124

(p^—+2kjr,k^Z,取左=0,得到/(x)=sin|2x+?

33I3

函数向右平移7个单位得到，=sin2x.

o

故选：D.

【点睛】

本题考查了根据函数图像求函数解析式，三角函数平移，意在考查学生对于三角函数知识的综合应用.

6.C

【解析】

y=cos(2x+°)在对称轴处取得最值有cos(^+°)=±l,结合|例＜],可得e=易得曲线E的解析式为

y=cos[2x+26+?1结合其对称中心为(?.())可得°=券一.eZ)即可得到0的最小值.

【详解】

7T

•.•直线x=W是曲线。的一条对称轴.

JI兀

1.2x—+0=攵〃(攵£Z),又|。|<一.

32

71

・•・平移后曲线£为丁=。0$21+26+().

曲线E的一个对称中心为（（田）.

TC7T7T

.•.2x：+26»+：=左乃+：（女eZ）.

k冗jr

0=------（ksZ）,注意到。＞0

26

故。的最小值为g.

故选：C.

【点睛】

本题考查余弦型函数性质的应用，涉及到函数的平移、函数的对称性，考查学生数形结合、数学运算的能力，是一道

中档题.

7.B

【解析】

设大正方体的边长为x,从而求得小正方体的边长为-!X，设落在小正方形内的米粒数大约为N,利用概率模

22

拟列方程即可求解。

【详解】

设大正方体的边长为x,则小正方体的边长为3%—Lx,

22

设落在小正方形内的米粒数大约为N,

fV3」Y

则［2X~2X）N'解得：NR27

-200

故选：B

【点睛】

本题主要考查了概率模拟的应用，考查计算能力，属于基础题。

8.D

【解析】

设目前该教师的退休金为x元，利用条形图和折线图列出方程，求出结果即可.

【详解】

设目前该教师的退休金为x元，则由题意得：6000x15%-xxl0%=l.解得x=2.

故选D.

【点睛】

本题考查由条形图和折线图等基础知识解决实际问题，属于基础题.

9.C

【解析】

由题意可得双曲线的渐近线的方程为y=±-x.

a

•••3为线段E4的中点，OB1FA

：.OA=OF=c,则AAOF为等腰三角形.

/BOF=/BOA

由双曲线的的渐近线的性质可得ABOF=ZxOA

：.ZBOF=ZBOA=ZxOA=60°

.•.9=tan600=6,即。2=3/.

a

：.双曲线的离心率为e=-==—=2

aaa

故选C.

点睛：本题考查了椭圆和双曲线的定义和性质，考查了离心率的求解，同时涉及到椭圆的定义和双曲线的定义及三角

形的三边的关系应用，对于求解曲线的离心率（或离心率的取值范围），常见有两种方法：①求出a，c,代入公式e=£；

a

②只需要根据一个条件得到关于。的齐次式，转化为。的齐次式，然后转化为关于e的方程（不等式），解方程（不

等式），即可得e（e的取值范围）.

10.D

【解析】

通过取特殊值逐项排除即可得到正确结果.

【详解】

1_V11

函数"x）=ln/一•的定义域为{x|x#±l},当'=—时，/（-）=-ln3<0,排除B和C；

当％=-2时，/（-2）=ln3>0,排除A.

故选：D.

【点睛】

本题考查图象的判断，取特殊值排除选项是基本手段，属中档题.

11.C

【解析】

根据x2+/=2r-z2(reR)表示圆和直线x+y=/与圆V+丁=2/一产«©出有公共点，得到()vwg,再利用

二次函数的性质求解.

【详解】

因为3+、2=2/一/(€出表示圆,

所以力一户>0,解得0</<2,

因为直线x+y=，与圆X2+>；2=2/一产«€7?)有公共点，

所以圆心到直线的距离dWr,

4

解得0</<—,

3

4

此时OWE4一，

3

9「4'

因为/(7)=44一/)=一/+4/=-(/—2)一+4,在0,-递增,

故选：C

【点睛】

本题主要考查圆的方程，直线与圆的位置关系以及二次函数的性质，还考查了运算求解的能力，属于中档题.

12.A

【解析】

由余弦公式的二倍角可得，cos(a+g)=l-2sin2再由诱导公式有

2\24J9

47

cos(cz+—)=-sina,所以sina=—

29

【详解】

由余弦公式的二倍角展开式有

又cos(a+—)=-sina

2

..7

••sina=——

9

故选：A

【点睛】

本题考查了学生对二倍角公式的应用，要求学生熟练掌握三角函数中的诱导公式，属于简单题

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

1

13.一

2

【解析】

作出满足约束条件的可行域，将目标函数视为可行解(x,y)与(0,0)点的斜率，观察图形斜率最小在点5处，联立

x+y=3

《:，解得点B坐标，即可求得答案.

【详解】

x+”3

作出满足约束条件y«3x-l的可行域，该目标函数z=2=W视为可行解(x,y)与(0,0)点的斜率，故

八xX-0

x<2

k()B—z—k°A

y—3«X-1%+y-3

由题可知，联立得A(2,5),联立｛,得8(2,1)

X=ZX-

所以=；，故;

所以Z的最小值为上

2

故答案为：—

2

【点睛】

本题考查分式型目标函数的线性规划问题，属于简单题.

14.2cos券

【解析】

通过已知的三个等式，找出规律，归纳出第〃个等式即可.

【详解】

解：因为：x/2=2cos—,-72+>/2=2cos—,,2+j2+&=2cos2,

4816

1万

等式的右边系数是2,且角是等比数列，公比为则角满足：第〃个等式中的角西，

所以,2+…+"+"=2cos券;

，不2

71

故答案为：2cos才打.

【点睛】

本题主要考查归纳推理，注意已知表达式的特征是解题的关键，属于中档题.

r„兀］「3万)

15.0,—U——

44)

【解析】

因为sinaG[-L1],

所以一sinaG[—1,1]>

TTSTT

所以已知直线的斜率范围为LLU，由倾斜角与斜率关系得倾斜角范围是0,-o彳,兀

兀3汽

答案：,U—,71

4

【解析】

由sinC=2百sinB,根据正弦定理“边化角"，可得c=2辰，根据余弦定理/=〃+c?—20ccosA,结合已知联

立方程组，即可求得角A.

【详解】

sinC=26sinB

b

根据正弦定理:

sinBsinC

*,*可得c=2#tb

根据余弦定理：a2=h2+c2-2/?ccosA

由已知可得：a°—b2=®c

c=2A

故可联立方程：la2=b2+c2-2bccosA

a2-b2=y[3bc

解得：cosA=-

2

由0<A<%

,冗

A=—

6

故答案为：7.

o

【点睛】

本题主要考查了求三角形的一个内角，解题关键是掌握由正弦定理“边化角”的方法和余弦定理公式，考查了分析能力

和计算能力，属于中档题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

411

17.(1)=1-n(n>1)(2)a=——，b=一.

36

【解析】

(1)根据数列的通项。，与前”项和S”的关系式，即求解数列的通项公式；

2211

(2)由(1)可得一而-------------------------yr,利用等比数列的前〃项和公式和裂项法，求得

7；--,结合题意，即可求解.

2n63(4)2n+2

【详解】

(1)由题意，当〃=1时，由2s1=1-广，解得4=0；

22

当“22时，可得2a“=2Sn-2Sn_t=n-n-[(/j-1)-(n-1)]=2-2n,

即=l-n,(n>2),

显然当n=1时上式也适合，所以数列的通项公式为““=1-〃.

2211

(2)由(1)可得7；---\i~i------广/-----7T»

所以a>=(4+4+…+%>T)+(A+〃+…+。")

因为&=(■/?对〃eN*恒成立,

f⑷—1--2〃-+-2-

所以a=b=}.

36

【点睛】

本题主要考查了数列的通项公式的求解，等差数列的前〃项和公式，以及裂项法求和的应用，其中解答中熟记等差、

等比数列的通项公式和前"项和公式，以及合理利用“裂项法”求和是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于

中档试题.

18.(1)4=(；)；(2)S„=2"+'+n2+n-2

【解析】

(1)根据已知可得数列｛4｝为等比数列，即可求解；

(2)由(1)可得，为等比数列，根据等比数列和等差数列的前“项和公式，即可求解.

【详解】

12a..11

(1)因为——=一，所以一n吐=7,又4=大

a“+iq22

所以数列也｝为等比数列，且首项为g,公比为:•故为=出

(2)由(1)知」-=2",所以」-+2〃=2"+2〃

4%

所以S“=2(1—2")+Q+2")"=2„+1+“2+〃一2

"1-22

【点睛】

本题考查等比数列的定义及通项公式、等差数列和等比数列的前"项和，属于基础题.

311

19.(I)存在点P满足题意，且幺=：，证明详见解析；(II)—.

419

【解析】

(I)可考虑采用补形法，取AG的中点为尸，连接所，AF,DF,可结合等腰三角形性质和线面垂直性质，先证

应)，平面ACG，即BDLAE,若能证明Afi.叨，则可得证，可通过用我们反推出点P对

3

应位置应在丛二:处，进而得证；

4

(ED采用建系法，以。为坐标原点，以DB,DC,OF分别为X，Vz轴建立空间直角坐标系，分别求出两平面对应

法向量，再结合向量夹角公式即可求解；

【详解】

3

(I)存在点P满足题意，且以==.

4

证明如下:

取4G的中点为尸，连接ERAF,DF.

则所〃44〃A8,所以AFu平面A3E.

因为AB=BG。是AC的中点，所以BOLAC.

在直三棱柱ABC—A4C中，平面ABC,平面ACC-且交线为AC,

所以30,平面ACC_所以5D_LAF.

在平面4CG内，"=丝=正，ZPAD^ZADF=90°,

ADDF2

所以Rt^PAD^Rt^ADF,从而可得AFA.PD.

又因为PDcBD=r),所以平面尸比».

因为AFu平面他E,所以平面尸30,平面4?E.

(II)如图所示，以。为坐标原点，以DB,DC,OF分别为方X，z轴建立空间直角坐标系.

易知0(0,0,。)，呜,0,0),A(0,岑0),手」

—•f173

所以BE=_71,0,AB,DB=f1,0,0

界22，。1

设平面相E的法向量为优=(x,y,z),则有

一1J3

m-BE=——xy+z=0,

44取y=2,得加=卜20,2,-V5).

m-AB=—x-{-—^-y=0.

22

同理可求得平面BDE的法向量为n=(0,4,-73).

__tn-n8+311

则丽飞2+4+3/16+3=后

由图可知二面角A