2021-2022学年高二数学期末重点题训练 基本计数原理（人教解析版）

2021-2022学年高二数学期末重点题训练

第三章排列、组合与二项式定理第一单元基本计数原理

一.选择题（共8小题）

1.某同学从4本不同的科普杂志，3本不同的文摘杂志，2本不同的娱乐新闻杂志中任选一本阅读，则不

同的选法共有（）

A.24种B.9种C.3种D.26种

【解答】解：某同学从4本不同的科普杂志，3本不同的文摘杂志，2本不同的娱乐新闻杂志中任选一

本阅读，共有4+3+2=9种选法，

故选：B.

2.为适应新高考改革，学校在高二年级开设若干课外实践课，甲、乙、丙三名高中生从4个课程中各选

择一个参加学习，不同的方法为（）

A.24B.64C.81D.4

【解答】解：第一步，甲从四个课程中选一个有4种情况；

第二步，乙从四个课程中选一个有4种情况；

第三步，丙从四个课程中选一个有4种情况，

所以不同的选择方法共有4x4x4=64种.

故选：B.

3.李芳有4件不同颜色的衬衣，3件不同花样的裙子，另有两套不同样式的连衣裙.“五一”节需选择一套

服装参加歌舞演出，则李芳有几种不同的选择方式（）

A.24B.14C.10D.9

【解答】解：由题意可得：李芳不同的选择方式=4x3+2=14.

故选:B.

4.如图所示，从甲地到乙地有3条公路可走，从乙地到丙地有2条公路可走，从甲地不经过乙地到丙地

有2条水路可走.则从甲地经乙地到丙地和从甲地到丙地的走法种数分别为（）

A.6,8B.6,6C.5,2D.6,2

【解答】解：根据分步计数原理，从甲地经乙地到丙地的方法有3x2=6种，

从甲地直接到丙地的走法有2种，故从甲地到内地的走法种数2+6=8种，

故选：A.

5.电路如图所示，在A,B间有四个开关，若发现A,8之间电路不通，则这四个开关打开或闭合的方式

有（)

12

3

A.3种B.8种C.13种D.16种

【解答】解：根据题意，在A,8间有四个开关，每个开关有2种情况，则四个开关有2x2x2x2=16种

情况，

其中电路接通的情况有1、2、4闭合、1、3、4闭合或1、2、3、4闭合，有3种情况，

则电路不通的情况有16-3=13种;

故选：C.

6.“二进制”来源于我国古代的《易经》，该书中有两类最基本的符号：“一”和其中“一”在二进制中

记作“］，，,"_-”在二进制中记作“0”.如符号“三”对应的二进制数011⑵化为十进制的计算如下：011⑵

=OX22+1X2I+1X2°=3（IO>.若从两类符号中任取2个符号进行排列，则得到的二进制数所对应的十进制

数大于2的概率为（）

1121

A•—B.—C.—D.-

2334

【解答】解：根据题意，不同符号可分为三类：

第一类：由两个“一”组成，其二进制为：11⑵=3,助；

第二类：由两个-"组成，其二进制为：00.2>=0，1。）;

第三类：由一个“一”和一个“-组成，其二进制为：10⑵=2<io”01⑵=luo”

所以从两类符号中任取2个符号排列，则组成不同的十进制数为0,1,2,3,

则得到的二进制数所对应的十进制数大于2的概率P=

故选：D.

7.如图，将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两端异色，如果只有5种颜色可

供使用，则不同的染色方法总数为（）

A.60B.480C.420D.70

【解答】解：分两步，先将四棱锥一侧面三顶点染色，然后再分类考虑另外两顶点的染色数，用乘法原

理可求解.由题设，四棱锥S-A8co的顶点S,A,8所染的颜色互不相同，它们共有5x4x3=60种染

色方法.

当S,A,B染好时，不妨设所染颜色依次为1,2,3,若C染2,则。可染3或4或5,有3种染法;

若C染4,则。可染3或5,有2种染法；若C染5,则。可染3或4,有2种染法，即当5,A,8染

好时，C,。还有7种染法.

故不同的染色方法有60x7=420种.

故选：C.

8.2021年春节期间电影《你好，李焕英》因“搞笑幽默不庸俗，真心实意不煽情''深受热捧.某电影院为

了做好防疫工作组织了5个服务管理小组，分配到3个影厅进行服务和管理，若每个影厅至少分配1

个服务管理小组,每个服务管理小组只能在1个影厅进行服务和管理，则不同的分配方法种数为（）

A.125B.150C.243D.300

【解答】解：个服务管理小组，分配到3个影厅进行服务和管理，若每个影厅至少分配1个服务管

理小组，每个服务管理小组只能在1个影厅进行服务和管理，

分配上有两种方式即I,2,2与1,I,3

c箕“;

若是1,1,3,则有•A33=60种,

蜀

•A33=90种,

若是1,2,2,则有k

所以共有60+90=150种.

故选：B.

二.多选题（共4小题）

9.现有5幅不同的国画，2幅不同的油画，7幅不同的水彩画，下列说法正确的有（）

A.从中任选一幅画布置房间，有14种不同的选法

B.从这些国画、油画、水彩画中各选一幅布置房间，有70种不同的选法

C.从这些画中选出两幅不同种类的画布置房间，有59种不同的选法

D.要从5幅不同的国画中选出2幅，分别挂在左、右两边墙上的指定位置，共有9种不同的挂法

【解答】解：根据题意，依次分析选项：

对于A,一共有5+2+7=14幅画，从中任选一幅画布置房间，有14种不同的选法，A正确；

对于从这些国画、油画、水彩画中各选一幅布置房间，有5x2x7=70种不同的选法，B正确；

对丁C,从这些画中选出两幅不同种类的画布置房间，有5x2+5x7+2x7=59种不同的选法，C正确；

对于£>,要从5幅不同的国画中选出2幅，分别挂在左、右两边墙上的指定位置，有42=20种选法,

C错误

故选：ABC.

10.将甲，乙，丙，丁4个志愿者分别安排到学校的图书馆、食堂、实验室帮忙，要求每个地方至少安排

一个志愿者帮忙，则下列选项正确的是（）

A.总共有12种分配方法

B.总共有36种分配方法

C.若甲、乙安排在同一个地方帮忙，则有6种分配方法

D.若甲、乙均安排在图书馆帮忙，则有2种分配方法

【解答】解：根据题意，依次分析选项:

对于A，先将4人分为3组，再将三组安排到三个场馆，有C办？=36种安排方法，A正确；

对于8,由A的结论，8正确；

对于C,先将甲乙安排在同一个地方，有3种情况，再将其余2人，安排到其他的两个地方，有3XA2=6

种安排方法，C正确；

对于。，若甲、乙均安排在图书馆帮忙，将丙、丁安排在食堂、实验室帮忙即可，有A*=2种安排方

法，D正确;

故选：BCD.

11.从1,2,3,4,5,6中任取三个不同的数组成一个三位数，则在所组成的数中()

A.偶数有60个

B.比300大的奇数有48个

C.个位和百位数字之和为7的数有24个

D.能被3整除的数有48个

【解答】解：根据题意，依次分析选项，

对于A,其个位数字为2或4或6,有3种情况，在剩余5个数字中任选2个，安排在百位和十位，有

A另=20种情况，则有3x20=60个三位偶数，A正确；

对于8,分2种情况讨论，若百位数字为3或5,有2x2x4=16个三位奇数，若百位数字为4或6,有

2x3x4=24个三位奇数，则符合题意的三位数有16+24=40个，8错误；

对于C,个位和百位数字之和为7有(1,6),(2,5),(3,4),共3种情况，则符合题意的三位数有

3A22A/=24个,故C正确；

对于。，能被3整除，则三个数字之和为3的倍数，共有(1,2,3),(I,2,6),(1,3,5),(1,5,

6),(2,3,4),(2,4,6),(3,4,5),(4,5,6)八种选择，

故能被3整除的数有8A33=48个，故力正确；

故选：ACD.

12.已知集合加={0,1,2,3,4,5}.下列说法正确的是()

A.从集合M中任取4个元素能够组成300个没有重复数字的四位数

B.从集合M中任取3个元素能够组成52个没有重复数字的三位偶数

C.从集合M任取3个元素能够组成90个三位密码

D.从集合M中任取3个元素，其和是3的倍数的取法共有7种

【解答】解：对于4,取4个元素组成无重复数字的四位数，

若取0,有底盘心=180,若不取0,有C。&=120,共有180+120=300,故A正确，

对于8,M中有3个偶数，若末位为0,有房=20,若末位为2或4,有废品屐=32个，共有20+32

=52,故B正确，

对于C,集合M中任取3个元素能够组成其=120个3位密码，故C错误，

对于D,三个数和为3的有(0,1,2)有1种，

3个数的和为6的有(0,1,5),(1,2,3)(0,2,4)有3种，

3个数的和为9的有（0,4,5）,（1,3,5）（2,3,4）有3种，

3个数的和为12的有（3,4,5有1种，

故共有1+3+3+1=8种,故。错误.

故选：AB.

三.填空题（共4小题）

13.作家马伯庸小说《长安十二时辰》中，靖安司通过长安城内的望楼传递信息.同名改编电视剧中，望

楼传递信息的方式有一种如下：如图所示，在九宫格中，每个小方格可以在白色和紫色（此处以阴影代

表紫色）之间变换，从而一共可以有512种不同的颜色组合，即代表512种不同的信息.现要求每一行、

每一列上都有且只有1个紫色小方格（如图所示即满足要求）.则一共可以传递6种信息.（用数字

①，在第一行中，有且只有.I个紫色小方格，有3种情况，

②，在第二行的三个方格，要求每一列上都有且只有1个紫色小方格，则第二行有2种情况，

③，在第三行，只有1种情况，

则有3x2x1=6种情况，即可以传递6种信息，

故答案为：6.

14.某市春节晚会原定10个节目，导演最后决定添加3个与“抗冰救灾”有关的节目，已经排好的10个节

目的相对顺序不变，且3个新节目不相邻，则该晚会的节目单的编排总数为990种.（用数字作答）

【解答】解：•.•由题意知3个新节目不相邻且已经排好的10个节目的相对顺序不变，

.•.把3个新节目插在10个节目所形成的11个空中，

共有4尸=990；

故答案为：990.

15.从1到9的正整数中任意抽取两个数相加，所得的和为奇数的不同情形种数是20.（用数字作答）

【解答】解：根据题意，从1到9的正整数中任意抽取两个数相加，若所得的和为奇数，则取出的2

个数必须为1个奇数、1个偶数，

分2步分析：

先在I、3、5、7、9五个数中取出1个奇数，有C51=5种取法，

再在2、4、6、8四个偶数中取出1个偶数，有C/=4种取法，

则1个奇数、1个偶数的取法有5x4=20种,

即所得的和为奇数的不同情形种数是20；

故答案为：20.

16.在数列{板}中，。〃=2〃-1,若一个9行15列的矩阵的第i行第j列的元素劭=。产药+的+勾+3(i=L2,

9；j=l,2,15),则该数表所有元素能取到的不同数值的个数为3.

【解答】解:该矩阵的第"亍第/列的元素的=4••研的+研3=(2Z-1)(2>-1)+(2Z-1)+(2>-1)

+3=2计，+2(f=l,2,9；y=l,2,15),

要使劭则满足2>，+2=2切+〃+2,得到，47=加+”，

由指数函数的单调性可得：当i+j^m+n时，ciij^amn,

故当且仅当坦=加+〃时,aij=amn(i,2...,9；j,n=l,2…15),

因此该矩阵元素能取到的不同数值为it/的所有不同和，其和为2,3,24,共23个不同数值.

故答案为:23.

四.解答题(共6小题)

17.现有3名医生、5名护士、2名麻醉师.

(1)从中选派1名去参加外出学习，有多少种不同的选法？

(2)从这些人中选出1名医生、1名护士和1名麻醉师组成1个医疗小组，有多少种不同的选法？

【解答】解：(1)根据题意，现有3名医生、5名护士、2名麻醉师，共有3+5+2=10人,

从中选派1名去参加外出学习，有10种选法;

(2)根据题意，医生的选法有3种，护1•的选法有5种，麻醉师的选法有2种,

则医疗小组的选法有3x5x2=30种选法.

18.己知集合M={-3,-2,-1,0,1,2},P(a,b)表示平面上的点(m6GM),

(1)P可以表示平面上的多少个不同点？

(2)尸可以表示平面上的多少个第二象限的点？

(3)户可以表示多少个不在直线y=x上的点？

【解答】解法一：(1),・,集合M={-3,-2,-1,0,1,2},P(a,b)表示平面上的点(a,

二。点的可能坐标有:

(-3,-2),(-2,­3)»(~3,-1),(~1»-3),(■3,0),(0,-3),(-3,1),(1,-3),

(-3,2),(2,-3),(-2,-1),(-1,-2),(-2,0),(0,-2),(-2,1),(1,-2),

(-2,2),(2,-2),(-1,0),(0,-1),(-1,1),(1,-1),(-1,2),(2,-1),(0,1),

(1,0),(0,2),(2,0),(1,2),(2,1),(-3,-3),(-2,-2),(-1,-1),(0,0),(1,1),

(2,2),共36个.

(2)P表示平面上的第二象限的点有:

(-3,1),(-3,2),(-2,1),(-2,2),(-1,1),(-1,2),共6个.

(3)P可以表示不在直线y=x上的点有:

(-3,-2),(-2,-3),(-3,-1),(-1,-3)>(■3,0),(0,-3),(-3,1),(1,-3),

(-3,2),(2,-3),(-2,-1),(-1»-2),(-2,0),(0,-2),(-2,1),(1,-2),

(-2,2),(2,-2),(-1,0),(0,-1),(-1,I),(1,•1),(•1,2),(2,-1),(0,1),

(1,0),(0,2),(2,0),(1,2),(2,1),共30个.

解法二：（1）分两步，第一步确定”，有6种方法，

第二步确定从也有6种方法，

根据分步乘法计数原理，共有6x6=36个不同的点.

（2）分两步，第一步确定“，有3种方法，第二步确定从有2种方法，

根据分步计数原理，第二象限的点共有3x2=6个.

（3）分两步，第一步确定a,有6种方法，第二步确定从有5种方法，

根据分步计数原理不在直线y=x上的点共有6x5=30个.

19.用0,1,2,3,4,5这六个数字：

（1）能组成多少个无重复数字的四位偶数？

（2）能组成多少个无重复数字且为5的倍数的五位数？

【解答】解：（1）第一类：0在个位时有As?个；第二类：2在个位时，首位从1,3,4,5中选定1个

（有种），十位和百位从余下的数字中选（有A42种），于是有4/42个；第三类：4在个位时，与

第二类同理，也有A4/42个.

共有四位偶数：A53+A4IA42+/14IA42=156个.

（2）个位数上的数字是。的五位数有A54个；个位数上的数字是5的五位数有A4%43个.

故满足条件的五位数的个数共有A54+A4'A43=216个.

20.某出版社的7名工人中，有3