江苏省无锡市锡东高级中学2023-2024学年高二下学期5月月考数学试题【含答案】

2023-2024学年第二学期5月阶段性考试高二数学试卷考试时间：120分钟分值150分一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设全集，集合，，则（

）A． B．C． D．2．命题“，使得”的否定为（

）A． B．，使得C． D．，使得3．下列命题是真命题的有（

）A．经验回归方程至少经过其样本数据点中的一个B．可以用相关系数r来刻画两个变量x和y线性相关程度的强弱，r的值越小，说明两个变量线性相关程度越弱C．在回归分析中，决定系数的模型比决定系数的模型拟合的效果要好D．残差平方和越小的模型，拟合的效果越好4．甲、乙两名儿童玩剪刀、石头、布游戏，每次从开始到确定胜负为1次游戏，且甲或乙连续胜2次时结束游戏，若每次游戏甲胜的概率为，且各次游戏之间相互独立，则玩5次游戏后结束的概率为（

）A． B． C． D．5．设随机变量，若，则的值为（

）A． B． C． D．6．已知随机变量，且，则的展开式中的系数为（

）A．40 B．120 C．240 D．2807．设，，，则（

）A． B． C． D．8．关于函数，下列判断正确的是（

）①是的极大值点，②函数有且只有1个零点，③存在正实数，使得成立，④对任意两个正实数，且，若，则.A．①④ B．②③ C．②③④ D．②④二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.9．已知函数，则在上不单调的一个充分不必要条件是（

）A． B．C． D．10．下列说法正确的是（

）A．已知随机变量，若，，则B．的展开式中，的系数为C．已知，则D．从一批含有10件正品、4件次品的产品中任取3件，则取得1件次品的概率为11．已知，且，则下列不等式一定成立的是（

）A． B．C． D．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12．设，集合，，若，则．13．若函数在区间上有最大值，则实数a的取值范围是.14．某小学举办家长开放日，欢迎家长参加活动，小明母亲参加活动的概率为，若母亲参加，则父亲参加的概率为；若母亲不参加，则父亲参加的概率为，请问小明父亲参加活动的概率为；在已知小明父亲参加活动的条件下，母亲参加的概率为.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15．（1）一排10个空位，四人就坐其中的4个位子.若6个空位中，4个相连，另2个也相连，但6个不连在一起，有几种坐法？（2）为了某次的航天飞行，现准备从10名预备队员中选4人参加航天任务.若选四个航天员分配到A、B、C三个实验室去，其中每个实验室至少一个航天员，共有多少种选派法？（3）已知从1，3，5，7，9任取两个数，从0，2，4，6，8中任取两个数，组成没有重复的数字的四位数，可以组成多少个四位偶数？（注：结果用数字作答）16．已知，.(1)解关于x的不等式；(2)若是方程的两个实数根，且，求的最小值.17．某数学兴趣小组为研究本校学生数学成绩与语文成绩的关系，采取有放回的简单随机抽样，从学校抽取样本容量为200的样本，将所得数学成绩与语文成绩的样本观测数据整理如下：语文成绩合计优秀不优秀数学成绩优秀503080不优秀4080120合计90110200(1)根据的独立性检验，能否认为数学成绩与语文成绩有关联？(2)在人工智能中常用表示在事件发生的条件下事件发生的优势，在统计中称为似然比.现从该校学生中任选一人，表示“选到的学生语文成绩不优秀”，表示“选到的学生数学成绩不优秀”请利用样本数据，估计的值.(3)现从数学成绩优秀的样本中，按分层抽样的方法选出8人组成一个小组，从抽取的8人里再随机抽取3人参加数学竞赛，求这3人中，语文成绩优秀的人数的概率分布列及数学期望.附：18．已知的二项展开式共有项，完成以下问题：(1)求展开式中二项式系数之和；(2)展开式中是否存在常数项，若有，请求出常数项；若没有，请说明理由；(3)求展开式中的系数最大的项.（注：结果用数字作答）19．已知函数，．（1）曲线在处的切线方程；（2）设函数．①若在定义域上恒成立，求a的取值范围；②若函数有两个极值点为，，证明：．1．B【分析】根据集合的交并补运算即可结合选项逐一求解.【详解】由题意可得,,或，对于A,或，故A错误，对于B，，故B正确，对于C，，故C错误，对于D，，故D错误，故选：B2．C【分析】根据给定条件由含有一个量词的命题的否定方法直接写出原命题的否定作答.【详解】命题“，使得”的否定为“”，故选：C.3．D【分析】根据经验回归方程、相关系数、决定系数、残差等知识确定正确答案.【详解】对于A，经验回归方程是由最小二乘法计算出来的，它不一定经过其样本数据点，一定经过，所以A是假命题；对于B，由相关系数的意义，当越接近1时，表示变量y与x之间的线性相关程度越强，所以B是假命题；对于C，用决定系数的值判断模型的拟合效果，越大，模型的拟合效果越好，所以C是假命题；由残差的统计学意义知，D为真命题.故选：D4．A【分析】设“玩5次游戏后甲获胜”为事件，“玩5次游戏后乙获胜”为事件，“玩5次游戏后结束”为事件，根据求解即可.【详解】设“玩5次游戏后甲获胜”为事件，“玩5次游戏后乙获胜"为事件，“玩5次游戏后结束”为事件，依题意得：事件即第2，4，5次游戏甲获胜，第1，3次游戏乙获胜，事件即第2，4，5次游戏乙获胜，第1，3次游戏甲获胜，所以，，因为事件与互斥，所以.故选：A.5．B【分析】先由二项分布的概率公式结合已知条件求出，从而可得，进而可求出的值【详解】解：因为随机变量，所以，解得，所以，则．故选：B．6．D【分析】利用正态分布的对称性求出，再利用二项展开式的通项公式可求的系数.【详解】由正态分布的对称性，得，解得，的展开式的通项公式为，，的展开式的通项公式为，，则的展开式的通项为，由，得或，所以的展开式中的系数为.故选：D7．B【分析】根据给定条件，构造函数，借助导数探讨单调性比较b，c，再利用“媒介数”结合不等式性质比较a，b作答.【详解】令函数，，求导得：，令，，有，因此函数在上递减，即有，即，于是得在上递减，而，则，即，，则，又，则，即，有，则，所以.故选：B8．D【分析】对于①，根据极大值点的定义，求导，研究导数与零的大小关系，可得答案；对于②，构造函数，求导研究其单调性，根据零点存在定理，可得答案；对于③，采用变量分离，构造函数，研究单调性与最值，可得答案；对于④，以直线为对称轴，构造函数，求导研究其单调性和最值，可得答案.【详解】对于①，由，求导得，令，解得，可得下表：极小值则为函数的极小值点，故错误；对于②，由，求导得：，则函数在上单调递减，当时，，当时，，由，故函数有且只有1个零点，故正确；对于③，由题意，等价于存在正实数，使得，令，求导得，令，则，在上，，函数单调递增；在上，，函数单调递减，，，在上单调递减，无最小值，不存在正实数，使得恒成立，故错误；对于④，令，则，，令，则，在上单调递减，则，即，令，由，且函数在上单调递增，得，则，当时，显然成立，故正确.故选：D.9．C【分析】先求出函数的导数，再根据在上不单调可得在上有零点，且在该零点的两侧附近函数值异号，就和分类讨论后可得实数的取值范围，从而可得正确的选项.【详解】，若在上不单调，令，对称轴方程为，则函数与轴在上有交点．当时，显然不成立；当时，有，即，解得或．四个选项中的范围，只有为的真子集，∴在上不单调的一个充分不必要条件是.故选：C．10．BCD【分析】对于A：根据二项分布的数学期望和方差的公式即可判断；对于B：利用二项展开式的通项公式，再进行合理赋值即可判断；对于C：根据排列数和组合数的计算即可判断；对于D：设随机变量X表示取得次品的个数，则X服从超几何分布，再利用超几何分布的分布列公式即可判断．【详解】对于A:根据二项分布的数学期望和方差的公式，可得，，解得，所以该选项错误；对于B：的展开式的通项为，令，可得的系数为，故该选项正确；对于C：由，得，解得，故该选项正确；对于D：设随机变量X表示取得次品的个数，则X服从超几何分布，所以，故该选项正确．故选：BCD．11．ACD【分析】对于AB，利用基本不等式结合分析判断即可，对于C，由指数函数的单调性分析判断，对于D，先利用基本不等式求出的最小值，再利用基本不等式可求得结果.【详解】对于A，因为，且，所以，当且仅当时等号成立，故A正确；对于B，，故，当且仅当时等号成立，故B不正确；对于C，，所以，故C正确；对于D，因为，当且仅当时取等号，所以，当且仅当时取等号．故D正确；故选：ACD．12．1或2【详解】，解方程可得因为，所以，当m=1时，满足题意；当，即m=2时，满足题意，故m=1或2.13．【解析】求函数导数，研究其最大值取到的位置，由于函数在区间上有最大值，故最大值点的横坐标在区间内，由此可以得到关于参数a的不等式，解之求得实数a的取值范围.【详解】由题意得：，令解得；令解得或，所以函数在上是增函数，在上是减函数，在上是增函数，故函数在处取到极大值2，所以极大值必是区间上的最大值，∴，解得.检验满足题意故答案为：.14．##【分析】根据全概率公式和贝叶斯公式计算即可.【详解】设事件为小明母亲参加活动，设事件为小明父亲参加活动，由题意可得,所以，因为，所以在已知小明父亲参加活动的条件下，母亲参加的概率为.故答案为：；15．（1）480（2）7560（3）1120【分析】（1）将坐人的4个位置全排列，再将4个相连的空位、另2个相连的空位分别视为一个整体插入5个间隙中的两个即可得解.（2）先选4名航天员并按分组，再分配到三个实验室即可得解.（3）选出奇数，并按有0和无0选出偶数，再按有限制条件的排列问题列式计算即可.【详解】（1）将坐人的4个位置全排列，有种方法，再将4个相连的空位、另2个相连的空位分别视为一个整体插入5个间隙中的两个，有方法，所以所求不同坐法有（种）.（2）从10名预备队员中选4人有种方法，将选得的4人按分成3组，并分配到三个实验室，有种方法，所以不同选派方法有（种）.（3）选出2个奇数有种方法，选含有0的2个偶数有种方法，将选出的4个数字排列成偶数有，此时符合要求的偶数有个；选出2个奇数有种方法，选不含0的2个偶数有种方法，将选出的4个数字排列成偶数有，此时符合要求的偶数有个，所以可组成无重复数字的四位偶数个数是.16．(1)答案见解析；(2)0【分析】（1）根据给定条件，分类讨论解含有参数的一元二次不等式即可.（2）整理方程，利用韦达定理及基本不等式求解即得.【详解】（1）依题意，，当时，解得或；当时，解得或；当时，解得或，所以当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为.（2）依题意，方程，，，则，当且仅当时取等号，所以的最小值为0.17．(1)认为数学成绩与语文成绩有关；(2)；(3)分布列见解析，.【分析】（1）零假设后，计算的值与比较即可；（2）根据条件概率公式计算即可；（3）分层抽样后运用超几何分布求解.【详解】（1）零假设：数学成绩与语文成绩无关.据表中数据计算得：根据小概率值的的独立性检验，我们推断不成立，而认为数学成绩与语文成绩有关；（2）∵，∴估计的值为；（3）按分层抽样，语文成绩优秀的5人，语文成绩不优秀的3人，随机变量的所有可能取值为.，，，，∴的概率分布列为：0123∴数学期望.18．(1)(2)存在，常数项为(3)【分析】（1）根据题意可得，利用二项式系数之和的公式计算得出结果；（2）通过二项式定理展开式中通项，令得出的值没计算得出常数项；（3）通过二项式定理展开式中通项的系数，计算得出系数最大的项；【详解】（1）根据题意的二项展开式共有项，可知，所以的展开式中二项式系数之和为.（2）展开式中存在常数项，常数项为由题可知，则的通项为，.令，得，所以展开式中存在常数项，此时通项变为（3）的二项展开式中通项为，展开式中通项的系数为，,解得当时系数最大，则展开式中的系数最大的项为19．（1）；（2）①；②证明见解析．【分析】（1）先求导函数，计算和，再利用斜率和切点写直线方程即可；（2）①先化简整理即，再构造函数，利用导数求其最大值，即得；②求导函数，先说明讨论时不符合题意，得到，再利用，整理得，利用分析法只需证时，构造函数，利用导